CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi)

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1 CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI Esercitazioe. Data la segete distribzioe di freqeza: X N a) calcolare le freqeze relative e le freqeze relative cmlate; b) fare le loro rappresetazioi grafiche. Svolgimeto Si tratta presmibilmete di carattere cotio raggrppato i classi, per il qale calcoliamo le freqeze relative, le freqeze relative cmlate, l ampiezza delle classi e la desità corrispodete (o freqeza specifica) X f (freqeze F (f. relative d (ampiezza / d relative) cmlate) della classe) (desità) Totale 927 dove: f = = è la freqeza relativa della classe (otteto come rapporto tra la freqeza 7 = assolta della classe e la freqeza totale), co0 f, per =,, k (7); F = f i i= è la freqeza relativa cmlata che idica la merosità relativa delle classi fio alla -ma co F = f e F k = = f. k = Per la rappresetazioe grafica si ricorre ad istogramma che si compoe di tati rettagoli cotigi qato soo le classi da rappresetare. La base del rettagolo coicide co l ampiezza della classe metre l area e rappreseta la freqeza corrispodete. Dal mometo che le classi soo di diversa ampiezza è ecessario calcolare la desità di freqeza, data dal rapporto tra la freqeza e l ampiezza della classe, per determiare l altezza dei rettagoli:

2 Si tratta di a distribzioe percetale per carattere qalitativo s scala ordiale, dove le freqeze percetali si o.2 Data la segete distribzioe percetale della popolazioe residete i età di 6 ai o più per grado di istrzioe al cesimeto del 98: Elemetare Larea Diploma Media if. Alfabeti seza Aalfabeti titolo 2,8,5 23,8 58,8 3, fare opporta rappresetazioe grafica. Svolgimeto Si tratta di a distribzioe percetale per carattere qalitativo s scala ordiale, dove le freqeze percetali si ottegoo moltiplicado per 00 le freqeze relative: p = f * 00, =,,k. Si pò allora tilizzare i qesto caso diagramma a torte: Aalfabeti Larea Diploma Media iferiore Elemetare, alfabeti seza titolo L agolo del settore x corrispodete a ciasca modalità del carattere è i tal caso otteto dalla relazioe segete:

3 360 : x = 00 : p.3 Data la segete distribzioe delle società italiae co fattrato compreso tra 250 e 2000 mila miliardi di lire: Classi di fattrato Aziede rappresetare graficamete la distribzioe mediate istogramma. Svolgimeto Si tratta di a distribzioe di freqeza di carattere qatitativo cotio, raggrppato i classi: Classi d (ampiezza) h (freq. specifica) Totale L istogramma di freqeza i qesto caso è: I a classe di 25 stdeti i voti riportati all esame di matrità soo stati i segeti: a) rappresetare graficamete la distribzioe degli stdeti secodo il voto riportato alla matrità; b) dopo aver effettato a sddivisioe i classi di ampiezza 4, rappresetare graficamete il feomeo.

4 Svolgimeto Si tratta di a serie di itesità di carattere qatitativo discreto. Bisoga trasformarla i a distribzioe di freqeza: x i i Totale 25 Poiché il carattere è di tipo discreto osserviamo che le classi o hao estremi i come, ogi classe cotiee 4 elemeti trae l ltima classe che è di ampiezza 5. x i i Totale 25 La rappresetazioe grafica è diagramma a bastoi.

5 .5 Data la segete distribzioe relativa ad carattere cotio: X N Calcolare la percetale dei casi che presetao X<2; 2 X<30; X 30. Svolgimeto Tratta di carattere cotio raggrppato i classi di diversa ampiezza: X N Totale 99 dove N = i idica la freqeza assolta cmlata. i= La percetale di casi che presetao X < 2 è data da: freqeza( X < 2) N2 30 *00 = *00 = *00 = *00 = 30 %; 99 la percetale di casi che presetao 2 X < 30 è data da: freqeza( 2 X < 30) *00 = *00 = *00 = 5%; 99 ed ifie la percetale di casi che presetao X 30 è freqeza( X 30) 48 8 *00 = *00 = *00 = 8 %. 99

6 .6 Co gli stessi dati dell esercizio. calcolare la classe modale, la mediaa e la media aritmetica. Svolgimeto Calcoliamo dapprima le freqeze relative cmlate, l ampiezza e la desità di freqeza di ciasca classe: x - - x f (freqeze F (f. relative d (ampiezza / d relative) cmlate) della classe) (desità) Totale 927 Per determiare la classe modale si deve far riferimeto alla desità di freqeza aziché la freqeza assolta, dal mometo che si tratta di a distribzioe per classi di ampiezza diversa. La classe modale è dqe qella a ci corrispode desità di freqeza massima, ossia: classe modale = (0, ). La classe mediaa è ivece la classe che cotiee il valore che bi-ripartisce la distribzioe osservata ordiata secodo la modalità o decrescete del carattere: classe mediaa = (x h-, x h ) = (3, 5). Per la determiazioe del valore mediao, sotto l ipotesi che le freqeze siao eqiripartite all itero della classe, si tilizza la segete relazioe: 0.5 Fh Me = xh + ( xh xh ) = * = Fh Fh x + x La media aritmetica è ifie otteta, posto x = pari al valore cetrale di ciasca 2 classe, dalla segete formla: = 7 x x * = *(0.5*44 +.5* *22 + 4* * * *02) = = 927 = Co i dati dell esercizio.2 calcolare la moda, mediaa e i qartili della distribzioe. Svolgimeto Si tratta di a distribzioe secodo carattere qalitativo ordiabile; è pertato possibile determiare moda e mediaa ma o la media aritmetica (calcolabile solo el caso di carattere qatitativo): Titolo di stdio p i f i F i Aalfabeti Elemetare Media iferiore Diploma Larea Totale 00

7 La moda è rappresetata dal titolo di stdio elemetare (ad esso corrispode la freqeza, i qesto caso percetale, massima); la mediaa, data dalla modalità presete ella ità statistica che occpa la posizioe cetrale ella distribzioe osservata, è rappresetata acora dal titolo di stdio elemetare; per i qartili le freqeze relative cmlate di riferimeto soo F(x) = 0.25 per il primo qartile Q e F(x) = 0.75 per il terzo qartile Q 3 (il secodo qartile coicide co la mediaa), pertato si ha: Q = titolo di stdio elemetare; Q 3 = titolo di stdio media iferiore..7 Si determii il valore mediao della segete distribzioe del di sportelli per come di a certa baca i a data provicia: N sportelli tot Comi Svolgimeto Si tratta di a distribzioe secodo carattere qatitativo discreto, per la qale si ha: N sportelli Comi f i F i Totale Dal mometo che F(3) = f ( x) = 0.40 e F(4) = f ( x) = 0.54, allora M e = 4 x 3 x 4