APPUNTI ANALISI MATEMATICA SABO

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1 APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA SABO

2 FUNZIONI cocetto: legame tra due (o più) variabili costituito da relazioi matematiche Fuzioe: Razioale: o è sotto radice Algebrica: le operazioi che costituiscoo il legame soo di tipo matematico (+, -,, :) Irrazioale: è sotto radice Trascedete: fuzioe o algebrica itera fratta itera fratta Domiio (Campo di Defiizioe): isieme di tutti i valori attribuibili alla variabile, per ciascuo dei quali esiste il corrispodete valore della y. Codomiio: isieme dei valori y al variare di. Itervallo di ua Fuzioe: (a, b) isieme itato defiito da u estremo iferiore (a) e da u estremo superiore (b) a < b y = f() è defiita i (a, b) se, per ogi valore di itero all'itervallo [ (a, b)], y assume uo ed u solo valore. Itervallo chiuso: [a, b] a b itervallo aperto a siistra: a, b a < b Itervallo aperto: a, b a < < b itervallo aperto a destra: a, b a < b a = a = ilitato iferiormete b = itervalli b = ilitato superiormete ilitati a = b = a = b = ilitato. b. i corrispodeza dell'estremo l'itervallo è aperto. Fuzioe crescete i (a, b) a < b (a, b); (a, b); < f( ) < f( ) Fuzioe decrescete i (a, b) a < b (a, b); (a, b); Estremi di ua Fuzioe: < f( ) > f( )

3 E: isieme o vuoto E E itato superiormete: esiste u valore L tale che L L = estremo superiore E itato iferiormete: esiste u valore l tale che = estremo iferiore E itato: esistoo cotemporaeamete ed L tale che L Massimo: l'estremo superiore appartiee ad E M = ma E (ma = L) Miimo: l'estremo iferiore appartiee ad E m = mi E (mi = ) se ad E appartegoo sia sia L, l'isieme E ha miimo e massimo. D = domiio = estremo iferiore di estremo if. C f() y = f() C = L = estremo superiore di estremo sup. codomiio C f() y = f() è iferiormete e/o superiormete itata i D se è iferiormete e/o superiormete itata i C. Miimo assoluto di f() i D: se esiste il ite iferiore i D e se il suo estremo iferiore l C (valore uico): 0 D f( 0 ) = C Massimo Assoluto di f() i D: se esiste il ite superiore i D e se il suo estremo superiore L C (valore uico): 0 D f( 0 ) = L C dato u puto c si dice "itoro completo del puto c" u qualuque itervallo aperto che cotiee il puto c itoro del puto c: totalità dei puti vicii (poco distati) al puto c. Massimo relativo di f() defiita i (a, b): 0 = massimo relativo di f() se, per H = 0 -, 0 + (itoro di 0 ), risulta: f() f( 0 ) (possibilità di avere più valori) Miimo relativo di f() defiita i (a, b): 0 = miimo relativo di f() se, per H = 0 -, 0 + (itoro di 0 ), risulta: f() f( 0 ) (possibilità di avere più valori)

4 SUCCESSIONI Fuzioi aveti per domiio N 0 e per codomiio R f : a a, a,..., a a = termie -mo (di idice ) della successioe successioe itata superiormete : se esiste u umero reale k tale che a sia k qualuque iferiormete: se esiste u umero reale h tale che a sia h qualuque successioe itata: h a k crescete: a < a + successioe decrescete: a > a + costate: a = a + successioe mootoa: se è sempre crescete o sempre decrescete.

