Esercitazione di riepilogo II

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1 Esercitazioe di riepilogo II I questa esercitazioe faremi u ripasso geerale: rappresetazioi grafiche, medie e variaze; la correlazioe; la regressioe. 1 Esercizio 1 Gli stipedi degli impiegati di u ufficio del comue di Mestre soo i segueti: Impiegato Stipedio Calcolare media, mediaa e quartili della distribuzioe degli stipedi; 2. calcolare la variaza e coefficiete di variazioe; 3. rappresetare la distribuzioe degli stipedi mediate boxplot; 4. Come cambiao la media e la mediaa se x 9 fosse pari a 190? 5. Il comue decide di alzare gli stipedi mesili di tutti i suoi impiegati di 10 euro. Come cambierà lo stipedio mesile medio? Come cambierà la variaza degli stipedi? Soluzioe 1. La media degli stipedi è pari a x = x i = 1 ( ) = Per otteere la mediaa, dobbiamo prima di tutto cosiderare la serie delle osservazioi ordiate: Impiegato Stipedio

2 Il umero di osservazioi è = 10; poichè = 10 è pari, la mediaa è pari a x + x = x 5 + x = = Il primo quartile, ivece è pari a e il terzo quartile x = x 3 = 162 x 8 = Per il calcolo della variaza, utilizziamo la seguete formula: s 2 = 1 (x i x) 2 Tuttavia per redere i calcoli più agevoli, possiamo utilizzare equivaletemete: s 2 = 1 x 2 2 x 2 Costruiamo la tabella per i calcoli ecessari: Impiegato Stipedio (x i ) x 2 i Tot Pertato la variaza è pari a : s 2 = 1 x 2 2 x 2 = ( ) = = Il coefficiete di variazioe sarà pari a CV = s x = =

3 3. Il boxplot della distribuzioe degli stipedi dei 10 impiegati è riportato ella figura sottostate: Rifacciamo il calcolo della media sostituedo x 9 = 190 x = x i = 1 ( ) = Per la mediaa, ivece, poichè l ordiameto delle uità rimae ialterato, ache la mediaa rimae ialterata. 5. Per la liearità della media, la media di ua trasformazioe lieare dei dati è data dalla trasformazioe lieare della media. Se Y = ax + b allora ȳ = a x + b. I questo caso, Y = 10 + X e pertato ȳ = 10 + x = Ivece, la variaza di ua trasformazioe lieare Y = ax + b è data da s Y = a 2 s 2 X. I questo caso, s Y = 1 s X = s X ossia la variaza resta ivariata. 3

4 6. Sempre i base alle stesse proprieta, avedo a = 1.1 e b = 0, si ha che: ȳ = = e s 2 y = (1.1 2 ) s 2 x = Esercizio 2 Si cosideri la seguete distribuzioe delle idustrie tessili secodo il fatturato auo i milioi di vecchie lire: Fatturato Aziede Determiare la distribuzioe di frequeze relative; 2. costruire l istogramma della distribuzioe; 3. calcolare la percetuale di idustrie co fatturato auo superiore a 500 milioi e o superiore a 1.5 miliardi? 4. calcolare la classe modale del fatturato 5. calcolare il fatturato medio 6. calcolare la variaza della distribuzioe del fatturato Soluzioe 1. Costruiamo la tabella delle frequeze relative: Fatturato Aziede f i

5 2. Per costruire l istogramma di frequeza dobbiamo calcolare la desità di frequeza d i come segue: Fatturato Aziede f i A i h i = f i A i x i Pertato l istogramma è il seguete: Desity 0e+00 2e-04 4e-04 6e-04 8e Il umero di idustrie co tali caratteristiche risulta dalla somma delle frequeze assolute delle classi e La percetuale richiesta è quidi = 59.06% 4. E la classe co la desità di frequeza più elevata, che risulta essere la classe Calcoliamo il fatturato medio utilizzado la formula x = 1 5 k x i i

6 dove x i è il valore cetrale della classe i ma. La media è pertato pari a: x = 1 k x i i = 1 ( ) = Calcoliamo la variaza della distribuzioe del fatturato utilizzado la seguete tabella: Fatturato Aziede f i A i h i = f i A i x i 2 x i Da cui la variaza è pari a: s 2 = 1 K x i 2 i x 2 = Esercizio 3 I cique settimae cosecutive soo state osservati il cosumo pro-capite di gelato (i cetiaia di grammi) e la temperatura media i gradi cetigradi. I dati soo riportati ella tabella seguete. Cosumo Temperatura Stimare la retta di regressioe per spiegare il cosumo pro-capite di gelato i fuzioe della temperatura. Soluzioe Stimiamo la retta di regressioe ŷ = a + bx dove b = r s y = x iy i xȳ s y x2 i x2 a = ȳ b x Calcoliamo tutti gli elemeti ecessari per il calcolo di itercetta e coefficiete agolare della retta di regressioe: 6

7 Cosumo (y i ) Temperatura (x i ) yi 2 x 2 i x i y i Applicado le formule prima scritte: b = L itercetta risulta ivece ( ) 3165 ( ) = 0.12 a = = 0.02 Pertato la retta di regressioe stimata è ŷ i = x i. 7