Corso di ordinamento Liceo della Comunicazione- Sessione ordinaria - a.s

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1 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO LICEO DELLA COMUNICAZIONE Tema di: MATEMATICA a s 9-

2 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9-

3 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- PROBLEMA Puto La parabola di equazioe y ha l asse di simmetria coicidete co l asse delle ordiate, vertice i (,) y a Puto La retta V e fuoco di coordiate F, cioè F, e direttrice di equazioe a y iterseca l asse delle ordiate i C (,) Le ascisse dei puti A e B si calcolao risolvedo il seguete sistema L area di S è pari a y y A : y B : y pari ( ) [ ( )] Itegrado d A( S) ( ) A S d Alterativamete, applicado il teorema di Archimede, l area del segmeto parabolico è pari ai dell area del rettagolo circoscritto; il rettagolo circoscritto ha area pari a AB VC, per cui il segmeto parabolico avrà area Sia y k ua geerica retta parallela all asse delle ascisse che iterseca il segmeto parabolico ei co < k < e che suddivide il segmeto parabolico i S ed S puti H( k, k), K( k, k) Si cosideri la figura sottostate

4 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- Sia D (,k) l itersezioe della retta y k co l asse delle ordiate L area di S, applicado il k teorema di Archimede è pari a A( S ) VD HK ( ) k ( k ) Allo stesso modo per via itegrale si ha k ( ) [ ( )] Itegrado k pari k d A( S) [ k( ) ] A S k k ( k) ( k) Impoedo ( S ) ( ) k A S A otteiamo ( k) k d ( k ) ( k) ( k) k Puto Il volume richiesto per il teorema di Guldio è pari a: [ ( ) ] Itegrado pari d V ( ) V Puto ( k) k ( k) d L itegrale richiesto è pari a d [ arcta( ) ] cerchio di raggio uitario che coicide co l area di u quarto di

5 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- PROBLEMA Puto La retta AB ha coefficiete agolare B (, k) ha equazioe y k ( ) y ( ) k m k m per cui la perpedicolare alla retta AB passate per k Itersecado la retta di equazioe y k Puto ( ) k co la retta k otteiamo il luogo y ( ) Studiamo la fuzioe y Domiio: (,) (, ) ; Itersezioe asse ascisse: o ve e soo i quato ( ) 7> R Itersezioe asse ordiate: o ve e soo perché o appartiee al domiio Positività: N : > R D : > > y > > - - Asitoti verticali:, verticale; per cui è asitoto Asitoti orizzotali: ± per cui o esistoo asitoti orizzotali; ± Asitoti obliqui: trattadosi di fuzioe razioale fratta co grado del umeratore pari al grado del deomiatore più, l asseza dell asitoto orizzotale implica la preseza di quello obliquo; esso ha equazioe y m q co m q ± ± ( ) f ±, [ f( ) m] ± ± quidi l asitoto obliquo ha equazioe y ;

6 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- Cresceza e decresceza: la derivata prima è quadro dei segi è rappresetato a lato; ( ) ( ) y' il cui N : D : > < > R > < { } > > Quidi la fuzioe è strettamete crescete i ( ) (, ) decrescete i (,) (, ) M(, ) ed u miimo relativo i m (, ) ;, e strettamete e preseta u massimo relativo el puto Cocavità e covessità: la derivata secoda è y '' per cui la fuzioe preseta cocavità verso l alto i (, ) e verso il basso i (,) Il grafico è di seguito presetato: - massimo miimo ; o esistoo flessi Alterativamete avremmo potuto trovare il grafico a partire dalla seguete cosiderazioe: la fuzioe y può essere scritta come y ( ) ua iperbole cetro (, ) da cui deduciamo che il grafico è, di asitoto verticale ed asitoto obliquo y

7 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- Puto Il puto ad ascissa uitaria è (,7) P ; la derivata prima i vale y '( ) 7 la tagete alla fuzioe el puto P (,7) ha equazioe 7 ( ) 77 Puto L area da calcolare è rappresetata i grigio ella figura seguete: y, per cui L area richiesta è pari all area del triagolo ABC cui va sottratta l area S L area del triagolo ABC è pari a ( ABC) ( ) A S 7 d 9 d ( 9 ) l 9 l ( ) l 7 A S A ABC A S I coclusioe ( ) ( ) ( ) l l AB AC 7 A metre 7

8 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- QUESTIONARIO Quesito U geerico poliomio p ( ) di grado può essere scritto el seguete modo: p ( ) a a a a a co a i R, i,,, Calcoliamo le derivate prima, secoda e così via sio all -esima: p' p'' p'' p ( ) a ( ) a a a ( ) ( ) a ( ) ( ) a '( ) ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a! a Quesito Cosideriamo la figura a lato rappresetate la geometria del problema Poiché la retta PB è ortogoale al piao del triagolo, essa è ortogoale a tutte le rette del piao passati per B, quidi è ortogoale a BA e BC, da cui deduciamo che i triagoli PBC e PBA soo etrambi rettagoli i B Ci resta da dimostrare che ache PAC è rettagolo; i particolare vogliamo dimostrare che PAC è rettagolo i A Ciò è vero se, applicado il teorema di Pitagora, si ha PC PA AC a Applicado il teorema di Pitagora ai triagoli PBA, PBC ed ABC otteiamo: PB PC BC PA PB AB AB BC AC ( ) ( ) ( ) Sostituedo le espressioi ( ) e ( ) i ( ) si ha: ( PA AB ) ( AB AC ) PA AC PC PB BC cioè il triagolo PAC è rettagolo i A Quesito La pedeza della retta tagete i a ua fuzioe f ( ) è la derivata prima di f ( ) Nel caso i esame la derivata prima di ( ) f e è f '( ) e, per cui impoedo f '( ) e si

