3. Calcolo dei limiti e confronti asintotici
|
|
- Lamberto Cicci
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Lezioi di Aalisi Matematica per Iformatici a.a. 009/00) Capitolo 3 Prof. Paolo Caldiroli 3. Calcolo dei iti e cofroti asitotici 3. Itroduzioe La teoria delle serie umeriche sviluppata el capitolo ci forisce diversi criteri per determiare il carattere di ua assegata serie. La cocreta applicabilità di tali criteri si foda sulla capacità di: calcolare i iti ciò di cui abbiamo bisogo, ad esempio, se vogliamo applicare il criterio del rapporto o quello della radice, o se vogliamo verificare la codizioe ecessaria di covergeza); effettuare cofroti asitotici tra successioi esseziale quado si vuole applicare il criterio del cofroto asitotico e spesso utile ache el calcolo dei iti, specialmete i casi o risolubili elemetarmete). I questo capitolo siamo iteressati ad appredere quegli strumeti di calcolo che servoo ai suddetti scopi. Più precisamete, vedremo: ua rassega di iti otevoli, cioè iti che coivolgoo le pricipali fuzioi elemetari e si presetao come forme idetermiate, cioè o risolubili i modo immediato tramite il teorema.6; la tecica dei cofroti asitotici, che cosiste el passare da ua successioe, i geere dalla forma complicata, ad u altra, ad essa asitotica, dalla forma più semplice. Questi strumeti o solo risulterao utili per la determiazioe del comportameto di u ampia categoria di serie umeriche, ma si rivelerao adeguati per gli argometi che svilupperemo più avati, quado tratteremo le ozioi di cotiuità e di derivabilità. Per questo motivo, e per evitare iutili e lughe ripetizioi, la discussioe sul calcolo dei iti e sulla tecica dei cofroti asitotici verrà impostata sia el cotesto delle successioi, sia i quello delle fuzioi. 87
2 3. Successioi ifiitesime e divisioe per zero Defiizioe 3. Ua successioe {a } tale che a 0 si dice ifiitesima. Osserviamo che ua successioe {a } coverge ad u umero a R se e solo se la successioe {a a} è ifiitesima. Defiizioe 3. Ua successioe {a } si dice covergete ad a per eccesso se a a e a > a defiitivamete; i tal caso scriviamo a a +. Aalogamete, a coverge ad a per difetto e si scrive a a se a a e a < a defiitivamete. Ad esempio 0+, 0, metre la successioe { ) } è ifiitesima ma seza u sego defiito i suoi termii cambiao sego i modo altero). Si oti che le scritture 0 + e 0 e più i geerale a + e a ) o idicao umeri ma soo simboli che hao u seso solo el cotesto del calcolo dei iti, come espresso ella defiizioe precedete. Co le ozioi di successioe ifiitesima per eccesso o per difetto, possiamo completare il quadro sul calcolo del ite di successioi quozieti co deomiatore ifiitesimo, come formulato el seguete teorema. Teorema 3.3 Siao {a } ua successioe che ammette ite e {b } ua successioe ifiitesima. Vale che: } a a > 0 b 0 + a +, b a a < 0 b 0 + } a b, a a > 0 b 0 } a b, a a < 0 b 0 } a b + il ite a della successioe {a } può ache essere ifiito). I altri termii, possiamo trattare algebricamete i simboli 0 + e 0 el modo seguete: 0 + = + se > 0 se < 0 0 = se > 0 + se < 0. 88
3 Si oti che il caso 0 0 resta o defiito. Ioltre sottolieiamo il fatto che le scritture e o sigificao che stiamo dividedo per il umero zero ifatti 0 + e o soo umeri) ma sitetizzao ua divisioe per ua successioe ifiitesima co sego positivo se 0 + ) o egativo se 0 ). Ifie osserviamo che il caso 0 seza u sego al deomiatore) o è defiito. 3.3 Cofroto tra ifiiti Sappiamo che α + per +, se α > 0. Ioltre ache r + se r > e log b + se b >. Se ora vogliamo studiare il ite o il comportameto asitotico di successioi che soo combiazioi di poteze, espoeziali e logaritmi, ci possiamo trovare di frote a forme idetermiate del tipo oppure di risoluzioe o immediata. I questa sezioe esamiiamo situazioi di questo geere, i cui si hao quozieti o differeze di successioi divergeti di tipo diverso, precisamete co crescita espoeziale co base maggiore di ) o poteza co espoete positivo) o logaritmo a base maggiore di ) o ache co crescita fattoriale. Vedremo che a secoda della tipologia della successioe, si ha ua velocità di divergeza diversa. Il succo del discorso si può riassumere elle segueti affermazioi: la poteza cresce più rapidamete del logaritmo. l espoeziale cresce più rapidamete della poteza, il fattoriale cresce più rapidamete dell espoeziale. Il sigificato preciso di ciò è spiegato elle segueti formule: i) Se α > 0 e b > 0, b, allora α + per +. log b ii) Se r > e α R allora r + per +. α iii) Per ogi r R si ha che! + per +. r 3.) Avevamo già dimostrato la ii) el capitolo precedete Corollario.44. Vediamo ora alcue utili cosegueze delle formule 3.). Corollario 3.4 i) Se r > e α, c R allora r + c α r per +. ii) Se α, b > 0, b e c R, allora α + c log b α per +. iii) per +. 89
4 Dimostrazioe. i) Sapedo che r α r + c α r +, abbiamo che α r = + c α r per +. 0 e quidi Questo equivale a dire che r + c α r per +. La parte ii) si prova allo stesso modo sfruttado il ite α log b +. Idea della dimostrazioe di iii): si scrive = log = log e si sfrutta il fatto che log 0 e che se {a } è ua successioe ifiitesima, allora a. 3.4 Il umero di Nepero U problema di matematica fiaziaria U capitale iiziale 0 viee depositato i baca, co u tasso percetuale di iteresse auo pari al T %. Se l iteresse viee maturato tutto alla fie dell ao, il capitale fiale vale = 0 + t 0 = 0 + t) dove t = T 00. Suppoiamo ora di suddividere l ao i periodi di egual durata, al termie di ciascuo dei quali viee corrisposta ua frazioe -esima dell iteresse relativo all itero ao e suppoiamo che al termie di ogi periodo il capitale raggiuto possa essere immediatamete reivestito, alle stesse codizioi. Duque, dopo il primo degli periodi si avrà u capitale parziale pari a p = 0 + t 0 = 0 + t ) dopo il secodo periodo il capitale ammoterà a p = p + t p = p + t ) = 0 + t. ) Al termie dell ao, dopo tutti gli periodi, il capitale otteuto vale = 0 + ) t., Ci chiediamo: se sia più coveiete u ivestimeto co capitalizzazioe uica o frazioaria, 90
