QUESITO 1. Indicata con x la distanza della base superiore del cilindro dal vertice del cono si ha:

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1 Scuole italiae all estero (Caledario australe) 005 QUESITO Prova che fra tutti i cilidri iscritti i u coo circolare retto ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte di quella del coo. Idicata co la distaza della base superiore del cilidro dal vertice del coo si ha: V(cilidro) = πr h = π FG (h ) Troviamo FG, raggio del cilidro, i fuzioe di (r = raggio coo = a ): r AH: FG = VH: VF, r: FG = h:, FG = h Quidi: r V(cilidro) = π ( h ) π r (h ) = h (h ) Tale volume è massimo se lo è: y = (h ), co 0 h Il problema è di facile soluzioe co l uso delle derivate, propoiamo u metodo elemetare. Ricordiamo che se a + b = costate il prodotto di due poteze di a e b è massimo quado le basi soo proporzioali agli espoeti. Nel ostro caso: a= e b=h-. Quidi (h ) è massimo se: = h, = h, = h. Per tale valore di l altezza del cilidro è: h = h. Il cilidro di volume massimo è quidi quello la cui altezza è u terzo dell altezza del coo. / 5

2 QUESITO S idica la somma di termii i progressioe geometrica, di primo termie / e ragioe /. Calcola lim S. Risulta: S = = a q q = ( ) S lim = lim [ ( ) ] = lim = 0 = [ ( ) ] QUESITO Ua piramide ha la base quadrata e l altezza uguale a 0cm. Quati piai paralleli alla base dividoo la piramide i due parti i cui volumi soo el rapporto 7:? Quali soo le distaze di tali piai dal vertice della piramide? Idicata co la distaza dal vertice della piramide del piao parallelo alla base, per ua ota proprietà delle piramidi si ha: Area(ABCD): Area(EFGH) = 0 :, Area(EFGH) = Area(ABCD) 00 Detto V il volume della piramide di base EFGH e vertice V e V il volume della piramide di base ABCD e vertice V, deve essere: Nel primo caso si ha: V = 0 V oppure V = 7 0 V V = Area(EFGH) = 0 ( Area(ABCD) 0) da cui: Area(ABCD) = Area(ABCD), Nel secodo caso si ha: = 00 = 00 V = Area(EFGH) = 7 0 ( Area(ABCD) 0) da cui: Area(ABCD) 00 = 7 Area(ABCD), = 700 = 700 cm cm 00 / 5

3 QUESITO 4 Cosidera la cubica y = e illustra le variazioi che itervegoo el suo grafico per l aggiuta ad di u termie k al variare di k ell isieme dei umeri reali. La cubica y = ha il grafico seguete: Aalizziamo la fuzioe y = g() = + k. Essedo y = + k e y = 6 il grafico di g avrà, per ogi k, u flesso i (0; 0) e la cocavità verso l alto se >0 e verso il basso se <0. Dipederà ivece dal sego di k la preseza di massimi e miimi relativi. I particolare: Se k>0: y > 0 per ogi k, quidi la fuzioe è sempre crescete; il grafico di f si modifica solo per la tagete iflessioale. Se k<0: y > 0 se < k vel > k ; quidi abbiamo u massimo relativo per = k ed u miimo relativo per = k. Notiamo ifie che risulta + k = ( + k) = 0 se: per k>0 solo per =0, se k<0 per =0 e per = ± k. Ovviamete se k=0 la fuzioe o si modifica. Idichiamo i tre casi possibili graficamete (per semplicità abbiamo posto k= e k=-): / 5

4 QUESITO 5 Due lati di u triagolo misurao a e b. Determia il terzo lato i modo che l area sia massima. Detto l agolo compreso fra i lati di misura a e b, l area del triagolo può essere espressa ella forma: A = ab se Tale espressioe è massima quado è massimo se(), cioè quado se()=, perciò per = π. Il triagolo di area massima è quidi quello rettagolo co cateti a e b. Il terzo lato del triagolo misura a + b. QUESITO 6 Calcola la derivata della fuzioe y = arcta + arcta. Cosa puoi dire della fuzioe? É costate? Illustra il perché della tua risposta. La derivata della fuzioe è: y = ( ) = + + = 0 Siccome la fuzioe è defiita per <0 e >0, possiamo dire che fuzioe è costate a tratti; posto a = arcta e b = arcta abbiamo: = ta a, = ta b quidi: ta a = = cota b = ta ta b (π b), pertato: a = π b + kπ, a + b = π + kπ. Per >0 risulta a = arcta > 0 e b = arcta > 0, quidi a+b>0, perciò: Se > 0 arcta + arcta = π. Per <0 risulta a = arcta < 0 e b = arcta < 0, quidi a+b<0, perciò: Se > 0 arcta + arcta = π π = π. 4/ 5

5 QUESITO 7 Spiega come utilizzeresti il teorema di Carot per trovare la distaza tra due puti accessibili ma separati da u ostacolo. Siao A e B i due puti (etrambi accessibili) separati da u ed idichiamo co la loro distaza. Fissiamo u puto C (accessibile) di cui è possibile misurare la distaza b da A ed a da B. Da C iquadriamo A e B (per esempio co u teodolite) e misuriamo l agolo AB C = γ Per trovare possiamo perciò applicare il teorema del coseo (detto di Carot): = a + b abcos(γ) Ed estraedo la radice quadrata: = a + b abcos(γ). QUESITO 8 Quado ua fuzioe f è ivertibile? Come si può calcolare la derivata della fuzioe iversa f? Fai u esempio. Data ua fuzioe f: A B, essa si dice ivertibile se esiste ua corrispodeza biuivoca fra domiio e codomiio; la fuzioe f : B A, che ha come domiio il codomiio di e f e come codomiio il domiio di f, si dice fuzioe iversa di f. Ua fuzioe strettamete mootoa i u itervallo è ivertibile (o è detto il viceversa). Posto y = f(), la sua fuzioe iversa è = f (y) = g(y). Se f è derivabile i u puto 0 co derivata o ulla, detto y 0 = f( 0 ) si ha: g (y 0 ) = f ( 0 ). Esempio: y = f() = e, = f (y) = g(y) = l(y), 0 = 0, f () = e ; f ( 0 ) = f (0) = ; y 0 = f(0) = ; g (y) = y, g (y 0 ) = = = f ( 0 ) Co la collaborazioe di Agela Satamaria 5/ 5