3. Calcolo dei limiti e confronti asintotici

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1 Lezioi di Aalisi Matematica per Iformatici a.a. 009/00) Capitolo 3 Prof. Paolo Caldiroli 3. Calcolo dei iti e cofroti asitotici 3. Itroduzioe La teoria delle serie umeriche sviluppata el capitolo ci forisce diversi criteri per determiare il carattere di ua assegata serie. La cocreta applicabilità di tali criteri si foda sulla capacità di: calcolare i iti ciò di cui abbiamo bisogo, ad esempio, se vogliamo applicare il criterio del rapporto o quello della radice, o se vogliamo verificare la codizioe ecessaria di covergeza); effettuare cofroti asitotici tra successioi esseziale quado si vuole applicare il criterio del cofroto asitotico e spesso utile ache el calcolo dei iti, specialmete i casi o risolubili elemetarmete). I questo capitolo siamo iteressati ad appredere quegli strumeti di calcolo che servoo ai suddetti scopi. Più precisamete, vedremo: ua rassega di iti otevoli, cioè iti che coivolgoo le pricipali fuzioi elemetari e si presetao come forme idetermiate, cioè o risolubili i modo immediato tramite il teorema.6; la tecica dei cofroti asitotici, che cosiste el passare da ua successioe, i geere dalla forma complicata, ad u altra, ad essa asitotica, dalla forma più semplice. Questi strumeti o solo risulterao utili per la determiazioe del comportameto di u ampia categoria di serie umeriche, ma si rivelerao adeguati per gli argometi che svilupperemo più avati, quado tratteremo le ozioi di cotiuità e di derivabilità. Per questo motivo, e per evitare iutili e lughe ripetizioi, la discussioe sul calcolo dei iti e sulla tecica dei cofroti asitotici verrà impostata sia el cotesto delle successioi, sia i quello delle fuzioi. 87

2 3. Successioi ifiitesime e divisioe per zero Defiizioe 3. Ua successioe {a } tale che a 0 si dice ifiitesima. Osserviamo che ua successioe {a } coverge ad u umero a R se e solo se la successioe {a a} è ifiitesima. Defiizioe 3. Ua successioe {a } si dice covergete ad a per eccesso se a a e a > a defiitivamete; i tal caso scriviamo a a +. Aalogamete, a coverge ad a per difetto e si scrive a a se a a e a < a defiitivamete. Ad esempio 0+, 0, metre la successioe { ) } è ifiitesima ma seza u sego defiito i suoi termii cambiao sego i modo altero). Si oti che le scritture 0 + e 0 e più i geerale a + e a ) o idicao umeri ma soo simboli che hao u seso solo el cotesto del calcolo dei iti, come espresso ella defiizioe precedete. Co le ozioi di successioe ifiitesima per eccesso o per difetto, possiamo completare il quadro sul calcolo del ite di successioi quozieti co deomiatore ifiitesimo, come formulato el seguete teorema. Teorema 3.3 Siao {a } ua successioe che ammette ite e {b } ua successioe ifiitesima. Vale che: } a a > 0 b 0 + a +, b a a < 0 b 0 + } a b, a a > 0 b 0 } a b, a a < 0 b 0 } a b + il ite a della successioe {a } può ache essere ifiito). I altri termii, possiamo trattare algebricamete i simboli 0 + e 0 el modo seguete: 0 + = + se > 0 se < 0 0 = se > 0 + se < 0. 88