5 Limiti di ua Successioe Successioe Ifiitesima (tedete a zero) se per cocetto ituitivo: a = / a 0 ogi > N si ha: a 0 = 0 e piccolo a piacere è possibile determiare u idice N, dipedete da, tale che per a < - < a < + Esempio: - + = 0 < - < + < cosiderado la diseguagliaza di destra (è lo stesso se si cosidera la siistra) si ha: < < + > - = 0-4 > = > 6666, (N = 6666, ) = - 0, a 0 Successioe Covergete (tedete ad ; 0, R) cocetto ituitivo: a a se per ogi > N si ha: a = 0 0 e piccolo a piacere è possibile determiare u idice N, dipedete da, tale che per a - < - < a < + a (a ) 0

6 Esempio: < = < < > e 0 > = > (N = 79999) 4,9999 a 5 Successioe Divergete (tedete ad ) a) positivamete: a = + cocetto ituitivo: a = a se fissato u valore k, grade a piacere, è possibile determiare u idice N, dipedete da k, tale che per ogi > N si ha: a > k Esempio: k k k k (k ) 0 k k (k ) 4 k = 0 4 > ,50 (N =,50) = a k 9998,50 (N = 9998,50) = ,75 a k 0000 b) egativamete: a = - se fissato u valore k, grade a piacere, è possibile determiare u idice N, dipedete da k, tale che per ogi > N si ha: a < k Esempio:

7 - k - k k k (k ) > -k k k k = 0 > ,50 (N = -0000,50) (-0000) 9999,75 a k ( 0000) - 0,50 (N = 0,50) a k Successioe o regolare (idetermiata) = pari a + a = - = dispari a - successioe che o ammette ite, cioé o covergete é divergete (positivamete o egativamete). Defiizioe del umero e (umero di Nepero) è dato dal ite, per y = +, della fuzioe: e = + =, il umero e è u umero irrazioale compreso tra i valori e.

8 LIMITI DI UNA FUNZIONE REALE y = f() defiita ell'itervallo chiuso [a, b] eccetto al più el puto c itero all'itervallo. Limite fiito di f() per c (c valore fiito) se per ogi = f() = c > 0 e piccolo a piacere, è possibile determiare u umero, dipedete da, tale che per ogi valore compreso ell'itoro -, + ad esclusioe di = c si ha: f() - < - < f() < + Esempio: 4 = 4 [0, 4] ( ) ( - ) < < + [ appartiee all'itoro di estremi (-, + )] = < < +0-4,9999 < <,000 =,9999 f() =,99999 ; =,000 f() = 4,00005

9 Limite ifiito di f() per c (c valore fiito) = f() = c se per ogi M grade a piacere, è possibile determiare u umero, dipedete da M, tale che per ogi valore compreso ell'itoro -, + ad esclusioe di = c si ha: i particolare: Esempio: f() > M f() > M il valore del ite è + f() < - M il valore del ite è - ( - ) = + ( ) - M ( - ) M M M - M M = * 0 0 0,99999 < <,0000 = 0,99999 f() = * 0 ; =,0000 f() = 4 * 0 0

10 Limite fiito di f() per se per ogi = f() = > 0 e piccolo a piacere, è possibile determiare u umero k, dipedete da, tale che per ogi valore di per il quale sia > k si ha: Esempio: f() - < + ( > 0 e molto piccolo) k (k valore molto grade) > k = 0-6 k = 0 6 = 0 7 f() =,000000

11 Limite ifiito di f() per = f() = se, per ogi valore M, si può determiare u umero k, dipedete da M, tale che per ogi per il quale sia > M, si ha: Esempio: f() > M M > 0 (molto grade) > k < -k ; > k M - > M < - M ( - M egativo) k M k > 0 - k < 0 < -k 6 M = 0 < - 0 < - 0 k ( 0 ) < -k = - 0 = (

12 FORME INDETERMINATE Soo da cosiderarsi idetermiate quelle fuzioi per le quali l operazioe di ite porta ad avere come risultato ua delle segueti forme: ; 0 0 ; - ; 0 si calcolao apportado alcue modifiche alla fuzioe, trasformadola i ua fuzioe equivalete: I. = c ; P () = P (c) c c [ P () = poliomio di grado ] II. P () = a 0 da ciò segue: a A. P () = a = 0 a 0-0 ; 0 0 ; 0 ; a 0 0 B. P () = a = 0 a 0 0 pari + disp - pari - disp + III. P () Q () m = P (c) Q (c) m Q (c) 0 m IV. P () a a m = = Q () a' m a' m 0 0 A. -m > 0 si ricade el caso ; B. -m = 0 -m = 0 = risultato = a 0 /a' 0 C. -m < 0 -m = -t -m = -t = / t risultato = 0