5 di quato il capitale possa essere evetualmete icremetato, scegliedo u regime di capitalizzazioe frazioaria, per u umero di frazioi molto grade. Per rispodere a tali questioi dobbiamo studiare il comportameto della successioe { + t ) } e possibilmete valutare il ite per +. Ciò o è affatto immediato i quato, scrivedo, ad esempio, + t ) = log + t ), l espressioe log + t ) ad espoete preseta ua forma idetermiata del tipo 0 vedi ota a pie di pagia). U primo fodametale risultato i questa direzioe è espresso dal seguete Teorema 3.5 La successioe { + ) } è o decrescete e itata e quidi covergete. Il suo ite si chiama umero di Nepero. Dimostrazioe. Poiamo a = + ) =,,...). Vogliamo dimostrare che {a } è o decrescete. A tale scopo utilizziamo alcue ozioi relative alle medie aritmetica e geometrica di u isieme fiito di umeri. Dati k umeri reali,..., k > 0 si defiiscoo: M a = + + k k M g = k k media aritmetica media geometrica Tra le medie aritmetica e geometrica sussiste la seguete relazioe: M g M a. 3.) Prededo k = +, = = = +, + =, troviamo che ) ) M g = = + ) + ) M a = ) + = ) Applicado la disuguagliaza 3.) otteiamo + ) Vale che se a allora log b a 0 qualuque sia la base b > 0, b. = + + =
6 cioè a = + ) + +) + = a+. Abbiamo così provato che la successioe {a } è o decrescete. Ora prediamo k = +, = = =, + =, calcoliamo ) ) M g = + = ) + ) + + M a = ) + = ) e applichiamo uovamete la disuguagliaza 3.) otteedo che ) + + cioè ) e quidi, passado ai reciproci, + ) + ) = + ) + = + = + ) = + ). Duque, se defiiamo b = + ) +, la precedete disuguagliaza si legge b b, cioè ci dice che la successioe {b } è o crescete. I particolare b b per ogi. D altra parte a = + ) < + ) + = b e quidi a b per ogi. Duque la successioe {a } è itata tra a = e b = 4. Per il teorema. sulle successioi mootòe itate, {a } è covergete. Stima del umero di Nepero Il umero di Nepero, defiito el teorema 3.5, si deota co la lettera e. Duque, per defiizioe, e := +. + ) Il umero e è ua delle costati matematiche fodametali. Vogliamo ora stimare il suo valore, sia per eccesso sia per difetto. I base al teorema 3.5, si ha che j e = sup + «ff : =,, ) 9
7 D altra parte, teuto coto di quato svolto ella dimostrazioe del teorema 3.5, ache la successioe + ` + coverge i quato mootòa itata) e + + «+ = + + «+ «= e. Avedo visto che la successioe ` + + è o crescete, possiamo dedurre ache che e = if + «+ : =,,...). 3.4) N Da 3.3) e 3.4) ricaviamo quidi che + «e + «+ N. Questa doppia disuguagliaza ci permette di stimare il valore di e per eccesso e per difetto. Ovviamete la stima sarà tato migliore quato più grade si prede. Si ottiee che, approssimativamete, e =, Si può dimostrare che e è u umero irrazioale si oti che e è defiito come ite di umeri razioali). Esempio 3.6 Determiare il carattere della serie + X Poiamo a =! a + a = =!. e applichiamo il criterio del rapporto. Abbiamo che + )! + ) + )! = ) = + + ) e per +. Siccome e >, e < e quidi per il criterio del rapporto la serie coverge. I particolare, siccome il termie geerale di ua serie covergete è ifiitesimo teorema.33) deduciamo ache che!! 0 per +. Ma > 0 per ogi. Quidi possiamo dire meglio che! 0+ e di cosegueza +, cioè la successioe! diverge più rapidamete della successioe dei fattoriali. Espoeziale e logaritmo aturale Co la stessa tecica vista ella dimostrazioe del teorema 3.5 si può provare che per ogi R la successioe { + ) } è o decrescete e itata e quidi è covergete. Si defiisce quidi ep) = ) + ) 93
8 La fuzioe ep) risulta soddisfare le proprietà caratteristiche delle fuzioi espoeziali a base maggiore di : { < 0 < ep ) < ep ) ep + ) = ep ) ep ). Siccome ep) = e, si ha che ep) = e cioè R + ) e per +. Riprededo il problema di matematica fiaziaria da cui siamo partiti, possiamo cocludere che è più coveiete u ivestimeto a capitalizzazioe frazioaria. Ioltre per u umero di frazioi molto grade il capitale o viee icremetato idefiitamete ma al massimo di u fattore pari al umero di Nepero elevato alla frazioe percetuale del tasso di iteresse. Osservazioe 3.7 La fuzioe ep) defiita i 3.5) i forma di ite permette di costruire direttamete l elevameto a poteza co base e) di u qualsiasi umero reale, evitado la defiizioe mediate approssimazioe co espoeti razioali, ua cui presetazioe rigorosa risulta piuttosto luga e pesate. Il logaritmo i base e di u umero > 0 si chiama logaritmo aturale o logaritmo eperiao di e si deota l o log seza idicazioe esplicita della base, che si sottitede essere il umero di Nepero. Come si vedrà i seguito quado si studierà il calcolo differeziale e quello itegrale, l espoeziale i base e ed il logaritmo eperiao godoo di proprietà tali da costituire i u certo seso le più semplici e aturali fuzioi espoeziale e logaritmica, rispettivamete, rispetto alla scelta della base. Essedo e > valgoo le segueti proprietà di ite: R e e 0 e ) e 0 + e + a a 0, + ) log a log a a log a 0) a 0 + log a a + log a Limiti otevoli per l espoeziale e il logaritmo Nella sezioe 3.4 abbiamo visto che + ) e per +. Se ora poiamo ε =, il precedete ite si scrive ella forma + ε ) ε e per + e la successioe {ε } è ua particolare successioe ifiitesima. I realtà vale la seguete geeralizzazioe. 94
