ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE

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1 ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE a cura di Michele Scaglia RICHIAMI TEORICI Richiamiamo brevemete i pricipali risultati riguardati le serie umeriche. Teorema (Codizioe Necessaria per la Covergeza) Sia a ua serie umerica. = 0 Se a coverge, allora a = 0. = 0 Tale teorema porta alle segueti coclusioi: Se a 0, allora la serie a è sicuramete o covergete. = 0 L affermazioe precedete idica come la codizioe della covergeza. a = 0 sia ecessaria ai fii + Tuttavia, se a = 0, la serie a può covergere come può o covergere: cioè la = 0 codizioe a = 0 o è sufficiete per cocludere la covergeza della serie. + Servoo opportui criteri di covergeza per stabilire il carattere. L esempio tipico che mostra come la codizioe a = 0 o sia sufficiete a garatire la co- + vergeza della serie è dato dalla serie armoica Tale serie è divergete pur verificado. = 0. SERIE A TERMINI POSITIVI Si chiamao serie a termii positivi quelle serie umeriche a i cui a 0 per ogi, N. = 0 Si tratta quidi di serie umeriche i cui addedi, da u certo idice i poi, assumoo sempre valore positivo o ullo.

2 Si può dimostrare che le serie a termii positivi possoo essere solamete covergeti o positivamete divergeti (avere cioè per somma + ). No possoo essere idetermiate. U ultima precisazioe: vi soo ache le serie a termii egativo: lo studio del loro carattere è lo stesso di quello delle serie a termii positivi. Questo perché, raccogliedo il sego meo el termie geerale a della serie e portadolo fuori dalla sommatoria sfruttado la liearità, si ottiee l opposta di ua serie a termii positivi. Pertato la covergeza o divergeza è ricodotta alla covergeza o divergeza della corrispodete serie a termii positivi (chiaramete, se la serie a termii positivi coverge, la corrispodete serie a termii egativi coverge ma ad u valore umerico opposto; stesso discorso per la divergeza, el qual caso avremo la divergeza della serie a ). Ad esempio Poiché ( ) = diverge positivamete (essedo la serie armoica), e segue che diverge egativamete. ( ) Il problema ello studio del carattere è ivece rappresetato dalle serie di sego variabile, elle quali il sego degli addedi o è costate e può ache variare seza ua particolare regola. Ma su di queste toreremo più avati.. Per le serie a termii positivi valgoo dei criteri che cosetoo di stabilire il carattere (covergeza o positiva divergeza). CRITERIO DEL CONFRONTO Siao a e b due serie a termii positivi. Suppoiamo che si abbia = 0 = 0 a b, per ogi, co N. Allora valgoo i segueti fatti: Se b coverge allora ache = 0 Se a diverge allora ache = 0 = 0 a coverge. = 0 b diverge.

3 Se, ivece, = 0 b diverge, ulla si può dire del carattere della serie a, i quato, avedo gli addedi più piccoli = 0 della serie b, potrebbe essere covergete ma ache divergete. = 0 Aalogamete, se = 0 a coverge, o si può dir ulla circa il carattere di b, = 0 i quato i suoi addedi, essedo più gradi di quelli della prima serie, potrebbero comportare la divergeza della secoda serie, come pure potrebbero comportare la covergeza. CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO Si tratta del criterio più importate ell ambito delle serie a termii positivi. Tale criterio cosete di ricodurre lo studio del carattere di ua serie dal termie geerale a piuttosto complesso allo studio di ua serie dal termie geerale più semplice o quatomeo ricoducibile a qualche serie otevole della quale si coosca il carattere. L euciato del criterio è il seguete. Siao a e b due serie a termii positivi. = 0 = 0 Cosideriamo, se esiste, il ite Allora valgoo i segueti fatti: a l =. b. Se l ]0, [, allora a coverge b coverge, = 0 = 0 cioè le due serie hao esattamete lo stesso carattere. 2. Se l = 0 e b coverge, allora ache a coverge. = 0 = 0

4 3. Se l = + e b diverge, allora ache = 0 = 0 a diverge. Il puto più importate del precedete teorema, ache al fie degli esercizi, è il puto. Come aticipato i precedeza, esso dice che se l 0 e l allora le due serie di termii geerali a e b hao esattamete lo stesso carattere (la covergeza/divergeza dell ua comporta la covergeza/divergeza dell altra, e viceversa). Assegata la serie di termie geerale a, si cerca quidi di idividuare u opportua successioe b più semplice a che verifichi I tal modo si studia il carattere di a l = ]0, [. b = 0 b, che è lo stesso di = 0 a (i forza del criterio). Ma come itrodurre la successioe b che reda quel ite diverso da 0 e da? Le regole che ora daremo cosetoo di itrodurre ua successioe b che, i realtà, rede il ite l = (codizioe o strettamete richiesta dal teorema, il quale si ita a richiedere l 0, + ). Pertato, co tali regole, si idividuerà ua successioe b tale che a b per +. Si procede come segue. Si cosiderao i vari fattori che compaioo el termie geerale a della serie assegata: se u fattore è ilitato, cioè tede a +, ell itrodurre b lo si sostituisce co l addedo corrispodete all ifiito di ordie superiore; se u fattore è ifiitesimo, cioè ha ite 0, lo si sostituisce co u opportuo ifiitesimo equivalete dedotto dai iti otevoli o, el caso di cacellazioi, dallo sviluppo di Taylor opportuamete arrestato all ordie ecessario. Se, ifie u fattore tede ad u valore fiito, lo si sostituisce co tale valore. Mostriamo u esempio. Data la serie umerica a termii positivi ( ) 2 ( 3 + log arcta ) si 4. e 2/ (log ) 2 cerchiamo ua b a per + che si possa sostiture, ello studio del carattere, alla serie di

5 termie geerale a. Seguiamo le regole che abbiamo scritto appea sopra. Si ha a = ( ) 2 ( 3 + log arcta ) si 4. e 2/ (log ) 2 Cosideriamo il primo fattore: ( 3 + log arcta ). Risulta ( 3 + log arcta ) = +. I questo caso dobbiamo idividuare l ifiito di ordie superiore. Si tratta, a causa della gerarchia degli ifiiti, del fattore 3. Possiamo quidi dire che ( 3 + log arcta ) 3 per +. ( 2 Il secodo fattore: si Si ha 4 ). ( ) 2 si = 0, 4 il che sigifica che il secodo fattore è ifiitesimo. Dobbiamo quidi idividuare u ifiitesimo equivalete di tipo poliomiale. Poiché vale si x x per x 0, posto x = 2 0 per +, possiamo cocludere che ( ) 2 si 4 ( ) 2 4 per +. Il terzo fattore: e /. Si ha e/ = e 0 = ]0; [. Tale fattore lo sostituiremo i b co il valore costate. Quarto fattore: (log ) 2. Questo fattore si preseta già i ua forma favorevole i quato si tratta di u fattore che tede a + scritto già i forma semplice (log è ifatti ua successioe otevole elemetare che compare el termie geerale della serie armoica geeralizzata col logaritmo, della quale si coosce il carattere).