13 FUNZIONI CONTINUE regola memoico-pratica: f() è cotiua se o si deve staccare la pea dal foglio. Defiizioe: data ua f() defiita i [a, b] ed u puto c [a, b], f() è cotiua i c se risulta: f () c Codizioi ecessarie e sufficieti: Esempio: f (c). la fuzioe esiste ed assume valore fiito i c: c-, c+ f() - f(c) < f() = f(c). il ite di f() per c tedete da siistra deve assumere lo stesso valore fiito di quello di c tedete da destra f () f () c c. il valore fiito raggiuto dal ite della fuzioe per tedete a c deve coicidere co il valore che la fuzioe assume per = c = f(c) fuzioe cotiua: f() = = 0 f(0) = = f(0) fuzioe discotiua: f() per 0 per > 0 = 0 f (0) o defiita f() (- + ) ; f()

14 iti diversi tra loro terza codizioe. la fuzioe o ha ite. Ciò implica che o può essere verificata la TEOREMA Somma, differeza, prodotto, quoziete (se il deomiatore o si aulla i c) di fuzioi cotiue i c dao come risultato fuzioi cotiue i c. Cotiuità di particolari fuzioi dalla defiizioe di cotiuità i u puto discede: ciò permette di dire: f () f c c ite dell'espoeziale = espoeziale del ite ite del logaritmo = logaritmo del ite: ite della radice = radice del ite: a a c c a c log log log c c c ed estededo il cocetto: Fuzioi Composte: c c c y z f() g() g f() f() ; g(y) g( ) g(f()) g( f()) g( )) c c c Esempio: y log log log log 4 log,5874 = 0,0069

15 FUNZIONI CONTINUE IN UN INTERVALLO f() è cotiua i [a, b] se è cotiua i ogi suo puto. Da ciò segue:. se f() è cotiua i [a, b] ammette i esso u massimo assoluto ed u miimo assoluto;. se f() è cotiua i [a, b] assume i esso tutti i valori compresi tra il suo miimo e il suo massimo;. se f() è cotiua i [a, b] e se per = a e per = b assume valori di sego opposto, assumerà valore ullo i almeo u puto itero ad [a, b] (la fuzioe ammette almeo uo zero) y = f() = a f(a) = +c (-c) = b f(b) = -d (+d) f(a) f(b) c d esiste almeo u puto a, b tale che: Esempi: zeri di f(): y = + -- [0, ] ; f(0) = - ; f() = f( ) = = (+) - (+) = (+) * ( -) = (+) * (+) * (-) Bisoga vedere i quali puti la fuzioe tocca l'asse delle : y y = 0 (+) * (+) * (-) = 0 = - ; = ; = dovedo cosiderare la fuzioe i [0, ], il puto i cui f() iterseca l'asse delle è = per il quale è y = 0

16 Massimo e miimo di f() y = -4 defiita i [-, ] itervallo chiuso e itato; la fuzioe esprime i esso u segmeto be defiito e come tale dotato di massimo e di miimo: mi per = - y = -8 ; ma per = y = assume, ioltre, tutti i valori compresi tra il massimo ed il miimo. PUNTI DI DISCONTINUITÀ puti i cui la fuzioe o è cotiua (almeo ua delle tre codizioi o è rispettata): Discotiuità di specie: f() f() f() f() salto c c c c Esempio: f() per = 0 ; 0 0 (fuzioe cotiua a tratti) salto i =0 -(-) =

