Tutorato Analisi 1 Ing. Edile - Architettura 16/17 Tutor: Irene Rocca

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1 Tutorato Aalisi Ig Edile - Architettura 6/7 Tutor: Iree Rocca 0//206 - Limiti di successioe e iti di fuzioe Calcolare i segueti iti di successioe: ( ) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 3 2 e (d) + 2 log (e) 2 log( +) (f) log( ) log( 3 ) (g) log(3 4 6) (h) ( ) 2 Calcolare i segueti iti di fuzioe: x 3 3x 2 + 4x (a) x 5 x x 3 3x 2 + 4x (b) x + x 5 x 5 x (c) 3 x cos 2 x ta x si(2x) 2 7 x x e x 2 x 2 cos(x 2) log(x + 2) x + log(x +)

2 a) Ragioiamo su ( ) : è ua successioe che assume solamete due valori: + se è pari, - se è dispari Quidi è oscillate e ioltre itata, proprio perché assume sempre gli stessi due valori Abbiamo a disposizioe u teorema: il prodotto tra ua successioe ifiitesima e ua successioe itata va a 0 Scriviamo meglio la ostra successioe: ( ) = ( ) Si vede che la successioe ella prima paretesi quadrata è pure itata come (-) perché è semplicemete ua sua traslazioe verticale La successioe ella secoda paretesi quadrata è ifiitesima Soo soddisfatte quidi tutte le ipotesi del teorema: cocludiamo che il ite richiesto è 0 b) 3 Ricordiamo il ite otevole = e, attraverso l algebra dei iti, lo applichiamo al deomiatore Il ite richiesto è pertato 3 c), perché è ifiito di ordie superiore a 2 = 2 = 0 2 d) e Applicado la gerarchia degli ifiiti: L ordie di ifiito del deomiatore è + 2 = maggiore di quello del deomiatore, pertato il ite richiesto è 0 e e) log Ragioado di uovo sull ordie degli ifiiti, = Il grado maggiore è al 2 2 deomiatore (umeratore ha grado /3 metre deomiatore ha grado 2), quidi il ite richiesto è 0 f) Potremmo cocludere immediatamete che il ite è, i quato asitoticamete sia il umeratore sia il deomiatore si comportao come log, quidi da rapporto dei coefficieti si ottiee proprio Proviamo comuque a svolgere qualche calcolo: log (+ log( +) log( ) = ) log + log + log log ( = ) log + log = log = perché log ± 0

3 g) Raccogliamo il grado massimo all itero dei logaritmi e applichiamo la proprietà per cui il logaritmo di u prodotto è la somma dei logaritmi: log 3 log( 3 ) log(3 4 6) = 3 log 3 + log log = 3 log 3 + log 4 log log 2 = 3 4 log 3+ log 4 + log 2 4 A questo puto vediamo che: log, e è ua 3 0 log log 3 costate, per cui a + o la cosideriamo I termii che rimagoo soo pertato: log 3 log = 3log 4 4 log = 3 4 h) Moltiplichiamo umeratore e deomiatore per : ( ) = 2 + ( 2 +) = Raccolgo ua al umeratore e ua 2 elle due radici al deomiatore: = = 2 = 2 2a) È richiesto il calcolo del ite di u rapporto di poliomi: è il caso i cui si ragioa co l algebra degli ifiiti, e i particolare co il grado dei poliomi Vediamo che è u ite per la x tedete a 0, quidi quello che comada è il grado miimo (ell esercizio 3) comaderà ivece il grado massimo perché la x tederà a ifiito) Vediamo che il grado miimo è, cioè abbiamo la x sia al umeratore sia al deomiatore: la regola dice che, se umeratore e deomiatore hao lo stesso grado, il ite è il rapporto dei coefficieti di tale grado I questo caso quidi il risultato è 4/ (-) cioè -4 x 3 3x 2 + 4x + 2 Se avessimo avuto ad esempio, provado a sostituire lo 0 vediamo che la x 5 x forma o è più idetermiata ma è semplicemete 2/0, che dà come risultato ifiito (più o meo, a secoda che la x teda a 0 da destra o da siistra) 2b) Co lo stesso ragioameto iiziale dell esercizio 2), ora qui comada il grado massimo: vediamo che il umeratore ha grado 3, metre il deomiatore ha grado 5 Quidi siamo el caso i cui il deomiatore ha grado maggiore, cioè va a ifiito più rapidamete rispetto al umeratore Il ite richiesto è quidi 0

4 2c) L idea che dovrebbe sorgere è quella di provare ad usare il ite otevole del primo esercizio, cioè a x = loga (al umeratore a sarebbe 5 metre al deomiatore sarebbe 3) Se x itraprediamo questa strada, vediamo che maca ua x per applicare il ite otevole: moltiplico 5 x e divido allora per x: Ora procediamo 3 = 5 x ( ) x 3 x = 5 x x x 3 x utilizzado l algebra dei iti, secodo la quale il ite di u prodotto è il prodotto dei iti, e aggiustiamo u po di segi raccogliedo i - dove ecessario: 5 x x x 3 x = lo devo pesare come il reciproco 5 x x x 3 x = 5 x x 3 x = x = 5x x = log5 3x log 3 = log5 log 3 = log 5 3 x regola del cambiameto di base dei logaritmi 2d) Al deomiatore sostituiamo la tagete co il rapporto e usiamo la formula di duplicazioe; al umeratore otiamo ivece che possiamo applicare la relazioe fodametale della goiometria: si 2 α + cos 2 α = cos 2 α = si 2 α Facedo tali sostituzioi e qualche semplificazioe si ottiee i defiitiva: cos 2 x ta xsi(2x) = si 2 x = 2si 2 x = 2 = 2 si 2 x = si x cos x si(2x) si 2 x si 2 x = si x cos x 2si x cos x si x 2si x = 2e) Il ite otevole a cui vogliamo arrivare è ( + x)/x = e Qui abbiamo u -2/7 all itero della paretesi e maca all espoete per poter applicare il ite: lo aggiugiamo e lo togliamo : 2 7 x x = x x = x 2 7 x 2 7 = e 2 7 ite otevole = e 2f) Il ite è per x tedete a 2, cioè a u valore diverso da 0 e ifiito (che soo gli uici due valori che mi permettoo di utilizzare gli strumeti a disposizioe, ovvero i iti otevoli e le stime asitotiche) Applichiamo pertato u cambio di variabile:

5 t = x - 2, otteedo u ite per t tedete a 0 (perché, quado la x tede a 2, la t tede a 0): e x 2 Ora, se moltiplichiamo e dividiamo adeguatamete per t, x 2 cos(x 2) = e t cost possiamo applicare due iti otevoli: e t cost = e t t e t cost = e t 0 t t 0 t t cost = e t t cost t = 0 Vediamo ifatti che: = 0 = 2g) Ragioiamo u po come ell esercizio g) raccogliedo la x all itero dei logaritmi e applicado la proprietà dei logaritmi: 2 log(x + 2) x + log(x +) = x + log x + 2 x log x + log + x log x + = x + x log x + log + x = x + log x log x =