6 La uova successioe è quidi tale che b = ( ) (log ) 2 a b per +, cioè a = = l 0, +, + b come richiesto dal criterio del cofroto asitoctico. Pertato potremo studiare il carattere della serie b = ( ) = 2 (log ) 2 (log ) 2, facilmete trattabile i quato ricoducibile alla serie armoica geeralizzata co il logaritmo. CRITERIO DEL RAPPORTO Sia = 0 a ua serie a termii positivi. Cosideriamo, se esiste, il ite l = a + a. Valgoo i segueti fatti.. Se l < allora a coverge. = 0 2. Se l >, allora a diverge. = 0 3. Se l =, allora il criterio o cosete di cocludere ulla circa il carattere di a. = 0

7 Nel caso i cui si verifichi l =, bisoga stabilire il carattere per altra via. Può essere utile, i tali casi, cotrollare se sia soddisfatta o meo la codizioe ecessaria per la covergeza: se dovesse essere a 0, si cocluderebbe immediatamete che la serie diverge. + CRITERIO DELLA RADICE Sia a ua serie a termii positivi. = 0 Cosideriamo, se esiste, il ite l = a. Valgoo i segueti fatti.. Se l <, allora a coverge. = 0 2. Se l >, allora a diverge. = 0 3. Se l =, allora il criterio o cosete di cocludere ulla circa il carattere di = 0 a. Ache per questo criterio, el caso i cui l =, valgoo le stesse cosiderazioi fatte per il criterio del rapporto. SERIE DI SEGNO VARIABILE Soo dette serie di sego variabile quelle serie umeriche il cui termie geerale a o assume sego costate. Ad esempio =0 si 4 +, =0 ( )! 2 + soo delle serie di sego variabile (i particolare, la secoda è di sego altero, i quato i suoi addedi si alterao: uo positivo, uo egativo, uo positivo,...). Per lo studio di tali serie esistoo fodametalmete due criteri. Quello della covergeza assoluta, che può essere ivocato i preseza di ua qualsivoglia serie di sego variabile, e il criterio di Leibiz, applicabile solo alle serie di sego altero.

8 CRITERIO DELLA CONVERGENZA ASSOLUTA Sia a ua serie di sego variabile. = 0 Se la serie a = 0 coverge (ovvero la serie coverge assolutamete), allora coverge ache la serie Se, ivece, a = 0 diverge, o si può cocludere ulla circa il carattere della serie = 0 a. = 0 a. Il teorema afferma quidi che la covergeza assoluta implica la covergeza della serie assegata. La macaza di covergeza assoluta o autorizza a trarre alcua iformazioe sul carattere della serie. Il criterio che segue è ua codizioe sufficiete di covergeza che vale solo per le serie di sego altero, ossia le serie i cui a è del tipo ( ) b co b 0, vale a dire le serie della forma CRITERIO DI LEIBNIZ Sia = 0 ( ) b ua serie di sego altero. Suppoiamo che + b = 0 e = 0 ( ) b, co b 0. {b } sia ua successioe mootoa decrescete, ossia tale che b + b per ogi, N. Sotto tali codizioi la serie è covergete. = 0 ( ) b

9 Nello studio del carattere di ua serie di sego variabile, per prima cosa si studia la covergeza assoluta, la quale, come detto i precedeza, implica la covergeza. Nel caso di macata covergeza assoluta, bisoga cercare di stabilire il carattere per altra via, seza ua regola be precisa. Ache i questi acsi può essere utile cotrollare se valga o meo la codizioe ecessaria di covergeza, i asseza della quale si cocluderebbe immediatamete la o covergeza della serie. Tuttavia, se la serie è di sego altero, si può allora ricorrere al Criterio di Leibiz. Ua serie che o coverge assolutamete (cioè la cui serie dei valori assoluti o coverge) ma che ugualmete coverge viee detta serie semplicemete covergete. Ne è u esempio tipico la serie + ( ). La serie dei valori assoluti diverge (serie armoica) ma il criterio di Leibiz cosete di affermare che la serie risulta essere covergete.

10 ALCUNE SERIE NOTEVOLI SERIE GEOMETRICA Sia q R. Allora la serie geometrica ha il seguete comportameto: =0 CONVERGE se q < e ha per somma S = q, DIVERGE a + se q, È INDETERMINATA se q. q SERIE ARMONICA GENERALIZZATA La serie CONVERGE per α > ; α, α R DIVERGE POSITIVAMENTE per α. SERIE ARMONICA GENERALIZZATA CON IL LOGARITMO La serie CONVERGE per α > e per ogi β per α = e per β > α (log ) β, α, β R DIVERGE POSITIVAMENTE per α < e per ogi β, per α = e per β.

11 VARIANTE DELLA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA CON IL LOGARITMO La serie e γ α (log ) β, α, β, γ R se γ > 0 (cioè l espoeziale rimae a deomiatore) la serie CONVERGE per ogi α e per ogi β se γ < 0 (cioè l espoeziale compare a umeratore) la serie DIVERGE per ogi α e per ogi β se γ = 0 otteiamo la serie armoica geeralizzata col logaritmo e di cui si è già discusso il carattere.

12 ESERCIZI SVOLTI ) Si studi il carattere della serie [ 5 log ( + e ) ] e. e Svolgimeto. La serie è a termii positivi. Vista la struttura del termie geerale, coviee applicare il criterio della radice. Dobbiamo calcolare il ite l = a = 5 e [ log ( + e ) ] e = { 5 e [ log ( + e ) ] e } / = 5/ = log ( + e ) e. e Azitutto si ha 5/ log 5/ = e = e 5 log = e 0 =. Ioltre, ricordado il ite otevole ( + ) t = e, t t risulta, per il teorema di sostituzioe, posto t = e, ( log + e ) e = log ( + e ) e = log e =. Torado al ite sotto studio si ottiee allora 5/ l = log ( + e ) e = e e = e <. Quidi, per il criterio della radice, la serie risulta covergete. a

13 2) Studiare il carattere della serie (!) 2 3 (2)!. Svolgimeto. La serie è a termii positivi. I vari fattori che costituiscoo il termie geerale a soo già i forma semplice. Vista la preseza di fattoriali, coviee applicare il criterio del rapporto. Dobbiamo calcolare, se esiste, il ite Risulta l = a + a. [( + )!] 2 l = ( + ) 3 [2( + )]! 3 (2)! (!) 2 [!( + )] 2 = ( + ) 3 (2 + 2)! 3 (2)! = (!) 2 (!) 2 ( + ) 2 = ( + ) 3 (2 + 2)(2 + )(2)! 3 (2)! (!) 2 3 = ( + ) ( + ) 2 3 (2 + 2)(2 + ) = 4 <. Quidi, per il criterio del rapporto, la serie assegata coverge. 3) Studiare il carattere della serie 3 + si log +. Svolgimeto. Cerchiamo di stabilire se la serie è a termii positivi o egativi. Cosideriamo pertato il termie geerale a = 3 + si log +. Poiché si ed essedo, si ha baalmete Acor più semplice è osservare che 3 + si > log + > 0.

