Corsi di laurea in fisica ed astronomia Prova scritta di Analisi Matematica 2. Padova,

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1 Corsi di laurea i fisica ed astroomia Prova scritta di Aalisi Matematica Padova, Si svolgao i segueti esercizi facedo attezioe a giustificare le risposte. Delle affermazioi o motivate e giustificate o si terrà coto ella valutazioe. No è cosetito l uso di alcu dispositivo elettroico, di apputi o di libri.. Data la curva = cos 3 t, se t ), t [0, π] i ) si dica se la curva è semplice e i quali puti o è regolare; ii ) si calcoli il versore tagete, ove possibile, e ei puti di o regolarità si calcolio i iti, da destra e da siistra, del versore tagete; iii ) si disegi approssimativamete il sostego di γ co particolare attezioe attoro ai puti i cui γ o è regolare.. Si studi, al variare del parametro α R, la serie di fuzioi defiite per > 0 3. Dato il campo di vettori F, y) = + = arctg ) α + α. ) y ) y ), y) y ) si dica qual è il domiio massimale el quale è defiito F, quate e quali soo le sue compoeti coesse e se il campo i tali compoeti è coservativo. Evetualmete se e trovio i poteziali. Dopodiché si calcoli l itegrale F d + F dy) lugo la curva γ orietata da 0, 0) a, ) defiita da { } γ =, y) R se π/) y =, 0 + ) cos 4. Si dica se se esistoo il massimo e il miimo della fuzioe { y log y + ) ) se y > 0 f, y) = 0 se y = 0 defiita ell isieme ed evetualmete li si trovi. E = {, y) R 0 y, } + γ

2 Soluzioe della traccia del Se la secoda compoete di γ soddisfa γ t) = γ s) si ha che sia t [0, π/) oppure t [π, 3π/) ed i etrambi i casi e s = π t. Ma i etrambi i casi o si può avere che la prima compoete soddisfa γ t) = γ s), per cui la curva risulta semplice. Calcolado la derivata prima si ha γ t) = 3 cos t se t, cos t ) per cui eguagliado etrambe le compoeti di γ a zero si ottegoo i due puti t = π, t = 3π. Calcoliamo il versore tagete per t diverso da questi due valori: Calcoliamo: γ t) = 9 cos 4 t se t + cos t = cos t 9 cos t se t +. γ t). Valutiamo il ite della prima compoete: γ t) γ t) = = 3 cos t se t cos t 9 cos t se t + = 3 cos t se t 9 cos t se t + = 0 = t π + Per quato riguarda la secoda compoete ivece: I coclusioe: Aalogamete t π + t 3π Il sostego della curva è γ t) γ t) = γ t) γ t) = γ t) γ t) cos t cos t 9 cos t se t + =, γ t) γ t). cos t cos t 9 cos t se t + =. = 0, ), t π + = 0, ), t 3π + γ = 0, ). t) γ = 0, ). t)

3 0 0 co delle cuspidi a tagete verticale i corrispodeza dei puti di o regolarità.. Si osservi che, detta f la fuzioe arctg ) α +, poiché si ha che α + f ) =, α + α dal criterio del cofroto si deduce che la serie coverge i 0, + ) per ogi α >. Per quato riguarda la coverge uiforme si ha che Ifatti f o coverge uiformemete a zero i 0, + ). sup f ) = +. 0,+ ) Di cosegueza la serie f o può covergere uiformemete i 0, + ). Si ha però che la serie coverge uiformemete i [δ, + ) per ogi δ > 0. Ifatti essedo decresceti etrambe le fuzioi si ha che sup f ) = sup [δ,+ ) [δ,+ ) arctg ), α + α, = arctg δ arctg ) sup [δ,+ ) ) α + δ α δ α + α = α + δ α. Di cosegueza vi è covergeza totale, e quidi ache uiforme, i ogi itervallo [δ, + ) per ogi δ > 0, solo per α > ovviamete. 3. Il campo è defiito per tutti i puti di R che soddisfao y ) 0,

4 cioè elle tre regioi D = {, y) R y > + }, D = {, y) R < y < + }, D 3 = {, y) R y < }, tutte e tre semplicemete coesse. Si verifica facilmete che F y = F quidi il campo è coservativo i ogua delle tre regioi D i, i =,, 3. Per calcolare l itegrale si osservi che la curva è iteramete coteuta i D : ifatti i puti 0, 0) e, ) appartegoo a D e ioltre etrambe le compoeti della seguete parametrizzazioe di γ t t, se π/) + ) cos ), t [0, ], soo cresceti. Poiché il campo è coservativo l itegrale lugo γ è uguale all itegrale lugo η, per ogi altra curva η che abbia il sostego coteuto i D e che uisca i puti 0, 0) e, ), orietata allo stesso modo di γ. Scegliedo ηt) = t, t), t [0, ] si può scrivere F d + F dy) = F d + F dy) = 0. γ η Alterativamete si può trovare il poteziale, che risulta f i, y) = log y ) + c i, i =,, 3, ella regioe D i, dopodiché valutare f il poteziale della regioe D ) f, ) f 0, 0) = L isieme E, rappresetato i figura, risulta chiuso e itato, cioè compatto. Per assicurarsi che il problema ammetta soluzioe bisoga verificare che la fuzioe sia cotiua. Ricordiamo che t 0 tα log t = 0 per qualuque α > 0. +

5 y Si fissi ora u puto o, 0) co o [, ]. Si ha, y) o, 0), y) E f, y) =, y) o, 0) y > 0 [ + y + ) log y + ) )] = 0 e di cosegueza la fuzioe f risulta cotiua el suo domiio. Il problema ammette soluzioe. All itero di E la fuzioe è C, per cui svolgedo le derivate si ottiee il sistema f, y) = y log y + ) ) + y + = 0 f y, y) = log y + ) ) + = 0. Dalla secoda equazioe si ricava che = 0 oppure log y + ) ) = y + ) = e. Se = 0 dalla prima equazioe si ricava che y =. Se ivece y + ) = e dalla prima equazioe si ricava 0 = y + [ ] y + = y + che è soddisfatto siamo all itero di E!) per + = =. I coclusioe si hao i tre puti stazioari 0, ),, ), e, ) e che risultao tutti iteri ad E, per cui possibili cadidati. Adiamo a verificare quello che succede al bordo. I ua parte del bordo la fuzioe è costatemete ulla. Vediamo di aalizzare cosa succede ei due tratti che possiamo parametrizzare semplicemete fissado la variabile. Se = si ha f, y) = y log5y).

6 Aullado la derivata si ottiee y = 5e. Per cui, per ora, sul bordo si hao i due segueti cadidati il secodo si trova i maiera aaloga al primo):, ),, ) 5e 5e e tutti i puti, 0) del domiio, sui quali la fuzioe è costate. Vediamo l ultima parte del bordo. Ache qui la fuzioe è costatemete ulla: ifatti ) f, + = ) + log + + ) = 0. I coclusioe: f f, 0) = 0, ), + = 0, f0, ) = 0, f, ) = e e, f, ) = e e, f, ) = 5e 5e, f, ) = 5e 5e. Di cosegueza il miimo è e assuto i, e) e il massimo è e, e). assuto i