Problemi sui test di ipotesi per la varianza
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- Lazzaro Micheli
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1 Problemi sui test di ipotesi per la variaza Problema V1 Cotrolli periodii sulla produzioe di odesatori hao permesso al ostruttore di defiire ua variabile asuale X (he assume valore pari alla apaità di iasu odesatore misurata i pf alla frequeza di 1 khz) he, storiamete, mostra ua deviazioe stadard 4. U ampioe di 35 elemeti mostra ua deviazioe aumetata: 3 e i si hiede se tale aumeto è aidetale (ampioe sfortuato ) oppure se è il sitomo di u difetto iterveuto el proesso produttivo. L esame viee odotto o ua fiduia del 98% H : 4 α % Per odurre il test si ostruise ua idoea variabile asuale osì defiita: ( ) 1 La variabile sopra defiita ha distribuzioe di tipo "hi quadro" o -1 gradi di libertà Per la forma della ipotesi priipale H : il test da odurre è di tipo uilaterale (rifiuto ella oda superiore) e, dato he 35, ella determiazioe del valore ritio si usa ua "hi quadro" o 34 gradi di libertà. Dalle tabelle si ottiee il valore ritio: 5,995 x e la regioe di rifiuto per la H è 5, 995 > x Dai dati otteuti misurado gli elemeti del ampioe si ottiee
2 3 1 4 ( ) x 34 53,15 > x Dato he il valore di del ampioe è ella regioe di rifiuto si è autorizzati a rifiutare l ipotesi priipale o la fiduia rihiesta: l aumeto della deviazioe stadard rilevato el ampioe o è u fatto aidetale, ma sistematio e provoato da u aumeto della dispersioe del prodotto. Problema V Cotrolli periodii sulla produzioe hao permesso ad u ostruttore di resistori di defiire ua variabile asuale X (he assume valore pari alla resisteza i otiua di iasu resistore misurata i Ω alla temperatura di 5 C) he, storiamete, mostra ua deviazioe stadard 3, : u uovo proesso produttivo, itrodotto di reete dal ostruttore, potrebbe aver ridotto la dispersioe del prodotto. Per verifiare se tale risultato è stato effettivamete otteuto si preparao 3 prototipi e o questi si ostituise u ampioe: la deviazioe stadard ampioaria orretta he viee alolata i base ai valori del ampioe preseta effettivamete u valore ridotto a,5 ma i si hiede se tale riduzioe sia stata aidetale oppure se è sistematia (solamete el seodo aso il uovo proesso è effettivamete utile). Il test viee odotto ella speraza he il uovo proesso produttivo sia utile pertato si seglie ome ipotesi priipale quella he la deviazioe stadard per l'itera popolazioe sia rimasta quella del proesso origiale. L esame viee odotto o ua fiduia del 95% H : 3 α 5% Per odurre il test si ostruise ua idoea variabile asuale osì defiita: ( ) 1 La variabile sopra defiita ha distribuzioe di tipo "hi quadro" o -1 gradi di libertà Per la forma della ipotesi priipale H : > il test da odurre è di tipo uilaterale (rifiuto ella oda iferiore) e, dato he 3, ella determiazioe del valore ritio si usa ua "hi quadro" o 9 gradi di libertà. Dalle tabelle si ottiee il valore ritio: 17,78 x
3 e la regioe di rifiuto per la H è < x 17, 78 Dai dati otteuti misurado gli elemeti del ampioe si ottiee s,5 1 ( ) 9,139 > x 3, Dato he o è possibile rifiutare l ipotesi H il beefiio del uovo proesso o è provato e si deve riteere he il buo valore mostrato dal ampioe possa essere dovuto ad u fatto aidetale. Problema V3 Nell'ambito di ua popolazioe (ifiita) di pile viee defiita ua variabile asuale X he assume, per iasu elemeto della popolazioe, valore uguale a quello della tesioe a vuoto prodotta dalla pila e misurata i volt. U ampioe di 15 pile mostra u valore s della variaza ampioaria orretta pari a: s,8 i vuole odurre u test o α 1% relativamete all ipotesi he la variaza relativa all'itera popolazioe sia di,9. Lo sopo del test può essere duplie: aso 1: aso : si può erare di poter affermare he la popolazioe da ui è stato estratto il ampioe ha ua variaza he supera il valore di,9 (questo è il puto di vista di u poteziale aquirete he vuole autelarsi otro l aquisto di u prodotto di sarsa uiformità) si può erare di poter affermare he la popolazioe da ui è stato estratto il ampioe ha ua variaza he o supera il valore di,9 (questo è il puto di vista di u veditore he vuole dimostrare ad u poteziale aquirete la buoa uiformità del prodotto he viee proposto per l aquisto )
4 Nei due asi l ipotesi priipale H deve essere formulata i modo diverso. aso 1: H :,9 α 1% aso : H :,9 α 1% La diversa formulazioe dell ipotesi priipale è motivata dalle segueti osiderazioi: se el aso 1. risulta possibile rifiutare H o fiduia pari a 1-α allora, dato he o è sosteibile he la variaza della X per tutta la popolazioe sia miore del valore ipotizzato, o la stessa fiduia si olude he la variaza della X per tutta la popolazioe è maggiore di vieversa, se el aso. risulta possibile rifiutare H o fiduia pari a 1-α allora, dato he o è sosteibile he la variaza della X per tutta la popolazioe sia maggiore del valore ipotizzato, o la stessa fiduia si olude he la variaza della X per tutta la popolazioe è miore di Voledo odurre il test o la variabile C modifiata si opera ome segue: Prelimiarmete si ostruise ua idoea variabile asuale osì defiita: C La variabile sopra defiita ha distribuzioe di tipo "C modifiata di hi quadro" o -1 gradi di libertà. aso 1. Per la forma della ipotesi priipale H : < il test da odurre è di tipo uilaterale (rifiuto ella oda superiore) e, dato he il ampioe è omposto da 15 pile ( 15), ella determiazioe del valore ritio si usa la " C " o 14 gradi di libertà. Dalle tabelle si ottiee il valore ritio: 1,5 e la regioe di rifiuto per la H è C 1, 5 > Dai dati del ampioe si alola il valore della variabile C modifiata:,8 C,9 <,9 Il valore della variabile C alolato i base ai dati del ampioe risulta estero alla regioe di rifiuto dell ipotesi priipale H he o può essere rifiutata. aso. Per la forma della ipotesi priipale H : > il test da odurre è di tipo uilaterale (rifiuto ella oda iferiore) e, dato he il ampioe è omposto da 15 pile ( 15), ella determiazioe del valore ritio si usa la " C " o 14 gradi di libertà.
5 Dalle tabelle si ottiee il valore ritio:,556 e la regioe di rifiuto per la H è C, 556 < Dai dati del ampioe si alola il valore della variabile C modifiata:,8 C,9 >,9 Il valore della variabile C alolato i base ai dati del ampioe risulta estero alla regioe di rifiuto dell ipotesi priipale H he o può essere rifiutata. Come si può failmete otare, il voler sosteere he la variaza della X per l'itera popolazioe è maggiore o miore dello stesso valore omporta due be diversi valori ritii per lo stimatore variaza ampioaria orretta. Nota: itediamo o valore ritio della variaza ampioaria orretta quel valore he rede il valore della variabile C alolato i base ai dati del ampioe uguale al suo valore ritio : s s Nel aso 1 la variaza ampioaria orretta ha u valore ritio s,135 metre el aso il suo valore ritio diviee s,5.
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