14 Quidi la serie è a termii positivi. La struttura piuttosto elaborata del termie geerale a suggerisce di fare riferimeto al criterio del cofroto asitotico, di ricodurre cioè lo studio della serie assegata allo studio di ua uova serie = 0 b tale che b a per +. Per itrodurre ua tale successioe b, seguiamo i suggerimeti dati ei richiami teorici: cosideriamo cioè ciascu fattore di a e e stabiliamo il ite. Il primo fattore, 3 + si, costa di due addedi, 3, che tede a + e si, che o ammette ite per ma è itato tra e. Tuttavia, per applicazioe del Teorema del Cofroto per le successioi, la somma dei due addedi tede all ifiito (fatto osservato quado si soo studiati i iti di successioe). Pertato risulta 3 + si + per +. Sostituiremo quidi tale fattore co l addedo di ifiito di ordie superiore, vale a dire 3 che, d altra parte, è ache l uico addedo che tede a +. Cioè 3 + si 3 per + Cosideriamo il secodo fattore: log +. Ogi addedo di questo fattore tede a +, quidi l itero fattore tede a +. Poiché l ifiito di ordie superiore è 2 5, avremo log per +. Pertato, la successioe b adatta al criterio del cofroto asitotico è

15 b = 3 2 = Il carattere della serie sarà quidi lo stesso della serie Poiché la serie 2 2 = si log +. 2 coverge (trattadosi della serie armoica geeralizzata co α = 2 > ), e segue, per il criterio del cofroto asitotico, che pure la serie di parteza coverge. 3 + si log + 4) Dopo aver osservato che è covergete, si calcoli la somma della serie Svolgimeto Il fatto di dover calcolare la somma ci suggerisce che si tratti o di ua serie geometrica o di ua serie telescopica. Vista la struttura del termie geerale (el quale compaioo poteze del tipo q ), idirizziamoci verso ua serie geometrica. Applicado le proprietà delle poteze si trova a = = = (2 2 ) = 8 (2 2 ) 3 = 8 ( ) (2) = 8 (2) = 8. 2 Pertato, sfruttado ache la liearità, risulta = 8 ( ) = 8 2 ( ). 2

16 Si tratta di ua serie geometrica, vale a dire ua serie del tipo = 0 q, q R. Nel ostro caso risulta q = 2 = 2 <, pertato la serie coverge. Per calcolare la somma, applichiamo la formula ricordata ei richiami teorici, prestado però attezioe al fatto che i questo caso si comicia a sommare dall addedo che corrispode al aturale = 2: dovremo pertato sottrarre al risultato forito dalla formula la somma dei due addedi che corrispodoo a = 0 e =. Risulta S = 8 [ ] [ q q0 q = 8 2 ] = 8 2 [ 2 3 ] = 2 = = ) Studiare il carattere della serie ( ). log Svolgimeto. Si tratta di ua serie di sego altero, ossia ua serie del tipo ( ) b. Ifatti, la se- I questo caso lo studio della covergeza assoluta o porta ad alcu risultato. rie a = log = (log ) /2 = 0 (log ) /2 diverge, trattadosi della serie armoica geeralizzata co il logaritmo i cui α = 0 <. Per studiare il carattere, cosiderato che la serie è di sego altero, possiamo applicare il criterio di Leibiz. Ovviamete si ha b = log 0 per ogi 2.

17 Dobbiamo cotrollare se la successioe b sia ifiitesima e decrescete. Che sia ifiitesima è baale. Ifatti, a causa del fatto che log + per +, dal teorema di sostituzioe segue che b = + + log = 0. Resta da cotrollare che b sia decrescete, ossia che Impostado la disequazioe si ottiee, b + b 2. log( + ) log, ossia log( + ) log. Elevado al quadrato etrambi i membri e sfruttado la cresceza della fuzioe otteiamo da cui, per la cresceza della fuzioe log, log( + ) log, +, ossia 0, che risulta baalmete verificata per ogi 2. Quidi la successioe b soddisfa etrambe le ipotesi del criterio di Leibiz. Ne segue che la serie ( ) b = ( ) risulta covergete (ma o assolutamete log covergete). Cioè, la serie è semplicemete covergete. 6) Discutere il carattere della serie al variare di α R. α! Svolgimeto. Osserviamo che si tratta di ua serie a termii positivi.

18 Vista la forma del termie geerale a, coviee ricorrere al criterio del rapporto. Dobbiamo valutare il ite e discutere il valore al variare di α. l = a + a Risulta ( + ) (+)α l = ( + )!! ( + ) α ( + ) α = α!( + )! α = ( ) α + = ( + )α ( + ) = [( + ) ] α ( + ) α = e α ( + )α. Si tratta ora di stabilire, al variare di α, il valore del ite Se α > 0, ossia se α >, allora l = ( + ) α. Di cosegueza risulta ( + )α = +. l = e α ( + ) α = + >, da cui la divergeza della serie. Se α = 0, ossia se α =, allora Pertato ( + )α = ( + ) 0 = =. l = e α ( + ) α = e = e >, da cui la divergeza della serie. Se α < 0, ossia se α <, si ha ( + )α = 0.

19 Quidi risulta l = e α ( + ) α = e α 0 = 0 <, da cui la covergeza della serie. I coclusioe, la serie risulta covergete solo per α <. 7) Sia E l isieme deglia α > 0 tali che la serie ( 2 + log ) /2 α log( + ) sia covergete. Determiare l estremo iferiore di E. Svolgimeto. Applicado il criterio del cofroto asitotico, cerchiamo di ricodurre lo studio della serie allo studio u opportua b tale che a b a per +. Dobbiamo quidi studiare il comportameto di ciascu fattore del termie geerale a al tedere di all ifiito. Osservado il primo fattore, cioè l itero umeratore, otiamo immediatamete che esso tede all ifiito; i particolare l ifiito di ordie superiore è l addedo 2, da cui 2 + log 2 per +. Nell itrodurre b sostituiremo pertato ( 2 + log ) co 2. Passiamo al deomiatore. Il fattore α si preseta già i forma favorevole. Ioltre, per quato riguarda log( + ), fattore ifiito (i quato l argometo del log tede all ifiito) si ha ovviamete log( + ) log per + pertato sostituiremo log( + ) co log.

20 Se itroduciamo quidi la successioe ( ) 2 /2 b =, α log risulta ovviamete (per come è stata costruita) a = ]0; + [. b Possiamo quidi ivocare il criterio del cofroto asitotico e affermare che le due serie hao esattamete lo stesso carattere. I particolare, gli α per cui coverge gli α per cui coverge b. Stabiliamo quidi per quali α > 0 si ha la covergeza della serie b = ( 2 α log ) /2 = a e b ( ) /2 = α 2 log α 2 a soo tutti e soli 2 log /2. Facedo riferimeto alla serie armoica geeralizzata col logaritmo, cocludiamo ha che la serie coverge se e soltato se da cui α 2 2 α > 4. >, Per α = 4, ivece, si otterrebbe la serie log /2, divergete, i quato 2 <. Quidi l isieme E degli α i cui si ha la di covergeza di E =]4; + [, b e a è il cui estremo iferiore è 4.

21 8) Si calcoli la somma della serie Svolgimeto. Osserviamo azitutto che la serie è covergete grazie al criterio del cofroto asitotico. Ifatti, detta si ha ovviamete b = = 2 2, cioè a = ]0, + [, b a b per +. Pertato le due serie a = e b = 2 2 = 2 2. hao lo stesso carattere. Poiché la serie coverge (trattadosi dell armoica geeralizzata co α = 2 > ), e segue che pure la serie di parteza risulta covergete Dovedo calcolare la somma, ci aspettiamo che si tratti o di ua serie geometrica o di ua telescopica. Vista la forma del termie geerale, escludiamo la prima evetualità. Si deve trattare quidi di ua serie telescopica, vale a dire della forma = 0 (b b + ).