3 Si oti che il caso 0 0 resta o defiito. Ioltre sottolieiamo il fatto che le scritture e o sigificao che stiamo dividedo per il umero zero ifatti 0 + e o soo umeri) ma sitetizzao ua divisioe per ua successioe ifiitesima co sego positivo se 0 + ) o egativo se 0 ). Ifie osserviamo che il caso 0 seza u sego al deomiatore) o è defiito. 3.3 Cofroto tra ifiiti Sappiamo che α + per +, se α > 0. Ioltre ache r + se r > e log b + se b >. Se ora vogliamo studiare il ite o il comportameto asitotico di successioi che soo combiazioi di poteze, espoeziali e logaritmi, ci possiamo trovare di frote a forme idetermiate del tipo oppure di risoluzioe o immediata. I questa sezioe esamiiamo situazioi di questo geere, i cui si hao quozieti o differeze di successioi divergeti di tipo diverso, precisamete co crescita espoeziale co base maggiore di ) o poteza co espoete positivo) o logaritmo a base maggiore di ) o ache co crescita fattoriale. Vedremo che a secoda della tipologia della successioe, si ha ua velocità di divergeza diversa. Il succo del discorso si può riassumere elle segueti affermazioi: la poteza cresce più rapidamete del logaritmo. l espoeziale cresce più rapidamete della poteza, il fattoriale cresce più rapidamete dell espoeziale. Il sigificato preciso di ciò è spiegato elle segueti formule: i) Se α > 0 e b > 0, b, allora α + per +. log b ii) Se r > e α R allora r + per +. α iii) Per ogi r R si ha che! + per +. r 3.) Avevamo già dimostrato la ii) el capitolo precedete Corollario.44. Vediamo ora alcue utili cosegueze delle formule 3.). Corollario 3.4 i) Se r > e α, c R allora r + c α r per +. ii) Se α, b > 0, b e c R, allora α + c log b α per +. iii) per +. 89

4 Dimostrazioe. i) Sapedo che r α r + c α r +, abbiamo che α r = + c α r per +. 0 e quidi Questo equivale a dire che r + c α r per +. La parte ii) si prova allo stesso modo sfruttado il ite α log b +. Idea della dimostrazioe di iii): si scrive = log = log e si sfrutta il fatto che log 0 e che se {a } è ua successioe ifiitesima, allora a. 3.4 Il umero di Nepero U problema di matematica fiaziaria U capitale iiziale 0 viee depositato i baca, co u tasso percetuale di iteresse auo pari al T %. Se l iteresse viee maturato tutto alla fie dell ao, il capitale fiale vale = 0 + t 0 = 0 + t) dove t = T 00. Suppoiamo ora di suddividere l ao i periodi di egual durata, al termie di ciascuo dei quali viee corrisposta ua frazioe -esima dell iteresse relativo all itero ao e suppoiamo che al termie di ogi periodo il capitale raggiuto possa essere immediatamete reivestito, alle stesse codizioi. Duque, dopo il primo degli periodi si avrà u capitale parziale pari a p = 0 + t 0 = 0 + t ) dopo il secodo periodo il capitale ammoterà a p = p + t p = p + t ) = 0 + t. ) Al termie dell ao, dopo tutti gli periodi, il capitale otteuto vale = 0 + ) t., Ci chiediamo: se sia più coveiete u ivestimeto co capitalizzazioe uica o frazioaria, 90

5 di quato il capitale possa essere evetualmete icremetato, scegliedo u regime di capitalizzazioe frazioaria, per u umero di frazioi molto grade. Per rispodere a tali questioi dobbiamo studiare il comportameto della successioe { + t ) } e possibilmete valutare il ite per +. Ciò o è affatto immediato i quato, scrivedo, ad esempio, + t ) = log + t ), l espressioe log + t ) ad espoete preseta ua forma idetermiata del tipo 0 vedi ota a pie di pagia). U primo fodametale risultato i questa direzioe è espresso dal seguete Teorema 3.5 La successioe { + ) } è o decrescete e itata e quidi covergete. Il suo ite si chiama umero di Nepero. Dimostrazioe. Poiamo a = + ) =,,...). Vogliamo dimostrare che {a } è o decrescete. A tale scopo utilizziamo alcue ozioi relative alle medie aritmetica e geometrica di u isieme fiito di umeri. Dati k umeri reali,..., k > 0 si defiiscoo: M a = + + k k M g = k k media aritmetica media geometrica Tra le medie aritmetica e geometrica sussiste la seguete relazioe: M g M a. 3.) Prededo k = +, = = = +, + =, troviamo che ) ) M g = = + ) + ) M a = ) + = ) Applicado la disuguagliaza 3.) otteiamo + ) Vale che se a allora log b a 0 qualuque sia la base b > 0, b. = + + =