17 Discotiuità di specie: o esiste uo dei iti oppure uo di essi vale ifiito. / / Esempio: f() per = 0 si ha: 0 0 / / 0 0 = = = = = = = 0 Discotiuità di specie o eiabile si preseta quado per = c esiste fiito il ite ma o esiste il valore di f() i c, oppure risulta f() c si dice eiabile perché si può ristabilire la cotiuità o poedo f() = f(c) c f() o è defiita, oppure cambiado il valore di f() per =c, poedo f() c quest'ultimo caso il risultato otteuto è detto "prolugameto per cotiuità di f() i c". Esempio: y 4 discotiuità per = eiabile perché, pur essedo la f() o defiita i =, risulta: 4 f(c) ( ) ( ) ( ) quado i c la cosiderado la secoda alterativa si ha l'eiazioe della discotiuità per prolugameto: y 4 per per = f(c). I

18 ASINTOTI DI UNA FUNZIONE y = f() curva co rami che si estedoo all'ifiito; P(, y) puto della curva asitoto: retta la cui distaza dal puto P, al tedere di P all'ifiito, tede a zero. Si possoo avere: asitoti verticali se f() c = c asitoto asitoti orizzotali se f() y = asitoto asitoti obliqui se f() y = m + p asitoto m f() ; p = f() m Esempi: y = asitoto verticale + y = asitoto orizzotale y = - esistoo, ivece, asitoti obliqui di equazioe y = m + p m p f() f() = = - ( m = p = - = ) + y = - asitoto verticale o esistoo asitoti orizzotali = = ( / ) = ( /) ( ) = asitotoobliquo DERIVATA DI UNA FUNZIONE

19 Data ua y = f() defiita e cotiua i [a, b] ed i puti 0 e ( 0 +h), etrambi apparteeti all'itervallo [a, b], si dice: icremeto di f() la differeza: f( 0 +h) - f( 0 ) f(0 h) f( 0) rapporto icremetale di f() il rapporto: h si dice derivata della fuzioe i 0 il ite, per h 0, del rapporto icremetale: f( h) f( ) I 0 0 f ( 0) h 0 h se tale ite esiste ed è fiito. Estededo, poi, il cocetto ad u qualuque puto dice derivata di y = f() il ite, per h 0, del rapporto icremetale della fuzioe: [a, b], si Esempio: y = f( h) f() I y ' = f () = h 0 h f( h) f() h ( h) h h 0 h 0 h 0 ( h h ) y ' = h 0 la derivata della fuzioe el puto = vale: h h h h ( h) h 0 h h h h 0 h (7 9h h ) 7 h 0 Sigificato Geometrico della Derivata La derivata della y = f() el puto 0 è il coefficiete agolare della retta tagete alla curva el puto 0 : y = f() curva ; y - y 0 = m(- 0 ) tag i 0 m f(0 h) f( 0) f ' ( 0) h 0 h Esempio: determiare la tagete alla curva y = -5+7 el puto di ascissa 0 = 0 = y 0 = * () -5 * ()+7 = 9 y-y 0 = m(- 0 ) y-9 = m * (-) m = f ' ( 0 ) = 6 * - 5 = 6 * () - 5 = 7 y - 9 = 7( - ) y = 7-5

20 Regole di Derivazioe Derivata di ua somma algebrica: F() = f() g() F'() = f'() g'() Derivata di u Prodotto: F() = f() g() F'() = f '() g() + f() g'() Derivata di u rapporto: F() f() g() F ' () = f ' () g() - f() g' () g() Derivata di ua fuzioe Composta: F() = f[g()] F'() = f ' [g()] g'() Derivata di ua Poteza: f() = f ' () - FORMULE DI DERIVAZIONE FUNZIONE DERIVATA FUNZIONE DERIVATA y = k y ' = 0 y = k * f() [k = cost] y ' = k * f I () y = y ' = y = f() + g() y ' = f I () + g I () y = y ' = * - ( * ) y = f() * g() y ' = f I () * g() + f () * g I () y = lg a y ' lg e a y f() g() y ' f ' () g() - f() g ' () g() y = a y ' = a * l a y = f[g()] y ' = f '[g()] * g '() ( * ) permette di calcolare ache le derivate dei radicali e l'iversa della fuzioe y = [f()] y = a f() y ' = * [f()] - * f ' () y ' = a f() * l a * f ' () ( ** ) l e = y = e f() y ' = e f() * f ' () ( ** ) equazioe della tagete alla curva [ y - y 0 = m( - 0 )] y - f( 0 ) = f ' ( 0 ) * ( - 0 ) f ' ( 0 ) = m