22 Sappiamo che la somma di ua serie del tipo è S = ( ) b 0 b +. Cerchiamo di scrivere il termie geerale ella forma b b +. Nel caso i cui il termie geerale sia u rapporto di poliomi, si deve procedere co la decomposizioe della frazioe utilizzado il metodo dei fratti semplici. Scompoiamo azitutto il deomiatore i fattori. Si tratta di u poliomio di secodo grado. Ricordiamo che, assegato u poliomio di secodo grado ax 2 + bx + c, per scomporlo i fattori occorre, per prima cosa, risolve l equazioe associata ax 2 + bx + c = 0 trovado le due soluzioi reali x e x 2 (el caso i cui o esistao soluzioi reali, il poliomio o è fattorizzabile i R). A questo puto si scompoe il poliomio co la formula a (x x ) (x x 2 ). Nel ostro caso (dimeticadoci per il mometo che N), risolvedo l equazioe algebrica si trova = 0, /2 = 4 ± = 4 ± 2, 4 da cui = 6 4 = 3 2, 2 = 2 4 = 2. Pertato = 4 ( + ) ( + 3 ) ( = ) ( + 3 ) =

23 = (2 + ) (2 + 3). La frazioe da aalizzare è quidi 2 (2 + )(2 + 3). Decompoiamola col metodo dei fratti semplici: poiché il deomiatore è prodotto di fattori di primo grado, cerchiamo A, B R tali che Si ottiee 2 (2 + )(2 + 3) = A B (2 + )(2 + 3) = A B = A(2 + 3) + B(2 + ) (2 + )(2 + 3) = = 2A + 3A + 2B + B (2 + )(2 + 3) = (2A + 2B) + 3A + B. (2 + )(2 + 3) Per il pricipio di idetità dei poliomi, l uguagliaza tra il primo e l ultimo termie risulta verificata se e soltato se 2A + 2B = 0, 3A + B = 2 cioè A = B 3A + B = 2, A = B = 0 2B = 2, da cui A = B =. Pertato 2 (2 + )(2 + 3) = Detta b = 2 +

24 risulta b + = 2( + ) + = Quidi il termie geerale della serie è proprio della forma b b +, il che coferma che la serie è telescopica. Come già ricordato, la somma della serie = ( 2 + ) vale S = ( ) ( ) ( b 0 b + = b 2 = ) = = 5 0 = 5. 9) Si studi il carattere della serie Svolgimeto arcta( 3 ) si(!). (2)! =0 La preseza del termie si(!) rede la serie di sego variabile ma o altero: ifatti, l argometo del si tede a + e la fuzioe seo oscilla tra i valori e. No si tratta quidi di ua serie a termii positivi. Procediamo co lo studio della covergeza assoluta. Se la serie dei valori assoluti risultasse covergete, potremmo cocludere la covergeza della serie di parteza. Cosideriamo pertato la serie e studiamoe il carattere. a = = arcta( 3 ) si(!) (2)! =0 Si tratta di ua serie a termii positivi. Tuttavia, il fattore si(!), che o ammette ite per

25 +, o ci autorizza ad applicare immediatamete il criterio del cofroto asitotico, il quale richiede di valutare i iti dei vari fattori che formao il termie geerale. D altra parte, dalla disuguagliaza valida per la fuzioe itata si, risulta si(!), arcta( 3 ) a = si(!) (2)! arcta( 3 ) (2)! = b. La precedete maggiorazioe ci idirizza verso l applicazioe del criterio del cofroto. Se ifatti riuscissimo a dimostrare che la serie b risulta covergete, allora avremmo automaticamete provata pure la covergeza della serie a, i forza del criterio del cofroto, per l apputo. =0 Nulla potremmo cocludere, al cotrario, el caso i cui la Cerchiamo quidi di studiare la serie di termie geerale arcta( 3 ) b = (2)! = arcta( 3 ) (2)! (l ultima uguagliaza è baale i quato la frazioe è a termii positivi). b risultasse divergete. Per lo studio di tale serie (che è a termii positivi) procediamo come segue. Azitutto, attraverso il criterio del cofroto asitotico, cerchiamo di redere lo studio di b il più semplice possibile, ricoducedoci ad ua serie co u termie geerale c ma dalla forma più semplice. b per +ifty Osserviamo che, per si ha arcta( 3 ) π ; segue quidi che 2 { arcta( 3 ) } = + + π 2 = +. Il fattore è quidi ilitato. Ne segue che { arcta( 3 ) } 3 2 per +. Gli altri fattori si presetao già i forma favorevole. Se cosideriamo quidi la successioe c = 3 2 (2)! 6 + 2

26 si ha chiaramete b c per +. Pertato, per il criterio del cofroto asitotico, le due serie =0 b e =0 c hao lo stesso carattere. Quidi possiamo cosiderare, i luogo di b, la serie =0 c = =0 3 2 (2)! A tale serie coviee applicare, vista la struttura del termie geerale, il criterio del rapporto. Dobbiamo valutare, el caso esista, il ite Si ha l = c + c. l = c + c = 3 (2 + 2)! (2)! = (2 + 2)(2 + )(2)! 4 4 (2)!4 4 = = 4 (2 + 2)(2 + ) = 0 <. Poiché il ite del rapporto è l <, segue immediatamete, per il criterio del rapporto, che la serie è covergete. c = Quidi, per cofroto asitotico, pure la serie è covergete. b = =0 A sua volta, ricordado la disuguagliaza =0 3 2 (2)! arcta( 3 ) =0 a b, (2)! 6 + 2

27 segue, per il criterio del cofroto, che pure a =0 è covergete. Come già osservato all iizio dello svolgimeto, essedo parteza, ossia a = =0 a covergete, e segue che la serie di = arcta( 3 ) si(!), (2)! =0 è covergete a causa del teorema sulla covergeza assoluta. 0) Studiare il carattere della serie umerica ( ) 3 +. Svolgimeto. Ache i questo caso la serie è di sego variabile, o meglio, di sego altero. Cotrolliamo se la serie coverge assolutamete. la covergeza della serie di parteza. Se così fosse, avremmo automaticamete ache Cosideriamo quidi la serie Studiamo allora la serie a = ( ) 3 + = Cerchiamo di ricodurre tale serie alla serie armoica geeralizzata (i forza del criterio del cofroto asitotico). Il umeratore va già bee. Baalmete, per quato riguarda il deomiatore, risulta per +. Pertato, itrodotta la successioe

28 si ha ovviamete b b = 3, a per +. Pertato, per il Criterio del Cofroto asitotico, le due serie a e b hao esattamete lo stesso carattere. Studiamo allora b = = 3. 2 Tale serie è chiaramete covergete, trattadosi della serie armoica geeralizzata i cui α = 2 >. Di cosegueza, per cofroto asitotico, ache a coverge. Dalla covergeza assoluta segue ache la covergeza di No è stato quidi ecessario ricorrere al Criterio di Leibiz. a. ) Si studi il carattere della serie Svolgimeto. ( ( ) e ). Siamo i preseza di ua serie di sego variabile, più precisamete di sego altero. Comiciamo col cotrollare se la serie coverga assolutamete: i tal caso si avrebbe pure la covegeza della serie di parteza. I caso di riposta egativa, procederemo col Criterio di Leibiz, essedo i preseza di ua serie di sego altero. Cosideriamo quidi la serie a termii positivi Studiamo la serie ( ( ) e ) = (e ). (e ).