6 cioè a = + ) + +) + = a+. Abbiamo così provato che la successioe {a } è o decrescete. Ora prediamo k = +, = = =, + =, calcoliamo ) ) M g = + = ) + ) + + M a = ) + = ) e applichiamo uovamete la disuguagliaza 3.) otteedo che ) + + cioè ) e quidi, passado ai reciproci, + ) + ) = + ) + = + = + ) = + ). Duque, se defiiamo b = + ) +, la precedete disuguagliaza si legge b b, cioè ci dice che la successioe {b } è o crescete. I particolare b b per ogi. D altra parte a = + ) < + ) + = b e quidi a b per ogi. Duque la successioe {a } è itata tra a = e b = 4. Per il teorema. sulle successioi mootòe itate, {a } è covergete. Stima del umero di Nepero Il umero di Nepero, defiito el teorema 3.5, si deota co la lettera e. Duque, per defiizioe, e := +. + ) Il umero e è ua delle costati matematiche fodametali. Vogliamo ora stimare il suo valore, sia per eccesso sia per difetto. I base al teorema 3.5, si ha che j e = sup + «ff : =,, ) 9

7 D altra parte, teuto coto di quato svolto ella dimostrazioe del teorema 3.5, ache la successioe + ` + coverge i quato mootòa itata) e + + «+ = + + «+ «= e. Avedo visto che la successioe ` + + è o crescete, possiamo dedurre ache che e = if + «+ : =,,...). 3.4) N Da 3.3) e 3.4) ricaviamo quidi che + «e + «+ N. Questa doppia disuguagliaza ci permette di stimare il valore di e per eccesso e per difetto. Ovviamete la stima sarà tato migliore quato più grade si prede. Si ottiee che, approssimativamete, e =, Si può dimostrare che e è u umero irrazioale si oti che e è defiito come ite di umeri razioali). Esempio 3.6 Determiare il carattere della serie + X Poiamo a =! a + a = =!. e applichiamo il criterio del rapporto. Abbiamo che + )! + ) + )! = ) = + + ) e per +. Siccome e >, e < e quidi per il criterio del rapporto la serie coverge. I particolare, siccome il termie geerale di ua serie covergete è ifiitesimo teorema.33) deduciamo ache che!! 0 per +. Ma > 0 per ogi. Quidi possiamo dire meglio che! 0+ e di cosegueza +, cioè la successioe! diverge più rapidamete della successioe dei fattoriali. Espoeziale e logaritmo aturale Co la stessa tecica vista ella dimostrazioe del teorema 3.5 si può provare che per ogi R la successioe { + ) } è o decrescete e itata e quidi è covergete. Si defiisce quidi ep) = ) + ) 93

8 La fuzioe ep) risulta soddisfare le proprietà caratteristiche delle fuzioi espoeziali a base maggiore di : { < 0 < ep ) < ep ) ep + ) = ep ) ep ). Siccome ep) = e, si ha che ep) = e cioè R + ) e per +. Riprededo il problema di matematica fiaziaria da cui siamo partiti, possiamo cocludere che è più coveiete u ivestimeto a capitalizzazioe frazioaria. Ioltre per u umero di frazioi molto grade il capitale o viee icremetato idefiitamete ma al massimo di u fattore pari al umero di Nepero elevato alla frazioe percetuale del tasso di iteresse. Osservazioe 3.7 La fuzioe ep) defiita i 3.5) i forma di ite permette di costruire direttamete l elevameto a poteza co base e) di u qualsiasi umero reale, evitado la defiizioe mediate approssimazioe co espoeti razioali, ua cui presetazioe rigorosa risulta piuttosto luga e pesate. Il logaritmo i base e di u umero > 0 si chiama logaritmo aturale o logaritmo eperiao di e si deota l o log seza idicazioe esplicita della base, che si sottitede essere il umero di Nepero. Come si vedrà i seguito quado si studierà il calcolo differeziale e quello itegrale, l espoeziale i base e ed il logaritmo eperiao godoo di proprietà tali da costituire i u certo seso le più semplici e aturali fuzioi espoeziale e logaritmica, rispettivamete, rispetto alla scelta della base. Essedo e > valgoo le segueti proprietà di ite: R e e 0 e ) e 0 + e + a a 0, + ) log a log a a log a 0) a 0 + log a a + log a Limiti otevoli per l espoeziale e il logaritmo Nella sezioe 3.4 abbiamo visto che + ) e per +. Se ora poiamo ε =, il precedete ite si scrive ella forma + ε ) ε e per + e la successioe {ε } è ua particolare successioe ifiitesima. I realtà vale la seguete geeralizzazioe. 94