9 Teorema 3.8 Se {ε } è ua successioe ifiitesima, co ε 0 e ε > per ogi, allora + ε ) ε e per +. Vediamo alcue importati cosegueze del risultato precedete. Corollario 3.9 i) Se {ε } è ua successioe ifiitesima, co ε 0 e ε > per ogi, allora log+ε) ε per +. ii) Se a è u umero positivo e {ε } è ua successioe ifiitesima, co ε 0 per ogi, allora aε ε log a per +. Dimostrazioe. i) Poiamo = +ε ) ε. Sappiamo che e. Quidi log log e. Ma log e = e log = log+ε) ε. ii) Poiamo t = a ε e ricaviamo ε i fuzioe di t. Abbiamo che a ε = + t e quidi, passado ai logaritmi, ε log a = log + t ) cioè ε = log+t) log a. Quidi a ε ε = t log a log + t ). Ifie osserviamo che, essedo {ε } ifiitesima, ache {t } lo è. Possiamo così applicare il ite log+t) t già visto el puto i) per otteere la tesi. 3.6 Successioi espoeziali a base variabile Esamiiamo il comportameto di successioi della forma = a b 3.6) dove {a } è ua successioe di umeri positivi che ammette ite e {b } è ua successioe di umeri reali che pure ammette ite. Per calcolare il ite o determiare il comportameto asitotico di tali successioi, coviee sfruttare l idetità a b b log a = e abbiamo qui scelto come base il umero di Nepero, ma avremmo potuto predere ua qualsiasi altra base). Leggedo le tabelle dei iti di espoeziale e logaritmo esposte i fodo alla sezioe 3.4 e le regole per il prodotto discusse alla fie della sezioe.4, possiamo costruire la seguete tabella, utile per il calcolo di iti di 95
10 successioi della forma 3.6). a + = { 0 se 0 < a < { + se 0 < a < + se < a + a = 0 se < a + { 0 se 0 < b + 0 b = + se b < 0 { + se 0 < b + + ) b = 0 se b < 0 I casi o coperti dalla precedete tabella soo: 0 0, ±, + 0 e costituiscoo ulteriori forme idetermiate. Ciò sigifica che, ad esempio, se a e b +, o è possibile dare ua risposta valida i geerale sul ite di a b ; tale ite dipede dal caso specifico i esame. Nota bee. Nella tabella precedete la scrittura 0 b = + quado b < 0 è da itedere, più correttamete, come 0 + ) b = cioè va letta i questo modo: se a 0 + e b b co b < 0 allora a b La ozioe di ite per fuzioi reali di variabile reale Suppoiamo di avere ua fuzioe f) di variabile reale, a valori i R. I geerale la fuzioe f) sarà defiita per i u sottoisieme D di R D è il domiio della fuzioe). Tipicamete il domiio D è esprimibile come uioe di itervalli ad esempio, la fuzioe f) = log+) è defiita per quegli tali che + > 0 e 0; duque il domiio di f è l isieme D =, 0) 0, + )). Se u certo itervallo fa parte del domiio D della fuzioe e i suoi estremi o stao i D, u iformazioe importate per compredere come è fatto il grafico di f è data dalla coosceza del comportameto di f) per valori di prossimi a ciascuo degli estremi dell itervallo. Peraltro, come ell esempio sopra riportato, può succedere che uo o etrambi gli estremi siao valori fiiti o ifiiti. Duque siamo iteressati alla questioe seguete: fissato u puto a R che o è detto appartega al domiio di f), itediamo valutare il comportameto di f) quado si avvicia ad a. Naturalmete, affiché la questioe abbia seso, occorre che la fuzioe f) sia defiita almeo per valori di vicii ad a, evetualmete ache solo a destra o solo a siistra del puto a. A tale scopo iiziamo a dare la seguete defiizioe i parte già icotrata el capitolo ). 96
11 Defiizioe 3.0 Dato u umero a R chiamiamo itoro di a u qualsiasi itervallo della forma a δ, a + δ) co δ > 0. U itervallo del tipo a, a + δ) rispettivamete, a δ, a)) si dice itoro destro rispettiv., siistro) di a. Se la fuzioe f) è defiita ache i u itervallo ilitato, ad esempio, 0, + ), può essere utile studiare il comportameto di f) per valori di sempre più gradi. I altri termii, siamo iteressati a cosiderare ache il caso i cui a = + e ache a = ). Per forire ua trattazioe uificata, adiamo quidi ad estedere la ozioe di itoro di a ache al caso i cui a è u valore ifiito. Defiizioe 3. U itervallo del tipo, + ) rispettivamete,, )) co R qualsiasi, si chiama itoro di + rispettivamete, di ). Aalogamete a quato visto per le successioi, la ozioe matematica adeguata a descrivere il comportameto di f) quado si avvicia ad a è quella di ite. La ozioe di ite per fuzioi si può formulare i termii di quella già icotrata el cotesto delle successioi, i questo modo: Defiizioe 3. Sia a u umero reale oppure + o e sia I u itoro di a. Data ua fuzioe reale f) defiita per ogi I \ {a}, u umero reale esteso L si dice ite di f) per a e si scrive L = f) oppure f) L per a a se PER OGNI successioe {a } coteuta i I \ {a} tale che che fa ) = L. + a = a si ha + Se la fuzioe f) è defiita soltato i u itoro destro o siistro) di u umero reale a, è aturale itrodurre la ozioe di ite destro o siistro) el modo seguete. 97
12 Defiizioe 3.3 Sia a u umero reale e sia I u itoro destro di a. Data ua fuzioe reale f) defiita per ogi I, u umero reale esteso L si dice ite destro di f) per a e si scrive L = f) oppure f) L per a+ a + se PER OGNI successioe {a } coteuta i I e tale che a a + si ha che fa ) = L. I modo aalogo si defiisce il ite siistro scrivedo a al + posto di a + ). Dati u umero reale a, u suo itoro I e ua fuzioe f) defiita almeo per ogi I \ {a}, si possoo cosiderare separatamete il ite destro, il ite siistro e il ite di f) per che tede ad a. Il legame tra tali iti è espresso dal seguete teorema. Teorema 3.4 Siao a u umero reale, I u itoro di a e f) ua fuzioe a valori reali defiita per ogi I \ {a}. Si ha che f) = L a f) = f) = L. a + a Osservazioe 3.5 i) Nell ambito delle successioi, si studia il comportameto di ua sequeza di umeri idicizzati da u parametro itero positivo per valori di sempre più gradi e ifatti, il ite di ua successioe {a } è sempre preso per + ). Ivece, per i iti di fuzioi è esseziale precisare il valore cui tede la variabile idipedete. Ad esempio, u coto è valutare il ite di log+) +. per 0, altra cosa è il ite della stessa fuzioe per + o per ii) Per valutare il ite di ua certa fuzioe f) per a, o basta studiare come si comporta la fuzioe lugo ua particolare successioe che tede ad a ma, i base alla defiizioe, occorre valutare il comportameto di fa ) su tutte le successioi a a. Solo se tale ite è lo stesso valore L fiito o ifiito) per tutte le successioi a che tedoo ad a, allora si può cocludere che L è il ite di f) per a. Ad esempio, cosideriamo la fuzioe f) = si e studiamoe il ite per +. Se scegliamo la successioe a = π che diverge a + ) otteiamo che fa ) = 0 per ogi e quidi ache fa ) = 0. Se però prediamo la + successioe ã = π +π che pure diverge a + ) otteiamo che fã ) = per ogi 98