29 Cerchiamo di applicare il criterio del cofroto asitotico. Per si ha e 0, il umeratore è quidi ifiitesimo. Cerchiamo di sostituirlo co u ifiitesimo equivalete. Poiché si ha, posto x =, e x x per x 0 e per +. Se cosideriamo allora la successioe b =, risulta ovviamete e b = ]0; [, cioè b a. Pertato, per il criterio del cofroto asitotico, le due serie (e ) e b = hao lo stesso carattere. Poiché = /2 <, e segue, per cofroto asi- diverge, trattadosi della serie armoica geeralizzata co α = 2 totico, che pure la serie ( ( ) e ) = (e )

30 diverge. No si ha quidi assoluta covergeza. Bisoga pertato ricorrere al Criterio di Leibiz. Bisoga cotrollare che la successioe ( e ) sia ifiitesima e decrescete. Che sia ifiitesima l abbiamo già osservato. Dobbiamo mostrare la decresceza. Poiché la successioe è decrescete e poiché la fuzioe espoeziale i base e > è strettamete crescete, e segue, per composizioe, che pure la successioe e è strettamete decrescete, cosiccome lo è pure la successioe e. Quidi per il criterio di Leibiz, la serie assegata coverge. No vi è ivece, come già osservato, covergeza assoluta. Diciamo i questo caso che la serie è semplicemete covergete. 2) Si dica per quali x R coverge la serie =0 ( e x ex + 6) 2. Per tali valori di x calcolare la fuzioe somma S(x) e determiare il valore del ite S(x). x Svolgimeto. Si tratta di ua serie geometrica, vale a dire di ua serie della forma q, q R. Cerchiamo di riscrivere opportuamete il termie geerale. Si ha Si ha =0 ( [ e x 2 ( ] e x 2 ( ) e 2x = =. ex + 6) ex + 6) e x + 6

31 Quidi cioè ua serie geometrica. =0 Tale serie coverge se e soltato se ( e x ex + 6) 2 = ( e 2x =0 e x + 6 ), q <, ossia, se e solo se vale a dire e 2x e x + 6 <, e 2x e x + 6 > e 2x. e x + 6 < La prima delle due disequazioi è sempre soddisfatta (essedo e x > 0 per ogi x R). Pertato il sistema si riduce alla sola disequazioe cioè e 2x e x + 6 <, che equivale a e 2x e x 6 e x + 6 < 0, e 2x e x 6 < 0, poiché il deomiatore (e x + 6) è sempre maggiore strettamete di 0 (quidi o ifluisce sul sego della frazioe). Per risolvere l ultima disequazioe, effettuiamo la sostituzioe e x = t, otteedo t 2 t 6 < 0. Risolvedo l equazioe associata si trova t /2 = ± = ± 5 2,

32 da cui t = 2, t 2 = 3. La disequazioe risulta quidi soddisfatta per vale a dire, risostituedo t co e x, 2 < t < 3, 2 < e x < 3. L isieme degli x R che risolvoo la precedete disequazioe è costituito dagli x R che risolvoo il sistema e x > 2. e x < 3 Vista la positività della fuzioe espoeziale, la prima disequazioe risulta sempre verificata. Il sistema si riduce pertato alla secoda delle due disequazioi, vale a dire e x < 3, che, passado al logaritmo (i base e) a etrambi i membri, equivale a x < log 3. I defiitiva, l isieme degli x per cui coverge la serie di parteza è ], log 3[. Per tali valori di x calcoliamo la fuzioe somma, applicado la ota formula (i questo caso o bisoga sottrarre ulla alla somma i quato la sommatoria parte da = 0): S(x) = q = e2x e x +6 Dobbiamo a questo puto calcolare il = e x +6 e 2x e x +6 = e x + 6 e 2x + e x + 6. S(x). x Si ha S(x) = x x [ ] e x e 2x + e x + 6 = =

33 3) Determiare il carattere della serie al variare di α > 0. 2/3 si α Svolgimeto. La serie è evidetemete a termii positivi grazie alla preseza del valore assoluto. Utilizzeremo azitutto il criterio del cofroto asitotico per semplificare la struttura del termie geerale. Vista la forma del termie etro valore assoluto, ovviamete ifiitesimo quado +, osservata la cacellazioe che seguirebbe dai iti otevoli, si ituisce immediatamete che, per studiare il comportameto all ifiito, bisoga ricorrere agli sviluppi i serie di Taylor. Ricordado che, per x 0, si ha si x = x x3 3! + o(x4 ), si ha el ostro caso, per (e coseguetemete x = 0), si = 3! ( ) + o. 3 4 Pertato risulta si α = ( ) 3! + o 3 4 α. L ordie di ifiitesimo di tale termie dipede dai valori assuti dal parametro α. Se α = si ottiee, per, si α = ( ) ( ) 6 + o = o, 3 4 cioè si α 6 3 per +.

34 Se cosideriamo quidi la successioe b = 2/3 6 3 otteiamo a b per +. Quidi, per il criterio del cofroto asitotico, le due serie hao esattamete lo stesso carattere. a e b Poiché b = 2/3 6 = 3 6 7/3 coverge (i quato si tratta della serie armoica geeralizzata co α = 7 3 ache la serie di parteza a coverge. > ), e segue che Se α >, allora l ifiitesimo da teere, quello di ordie iferiore, è chiaramete, i quato di grado più basso degli altri addedi ifiitesimi. Se cosideriamo quidi la successioe risulta cioè b = 2/3 a l = = ]0; + [, b b a per +. Quidi, per il criterio del cofroto asitotico, le due serie hao esattamete lo stesso carattere. a e b

35 Poiché b = 2/3 = /3 diverge (i quato si tratta della serie armoica geeralizzata co α < ), si ha che diverge pure la serie a. Se α <, l ifiitesimo da teere (quello di grado miore) è ovviamete. α Detta b = 2/3, α si ha a l = =. b Per il Criterio del Cofroto asitotico, le due serie a e b hao lo stesso carattere. I particolare, a coverge per tutti e soli i valori di α per cui coverge I realtà b. b = 2/3 = α α 2/3 coverge se e solo se α 2 3 >, ossia, se e solo se α > 5 3, i disaccordo co l ipotesi α <. Quidi per α < o vi è covergeza di [T.E. 26/0/2009] b, quidi emmeo di a. 4) Determiare il carattere della serie umerica ( ) (2)! 5 (!). 2

36 Svolgimeto. Si tratta di ua serie di sego variabile, i particolare, è ua serie a sego altero. Ifatti il termie geerale è dato dal prodotto di ( ) per il termie sempre positivo (2)! 5 (!). 2 Comiciamo col cosiderare l assoluta covergeza. Se la serie dei valori assoluti risulta covergete, allora lo è pure la serie di parteza. I caso cotrario, il test dell assoluta covergeza o ci dice ulla i merito al carattere della serie di parteza. I quel caso, ricorreremo al criterio di Leibiz, applicabile i quato la serie è di sego altero. Comiciamo col vedere se la serie coverge assolutamete. Dobbiamo studiare il carattere della serie a = (2)! ( ) 5 (!) 2 = (2)! 5 (!). 2 Per lo studio di quest ultima serie ricorriamo al criterio del rapporto. Cosideriamo il ite Si ha l = a + a = (2 + 2)! 5 + [( + )!] 2 (2)! 5 (!) 2 l = a + a. (2 + 2)(2 + )(2)! = 5 (!) 2 5 5(!) 2 ( + ) 2 (2)! = quidi la serie a coverge. Di cosegueza, la = 5 (2 + 2)(2 + ) ( + ) 2 = 4 5 <, a coverge assolutamete, quidi coverge. 5) Studiare il carattere della serie Svolgimeto. log 2. Iazitutto, osserviamo che si tratta di ua serie a termii positivi, i quato log > 0 per ogi >. Poiché si ha, per ogi > 0, log <,

37 segue immediatamete che log 2 <. Da cui, passado ai reciproci, si ottiee log 2 >. Detta si ha quidi b =, a > b. Poiché b = è divergete (trattadosi della serie armoica), segue che, per il criterio del cofroto, pure la serie a risulta divergete. 6) Studiare il carattere della serie umerica Svolgimeto. ta π 2. + Cerchiamo azitutto di capire se si tratta di ua serie a termii positivi o a sego variabile. Elechiamo, i ordie crescete d idice, alcui termii della successioe a, termie geerale della serie: a = ta π 4 = =, a 2 = 2 ta π 8, a 3 = 3 ta π 6,..., e così via. I valori assuti dalla successioe soo tutti positivi (i quato la tagete, tra 0 e π 4, è positiva). Pertato la serie i questioe è a termii positivi. Per il suo studio coviee ricorrere al criterio del Cofroto asitotico. Osseviamo preiarmete che π = 0; 2+ quidi, per composizioe, si ha pure ta π = Alla luce di questa osservazioe viee spotaeo cercare di sostituire il termie geerale della serie co uo più semplice ad esso equivalete per.