9 Teorema 3.8 Se {ε } è ua successioe ifiitesima, co ε 0 e ε > per ogi, allora + ε ) ε e per +. Vediamo alcue importati cosegueze del risultato precedete. Corollario 3.9 i) Se {ε } è ua successioe ifiitesima, co ε 0 e ε > per ogi, allora log+ε) ε per +. ii) Se a è u umero positivo e {ε } è ua successioe ifiitesima, co ε 0 per ogi, allora aε ε log a per +. Dimostrazioe. i) Poiamo = +ε ) ε. Sappiamo che e. Quidi log log e. Ma log e = e log = log+ε) ε. ii) Poiamo t = a ε e ricaviamo ε i fuzioe di t. Abbiamo che a ε = + t e quidi, passado ai logaritmi, ε log a = log + t ) cioè ε = log+t) log a. Quidi a ε ε = t log a log + t ). Ifie osserviamo che, essedo {ε } ifiitesima, ache {t } lo è. Possiamo così applicare il ite log+t) t già visto el puto i) per otteere la tesi. 3.6 Successioi espoeziali a base variabile Esamiiamo il comportameto di successioi della forma = a b 3.6) dove {a } è ua successioe di umeri positivi che ammette ite e {b } è ua successioe di umeri reali che pure ammette ite. Per calcolare il ite o determiare il comportameto asitotico di tali successioi, coviee sfruttare l idetità a b b log a = e abbiamo qui scelto come base il umero di Nepero, ma avremmo potuto predere ua qualsiasi altra base). Leggedo le tabelle dei iti di espoeziale e logaritmo esposte i fodo alla sezioe 3.4 e le regole per il prodotto discusse alla fie della sezioe.4, possiamo costruire la seguete tabella, utile per il calcolo di iti di 95

10 successioi della forma 3.6). a + = { 0 se 0 < a < { + se 0 < a < + se < a + a = 0 se < a + { 0 se 0 < b + 0 b = + se b < 0 { + se 0 < b + + ) b = 0 se b < 0 I casi o coperti dalla precedete tabella soo: 0 0, ±, + 0 e costituiscoo ulteriori forme idetermiate. Ciò sigifica che, ad esempio, se a e b +, o è possibile dare ua risposta valida i geerale sul ite di a b ; tale ite dipede dal caso specifico i esame. Nota bee. Nella tabella precedete la scrittura 0 b = + quado b < 0 è da itedere, più correttamete, come 0 + ) b = cioè va letta i questo modo: se a 0 + e b b co b < 0 allora a b La ozioe di ite per fuzioi reali di variabile reale Suppoiamo di avere ua fuzioe f) di variabile reale, a valori i R. I geerale la fuzioe f) sarà defiita per i u sottoisieme D di R D è il domiio della fuzioe). Tipicamete il domiio D è esprimibile come uioe di itervalli ad esempio, la fuzioe f) = log+) è defiita per quegli tali che + > 0 e 0; duque il domiio di f è l isieme D =, 0) 0, + )). Se u certo itervallo fa parte del domiio D della fuzioe e i suoi estremi o stao i D, u iformazioe importate per compredere come è fatto il grafico di f è data dalla coosceza del comportameto di f) per valori di prossimi a ciascuo degli estremi dell itervallo. Peraltro, come ell esempio sopra riportato, può succedere che uo o etrambi gli estremi siao valori fiiti o ifiiti. Duque siamo iteressati alla questioe seguete: fissato u puto a R che o è detto appartega al domiio di f), itediamo valutare il comportameto di f) quado si avvicia ad a. Naturalmete, affiché la questioe abbia seso, occorre che la fuzioe f) sia defiita almeo per valori di vicii ad a, evetualmete ache solo a destra o solo a siistra del puto a. A tale scopo iiziamo a dare la seguete defiizioe i parte già icotrata el capitolo ). 96