13 e quidi ache fã ) =. Duque la fuzioe f) = si o ammette + ite per +. Esempio 3.6 i iti delle fuzioi elemetari) Riportiamo di seguito i iti delle fuzioi elemetari agli estremi degli itervalli su cui soo defiite. Il grafico delle fuzioi dovrebbe chiarire il sigificato geometrico dei iti i questioe. f) = co itero positivo dispari = + = + f) = co itero positivo pari = + = + f) = = co itero positivo dispari + 0 = = = + f) = 0 = = + co itero positivo pari = 0 99
14 caso α > caso 0 < α < f) = α co α > 0 + α = + α = f) = a co a > a = 0 + a = + f) = log a co a > log 0 + a = log a = + + f) = si o esistoo f) = cos o esistoo si ± cos ± f) = ta π π ta = + π o esiste ta π ta = π + 00
15 π f) = arcta arcta = π π + arcta = π Esempio 3.7 alcui iti otevoli fodametali) Applicado la defiizioe di ite di fuzioi e usado i iti di successioi dati el teorema 3.8 e el corollario 3.9, possiamo subito risolvere i segueti casi: + ) log + ) a = e = = log a a > Si oti che soo iti o immediati trattadosi di situazioi della forma 0 0. Tutti i iti precedeti soo da teer be presete per il loro utilizzo egli esercizi. 3.8 I teoremi fodametali sui iti di fuzioi Attraverso la defiizioe di ite di fuzioe, tutti i teoremi fodametali sui iti di successioi ammettoo ua corrispodete versioe per i iti di fuzioi. Uicità del ite Se f) L per a e ache f) L per a, allora L = L. Permaeza del sego i) Se f) L per a e L > 0 allora esiste u itoro I di a tale che f) > 0 per ogi I, a. ii) Ioltre, se f) L per a e f) 0 per ogi I \ {a} dove I è u itoro di a, allora L 0. Teorema del cofroto Siao f), g) e h) tre fuzioi a valori reali defiite per ogi I \ {a}, dove I è u itoro di a. Suppoiamo che f) g) h) I \ {a}, f) L e h) L per a. Allora ache g) L per a. 0
16 Limite e operazioi algebriche Se f) L e g) M per a allora f)+g) L+M e f) g) L M per a. Se ioltre g) 0 per ogi I \ {a} I itoro di a), allora f) g) L M per a. Tali coclusioi valgoo i tutti i casi che o siao forme idetermiate. Sul ite di fuzioi vale ache questa ulteriore importate proprietà: Composizioe di iti Se a f) = L e L g) = M allora a gf)) = M. Osservazioe 3.8 Tutti i teoremi fodametali sui iti precedetemete elecati valgoo ache per il ite destro e per il ite siistro. Il risultato sulla composizioe di iti è molto utile perché permette di effettuare delle sostituzioi el calcolo dei iti, al fie di semplificare i coti. Ifatti tale risultato ci dice che se vogliamo calcolare gf)) e sappiamo che f) = L, a a possiamo porre = f), trasformare il ite iiziale scrivedo che gf)) = g) a L e, ifie, calcolare direttamete l ultimo ite. Esempio 3.9 Verifichiamo che + ) α = α α R. 0 Osserviamo che si tratta di ua forma idetermiata del tipo 0 0 risolvere i modo immediato. Poiamo e quidi o si può Duque = log + ) cioè = e. + ) α = eα e. Sappiamo che se 0 allora = log + ) 0 e quidi + ) α e α = 0 0 e. 0
17 Ora scriviamo Sappiamo che e α e = eα α e α. 0 e = 0 e = Ioltre, effettuado la sostituzioe t = α abbiamo ache che e α e t = = 0 α t 0 t e così fialmete, applicado la regola dei iti del prodotto, otteiamo il risultato desiderato. 3.9 Limiti otevoli per le fuzioi trigoometriche Teorema 3.0 si =. 0 Dimostrazioe. La dimostrazioe qui presetata costa di tre parti; ella prima parte si prova, per via geometrica, la disuguagliaza Nella secoda parte si dimostra il ite destro prova la tesi completa del teorema. cos si ) 0, π. 3.7) si 0 + =. Ifie, ella terza parte si Prima parte: dimostrazioe di 3.7). Fissato 0, π ), costruiamo la figura seguete, i cui rappreseta l agolo i radiati compreso tra le semirette usceti dall origie e passati per A e B. Abbiamo che: O area del triagolo OAB = OA BH B H C = si A, OA = OB = BH = si AB = AC = ta 03
18 OA AB area del settore circolare OAB = =, OA AC area del triagolo OAC = = ta. Quidi, cofrotado le tre figure geometriche di cui abbiamo calcolato l area, troviamo che si ta cioè si si cos. Siccome 0, π ) abbiamo che si > 0 e cos > 0 e quidi, dividedo per si e passado ai reciproci, otteiamo la disuguagliaza 3.7). si Secoda parte: 0 + =. Come abbiamo visto, si ha che 0 < si < per ogi 0, π ). Per il teorema del cofroto per il ite destro, otteiamo che si 0 per 0 +. Dall idetità fodametale della trigoometria deduciamo che cos ) = si ) per 0 + e quidi, essedo cos > 0 per 0, π ), ricaviamo che cos per 0+. Ifie, applicado di uovo il teorema del cofroto, grazie a 3.7) otteiamo che si per 0 +. Terza parte: coclusioe. Calcoliamo il ite siistro si 0 Ma si ) = si per ogi R e quidi. Effettuado la sostituzioe = abbiamo che si 0 = si ). 0 + si ) si si = = = per quato provato ella secoda parte. Duque ache il ite siistro vale. Pertato, per il teorema 3.4, possiamo cocludere che si per 0. Teorema 3. Se 0 allora cos, ta, arcsi, arcta. Dimostrazioe. Per otteere il primo ite moltiplichiamo e dividiamo per + cos e sfruttiamo l idetità fodametale della trigoometria e il ite otevole provato el teorema 3.0: cos cos ) = + cos ) = si ) + cos ) = 04 si ) + cos.