38 ta x Notiamo che si ha (per il ite otevole x 0 x ta = ) π 2 + π 2 + per +. Pertato possiamo sostituire la successioe a origiaria co la successioe b = π 2 + a per t +. Pertato, per il criterio del cofroto asitotico, le serie hao lo stesso carattere. Studiamo quidi il carattere di a b = =0 e =0 b π 2. + Lo studio di tale serie lo si può effettuare, ad esempio, ricorredo al criterio del rapporto. Bisoga pertato valutare il ite Si ha l = b + b = l = b + b. ( + )π 2 +2 ( + )π π = π 2 + quidi la serie b coverge. = 2 + = 2 <, Per il criterio del Cofroto asitotico, coverge pure la serie a = ta π ) [T.E. 3/08/5] Discutere al variare di β R il carattere della serie ( ( )) β 2 log 2 si.

39 Svolgimeto. La serie è a termii positivi. Applichiamo il criterio del cofroto asitotico cercado ua b tale che b a per +. I fattori β e log 2 si presetao già i forma favorevole. Si tratta di capire il comportameto del terzo fattore. Poiché per +, risulta è ifiitesimo. 0 da cui segue che il fattore ( ( )) 2 si Dai iti otevoli si deduce che si x x quado x 0, da cui ache si Tuttavia tale approssimazioe porta chiaramete alla cacellazioe ( ) 2. ( ) per +. Dobbiamo quidi approssimare il si co u ifiitesimo equivalete dedotto dallo sviluppo di Taylor. Risulta sufficiete fermarsi al terzo ordie. Poiché per x 0 risulta si ha pure Pertato, per +, risulta si ( ) si x x 6 x3, 6 3 per +. ( ( )) 2 si [ ( )] 2 ( ) 2 = = Pertato, detta si ha ovviamete b = β log 2 36, 6 b a per +. Studiamo quidi per quali valori di β R coverge la serie + b = 36 + β log 2 6 = β log 2.

40 Si tratta di ua serie armoica geeralizzata i cui l espoete di log è maggiore di. Pertato si ha covergeza se e solo se risulta 6 β, vale a dire β 5. Per β > 5, ivece, la serie diverge positivamete. Per cofroto asitotico, vale la medesima discussioe per la serie origiaria di termie geerale a. 8) Si calcoli la somma della serie ( ). Svolgimeto. Dovrà trattarsi di ua serie telescopica, vale a dire della forma (b b + ). = 0 Cerchiamo quidi di scrivere il termie geerale a della serie i tale modo. Azitutto osserviamo che = ( + )( + 2) (a tale risultato si giuge co l usuale scomposizioe del triomio di secodo grado o attraverso la regola di somma e prodotto). Riscriviamo quidi la frazioe: ( ) = ( ) = ( + )( + 2) = ( ) (la radice del prodotto l abbiamo scritta traquillamete come prodotto di due radici i quato i due fattori soo etrambi positivi). A questo puto razioalizziamo opportuamete: ( ) =

41 = ( ) = = ( + 2 ( + )) = = = = Detta b = +, si ha b + = ( + ) + = + 2. Pertato siamo riusciti a scrivere la serie ella forma (b b + ). Per quato già richiamato, la somma della serie ( ) vale S = ( ) ( ) ( ) b 0 b + = b b + = = = ( ) 2 0 =. 2 9) [T.E. 2/0/205] Discutere al variare di α R il carattere della serie Svolgimeto. + =0 ( (!) 3α sih e (2 + )! ).

42 Si tratta di ua serie a termii positivi. Per prima cosa cerchiamo di semplificare il termie geerale applicado il criterio del cofroto asitotico. Il fattore (!) 3α si preseta già i forma favorevole. Per quato riguarda il secodo fattore, osserviamo azitutto che, a causa della gerarchia degli ifiiti, risulta + e (2 + )! = 0. Pertato l argometo del sih è ifiitesimo, da cui ( ) e sih (2 + )! 0 per +, i quato il seo iperbolico tede a 0 quado il suo argometo tede a 0. Trattadosi di u fattore ifiitesimo, cerchiamo di sostituirlo co u ifiitesimo equivalete. Dagli sviluppi di Taylor sappiamo che sih x x per x 0. Se e deduce che, posto x = (2 + )!, ( ) e sih (2 + )! e e (2 + )! per +. Itrodotta quidi risulta b = (!) 3α e (2 + )!, b a per +. Pertato, grazie al criterio del cofroto asitotico, possiamo studiare per quali α coverge la serie + =0 b = + =0 (!) 3α e (2 + )!. Per studiare il carattere di tale serie coviee utilizzare il criterio del rapporto, vista la preseza di fattoriali e di termii di tipo geometrico. Dobbiamo discutere, al variare di α R, il ite l = b +. + b

43 Si ha b + = [( + )!] 3α e + [2( + ) + ]! = [( + ) e e!]3α (2 + 3)!. Ne segue che l = b + = + b [( + ) e e (2 + )! +!]3α (2 + 3)! e (!) 3α = ( + ) 3α = + (2 + 3)(2 + 2) e = e + 4 3α. 2 Cofrotado i gradi di e ricordado che + possiamo cocludere che: se 3α = 2, cioè se α = 2 3, l = e 4 <, pertato la serie coverge; se 3α > 2, cioè se α > 2 3, l = e (+ ) = + >, pertato la serie diverge positivamete; 4 se 3α < 2, cioè se α < 2, l = 0 = 0, pertato la serie coverge. 3 I coclusioe, la serie coverge per α ) Si studi il carattere della serie Svolgimeto. ( ) arcta 5. Si tratta di ua serie di sego altero, i quato il termie geerale è del tipo a = ( ) b, ove b = arcta 5 è ua successioe strettamete positiva (ifatti, per x > 0 si ha arcta x > 0). Partiamo cosiderado la covergeza assoluta. Cosideriamo quidi la serie a termii positivi a = ( ) arcta 5 = arcta 5 = alla quale possiamo applicare il criterio del cofroto asitotico. arcta 5,

44 Il fattore arcta 5 è ifiitesimo per. Poiché arcta x x per x 0, si ha, posto x = 5 0 per +, arcta 5 5 per +. Pertato, per cofroto asitotico, le due serie arcta 5 e 5. hao lo stesso carattere. Poiché la serie 5 = /5 diverge (essedo l armoica geeralizzata co α = 5 < ), e segue che pure la serie diverge. a = arcta 5 No essedoci covergeza assoluta, o si può cocludere ulla circa il carattere della serie iiziale. Tuttavia, trattadosi di ua serie di sego altero, si può utilizzare il criterio di Leibiz. Dobbiamo cotrollare che b sia ifiitesima e decrescete. Ovviamete si ha arcta 5 = 0, quidi a è ifiitesima. Per cotrollare la decresceza di b dovremmo cotrollare i valori di per cui è soddisfatta la