21 REGOLA di DE L'HOSPITAL Permette di calcolare i iti di fuzioi che si presetao i forma idetermiata, sostituedo alle fuzioi origiarie le loro derivate: f() 0 ; g() 0 ; f() ; g() ; c c c c c = valore fiito (compreso lo zero) o ifiito Esempio: f() f ' () c g() c g' () 0 e forma idetermiata 0 0 f() = e - f'() = e e e ; g() = g'() = = 0 0 = Determiazioe della Cresceza e Decresceza di f() Sia data ua f() cotiua e derivabile i ogi puto di [a, b], ricordado che per 0 [a, b] la f'( 0 ) rappreseta il coefficiete agolare della tagete alla f() i 0 e ricordado che se m > 0 la retta è crescete e se m < 0 la retta è decrescete, risulta: f'() > 0 fuzioe crescete; f'() < 0 fuzioe decrescete f'() = 0 o si può dire ulla Esempio: f() = - + ; f'() = -6 ; gli zeri di f'() soo = 0 ; = per < 0 f'(-5) = 05 > 0 ; per > f'(0) = 40 > 0 ; per 0 < < f'() = - < 0,0,+ f() crescete 0, f() decrescete

22 Massimi e Miimi di ua Fuzioe si ha: Risultado i ua fuzioe il massimo il puto più alto della ed il miimo il puto più basso 0 ma relativo a siistra di 0 f() crescete f ' () > 0 a destra di 0 f() decrescete f ' () < 0 a siistra di 0 f() decrescete f ' () < 0 0 mi relativo a destra di 0 f() crescete f ' () > 0 ciò sigifica che si ha u puto di massimo o di miimo quado f '() cambia di sego, il che si traduce el ricercare i puti i cui è f '() = 0 (soo questi i puti che rappresetao il massimo e il miimo): y = f() c [a, b] f '(c) = 0 f ' (c ) 0 f ' (c 0 ma ; f ' (c ) 0 f ' (c 0 mi ; f ' (c ) 0 f ' (c ) 0 ) ) f ' (c ) 0 f ' (c ) 0 è ma è mi Esempio: f() = - + f '() = - 6 f '() = 0 per = 0 e =,0,+ f ' () > 0 0, f ' () < 0 a siistra di 0, f ' positiva a destra di 0, f ' egativa a destra di, f ' positiva a siistra di, f ' egativa f ' (0 ) 0 f ' (0 ) 0 0 ma relativo ; f ' ( ) 0 f ' ( ) 0 mi relativo

23 DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE Se f(), defiita i [a, b], è ivi cotiua e derivabile è possibile calcolare la derivata della derivata e così via fio a che la fuzioe risultate dalla derivazioe è acora derivabile (è cioé acora cotiua): f() f '() = derivata prima (derivabile) f "() = derivata secoda (derivabile) f () = derivata -ma (o derivabile) Esempio: f() = f I () = (derivata prima) f II () = (derivata secoda) f III () = 7 - (derivata terza) f IV () = 7 (derivata quarta) f () f ' () () - ( ) - = - - f ' ' () 0 - ( ) - - = 4 - f ' ' ' () 4 (-) - - = - -4 la fuzioe può essere derivata all'ifiito.

