TECNICA DELLE MISURAZIONI APPLICATE 17 OTTOBRE 2012

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1 TENIA DELLE MIURAZIONI APPLIATE 17 OTTOBRE 01 Il motore MOTO1 viee prodotto da MotoriMarii pa. che suggerisce agli acquireti di usare come lubrificate u celebre olio sitetico. I dati storici cofermao che il cosumo tipico del motore è di 1,00 litri/ora di gasolio: questo valore viee assuto come valore tipico per l'itera popolazioe. U esperto di meccaica suggerisce alla dirigeza di MotoriMarii pa. di adottare u lubrificate di uova cocezioe affermado che tale azioe può ridurre i modo sigificativo il cosumo del motore. A causa del costo superiore del uovo lubrificate l avv. Tizio, AD di MotoriMarii, valuta che la soluzioe risulta ecoomicamete coveiete solamete el caso i cui il cosumo del motore MOTO1 si riduca fio ad assumere u valore tipico miore di 0.90 litri/ora di gasolio. L avv. Tizio decide di codurre ua verifica sperimetale allo scopo di idagare la effettiva utilità del uovo lubrificate ed icarica l ig. aio, di progettare e codurre la prova. L ig. aio segala che ua prova a campioe o potrà essere esete da u rischio di errore e cocorda co l Avv. Tizio di operare co u campioe composto da 16 elemeti e co u rischio di errore del 1%. Vegoo così provati al baco 16 esemplari del motore MOTO1 misurado, per ciascuo di essi, il cosumo. I valori otteuti soo i segueti (i litri/ora di gasolio): #1 : 0,8 # : 0,84 #3 : 0,84 #4 : 0,86 #5 : 0,86 #6 : 0,86 #7 : 0,88 #8 : 0,88 #9 : 0,88 #10: 0,88 #11: 0,90 #1: 0,90 #13: 0,90 #14: 0,9 #15: 0,9 #16: 0,94 ome è evidete il campioe mostra u comportameto che porterebbe ad idividuare u valore tipico iferiore a 0,90 litri/ora: aio si chiede se tale risultato sia dovuto alla aleatorietà co cui è stato composto il campioe oppure se si possa effettivamete sosteere la validità del uovo lubrificate. Domada 1. i chiede al cadidato di formalizzare l ipotesi pricipale e di dare risposta al quesito che si sta poedo l ig. aio (ricordado che questi vuole operare co u rischio di errore del 1%). Risposta: La variabile casuale co cui operare viee defiita el seguete modo: cosumo espresso i litri/ora, dimiuito di 0.90 e moltiplicato per 100. o questa premessa l ipotesi pricipale da verificare è la seguete: H o : μ > μ 0 0 Dal risultato del test o si ha la autorizzazioe a sosteere che il uovo lubrificate porta ad u cosumo miore di 90 litri/ora di gasolio. Il fatto che la media campioaria della sia risultata miore di 0 potrebbe essere dovuto alla aleatorietà co cui è stato composto il campioe esamiato.

2 i defiisce prelimiarmete ua variabile casuale adimesioale che assume, per ciascu elemeto della popolazioe dei motori MOTO1, valore uguale al cosumo espresso i litri/ora, dimiuito di 0.90 e moltiplicato per 100. ( 0.90) 100 A causa dei molteplici fattori che determiao il cosumo di ciascu elemeto è plausibile riteere che la abbia ua distribuzioe di tipo ormale. o questa scelta della il valore della media μ per l itera popolazioe che corrispode al valore limite per la utilità del uovo lubrificate risulta μ 0 0 Dato lo scopo del test si costruisce ua ipotesi che, se rifiutata, possa cosetire di escludere che il cosumo tipico sia uguale (o maggiore) a quello limite stabilito. H o : μ > μ 0 0 (Rifiutare H o implica che si affermi che il valore di μ è iferiore a 0, quidi che i motori MOTO1 presetao u cosumo tipico miore del limite pertato l uso del uovo lubrificate sarebbe effettivamete utile) Il test viee codotto co il livello di sigificatività richiesto, pari a 0,01, e quidi co la fiducia del 99%, utilizzado la variabile campioaria T: T Dato che la ha distribuzioe ormale e che il campioe è di 16 elemeti la variabile campioaria T ha ua distribuzioe di tipo t di tudet co 15 gradi di libertà. L ipotesi è del tipo μ > μ 0 pertato si esegue u test di tipo uilaterale (o a 1 coda ) Dalle tabelle della t di tudet si ricava il valore critico per α 0,01 che risulta: t c if -.60 La regioe di rifiuto della H 0 è pertato: T < t c if Dai dati del problema si ricavao i valori della media campioaria e della deviazioe stadard campioaria corretta corrispodeti agli elemeti co cui è stato composto il campioe: ; Dai valori del campioe si ricava quidi: μ t T > 16 Dato che t NON cade ella regioe di rifiuto T < t c if NON posso rifiutare H 0 co la fiducia richiesta: Dato che o è lecito egare che la media della variabile per l itera popolazioe sia maggiore o uguale a 0 o è possibile affermare che la uova macchia ha fatto scedere il tempo tipico di lavorazioe sotto al valore limite che e determia la ecoomicità. Il fatto che il valore della media campioaria della risulti miore di 0 potrebbe essere dovuto alla aleatorietà co cui è stato composto il campioe. t c if