45 disequazioe b + b. Si ha: arcta 5 + arcta 5 ; ma, essedo la fuzioe arcta mootoa crescete, la precedete disequazioe è equivalete a 5 + 5, ossia 5 5 +, baalmete vera per ogi > 0, a causa della stretta mootoia della fuzioe 5. Pertato la successioe b è decrescete. Ne segue, per il criterio di Leibiz, che la serie è covergete. ( ) b = ( ) arcta 5 2) Studiare il carattere della serie umerica Svolgimeto. 3 si La serie è a termii positivi (i quato il si compare co poteza quadra). No è possibile applicare immediatamete il criterio del cofroto asitotico, i quato o esiste si 2 e, di cosegueza, emmeo il ( 3 si ). Dobbiamo procedere diversamete. Poiché 0 si 2,

46 si ha ovviamete 3 si = 3 + 2, quidi, detta risulta cioè b = , a = 3 si a b = b, Se la serie risultasse covergete, potremmo cocludere pure la covergeza della serie del cofroto. No potremmo ivece cocludere ulla el caso i cui la serie Stabiliamo quidi il carattere della serie b = b a, grazie al criterio b divergesse. Per lo studio di tale serie a termii positivi possiamo ricorrere al criterio del cofroto asitotico i quato tutti i termii di b ammettoo ite per +. Il umeratore tede all ifiito a causa della successioe geometrica 3 co q = 3 >. Pertato per +. Per lo stesso motivo si ha per +. Ne segue che b c = 3 per +. 4

47 Per il criterio del cofroto asitotico, le due serie b e c hao lo stesso carattere. Essedo c = 3 4 = ( ) 3 4 covergete, i quato ua serie geometrica di ragioe q = < 3 4 b è covergete. A sua volta, per il criterio del cofroto, ache la serie <, e segue che ache la serie a = 3 si è covergete. 22) Si dica per quali α R coverge la serie ( + 4)! ( + 7) α!. Svolgimeto. Osserviamo che la serie è a termii positivi. Riscriviamo il termie geerale i maiera semplificata: a = ( + 4)( + 3)( + 2)( + )! ( + 7) α! = ( + 4)( + 3)( + 2)( + ) ( + 7) α. Quidi dobbiamo discutere per quali valori di α R è covergete la serie ( + 4)( + 3)( + 2)( + ). ( + 7) α Come al solito, cerchiamo di ricodurre lo studio della utilizzado il criterio del cofroto asitotico. a allo studio di u opportua b, Osserviamo che il umeratore è equivalete, per, a 4, essedo ( + 4)( + 3)( + 2)( + ) =. 4

48 Allo stesso modo, risulta pure ( + 7) α α per +, dal mometo che ( + 7) α α = ( ) α + 7 = α =. Quidi, detta risulta b = 4 α, b a per +. Pertato, per il criterio del cofroto asitotico, le due serie a e b hao esattamete lo stesso carattere. Di cosegueza a coverge se e solo se b coverge. Ma la serie b = 4 = α α 4 coverge se e solo se α 4 >, ossia se e solo se α > 5. Quidi, ache la serie coverge per α > 5. a = ( + 4)! ( + 7) α! 23) [T.E. 09/0/09] Determiare al variare di β R il carattere della serie umerica ( 3β + log 7) ( si ). Svolgimeto. Essedo la serie a termii positivi, cercheremo di applicare il criterio del cofroto asitotico.

49 Studiamo si da subito il secodo fattore, idipedete dal parametro β). Si ha ( si ) = 0, si tratta cioè di u fattore ifiitesimo. L approssimazioe si x x per x 0 porterebbe a ua cacellazioe. Cercheremo quidi l ifiitesimo equivalete ricorredo agli sviluppi di Taylor. Ricordado che, per x 0, si ha si x x x3 6 si ha, posto x = 0 per, si ( ). 6 3 Quidi, per, risulta si ( ) = Discutiamo ora il primo fattore del termie geerale, esamiado i vari casi. Se β < 0, allora si ha 3β = 0, pertato ( 3β + log 7) = 0 + = +. I particolare l ifiito di ordie superiore (e ache uico addedo ilitato che compare el fattore) è log 7 = 7 log. Quidi, per β < 0, risulta 3β + log 7 7 log per +. Itroducedo quidi la successioe risulta chiaramete b = 7 log, 63 b a per +.

50 Pertato possiamo, per il criterio del cofroto asitotico, studiare il carattere di (log ). Poiché tale serie armoica geeralizzata col logaritmo coverge (essedo l espoete di maggiore di ), segue che pure la serie di parteza coverge. La discussioe codotta fiora ci cosete di affermare che la serie β < 0. a coverge per ogi Sia ora β = 0. La serie si riduce alla serie 7 ( ) ( log 7 si ), che è equivalete a 3 (log ), covergete. Quidi, ache per β = 0, si ha la covergeza di a. Sia ora β > 0. I questo caso si ha 3β = +. Quidi ( 3β + log 7) = +. Però, i questo caso, l ifiito di ordie superiore è la poteza 3β, si avrà, per β > 0, 3β + log 7 3β per +. Itrodotta la successioe

51 b = 3β, 3 si ha baalmete a = ]0, + [, b cioè b a per +. Quidi, dal criterio del cofroto asitotico, il carattere di Studiamo quidi per quali β > 0 coverge la serie a è lo stesso di b. b = 3β Tale serie (armoica geeralizzata) coverge per = 3 3 3β >, 3 3β. ossia per β < 2 3, metre diverge per β 2 3. Pertato, ricordado che siamo el caso β > 0, la serie coverge se e solo se β > 0 β < 2, 3 ossia se e solo se 0 < β < 2 3. I defiitiva, l isieme dei β R per cui coverge la serie ( 3β + log 7) ( si ) è dato da β 0 0 < β < 2 3.

52 Quidi la serie data coverge per β < ) Studiare il carattere della serie ( ) 2. + Svolgimeto. È baale osservare che siamo i preseza di ua serie a termii positivi. Vista la forma del termie geerale della serie, coviee applicare il criterio della radice. Cosideriamo quidi il ite l = a = ( + ) 2. Si ha ( + ) 2 [ ( ) ] 2 = + = ( ) = = + ( + ) = [( ) ] + = [( = + ) ] = e = e <. Quidi, per il criterio della radice, la serie assegata risulta covergete. 25) Si determii il carattere della serie Svolgimeto. + 3! 2 log. (2 + )(2)! Osserviamo che la serie è a termii positivi. Per poter applicare il criterio del cofroto asitotico, dobbiamo cercare di capire quale sia il comportameto del termie geerale a per, per poter così esibire u opportua successioe b

53 tale che b a. Il umeratore tede all ifiito. I questo caso sappiamo di dover teere l addedo di ifiito maggiore, vale a dire. Pertato + 3! 2 log. Passado al deomiatore, il primo fattore, vale a dire 2 + tede all ifiito e pertato, per i soliti discorsi, può essere sostituito co 2. Il fattore (2)! o ha bisogo di essere sostituito co qualche altro fattore. Itroduciamo quidi la uova successioe b = 2 (2)! a per +. Per il criterio del cofroto asitotico, le due serie a e b hao lo stesso carattere. Studiamo quidi il carattere di b = 2 (2)!. Si tratta di ua tipica serie studiabile col criterio del rapporto (a causa dei fattoriali e delle poteze esime). Si ha l = b + b = ( + ) [2( + )]! 2 (2)! =