24 CONCAVITA' - FLESSI Il sego della derivata secoda permette di defiire l'adameto di ua fuzioe; i particolare, detto c u puto dell'itervallo [a, b] i cui f() è cotiua e derivabile, risulta: f II () > 0 la f() rivolge la cocavità verso l'alto f II () < 0 la f() rivolge la cocavità verso il basso f II () = 0 la f() preseta u flesso i corrispodeza del puto c, qualora sia verificata ua delle segueti codizioi: f' ' (c ) 0 f' ' (c ) 0 ; f' ' (c ) 0 f' ' (c ) 0 Esempi: f() = a > 0 parabola co la cocavità verso l'alto f I () = f II () = 6 f II () > 0 qualuque sia f() = a < 0 parabola co la cocavità verso il basso f I () = -4 + f II () = -4 f II () < 0 qualuque sia f() = - + teedo presete che ua fuzioe preseta certamete ua cocavità i u itoro completo del massimo e del miimo e che tali valori possoo risultare preseti per f I (c) = 0, per ricercare evetuali cocavità bisoga calcolare la derivata prima della fuzioe e, quidi, ricercare gli zeri: f I () = = 0 = 0 ; = 4/ dopo di che si calcola il valore della f II () i tali puti: f II ( ) 6 4 II f ( 0) 4 0 cocavità verso il basso II 4 f ( ) 4 0 cocavità verso l' alto presetado cocavità di verso opposto è lecito supporre la preseza di flesso, almeo ell'itervallo [0, 4/]. Azzerado, quidi, la f II () si ottiee: 6-4 = 0 = / itero all'itervallo [0, 4/] II f () = 6-4 II f (0) = -4 < 0 cocavità verso il basso II 4 f = +4 > 0 cocavità verso l' alto f() preseta u flesso per = / P(/, /7) puto di flesso della fuzioe.

25 DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO ATTRAVERSO LA DERIVATA SECONDA Il verso della cocavità di ua fuzioe permette di defiire i suoi evetuali puti di massimo e miimo. Ifatti se la fuzioe preseta cocavità verso il basso i u itoro completo di u puto c, sigifica che è crescete a siistra di c e decrescete a destra di c, per cui il puto c è u puto di massimo. Se, ivece, preseta la cocavità verso l'alto sigifica che è decrescete a siistra di c e crescete a destra, per cui il puto c è u puto di miimo. Per ricercare i puti di massimo o di miimo di ua fuzioe si ricercao gli zeri della sua derivata prima e si sostituiscoo ella derivata secoda. Se essa risulta egativa la fuzioe preseta u massimo per quel valore; se risulta positiva la fuzioe preseta u miimo per quel valore. STUDIO DI FUNZIONI Serve ad avere u'esatta rappresetazioe grafica di ua fuzioe. Si fa riferimeto a tre fasi fodametali: dall'aalisi della y = f() si determia: ) il campo di esisteza (isieme dei valori per i quali ha seso la fuzioe); simmetria rispetto all'asse delle y y = f() ; = c f(c) = f(-c) simmetria rispetto all'origie y = f() ; -y = f(-) f() = -f(-) sego della fuzioe (stabilisce le zoe i cui si sviluppa il grafico); zeri della fuzioe (valori che aullao la fuzioe puti i cui la fuzioe tocca l'asse delle ). ) Ricerca di evetuali asitoti: la preseza di u valore i cui la fuzioe o è defiita comporta la preseza di u asitoto verticale; altri tipi di asitoti si ricercao calcolado il ite di f() per. Calcolo di y ' = f ' () e di y '' = f '' () per determiare se la fuzioe è crescete o decrescete; se ha massimi e o miimi; se preseta flessi; se preseta cocavità o covessità.