19 Per il secodo ite utilizziamo la defiizioe di tagete e acora il ite otevole del teorema 3.0: ta = si cos. Per quato riguarda il terzo ite, effettuiamo la sostituzioe = si, osservado che se 0 allora = arcsi 0 e quidi, per il teorema sulla composizioe dei iti, arcsi arcsisi ) = = 0 0 si 0 si =. Aalogamete, per dimostrare il quarto ite, effettuiamo la sostituzioe = ta e troviamo: arcta arctata ) = = 0 0 ta 0 ta =. Naturalmete, grazie alla defiizioe stessa di ite di fuzioi, tutti i iti sopra discussi si possoo riformulare i versioe sequeziale el modo seguete: se {ε } è ua successioe ifiitesima, co ε 0 per ogi, allora si ε ε, cos ε ε, ta ε ε, arcsi ε ε, arcta ε ε. 3.0 Relazioi asitotiche otevoli Ricordiamo che due successioi {a } e {b }, co b 0 per ogi, si dicoo asitotiche e si scrive a b ) se a b. Teuto coto dei iti fiora icotrati, abbiamo giustificato tutte le relazioi asitotiche elecate ella tabella riportata ell osservazioe.48 del capitolo precedete. ifiitesima {ε } co ε 0 per ogi, il ite Ad esempio, data ua successioe + log+ε ) ε = si riformula i termii di relazioe asitotica scrivedo che log + ε ) ε per +. Tutte le relazioi asitotiche della tabella sopra citata si possoo formulare equivaletemete el cotesto dei iti di fuzioi. Più precisamete, due fuzioi f) f) e g) si dirao asitotiche per a se a g) =. Naturalmete, affiché abbia seso parlare di ite del rapporto f) g) per a occorre che f) e g) siao defiite i u itoro di a, escluso evetualmete il valore a, e che g) o si aulli mai i tale itoro. Duque la tabella riportata ell osservazioe.48 può essere riscritta co 0 05
20 al posto della successioe ifiitesima {ε }: Per 0 si ha che log + ) a log a a > 0) si arcsi cos + ) α α α 0) ta arcta Nota bee! Tali relazioi asitotiche valgoo solo per 0. Se si vuole trovare l adameto asitotico di ua fuzioe f) vicio ad u valore a 0, ci si può sempre riportare al caso a = 0 effettuado ua traslazioe, cioè cosiderado la fuzioe g) = f + a) e studiado g) vicio a 0. Ad esempio, cosideriamo f) = 3 3 e cerchiamo il comportameto asitotico di f) vicio a i cui la fuzioe o è defiita). Posto =, troviamo f) = Ora defiiamo g) = e cerchiamo il comportameto asitotico di g) i 0. Possiamo sfruttare la relazioe + ) α α per 0), per cocludere che g) cioè, torado alla variabile, 3 /3 = 3 /3 per 0 f) 3 )/3 per. 3. Uso delle relazioi asitotiche Per la relazioe di asitoticità tra fuzioi valgoo le stesse regole già viste el caso delle successioi, cioè: se f) L per a co L R, L 0, allora f) L per a, se f) g) per a allora f)) α g)) α per a, per ogi α; i particolare f) g) per a, 06
21 { f ) g ) se f ) g ) { f ) g ) se f ) g ) per a allora f ) f ) g ) g ) per a, per a allora f ) f ) g ) g ) per a. Ivece i geerale o è vero che se f ) g ) e f ) g ) allora f ) + f ) g ) + g ). Ioltre o si può mai scrivere che f) 0 perché o si può eseguire la divisioe per zero). cos Esempio 3. Stabilire se esiste il ite. 0 e Dalla tabella precedete, per 0 si ha che cos e e. Quidi, ricordado che =, abbiamo che Duque cos e 0 + = = se > 0 se < 0. cos e = cos e 0 e =. Siccome il ite destro e il ite siistro soo diversi, il ite esiste. 0 cos e o 07
SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.
SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....
Dettagli1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti
6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo
DettagliESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si
DettagliCapitolo 5. Successioni numeriche
Capitolo 5 Successioi umeriche Ua successioe è ua fuzioe avete domiio N o u suo sottoisieme del tipo A = { N > 0, 0 N} e come codomiio R e che associa a ogi umero aturale u umero reale a. La legge di ua
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!
DettagliSUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioni cap3b.pdf 1
SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X =
DettagliSERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)
SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log
Dettagli4 - Le serie. a k = a k. S = k=1
4 - Le serie E veiamo ad uo degli argometi più ostici (ma ache più iteressati) dell aalisi: le serie. Ricordiamo brevemete cos è ua serie e cosa vuol dire covergeza per ua serie. Defiizioe 1. Data ua successioe
DettagliSUCCESSIONI DI FUNZIONI
SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe
Dettagli11 IL CALCOLO DEI LIMITI
IL CALCOLO DEI LIMITI Il calcolo di u ite spesso si ricodurrà a trattare separatamete iti più semplici, su cui poi si farao operazioi algebriche. Dato che uo o più di questi iti possoo essere ±, bisoga
DettagliEsercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim.
Esercizi svolti. Calcolare i segueti iti: a log + + c ± ta 5 + 5 si π e b + si si e d + f + 4 5 g + 6 4 6 h 4 + i + + + l ± + log + log 7 log 5 + 4 log m + + + o cos + si p + e q si s e ta cos e u siπ
Dettagli(x log x) n2. (14) n + log n
Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali- Aalisi Matematica A (c.l.t. i Fisica) Prova parziale del 8 Novembre 20 Svolgere gli esercizi segueti. Studiare il domiio ed il comportameto della serie
Dettaglin 1 = n b) {( 1) n } = c) {n!} In questo caso la successione è definita per ricorrenza: a 0 = 1, a n = n a n 1 per ogni n 1.
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 0: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale - Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Successioi umeriche:
Dettagli1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n
Esercizi preparati e i parte svolti martedì 0.. Calcolare al variare di α > 0 Soluzioe: + ) α Per α il ite è e; se α osserviamo che da + /) < e segue che α + ) α [ + ) ] α < e α Per α > le successioi e
DettagliAnalisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1
Aalisi Matematica Soluzioi prova scritta parziale. 1 Corso di laurea i Fisica, 018-019 3 dicembre 018 1. Dire per quali valori dei parametri α R, β R, α > 0, β > 0 coverge la serie + (!) α β. ( )! =1 Soluzioe.
Dettaglix n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma
1 Serie di poteze È stato dimostrato che la serie geometrica x (1.1) coverge se e solo se la ragioe x soddisfa la disuguagliaza 1 < x < 1. I realtà c è covergeza assoluta i ] 1, 1[. Per x 1 la serie diverge
Dettagli( 1) k+1 x k + R N+1 (x), k. 1 + x 10 2, 5 R N+1 ( 1 3 ) ) )
Esercizi di Aalisi - Alberto Valli - AA 05/06 - Foglio 8. Fatevi veire u idea per calcolare log48 alla secoda cifra decimale. Lo sviluppo di Taylor di log( + ) è covergete per solo per (,]. Duque bisoga
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti
DettagliLIMITI DI SUCCESSIONI
LIMITI DI SUCCESSIONI Formalmete, ua successioe di elemeti di u dato isieme A è u'applicazioe dall'isieme N dei umeri aturali i A: L'elemeto a della successioe è quidi l'immagie a = f) del umero secodo
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioi di Aalisi Matematica per i corsi di Laurea i Igegeria Chimica e Igegeria per l Ambiete e il Territorio dell Uiversità di Bologa. Ao Accademico
Dettagli15 - Successioni Numeriche e di Funzioni
Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 15 - Successioi Numeriche e di Fuzioi Ao Accademico 2013/2014 M Tummiello, V Lacagia,
Dettaglia n (x x 0 ) n. (1.1) n=0
Serie di poteze. Defiizioi Assegati ua successioe {a } di umeri reali e u puto x dell asse reale si dice serie di poteze u espressioe del tipo a (x x ). (.) Il puto x viee detto cetro della serie e i umeri
Dettaglin + 1 n + 2 = 1 n + 1 n n n Esercizio. Verificare il seguente limite a partire dalla definizione: n n 2 + n + 1 = 0 lim
3.. Esercizio. Ricoosciuto che determiare i valori ε tali che ε : ANALISI Soluzioi del Foglio 3 + = + ε essedo ε ua prima volta e ua secoda 0.5 ε = 9 ottobre 009 + + disuguagliaza soddisfatta da ogi N,
DettagliSoluzioni degli esercizi di Analisi Matematica I
Soluzioi degli esercizi di Aalisi Matematica I (Prof. Pierpaolo Natalii) Roberta Biachii 6 ovembre 2016 FOGLIO 1 1. Determiare il domiio e il sego della fuzioe ( ) f(x) = arccos x2 1 x + 1 π/3. 2. Dimostrare,
DettagliDOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI
DOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI I questa scheda soo proposte alcue domade teoriche sul cocetto di ite e alcui esercizi sul calcolo di iti proposti a temi d esame egli scorsi ai.