9 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- ricava e l l l I corrispodeza di l si ha l l e f Quidi la fuzioe ( ) e co pedeza pari a Quesito Effettuiamo il cambio di variabile y ; se y, per cui si y si y y f ha tagete i l, si y i cui si è sfruttato il ite otevole y y Quesito Cosideriamo la figura a lato i cui è rappresetato i sezioe u coo di apotema e raggio di base r a cm, altezza h Poiamo CH, < < Il raggio di base per il teorema C a cm di Pitagora misura HB r hr Il volume del coo è V( ) ( ) La massimizzazioe del volume la effettuiamo mediate derivazioe Si ha: V ' V ' V ' ( ) ( ) ( ) > < < ( ) < < < - massimo quidi il volume è strettamete crescete i, e strettamete decrescete i Ioltre V ''( ) A H e V '' < per cui il volume è massimo per B, e 9

10 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- vale [ ] [ ] dm 7 cm 7 V V MAX Ricordado che dm l, il volume massimo i litri è litri, litri 7 MAX V Quesito Il domiio di ( ) ( ) f cos è l isieme degli R che soddisfao la disequazioe ( ) cos, cioè k k co Z k Quesito 7 Affiché la fuzioe ( ) h sia cotiua i deve aversi ( ) ( ) h h Per il caso i esame i iti siistro e destro valgoo rispettivamete: ( ) ( ) ( ) ( ) 9 k k h h Impoedoe l uguagliaza si ha 9 9 k k I la fuzioe è tuttavia o derivabile e preseta u puto agoloso i quato ( ) ( ) ( ) 9 ' ' h h Quesito Ua progressioe aritmetica è ua successioe di umeri tali che la differeza tra ciascu termie e il suo precedete sia ua costate Tale costate viee detta ragioe della progressioe Nel caso i esame i tra umeri,, soo i progressioe aritmetica se Esplicitiamo i sigoli coefficieti biomiali: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!!!!!!!!!!!!!

11 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- Si ha quidi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7) < o acc < o acc 7> acc I coclusioe il valore accettabile è 7 cui corrispodoo i tre valori ,, Quesito 9 Cosideriamo la figura a lato, rappresetate il triagolo ABC co AC, AB,ABˆ C α e cosideriamo i casi corrispodeti ad α ed α α Applicado il teorema dei sei si ha: si AB ( AĈB) ( α) AB si( AĈB) si( α) si ( AĈB) AC si AC Poiché >, u triagolo co AC, AB, ABˆ C o esiste α Applicado acora ua volta il teorema dei sei si ricava

12 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- si AB AC si ( AĈB) ( α) AB si( AĈB) si( α) AC si( AĈB) AĈB arcsi, AĈB arcsi, I tal caso esistoo due triagoli che soddisfao le codizioi AC, AB, ABˆ C Per calcolare la misura del terzo lato si può procedere i due modi distiti: Teorema dei sei: si ha AC si ( α) si( CÂB) si( CÂB) BC AC BC BC AC cos BC ± BC si ( α) si BC AC ( - AĈB) si( - AĈB) [ si( ) cos( AĈB) cos( ) si( AĈB) ] ( AĈB) si( AĈB) ± si ( AĈB) si( AĈB) 9 Teorema di Carot: posto AC AB 9 BC ± 7 AB cos ± 7 BC si ha ( α) ( ± 7)

13 Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- Quesito Aa ha due figli F ed F e sappiamo per certo che almeo uo dei due è femmia Si possoo presetare quidi casi possibili: F maschio ed F femmia F femmia ed F maschio F femmia ed F femmia Ricordado la defiizioe frequetista della probabilità come rapporto tra casi favorevoli sui totali, la probabilità di avere due figlie femmie è pari a p Il quesito può essere risolto alterativamete el seguete modo Idichiamo co X la variabile aleatoria idicate il umero di figlie femmie della sigora Aa e idichiamo co p la probabilità che u figlio sia di sesso femmiile Il quesito ci chiede di calcolare la probabilità che Aa abbia due figlie femmie sapedo che la prima è femmia, cioè ( X X ) P I particolare le probabilità che il umero di figlie femmie sia pari a, o soo: P P P ( X ) ( p), ( X ) p, ( X ) P( X ) P( X ) ( p) p p( p) La probabilità richiestà è quidi P ( X X ) ( X X ) P( X ) ( X ) ( X ) P( X ) p p ( X ) P( X ) p( p) p p P P P P e se assumiamo uguale probabilità per i due sessi si ha ( X X ) p P p Svolgimeto a cura di Nicola De Rosa