26 Studio Grafico Aalitico delle Fuzioi Reali a Variabili Reali Sequeza passi Stabilire se la fuzioe preseta delle simmetrie e/o è periodica Determiare il campo di esisteza, o Domiio, della fuzioe (Si tratta di idividuare l isieme dei puti i cui la fuzioe o è defiita). Studiare co i iti il comportameto della fuzioe agli estremi del Domiio asitoto obliquo Ricercare evetuali itersezioi della fuzioe co l asse I pratica Se y = f() è simmetrica rispetto all asse y, deve verificarsi: f() = f(-) Se y = f() è simmetrica rispetto all origie degli assi, deve verificarsi: -f() = f(-) Nel caso che la fuzioe sia simmetrica, si può restrigere lo studio della fuzioe ai soli valori positivi e duque costruire il grafico el solo semipiao 0; per otteere il grafico completo basterà simmetrizzare la curva otteuta Se y = f() è periodica, si può itare lo studio all ampiezza del periodo. Se è ua fuzioe razioale itera il suo Domiio è costituito da tutto l asse Reale. Se è ua fuzioe razioale fratta, si deve imporre che il deomiatore sia diverso da zero. I puti che aullao il deomiatore della fuzioe o appartegoo al suo Domiio, per tali puti la fuzioe o esiste; le rette verticali passati per quei puti soo asitoti verticali per la curva. Se la fuzioe è irrazioale, bisoga guardare l idice della radice: se è pari bisoga imporre che il radicado sia o egativo poiché la fuzioe è a valori reali; se è dispari o ci soo imposizioi. Se la fuzioe è logaritmica bisoga imporre che l argometo del logaritmo sia strettamete positivo. Se la fuzioe è espoeziale o ci soo imposizioi. Quado la fuzioe è composta da fuzioi di tipo diverso tutte le imposizioi dovrao essere verificate cotemporaeamete, ovvero le codizioi dovrao essere legate e codotte algebricamete come u sistema di equazioi. Scrivere il Domiio come uioe dei diversi itervalli i cui la fuzioe assume valori reali. Segare graficamete gli itervalli e i puti i cui la fuzioe o esiste. Calcolare i iti, siistro e destro, della fuzioe ell itoro dei puti e all ifiito; riportare co u sego grafico il comportameto della curva ell itoro di tali puti. Se f = c rappreseta u asitoto verticale Se Se c f y = λ rappreseta u asitoto orizzotale f è probabile che esista u asitoto obliquo di equazioe y = m +p co: f ( ) m e p f ( ) Porre a sistema l equazioe della curva co l equazioe dell asse delle ascisse: y f ( ) f() 0 y 0 m

27 Sequeza passi Ricercare evetuali itersezioi della fuzioe co l asse y Studiare il sego della fuzioe Calcolo delle derivate prime e secode Ricerca degli evetuali puti di massimo e di miimo relativo Studio della mootoia della fuzioe Calcolo delle ordiate degli evetuali puti di massimo e miimo relativo I pratica Porre a sistema l equazioe della curva co l equazioe dell asse delle ordiate: y f ( ) y f(0) 0 Studiare la disequazioe f() > 0. Negli itervalli i cui la fuzioe risulta positiva, la curva sarà situata sopra l asse delle ascisse. Riportare i risultati sul grafico, escludedo le zoe che la curva o attraversa. y = f () = y = f () =.. Il calcolo della derivata prima serve per determiare gli itervalli i cui la fuzioe cresce o decresce e per idividuare i probabili puti di massimo e miimo relativi. Il calcolo della derivata secoda serve per determiare gli itervalli i cui la curva è cocava o covessa e per idividuare i probabili puti di flesso. Affiché u puto sia di massimo o di miimo relativo è che sia y = f () = 0 Si tratta, pertato di risolvere tale equazioe; i valori che la soddisfao soo solo probabili puti di massimo o miimo relativi, i quato potrebbero essere puti di flesso. I puti i cui si aulla la derivata prima si dicoo puti stazioari o puti critici. Gli itervalli di mootoia soo quegli itervalli i cui la curva è crescete o decrescete; lo studio di tali itervalli fa compredere se i puti trovati soo di massimo o di miimo. Si può procedere i due modi: metodo: si studia il sego della derivata prima, ovvero si impoe la codizioe f () > 0; se la derivata, ell itoro dei puti così trovati, o cambia di sego, questi o soo é di miimo é di massimo metodo: risolta l equazioe f () = 0, si sostituiscoo i valori i trovati ella derivata secoda e si guarda il sego che essa assume; se: f ( i ) > 0, cioè è positiva, la curva rivolge la cocavità verso l alto e pertato il puto i è di miimo. f ( i ) < 0, cioè è egativa, la curva rivolge la cocavità verso il basso e pertato il puto i è di massimo. f ( i ) = 0 i questo caso il puto i è molto probabilmete di flesso. Si ottegoo sostituedo uo alla volta le ascisse dei puti di massimo e di miimo ella y = f(). Si segao poi tali puti sul grafico