DettagliSerie di potenze / Esercizi svolti
MGuida, SRolado, 204 Serie di poteze / Esercizi svolti Si cosideri la serie di poteze (a) Determiare il raggio di covergeza 2 + x (b) Determiare l itervallo I di covergeza putuale (c) Dire se la serie
DettagliRichiami sulle potenze
Richiami sulle poteze Dopo le rette, le fuzioi più semplici soo le poteze: Distiguiamo tra: - poteze co espoete itero - poteze co espoete frazioario (razioale) - poteze co espoete reale = Domiio delle
DettagliI appello - 11 Dicembre 2006
Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 I appello - Dicembre 006 ) Calcolare il seguete ite: [ ( )] + cos. + ) Data la fuzioe f() = e +, < 0, 0, =, =,,..., log( + ), 0,, =,,...,
DettagliCorso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli
Uiversità di Treto - Corso di Laurea i Igegeria Civile e Igegeria per l Ambiete e il Territorio - 07/8 Corso di Aalisi Matematica - professore Alberto Valli 8 foglio di esercizi - 5 ovembre 07 Taylor,
DettagliMatematica I, Limiti di successioni (II).
Matematica I, 05102012 Limiti di successioi II) 1 Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2, α R), b, = 0, 1, 2, b R), log b, = 1, 2, b > 0, b 1), si, = 0, 1, 2,, cos, = 0, 1, 2,, per + hao il seguete
Dettagli1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;
. Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: + + + 0. Pertato, per il criterio del cofroto
Dettagli2.5 Convergenza assoluta e non
.5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello
DettagliSUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 1
SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. Successioi RICHIAMI Ua successioe di elemeti di u isieme X è ua fuzioe f: N X. E covezioe scrivere f( ) = x, e idicare le successioi mediate la ifiitupla ordiata delle
DettagliANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22/11/2013. = a 24 24! log(1 + x) = ( 1) = (24!) 1 24 = 23!. e x2 dx. x 2n
ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22//23 Esercizio Calcolare la 2esima derivata del logaritmo el puto. Risposta Si tratta di calcolare d 2 dx 2 log( + x) x= = a 2 2! dove a 2 è il termie di idice
DettagliPrecorso di Matematica, aa , (IV)
Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe
Dettagli( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ
LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a
Dettagli(a 0, a 1, a 2,..., a n,...) (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),... (1, 3, 5, 7,...) Lezione del 26 settembre. 1. Successioni.
Lezioe del 26 settembre. 1. Successioi. Defiizioe 1 Ua successioe di umeri reali e ua legge che associa a ogi umero aturale = 0, 1, 2,... u umero reale - i breve: e ua fuzioe N R; si scrive ella forma
DettagliSerie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X.
Serie umeriche Paola Rubbioi Deizioe, serie otevoli e primi risultati Deizioe.. Data ua successioe di umeri reali (a ) 2N, si dice serie umerica la successioe delle somme parziali (S ) 2N, ove S = a +
DettagliElementi della teoria delle serie numeriche
Elemeti della teoria delle serie umeriche Geeralita Lo studio delle serie costituisce ua sistemazioe rigorosa del cocetto di somma di ua successioe (ifiita) di addedi : sia (a ) N ua successioe i R. Vogliamo
Dettagli1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.
Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):
DettagliSoluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.
60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: + 4 3 9 Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: + 4 3 9 Si tratta
DettagliEsponenziale complesso
Espoeziale complesso P.Rubbioi 1 Serie el campo complesso Per forire il cocetto di serie el campo complesso abbiamo bisogo di itrodurre la defiizioe di limite per successioi di umeri complessi. Defiizioe
Dettaglik=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se
Serie di fuzioi Sia I R, per ogi k N, data la successioe di fuzioi (f k ) k co f k : I R, cosideriamo la serie di fuzioi (0.) f k () k=0 e defiiamo la successioe delle somme parziali s () = k=0 f k().
Dettagli16 - Serie Numeriche
Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 6 - Serie Numeriche Ao Accademico 03/04 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S.
DettagliEsercizi su serie numeriche - svolgimenti
Esercizi su serie umeriche - svolgimeti Osserviamo che vale la doppia diseguagliaza + si, e quidi la serie è a termii positivi Duque la somma della serie esiste fiita o uguale a + Ioltre valgoo le diseguagliaze
DettagliSoluzioni degli esercizi del corso di Analisi Matematica I
Soluzioi degli esercizi del corso di Aalisi Matematica I Prof. Pierpaolo Natalii Roberta Biachii & Marco Pezzulla ovembre 015 FOGLIO 1 1. Determiare il domiio e il sego della fuzioe ( ) f(x) = arccos x
DettagliSOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 2015/16, FOGLIO 2. se x [n, 3n]
SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 05/6, FOGLIO Sia f : R R defiita da f x { se x [, 3] 0 altrimeti Studiare la covergeza putuale, uiforme e uiforme sui compatti della successioe f e della
DettagliRisoluzione del compito n. 3 (Febbraio 2018/2)
Risoluzioe del compito. 3 (Febbraio 08/ PROBLEMA a Determiate le soluzioi τ C dell equazioe τ iτ +=0. { αβ =4 b Determiate le soluzioi (α, β, co α, β C,delsistema α + β =i. c Determiate tutte le soluzioi
DettagliAnalisi Matematica I
Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio Domada La derivata della fuzioe f) log ) si è ) log )si B) log )cos ) log ) si cos loglog ) + si ) log
DettagliEsercizi sui limiti di successioni
AM0 - AA 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sui iti di successioi Esercizio svolto a) Usado la defiizioe di ite, dimostare che: + 3 si π cos e ) e b) 0 Soluzioe Comiciamo da a) Vogliamo dimostrare che: ε
DettagliAnalisi Matematica A e B Soluzioni prova scritta n. 4
Aalisi Matematica A e B Soluzioi prova scritta. 4 Corso di laurea i Fisica, 17-18 3 settembre 18 1. Scrivere le soluzioi dell equazioe differeziale ( u u + u = e x si x + 1 ). 1 + x Soluzioe. Si tratta
Dettagli0.1 Esercitazioni V, del 18/11/2008
1 0.1 Esercitazioi V, del 18/11/2008 Esercizio 0.1.1. Risolvere usado Cramer il seguete sistema lieare x + y + z = 1 kx + y z = 0 x kz = 1 Soluzioe: Il determiate della matrice dei coefficieti è (k 2)(k
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche Silvio Vianelli
Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia Dip. di Scieze Statistiche e Matematiche Silvio Viaelli Apputi del corso di Matematica Geerale Le Serie Ao Accademico 2009/200 V. Lacagia - S. Piraio
Dettagli1 Successioni numeriche
Aalisi Matematica 2 Successioi umeriche CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 5 SERIE NUMERICHE Chiamiamo successioe di umeri reali ua fuzioe a valori reali defiita su N oppure
DettagliSoluzioni di esercizi del secondo esonero di Analisi Matematica /18.
