PROVA SCRITTA DI STATISTICA CLEA-CLEFIN-CLELI (COD e 4038) 15 gennaio 2003

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1 PROVA SCRITTA DI STATISTICA CLEA-CLEFIN-CLELI (COD e 408) 5 geaio 00 SOLUZIONI Il uovo direttore di ua Baca di Credito Cooperativo si trova ad affrotare ua verteza di tipo sidacale che riguarda la presuta discrimiazioe reddituale dei lavoratori. La direzioe della Baca, dotata di u agezia cetrale e alcue periferiche, decide di discutere la questioe co le orgaizzazioi sidacali sulla base di u campioe casuale di dati ammiistrativi corrispodeti a 5 dipedeti. I dati soo riportati ella tabella seguete: L Livello di studi del dipedete all etrata i servizio R Stipedio lordo auo i migliaia di euro S Sesso del dipedete CA Collocazioe agezia I Iquadrameto del dipedete (livelli da I a V) L R S CA I laurea 0 M Cetrale III media superiore 0 M Cetrale IV media superiore 5 F Periferica I laurea 5 F Periferica IV media iferiore 0 M Cetrale V media iferiore 8 F Periferica IV laurea 0 M Periferica IV media iferiore 8 M Cetrale III media superiore 8 M Periferica II media iferiore 5 F Periferica II media superiore 0 F Cetrale III media iferiore 8 F Cetrale IV laurea 5 M Cetrale V laurea 5 M Periferica IV media iferiore 5 F Cetrale II. ( puti) Si dica, per ciascua delle variabili cosiderate, quali strumeti è possibile utilizzare L R S CA I Mediaa X X X Grafico ad aste X Coefficiete di variazioe X Moda X X X X X

2 . ( puto) Si forisca ua rappresetazioe grafica della variabile CA. Cetrale Periferica. ( puti) Si cofroti la variabilità delle distribuzioi degli stipedi tra dipedeti maschi e femmie. Per effettuare il cofroto richiesto, determiiamo le distribuzioi degli stipedi dei dipedeti maschi e degli stipedi delle femmie e calcoliamo, per ciascua di esse, il coefficiete di variazioe. La distribuzioe degli stipedi tra i maschi è la seguete: 8 /8 (R SM): 0 4 /8 5 /8 La distribuzioe degli stipedi tra le femmie è ivece 5 / 7 8 / 7 (R SF): 0 /7 5 /7 Si ha: M(R SM)0.75; M(R SF)8; VAR(R SM)6.6875; VAR(R SF) Quidi CV ( R S M ) e CV ( R S F) , per cui è maggiore la variabilità degli stipedi tra le femmie. 4. (4 puti) Si costruisca la tabella a doppia etrata di R e L. Si stabilisca se vi è idipedeza tra i due caratteri. Si costruisca quidi ua tabella di massima coessioe teedo fissa la margiale del carattere R.

3 La tabella a doppia etrata di R ed L è la seguete: R\L M.I. M.S. L. 5 /5 /5 0 8 /5 /5 0 0 /5 /5 / /5 No vi è idipedeza tra R ed L i quato o tutte le frequeze relative cogiute soo uguali ai prodotti delle corrispodeti margiali (lo si verifica immediatamete otado che vi soo frequeze cogiute ulle). Ua tabella di massima coessioe co la stessa distribuzioe margiale di R di quella sopra è R\L M.I. M.S. L 5 / / /5 5 / ( puti) x Sia X ua variabile aleatoria co desità f ( x) 0 a. Si calcoli X<0). b. Si calcoli il valore atteso di Y. c. Si calcoli lo scarto quadratico medio di Y. x e sia YX-6. altrove 0 0 P ( x dx. a. X < 0) f ( x) dx b. E ( Y ) E(X 6) E( X ) 6 x x dx c σ ( Y) Var( Y ) 9Var( X ) Var( X ) E( X ) E( X ) 4 x dx 0 7. ( puti) Siao A e B due eveti stocasticamete idipedeti tali che P ( A 0. 7 e P ( 0.6. Si determii.

4 Poiché A e B soo idipedeti, possiamo scrivere P ( A A [ ] A e, quidi, P ( (8 puti) U produttore di automobili dichiara che la velocità massima media µ di u determiato modello di automobile è o iferiore a 80 Km/h. Voledo verificare questa affermazioe, viee rilevata la velocità massima su u campioe di 60 auto; si ottiee la realizzazioe campioaria x, x,..., ) co x 090 e ( x60 x i a) Si forisca ua stima putuale, otteuta da uo stimatore o distorto, per la media icogita µ della velocità massima. b) Si forisca ua stima putuale, otteuta da uo stimatore o distorto, per la variaza icogita della velocità massima. c) Si scriva la regioe di rifiuto, di dimesioe (approssimata) α 0. 05, per verificare l ipotesi ulla H 0 : µ 80 cotro H : µ > 80. d) Sulla base della realizzazioe del campioe otteuta, si decida se rifiutare oppure o l ipotesi ulla. e) Si costruisca l itervallo di cofideza per µ di coefficiete di cofideza (approssimato) a) Uo stimatore o distorto di µ è la media campioaria, per cui ua stima 090 putuale di µ è xi x b) Uo stimatore o distorto della variaza σ è la variaza campioaria corretta, per cui ua stima di σ è xi s c s x c) Poiché la variaza della popolazioe è icogita e la umerosità del campioe è sufficietemete elevata, ua regioe di rifiuto di dimesioe approssimata 0.05 per verificare l ipotesi cosiderata è x 80 R ( x,..., x60) : s c / 60 x d) Essedo.068 <. 645, o si rifiuta s c / / l ipotesi ulla. i

5 e) L itervallo richiesto è x z α sc, x + z α s c , (4 puti) ( ,86.85) a) Si forisca la defiizioe di stimatore cosistete (i seso forte o, equivaletemete, i media quadratica) per u parametro icogito θ. b) Sia T uo stimatore co E( T ) θ + e Var( T uo stimatore cosistete per θ. 4θ ). Si dica se T è a) Uo stimatore T si dice cosistete i media quadratica per θ se [( T θ ) ] 0 lim + E per ogi θ. [ ] 0 lim b) Poiché ( T θ ) + lim + lim E vale se e solo se E ( T ) θ e + Var ( T ) 0, lo stimatore cosiderato è cosistete per θ.