28 STUDIO DI FUNZIONE Esempio Studiare il grafico della fuzioe: y Domiio: il campo di esisteza è dato da tutti i valori di (valori per i quali la fuzioe o è defiita). Simmetria: la fuzioe è simmetrica rispetto all origie, risultado: = y = -8/ ; = - y = 8/ f() = -f(-) o è, ivece, simmetrica rispetto ad y, o essedoci alcu valore tale che f() = f(-). Sego: per il sego della fuzioe si tega presete che: per < - y > 0 (la fuzioe si trova el II quadrate) per < < 0 y > 0 (la fuzioe si trova el III quadrate) per 0 < < y > 0 (la fuzioe si trova el I quadrate) per > y > 0 (la fuzioe si trova el IV quadrate) Zeri: l uico puto i cui la fuzioe si aulla è = 0, ciò idica che la fuzioe passa per l origie degli assi. Asitoti: asitoti verticali - m f () asitoto obliquo ; p y m p [f () m ] 0 esiste u asitoto obliquo di equazioe y = - Massimi, miimi, puti di flesso: dalla derivata prima y' ( ) ( ) risulta che la fuzioe cresce per - < <, decresce per < - e > ; dalla derivata secoda y" ( ( 7 ) )

29 si ha che per = - risulta y = / > 0, per cui la fuzioe preseta, i tale puto, u miimo relativo perché volge la cocavità verso l alto; per = risulta y = - / < 0, per cui la fuzioe preseta, i tale puto, u massimo relativo perché volge la cocavità verso il basso; risultado, ifie, i tali puti y 0 la fuzioe o preseta flessi. Y = - X = -

30 STUDIO DI FUNZIONE Esempio Studiare il grafico della fuzioe: y Domiio: il campo di esisteza è dato da tutti i valori di defiita). - (valore per il quale la fuzioe o è Simmetria: la fuzioe o è simmetrica rispetto all origie, risultado f() simmetrica rispetto ad y, o essedoci alcu valore tale che f() = f(-). Sego: per il sego della fuzioe si tega presete che -f(-); o è Per < - Y < 0 (la fuzioe si trova el III quadrate) Per < <0 Y < 0 (la fuzioe si trova el III quadrate) Per > 0 Y > 0 (la fuzioe si trova el I quadrate) Zeri: l uico puto i cui la fuzioe si aulla è = 0, ciò idica che la fuzioe passa per l origie degli assi. Asitoti: asitoto verticale - asitoto obliquo y m p m f ( ) ; p f ( ) m 4 esiste u asitoto obliquo di equazioe y = 4 Massimi, Miimi, Puti di flesso: la derivata prima si aulla per = 0 e per = -, risulta pertato y ' < - y > 0 la fuzioe è crescete < < - y < 0 la fuzioe è decrescete - < < 0 y > 0 la fuzioe è crescete X > 0 y > 0 la fuzioe è crescete Calcolado, poi, la derivata secoda y " e poedo i essa = -, risulta y = -,5 < 0, per cui la 4 fuzioe preseta i tale puto u massimo relativo perché volge la cocavità verso il basso; poedo, ivece, = 0 risulta y = 0 che fa prevedere u puto di flesso: < 0 y < 0

31 Ed ifatti, cambiado verso i tale puto si ha u flesso. > 0 y > 0