Correzione Esercitazione 6

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1 Correzioe Esercitazioe 6 Esercizio. Poiché vogliamo usare il test del rapporto di verosimigliaza per u ipotesi ulla semplice, dobbiamo calcolare Λ(x) L(θ 0 x) supl(θ x) quidi al umeratore ci basta sostituire θ θ 0 ella fuzioe di verosimigliaza, metre per ricavare il deomiatore dobbiamo determiare la stima di massima verosimigliaza. Deriviamo quidi la fuzioe di log-verosimigliaza e studiamoe i puti critici. Troviamo che θ ll(θ x) θ x che si aulla per θ x, è crescete per θ < x e decrescete per θ > x. Quidi il sup di L(θ x) è x e per x > θ 0 e θ 0 e θ x per x < θ 0. Sostituiamo ell espressioe di Λ(x) e troviamo θ0 e θ 0 x x Λ(x) e x θ 0 θ0 e θ 0 x x e x θ 0 x < θ 0 x < θ 0 Per ricavare la regioe critica del test ci serve capire l adameto del rapporto di verosimigliaza. Deriviamo quidi rispetto a x e si ottiee: x Λ(x) x e θ 0 x (θ 0 x) che è positivo per 0 < x < θ 0, quidi λx è o decrescete. Da questo deduciamo che la regioe critica è della forma

2 { ω x } x i c dove per determiare c dobbiamo imporre P( x i c θ θ 0 ) α sapedo che Y X i ha distribuzioe Γ(, θ 0 ). Quidi c sarà il valore tale che c θ0 Γ() y e θ0y dy α. 0 Esercizio. Per usare il test del rapporto di verosimigliaza co ipotesi ulla semplice ci serve cooscere il sup. Calcoliamo quidi il logaritmo della fuzioe di verosimigliaza per la distribuzioe di Poisso e otteiamo ll(θ x) θ + x i lθ l x i! quidi derivado e cercado i puti critici si trova θ + θ che si aulla per ˆθ x. Osserviamo che la derivata secoda è sempre egativa, quidi abbiamo trovato proprio u puto di massimo. Cosiderazo quidi il rapporto di verosimigliaza troviamo che la regioe critica deve essere della forma ω {x Λ(x) c} dove co Λ(x) stiamo idicado lλ(x), che coverge a ua variabile co distribuzioe Chi e p dimθ [ gradi di ( libertà. x Nel ostro caso p e Λ(x) θ 0 x + xl θ 0 )], quidi la regioe { critica [ assume la forma ( )] } x ω x θ 0 x + xl χ (α) θ 0

3 Esercizio 3.. Per determiare gli stimatori di massima verosimigliaza dei parametri della distribuzioe Pareto, iiziamo co il calcolo del laritmo della fuzioe di verosimigliaza: ll(θ, v x) l θv θ x θ+ I (θ,+ ) (x i ) i lθ + θlv + (θ + ) ( ) l x i v mix i v > mix i Per quato riguarda v MLE ˆv, osserviamo che l è ua fuzioe crescete, quidi ll(θ, v x) assume valore massimo quado v è massimo, cioè per v x (). Per ricavare θ MLE ˆθ, ivece, sostituiamo ˆv e deriviamo ll(θ, ˆv x) θ ll(θ, v x) θ + lx () l x i che si aulla quado ˆθ ), ( l x () valore per cui si raggiuge il massimo, visto che la derivata secoda è sempre egativa.. Per le ipotesi assegate, abbiamo che exp { l + lx () l } x i Λ(x) exp l ) + )lx () l( l( ) + l x i l( x x () x () () ( ) deotiamo co il valore l x e proseguiamo co il calcolo () 3

4 ( x () ( x i ) ) [x () ] ( x i ) ( e ) e ( ) + e Osserviamo ora che lλ(x) quidi Λ(x) è crescete per e decrescete per >. Quidi la regioe critica sarà della forma ω {x Λ(x) c Λ(x) c }. Esercizio 4.. Si tratta di fare u test sulla proporzioe della popolazioe, quidi le ipotesi sarao H 0 : p 0.5 H : p < 0.5. Usiamo il teorema di Karli-Rubi. Si ha che la regioe critica è della{ forma ω x } x i k. Determiiamo k impoedo P( x i k p 0.5) Poiché 80, la umerosità campioaria è abbastaza elevata da poter usare il Teorema del Limite Cetrale, quidi Y x i ha distribuzioe N(40, 0). trova { la regioe critica } 0.5 ω x ˆp {x ˆp }. 80 Svolgedo i calcoli si 4

5 Poiché el ostro caso ˆp > , o siamo ella regioe critica e accettiamo H Calcoliamo il p-value approssimato sfruttado il TLC. Si ottiee: P( X p 0.5) P(Z ) i accordo co i calcoli svolti al puto precedete. Esercizio 5.. Per rispodere alla domada posta dal testo, le ipotesi più idicate soo le segueti H 0 : ˆp ˆq H : ˆp ˆq Per trovare la regioe critica del test troveremo il complemetare dell itervallo di cofideza co lo stesso α. Iazitutto otiamo che le variabili X e Y hao distribuzioe di Beroulli co parametri p e q rispettivamete. Allora per il TLC sappiamo che le loro medie X e Ȳ hao distribuzioi ormali co medie p e q e variaze p( p) e q( q) rispettivamete. Deduciamo quidi la distribuzioe ( della statistica ) test X Ȳ (p q) p( p) q( q) N p q, + p( p) + q( q) e l itervallo di cofideza ˆp( ˆp) ˆq( ˆq) ˆp( ˆp) ˆp ˆq z α + < p q < ˆp ˆq+z α + La regioe critica del test quidi sarà data dai valori per cui ˆq( ˆq) 5

6 ˆp( ˆp) ˆq( ˆq) ˆp ˆq z α +. Sostituedo i valori foriti dal testo si trova che rifiutiamo H 0 per ˆp ˆq 0.8 > 0.98, quidi el ostro caso si accetta l ipotesi ulla.. Per calcolare il p-value dobbiamo calcolare la probabilità P( X Ȳ 0.8 ˆp ˆq) che, stadardizzado, diveta P( Z >.84) ( P(Z <.84)) i accordo co la decisioe presa al puto precedete. 3. Per capire se A è u trattameto più efficiete di B dobbiamo testare le ipotesi H 0 : ˆp ˆq H : ˆp < ˆq ˆp( ˆp) e rifiutiamo H 0 se ˆp ˆq < z α + ˆq( ˆq). Sostituedo e svolgedo i calcoli si trova che si rifiuta H 0 se 0.8 < 0.605, quidi uovamete accettiamo H 0. Esercizio 6. Le ipotesi che vogliamo testare soo H 0 : θ 00 H : θ > 00 Per il{ teorema di Karli-Rubi, la regioe critica è data da ω x } x i k 6

7 dove k si determia come il valore tale che P( X k θ 00) Nel ostro caso quidi si trova k , da cofrotare co x 0 96, che ci porta quidi ad accettare l ipotesi ulla. Osserviamo che calcolado il p-value come P( X 0.96 θ 00) 0.894, si può cocludere che avremmo accettato per tutti i valori di α più comuemete usati. 7