Esercizio. Sia Soluzioi di esercizi del secodo esoero di Aalisi Matematica 207/8. a 3 2 + π si si +. a Determiare, al variare di a > 0, se esiste, lim 0 + u a. b Determiare, al variare di a > 0, se esiste,
DettagliSECONDO ESONERO DI AM1 10/01/ Soluzioni
Esercizio. Calcolare i segueti iti: Razioalizzado si ottiee SECONDO ESONERO DI AM 0/0/2008 - Soluzioi 2 + 2, 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = Per il secodo ite ci soo vari modi, e mostro tre. Ora ( ) ( + si = +
Dettagli4 - Le serie Soluzioni. n + 3. n + 3. n + 2
4 - Le serie Soluzioi Esercizio. Studiare la covergeza delle serie: + + 2 + cos!) 2 cosπ). Per la prima serie si ha 0 + + 2 + = 2. Dal mometo che la serie di termie geerico 2 è covergete serie armoica
DettagliAnalisi Matematica 1 Matematica
Aalisi Matematica 1 Matematica Secodo Compitio Luedì 30 Geaio 01 VERSIONE A Esercizio 1 (8 puti) Sia α R u parametro e si cosideri la serie di poteze complessa z. i) Calcolare il raggio di covergeza R
DettagliTutorato Analisi 1 Ing. Edile - Architettura 16/17 Tutor: Irene Rocca
Tutorato Aalisi Ig Edile - Architettura 6/7 Tutor: Iree Rocca 0//206 - Limiti di successioe e iti di fuzioe Calcolare i segueti iti di successioe: ( ) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 3 2 e (d) + 2 log 3 3
DettagliEsercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) =
Esercitazioe 3 Successioi di fuzioi Esercizio : Studiare la covergeza i (0, ) della successioe {f } dove f (x) = metre Sol.: Si verifica facilmete che lim f (x) = 0 x (0, ) lim sup f (x) = lim = + (0,)
DettagliCenni di calcolo combinatorio
Appedice B Cei di calcolo combiatorio B Disposizioi, combiazioi, permutazioi Il calcolo combiatorio si occupa di alcue questioi iereti allo studio delle modalità secodo cui si possoo raggruppare degli
Dettagli1. Converge. La serie è a segno alterno. Non possiamo usare il criterio di assoluta convergenza, perché
Soluzioi.. Coverge. La serie è a sego altero. No possiamo usare il criterio di assoluta covergeza, perché log log a = > + e il fatto che la serie i valore assoluto diverge o permette di trarre coclusioi
Dettaglin + 2n 3 ; (1) lim n 2 log n + n (2) lim 2 n + 5 n = (3) lim Soluzione. (1). Riscrivendo oppportunamente la successione, si ha n2 (1 + 1/n 2 ) = n
Limiti di Successioi Ifiiti ed Ifiitesimi Esercizio Calcolare se esistoo i segueti iti: + + ; log + + + 5 ;! + +! Soluzioe Riscrivedo oppportuamete la successioe si ha + a = = + / = + Poichè + = + + =
DettagliSuccessioni e limiti di successioni
Successioi e limiti di successioi Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Uiversità degli Studi di Padova Dipartimeto di Matematica 24 ottobre 2016 Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva
DettagliElementi di calcolo combinatorio
Appedice A Elemeti di calcolo combiatorio A.1 Disposizioi, combiazioi, permutazioi Il calcolo combiatorio si occupa di alcue questioi iereti allo studio delle modalità secodo cui si possoo raggruppare
DettagliEsercizi sulle Serie numeriche
AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Serie umeriche Esercizio svolto. Discutere il comportameto delle segueti serie umeriche: a +! b [ ] log c log+ d log + e arcta f g h i l log log! 3! 4
Dettagli1 Esponenziale e logaritmo.
Espoeziale e logaritmo.. Risultati prelimiari. Lemma a b = a b Lemma Disuguagliaza di Beroulli per ogi α e per ogi ln a k b k. k=0 + α + α Teorema Disuguagliaza delle medie Per ogi ln, per ogi upla {a
DettagliCAP. V Limiti di funzioni reali
CAP V Limiti di fuzioi reali Data ua fuzioe ƒ( defiita i u itervallo X escluso al più u puto di X, a volte iteressa esamiare il comportameto di ƒ( quado si avvicia ad I alcui casi accade che ƒ( si avvicii
Dettagli06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI
06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI Ua successioe è ua fuzioe defiita i. I simboli ua f : A tale che f ( ) è ua successioe di elemeti di A. Se poiamo f ( i) ai co i,...,,..., ua successioe può essere rappresetata
DettagliDefinizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.
SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a 2 + + a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale
Dettagli2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)
Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego,
DettagliAlgoritmi e Strutture Dati (Elementi)
Algoritmi e Strutture Dati (Elemeti Esercizi sulle ricorreze Proff. Paola Boizzoi / Giacarlo Mauri / Claudio Zadro Ao Accademico 00/003 Apputi scritti da Alberto Leporati e Rosalba Zizza Esercizio 1 Posti
DettagliLimiti di successioni
Limiti di successioi Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Uiversità degli Studi di Padova Dipartimeto di Matematica 20 ottobre 2015 Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Itroduzioe
DettagliProgramma (orientativo) secondo semestre 32 ore - 16 lezioni
Programma (orietativo) secodo semestre 32 ore - 6 lezioi 3 lezioi: successioi e serie 4 lezioi: itegrali 2-3 lezioi: equazioi differeziali 4 lezioi: sistemi di equazioi e calcolo vettoriale e matriciale
Dettagli2.4 Criteri di convergenza per le serie
2.4 Criteri di covergeza per le serie Come si è già acceato i precedeza, spesso è facile accertare la covergeza di ua serie seza cooscere la somma. Ciò è reso possibile da alcui comodi criteri che foriscoo
Dettagli5. Derivate. Derivate. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate di funzioni composte e di funzioni inverse
Di cosa parleremo Le derivate costituiscoo, per la maggioraza degli studeti, l argometo più semplice di questa parte dell aalisi matematica. I questo capitolo e daremo il cocetto assieme al sigificato
DettagliProposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.