54 ( + ) ( + ) = 2 2(2 + 2)(2 + )(2)! 2 (2)! = 2 ( ) + ( + ) (2 + 2)(2 + ) = = 2 e ( + ) (2 + 2)(2 + ) = 2 e 0 = 0 <. Pertato la serie è covergete. b Ne segue, per il Criterio del Cofroto asitotico, che ache la serie è covergete. a 26) Si studi al variare di α [0, + [ il carattere della serie ( ( )) α arcta ( cos ( α/2 )) Svolgimeto. Applicheremo il criterio del cofroto asitotico, cercado di ricodurci alla serie armoica geeralizzata. Comiciamo col fattore a umeratore: guardiamo il coteuto della toda (poi eleveremo alla α). Iazitutto osserviamo che 0 per +. Poiché arcta x x risulta, posto x = 0 per +, arcta ( ) per +,

55 da cui ( ( )) α arcta ( ) α per +. Proseguiamo cosiderado il fattore. Si ha = /2 = 3/2. Studiamo ifie l ultimo fattore, vale a dire Poiché α > 0, risulta ( cos ( α/2 )) = ( ( )) cos. α/2 0 per +. α/2 Quidi, ( ) cos cos 0 = = 0. α/2 Il fattore è pertato ifiitesimo. Poiché dal ite otevole si ricava cos x = x 0 x 2 2 cos x 2 x2 per x 0, risulta, posto x = 0 per +, α/2 ( ) cos α/2 2 Detta ( ) 2 = per +. α/2 2 α ( ) α b = ( ) =, 3/2 3 2 α si ha chiaramete b a per +.

56 Per il criterio del cofroto asitotico, le due serie ( ( )) α arcta ( cos α/2 ) e 3 2 hao lo stesso carattere (pertato i valori di α per cui coverge la secoda soo tutti e soli i valori di α per cui coverge la prima). Poiché 3 2 coverge, e segue che pure la serie di parteza coverge. Aalizziamo ora il caso α = 0. Sostituedo, ci si ricoduce alla serie ( ( )) 0 arcta ( cos 0/2 ) = ( cos ) = ( cos ) 3/2, che coverge (essedo l armoica geeralizzata co α > ). Quidi la serie iiziale coverge per ogi α 0. 27) [T.E. 29/03/0] Determiare il carattere della serie umerica e 2 ( ( 2 cosh 2 si 2/3 2 ) ( 2 2/3 ) ). Svolgimeto. Cercheremo di applicare il Criterio del Cofroto asitotico.

57 Cosideriamo i vari fattori che compogoo il termie geerale a al fie di itrodurre ua uova successioe b più semplice. Il primo fattore: si ha e 2 e 0 =. Nell itrodurre la uova successioe b, sostituiremo tale fattore co il termie. Il secodo fattore. Vista la forma, procediamo co gli sviluppi di Taylor itoro a 0 (applicabili i quato 2 0 per 2 ). Ricordado che cosh x = + x2 2 + x4 4! + o(x5 ) per x 0, si ha, el ostro caso, ( ) 2 cosh = + ( ) 2 ( ) o = + 2 ( ) o 4 6 per. Quidi risulta ( ( ) ) 2 cosh = + 2 ( ) + o = 2 ( ) + o Nell itrodurre la uova successioe b sostituiremo il fattore co ( ( ) ) 2 cosh Ache il terzo fattore è ifiitesimo; i particolare è dato dalla sottrazioe di due ifiitesimi. Procediamo ache i questo caso co gli sviluppi di Taylor. Ricordado che si x = x x3 6 + x5 5! + o(x6 ), per x 0, si ha, per, ( ) 2 si = 2 2/3 ( ) 3 ( ) 4 2 2/3 6 + o = 2 2/3 2/3 4 ( ) 2/3 3 + o. 2 8/3

58 Quidi ( ) 2 2 si = 2 2/3 2/3 2 2/3 + 4 ( ) 2/3 3 + o = 2 8/3 = 4 ( ) 3 + o 2 8/3 per. Sostituiremo quidi il fattore co ( ) 2 2 si 2/3 2/ La successioe adatta al criterio del cofroto asitotico è pertato b = = Le due serie a e b hao quidi lo stesso carattere. Poiché b = = 3 2 coverge (trattadosi della serie armoica geeralizzata co α = 2 > ), e segue che pure la serie di parteza risulta covergete. e 2 ( ( 2 cosh 2 si 2/3 2 ) ( 2 2/3 ) ) 2

59 28) [T.E. 6/0/204] Discutere al variare di β R il carattere della serie Svolgimeto. [ )] cos ( 3 + 2(β ) β. A causa del fatto che la fuzioe cos risulta miore o uguale a i tutto il suo domiio, la serie è a termii positivi. Applicheremo il criterio del cofroto asitotico. Poiché β R, dobbiamo discutere il comportameto di β (e quidi di 2(β ) ) al tedere di a +. Poiché si ha + α = + β = + se α > 0 0 se α < 0, se α = 0 + se β > 0 se β < se β = e, aalogamete, + 2(β ) = + se β > 0 se β <. se β = Pertato, lo studio del termie geerale della serie cambia a secoda che sia β <, β =, β >. Se β =, risulta costatemete β =, quidi la serie diviee + [ ( 3 )] + cos + = [ cos ]. Tale serie è chiaramete divergete i quato viee meo la codizioe ecessaria per la covergeza. Ifatti a = [ cos ] Aalogamete per il caso β < i cui β 0 per +.

60 Risulta [ )] [ a = cos ( 3 + 2(β ) β = cos ] Quidi per β la serie diverge positivamete veedo meo la codizioe ecessaria per la covergeza. Studiamo ora il caso β >, che comporta β + per +. Per applicare il criterio del cofroto asitotico dobbiamo stabilire il comportameto di a per +. Cosideriamo l argometo del cos. Poiché β e 2(β ) tedoo a + si ottiee, trascurado l addedo 3 sotto radice, 3 + 2(β ) β 2(β ) β = β β, vale a dire ua cacellazioe. Dobbiamo quidi procedere co la razioalizzazioe. Risulta ) ) 3 + ( 3 + 2(β ) β = ( 3 + 2(β ) β 2(β ) + β 3 + 2(β ) = β = 3 + 2(β ) 2(β ) 3 + 2(β ) + = 3 β 3 + 2(β ) +. β A questo puto, trascurado l addedo fiito 3 sotto la radice a deomiatore, troviamo, per +, ) ( 3 + 2(β ) β = (β ) + β 3 2(β ) + β = 3 2 β. Pertato risulta, per β > e per +, [ )] cos ( 3 + 2(β ) β [ ( )] 3 cos. 2 β Poiché, per x 0 si ha cos x 2 x2, risulta, essedo x = 3 0 per β > e +, 2β [ ( )] 3 cos 2 β 2 ( ) 2 3 = 9 2 β 8 2(β ). Itrodotta quidi la successioe b = 9 8 2(β ),

61 si ha chiaramete, el caso β >, b a per +. Studiamo quidi per quali valori di β > coverge la serie + b = (β ). Si tratta di ua serie armoica geeralizzata col logaritmo. Essa coverge se e soltato se 2(β ) >, cioè se e solo se β > 3 2, compatibile co l ipotesi β >. Pertato per β > coverge la serie b e quidi, per cofroto asitotico, ache la serie + a. 29) [T.E. 27/03/203] Stabilire per quali α R la serie umerica è covergete. Svolgimeto. ( e (α 7) ) log( ) α+2 (log ) 3 Coviee scrivere a = b + c, essedo Pertato si ha b = e (α 7) 2 +, b = log( ) α+2 (log ). 3 a = (b + c ) = b + c, dove l ultima uguagliaza è possibile solo quado o si geera la forma idetermiata [+ ]: tale evetualità o può verificarsi poiché le serie a termii positivi possoo essere solamete covergeti o positivamete divergeti.