3 Domada. uppoedo che il campioe estratto sia ua fedele immagie della popolazioe idividuare il umero miimo di elemeti ecessari per poter rifiutare l ipotesi pricipale co il rischio di errore che si è fissato. Risposta: Il umero miimo di elemeti del campioe che permette di rifiutare la ipotesi pricipale co il rischio di errore fissato è 18. Il processo di risoluzioe è iterativo ed iizia co ua valutazioe di massima del valore attraverso l uso del valore critico della variabile casuale T per 16 T t ' tc if.60 '.60 ' 4.5 ' ' 19 Idividuato il valore di primo tetativo 19 si affia la ricerca verificado se il valore critico che cosete il rifiuto della ipotesi pricipale H 0 possa essere superato ache co valori miori di : ' 18 T t ' '.595 < t cosete acora di rifiutare l ipotesi pricipale H 0 ; c if ' 17 T t ' ',5 > t 17 c if 16, o cosete di rifiutare l ipotesi pricipale H 0 co co il grado di fiducia desiderato. i può quidi cocludere che 18 è il umero miimo di elemeti da iserire el campioe per poter rifiutare l ipotesi pricipale (ovviamete: se il processo di estrazioe dei 16 moduli co cui è stato composto il campioe origiale è stato corretto ed ha portato ad u campioe rappresetativo della itera popolazioe).

4 Problema. i idividui l itervallo di cofideza al 95% per la variaza σ della riferita all itera popolazioe sulla base dei valori foriti dal campioe di 16 elemeti del problema 1. Risposta: L itervallo di cofideza ricercato è: 5,8 5,56,83 5,59 se si opera co la tabella della distribuzioe chi quadro oppure è 5 se si opera co la tabella della distribuzioe modificata di chi quadro (le differeze soo causate degli arrotodameti dei valori riportati dalle diverse tabelle) Per idividuare l itervallo di cofideza della variaza della relativa all itera popolazioe si costruisce ua idoea variabile casuale 1 σ ( ) Dato che il campioe utilizzato è composto da 16 elemeti e che la variabile casuale ha distribuzioe ormale si può affermare che la variabile casuale ha distribuzioe di tipo chi quadro co 15 gradi di libertà. i idividuao quidi i due quatili della chi quadro relativi alle probabilità 0,05 e 0,975 che, per 15 gradi di libertà, risultao essere: if 6,6 ; sup 7,488 c c Da questi valori si idividuao gli estremi dell itervallo di cofideza cercato mediate la: ( 1) ( 1) c sup c if ostituedo ella espressioe i valori della variaza campioaria corretta, dei quatili della chi quadro e dei gradi di libertà si ottiee: 15 5,8 7,488 5, ,6 Voledo ridurre il umero di cifre decimali degli estremi dell itervallo si ottiee ifie: 5,8 5,56 avedo approssimato per difetto l estremo iferiore e per eccesso quello superiore al fie di otteere u uovo itervallo tale da coteere totalmete quello origiale. alterativa Per idividuare l itervallo di cofideza della variaza della relativa all itera popolazioe si costruisce ua idoea variabile casuale così defiita:

5 σ Dato che il campioe utilizzato è composto da 16 elemeti e che la variabile casuale ha distribuzioe ormale si può affermare che la variabile casuale ha distribuzioe di tipo modificata di chi quadro co 15 gradi di libertà. i idividuao quidi i due quatili della modificata di chi quadro relativi alle probabilità 0,05 e 0,975 che, per 15 gradi di libertà, risultao essere: c if 0,417 ; c sup 1,83 Da questi valori si idividuao gli estremi dell itervallo di cofideza cercato mediate la: c sup c if ostituedo ella espressioe sopra riportata i valori della variaza campioaria corretta, dei quatili della modificata di chi quadro e dei gradi di libertà si ottiee: 10,67 5,830 1,83 5,588 0,417 Voledo ridurre il umero di cifre decimali degli estremi dell itervallo si ottiee ifie: 5,83 5,59 avedo approssimato per difetto l estremo iferiore e per eccesso quello superiore al fie di otteere u uovo itervallo tale da coteere totalmete quello origiale.