Laboratorio di Matematica, A.A. 009-010; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile
Dettagli1.10 La funzione esponenziale
6. Risolvere le segueti disequazioi: (i) x + x + 3 2; (ii) x + 2 x > ; (iii) 4x 2 < x 3; (iv) 3x 2 > x 2 3; (v) x 2x 2 > 2x 2 ; (vi) x 3 x 2 > x. 7. Provare che per ogi a R si ha maxa, 0} = a + a 2, mia,
DettagliCorrezione del primo compitino di Analisi 1 e 2 A.A. 2014/2015
Correzioe del primo compitio di Aalisi e 2 A.A. 20/205 Luca Ghidelli, Giovai Paolii, Leoardo Tolomeo 5 dicembre 20 Esercizio Testo. Calcolare, se esiste, + 3 + 5 + + (2 ). 2 + + 6 + + 2 Soluzioe. Al deomiatore
DettagliMatematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1
Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti Lorezo Freddi Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 206, 3300 Udie,
Dettagli9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE
9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE Iiziamo ora ad esamiare gli argometi veri e propri di questa prima parte del corso, i cui svilupperemo gli strumeti per giugere a descrivere soddisfacetemete le proprietà
DettagliESAME DI MATEMATICA I Modulo di Analisi Matematica Corso 3 Anno Accademico 2008/2009 Docente: R. Argiolas
ESAME DI MATEMATICA I Modulo di Aalisi Matematica Corso Ao Accademico 8/9 Docete: R Argiolas Cogome Matricola Febbraio 9 ore 9 Aula C Nome Corso voto Esercizio Assegata la fuzioe f ( arcta a Si determii
DettagliSerie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti
Serie umeriche e di fuzioi - Esercizi svolti Serie umeriche Esercizio. Discutere la covergeza delle serie segueti a) 3, b) 5, c) 4! (4), d) ( ) e. Esercizio. Calcolare la somma delle serie segueti a) (
DettagliMatematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1
Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti 1 Lorezo Freddi 1 1 Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 06, 33100
DettagliAnalisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 1
Aalisi Matematica I modulo Soluzioi prova scritta prelimiare 1 Corso di laurea i Matematica, aa 004-005 9 ovembre 004 1 (a) Calcolare il seguete limite: **A***** Soluzioe Si ha ( + log ) ( + log ) lim
DettagliESERCITAZIONI DI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI (A.A. 08/09, CANALE E-O)
ESERCITAZIONI DI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI (A.A. 08/09, CANALE E-O) DISPENSA N. 1 1. Limiti superiori, iferiori ed esatti, O, Ω, Θ Defiizioe 1.1 (Limitazioe Superiore). Diciamo che g() è ua itazioe superiore
DettagliEsercizi Determinare il dominio di de nizione delle seguenti funzioni: a.
Esercizi -. Determiare il domiio di deizioe delle segueti fuzioi a. () = log jj p (jj ) b. () = µ 5 c. d. e. f. g. h. i. j. () =log jj () = 4p j j! Ã () =arcsi () = log 3 + () =log(jj ) p jj () =log(jcos
DettagliLimiti di successioni
Limiti di successioi Ricordiamo che si chiama successioe (umerica) ua qualsiasi fuzioe a : N a () R. Per evideziare il fatto che i valori assuti dalla fuzioe a si possoo umerare (cioè cotare), si preferisce
DettagliOttavio Serra La costante C di Eulero-Mascheroni e la funzione Gamma. 1. =
Ottavio Serra La costate C di Eulero-Mascheroi e la fuzioe Gamma la costate C di Eulero Mascheroi è defiita come il limite della seguete successioe: [] a = +/+/3+ +/ log(+) Il termie a è la differeza tra
DettagliAnalisi Matematica I Soluzioni del tutorato 2
Corso di laurea i Fisica - Ao Accademico 07/08 Aalisi Matematica I Soluzioi del tutorato A cura di Davide Macera Esercizio Abbiamo che x 3 + si(log(x)) + cosh(x) x3 + si(log(x)) + e x ( + x 6 ) / + log(e
Dettagli[È ben noto che la serie geometrica converge se e solo se x <1 e che ha per somma la funzione S(x)= 1
Sapieza Uiversità di Roma - Corso di Laurea i Igegeria Eergetica Aalisi Matematica II - A.A. 06-07 prof. Cigliola Foglio. Serie di fuzioi Esercizio. Calcolare, se possibile, la somma delle segueti serie
DettagliTracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57
Tracce di soluzioi di alcui esercizi di matematica - gruppo 42-57 4. Limiti di successioi Soluzioe dell Esercizio 42.. Osserviamo che a = a +6 e duque la successioe prede valori i {a,..., a 6 } e ciascu
DettagliEsercizi di Analisi II
Esercizi di Aalisi II Ao Accademico 008-009 Successioi e serie di fuzioi. Serie di poteze. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f : [, ] R è defiita poedo f (x) := x +.. Studiare
DettagliMarino Badiale Paolo Caldiroli Sandro Coriasco Esercizi di analisi matematica
A0 8 Mario Badiale Paolo Caldiroli Sadro Coriasco Esercizi di aalisi matematica Copyright MMXII ARACNE editrice Srl wwwaraceeditriceit ifo@araceeditriceit via Raffaele Garofalo, 33/A B 0073 Roma 06) 9378065
DettagliInsiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:
Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,
DettagliEsercizi sulle successioni
Esercizi sulle successioi 1 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 2 3. a := 2 + 3 3 7 2 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 0. a := 4 + 3 3 5 + 7
DettagliCalcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 31 Gennaio 2018 Soluzioni Scritto
Calcolo I - Corso di Laurea i Fisica - Geaio 08 Soluzioi Scritto Data la fuzioe f = 8 + / a Calcolare il domiio, puti di o derivabilità ed asitoti; b Calcolare, se esistoo, estremi relativi ed assoluti.
DettagliCorso integrato di. Matematica. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo
Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti Lorezo Freddi Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 06, 3300 Udie,
DettagliCorso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 AA Dott.ssa Sandra Lucente Successioni numeriche
Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 AA. 0809.. Cooscere. Dott.ssa Sadra Lucete. Successioi umeriche Defiizioe di successioe, isieme degli elemeti della successioe, successioe defiita
Dettagli