Campionamento e distribuzioni campionarie

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1 Campioameto e distribuzioi campioarie Approccio idu8vo Ruolo dell ifereza sta>s>ca Procedure ifereziali di uso comue (itervalli di cofideza e test delle ipotesi) Risulta> e decisioi che dipedoo dalla limitatezza delle iformazioi u>lizzate Valutazioe della plausibilità dei risulta> di u processo ifereziale i termii probabilis>ci 1

2 Approccio idu8vo (segue) Popolazioe Campioe a b c d ef gh i jk l m o p q rs t u v w x y z b c g i o r u y Campioameto Campioi probabilis>ci e o probabilis>ci Estrazioe co ripe>zioe (o reimmissioe) Estrazioe seza ripe>zioe (o reimmissioe) = estrazioe i blocco Campioe casuale semplice Campioe casuale semplice Popolazioe: ~ f i,θ Campioe casuale semplice: (,, ) =, 1 x, x,, 1 x = dimesioe (ampiezza) del campioe Probabilità di iclusioe: 1/N per ogi osservazioe i (i=1,,n) Geerazioe di umeri casuali i = i-ma v.c. geeratrice i v.c. i.i.d. x i = i-ma realizzazioe campioaria

3 Distribuzioe campioaria Obie8vo: colmare il gap tra. - Realtà opera>va: osservazioe di u solo campioe - Esigeza iforma>va: coosceza dell uiverso campioario Defiizioe: Ua distribuzioe campioaria forisce iformazioi sulla distribuzioe di tu8 i possibili valori di ua sta>s>ca t oeu> da campioi x della stessa ampiezza estra8 dalla popolazioe Distribuzioe campioaria della media 3

4 Distribuzioe campioaria della media Distribuzioe delle medie campioarie al variare del campioe Numero di campioi, di ampiezza, estraibili da ua popolazioe di umerosità N: N v.c. media campioaria: = 1 realizzazioi della v.c. media campioaria al variare di x = 1 i=1 x i i=1 i Costruzioe della distribuzioe campioaria della media N=4 x i osservate: (18, 0,, 4) µ = 4 4 x i ( xi µ ) i=1 N = 1 i= 1 σ = N = 5 σ = 5 =,36 Costruzioe della distribuzioe campioaria della media per campioi casuali di ampiezza = 4

5 Costruzioe della distribuzioe campioaria della media (segue) N =16 campioi di dimesioe = 1 a a Osservazioe Oss ,18 18,0 18, 18,4 0 0,18 0,0 0, 0,4,18,0,,4 4 4,18 4,0 4, 4,4 Campioi (campioameto co reitroduzioe) Medie Campioarie 1 a a Osservazioe Oss Costruzioe della distribuzioe campioaria della media (segue) Medie Campioarie 1 a a Osservazioe Oss P( = x i ) 0,3 0, 0,1 0 1/16 Distribuzioe delle Medie Campioarie /16 3/16 4/16 3/16 /16 1/ x 5

6 Costruzioe della distribuzioe campioaria della media (segue) Valore aeso, variaza e scarto quadra>co medio della v.c. media campioaria E( ) = µ = 7 i=1 x i P( = x i ) Var( ) = σ = # $ x i E 7 i=1 = 1 = µ % & P = xi =,5 = 5 = σ Sqm( ) = σ = σ =,5 = 1,581 =,36 = σ Distribuzioe campioaria della media 1. Campioameto co reimmissioe qualuque sia f(,θ): E( ) = µ = µ Var( ) = σ = σ - >30 à " ~ N $ µ = µ,σ # - f(,θ) ~ N(μ,σ ) à = σ % & " ~ N µ, σ % $ # & Z = µ σ ~ N ( 0,1 ) 6

7 "#$ ~ N µ = 175,σ = 16 %& 10 Caraeris>che della distribuzioe campioaria della media (segue). Campioameto seza reimmissioe qualuque sia f(,θ): - < 0,05 N & > 30 à à - > 0,05 N & > 30 à à E( ) = µ = µ Var( ) = σ = σ Z = µ σ ~ N ( 0,1 ) µ Z = σ N N 1 ~ N ( 0,1) ~ N µ,σ ~ N ( µ,σ ) N N 1 Distribuzioe campioaria della media: esempio Il peso dei telefoi cellulari (modello k) prodo8 dalla Betaphoe ha ua distribuzioe ormale co media 175 grammi e variaza 16. Si determii la probabilità che 10 telefoi Betaphoe k estra8 casualmete abbiao ua peso medio compreso tra 173 e 176 grammi. = 10 ~ N µ = 175,σ = 16 # P( ) = P µ % $ σ # = P 1,58 µ σ 0,79 & % ( $ & ( = = 0,7854 ( 1 0,9495) = 0,7819 7

8 Distribuzioe campioaria della media el caso i cui la Popolazioe NON è Normale Possiamo applicare il Teorema del limite cetrale: Ache se la popolazioe o è ormale, la media campioaria della popolazioe sarà approssima>vamete ormale purché l ampiezza del campioe sia abbastaza grade. Teorema del Limite cetrale (TLC) v.c. i i.i.d. E( i ) = μ; Var( i ) = σ < + la v.c. S =Σ i i è tale che: E(S )=μ; Var(S )=σ la v.c. Z = S µ σ = 1 Z = µ σ d # # N ( 0,1) per i=1 i d # # N 0,1 è tale che: per E ( ) = µ Var( ) = σ S>ma di μ quado o si coosce f() 8

9 Teorema del Limite Cetrale Al crescere della dimesioe del campioe la distribuzioe campioaria diveta quasi ormale idipedetemete dalla distribuzioe della popolazioe x Distribuzioe campioaria della media el caso i cui la Popolazioe NON è Normale Proprietà della media campioaria: Tedeza Cetrale Variabilità µ x = µ σ x = σ Distribuzioe Popolazioe Distribuzioe Campioaria (diveta ormale quado cresce) Campioe più piccolo µ Campioe più grade µ x 9

10 Quato deve essere grade il campioe? Per la maggior parte delle distribuzioi, > 5 produce ua distribuzioe della media campioaria approssima>vamete ormale Per popolazioi co distribuzioe ormale, la distribuzioe della media campioaria è sempre ua distribuzioe ormale, idipedetemete dalla dimesioe campioaria Itervalli di Acceazioe Obbie8vo: determiare u itervallo etro il quale verosimilmete cadoo i valori delle medie campioarie, per ua data media e variaza della popolazioe Dal teorema del limite cetrale, sappiamo che la distribuzioe di è approssima>vamete ormale se è abbastaza grade, co media μ e scarto quadra>co medio σ = σ Sia z α/ il valore di Z che lascia ella coda destra della distribuzioe ormale stadard l area α/ (ossia, l itervallo da - z α/ a +z α/ racchiude ua probabilità 1 α) Allora µ ± zα/σ è l itervallo che iclude co probabilità 1 α 10

11 Distribuzioi campioarie di uso frequete Distribuzioe campioaria della media 1. Campioameto co reimmissioe qualuque sia f(,θ): E( ) = µ = µ Var( ) = σ = σ - >5 à " ~ N $ µ = µ,σ # - f(,θ) N(μ,σ ) à = σ % & " ~ N µ, σ % $ # & Z = µ σ N ( 0,1 ) 11

12 Distribuzioe campioaria della media (segue). Campioameto seza reimmissioe qualuque sia f(,θ): - < 0,05 N & > 5 à à - > 0,05 N & > 5 à à E( ) = µ = µ Var( ) = σ = σ Z = µ σ ~ N ( 0,1 ) µ Z = σ N N 1 ~ N ( 0,1) ~ N µ,σ ~ N ( µ,σ ) N N 1 Distribuzioe campioaria della proporzioe di successi Caraeri dicotomici π = proporzioe di successi ella popolazioe p = proporzioe di successi el campioe p* = proporzioe di successi s>mata i corrispodeza del campioe osservato Obie8vo: defiire la distribuzioe campioaria di p 1

13 Teorema di De Moivre- Laplace (TDML) Preseta ua formalizzazioe più rigorosa del TLC v.c. i ~Ber(π) idipede> v.c. somma: S = Z = S π π( 1 π ) d # # N ( 0,1) per la v.c. Z~N(0,1) si può vedere come distribuzioe limite di altre distribuzioi (Poisso, chi quadrato, t di Studet, etc.) Z può essere approssimato da Z purchè: le v.c. siao i.d. e >5 le v.c. siao idipede> e π>5 Distribuzioe campioaria della proporzioe di successi (segue) v.c. proporzioe di successi: p = 1 i i ~ Bi r 1,π π (1 π) > 9 i E ( i ) = π Var( i ) = π ( 1 π ) # p ~ N π; π 1 π & % $ ( Z = p* π π 1 π N ( 0;1) 13

14 Distribuzioe campioaria della proporzioe di successi: esempio Nella giorata di ieri il programma i oda i prima serata sulla rete ha registrato uo share del 40%. Si determii la probabilità che, estraedo co ripe>zioe u campioe di 1000 telespeatori, almeo il 38% di essi abbia guardato il programma i oggeo. = 1000 π = 0,40 π( 1 π) = 40 > 9 # ~ Bi r ( 1,π = 0,40) p ~ N % π = 0,40, π ( 1 π ) = P% Z P p 0,38 # % $ % $ 0,38 0,40 & ( 0,004 = P Z 1,9 = 0,90147 & 1000 = 0,004 ( Distribuzioe campioaria della variaza σ = variaza della popolazioe Variaza campioaria S = 1 1 i Variaza di per il campioe osservato s = 1 ( x 1 i x) Obie8vo: defiire la distribuzioe campioaria di S 14

15 Distribuzioe campioaria della variaza (segue) Si dimostra che, se ~ N(μ,σ 1)S ~ χ da cui: σ ( 1) #( E 1 )S & #( % $ σ ( = 1; VAR 1 )S & % σ ( = 1 $ #( E 1 )S & % $ σ ( = 1 E S = 1 σ σ Variabile casuale Chi- quadro ~ χ r r v.c. Z i ~ N 0,1 idipedeti E r χ ( r = Z ) i i=1 ( ) = µ = r ( ) = σ = r VAR r = gradi di libertà (. di osservazioi idipede> del campioe meo il umero k di parametri della popolazioe che devoo essere s>ma> per mezzo delle osservazioi campioarie) χ ( r ~ N r,r ) per r 30 15

16 Distribuzioe campioaria della variaza (esempio) Sia il tempo di percorreza di ua itera corsa dell autobus CQ. Si suppoe che abbia ua distribuzioe ormale co media icogita e variaza 16. Si determii la probabilità che la deviaza campioaria S i u campioe di 13 corse dell autobus risul> superiore a 6,304 σ. =13 ~ N µ =?,σ =16 S P S 6,304σ σ ~ χ ( 1 ) = P( S σ 6,304) = = P ( χ ( 1) 6,304 ) = 0,90 = P χ ( 1) 6,304 16