11 Defiizioe 3.0 Dato u umero a R chiamiamo itoro di a u qualsiasi itervallo della forma a δ, a + δ) co δ > 0. U itervallo del tipo a, a + δ) rispettivamete, a δ, a)) si dice itoro destro rispettiv., siistro) di a. Se la fuzioe f) è defiita ache i u itervallo ilitato, ad esempio, 0, + ), può essere utile studiare il comportameto di f) per valori di sempre più gradi. I altri termii, siamo iteressati a cosiderare ache il caso i cui a = + e ache a = ). Per forire ua trattazioe uificata, adiamo quidi ad estedere la ozioe di itoro di a ache al caso i cui a è u valore ifiito. Defiizioe 3. U itervallo del tipo, + ) rispettivamete,, )) co R qualsiasi, si chiama itoro di + rispettivamete, di ). Aalogamete a quato visto per le successioi, la ozioe matematica adeguata a descrivere il comportameto di f) quado si avvicia ad a è quella di ite. La ozioe di ite per fuzioi si può formulare i termii di quella già icotrata el cotesto delle successioi, i questo modo: Defiizioe 3. Sia a u umero reale oppure + o e sia I u itoro di a. Data ua fuzioe reale f) defiita per ogi I \ {a}, u umero reale esteso L si dice ite di f) per a e si scrive L = f) oppure f) L per a a se PER OGNI successioe {a } coteuta i I \ {a} tale che che fa ) = L. + a = a si ha + Se la fuzioe f) è defiita soltato i u itoro destro o siistro) di u umero reale a, è aturale itrodurre la ozioe di ite destro o siistro) el modo seguete. 97

12 Defiizioe 3.3 Sia a u umero reale e sia I u itoro destro di a. Data ua fuzioe reale f) defiita per ogi I, u umero reale esteso L si dice ite destro di f) per a e si scrive L = f) oppure f) L per a+ a + se PER OGNI successioe {a } coteuta i I e tale che a a + si ha che fa ) = L. I modo aalogo si defiisce il ite siistro scrivedo a al + posto di a + ). Dati u umero reale a, u suo itoro I e ua fuzioe f) defiita almeo per ogi I \ {a}, si possoo cosiderare separatamete il ite destro, il ite siistro e il ite di f) per che tede ad a. Il legame tra tali iti è espresso dal seguete teorema. Teorema 3.4 Siao a u umero reale, I u itoro di a e f) ua fuzioe a valori reali defiita per ogi I \ {a}. Si ha che f) = L a f) = f) = L. a + a Osservazioe 3.5 i) Nell ambito delle successioi, si studia il comportameto di ua sequeza di umeri idicizzati da u parametro itero positivo per valori di sempre più gradi e ifatti, il ite di ua successioe {a } è sempre preso per + ). Ivece, per i iti di fuzioi è esseziale precisare il valore cui tede la variabile idipedete. Ad esempio, u coto è valutare il ite di log+) +. per 0, altra cosa è il ite della stessa fuzioe per + o per ii) Per valutare il ite di ua certa fuzioe f) per a, o basta studiare come si comporta la fuzioe lugo ua particolare successioe che tede ad a ma, i base alla defiizioe, occorre valutare il comportameto di fa ) su tutte le successioi a a. Solo se tale ite è lo stesso valore L fiito o ifiito) per tutte le successioi a che tedoo ad a, allora si può cocludere che L è il ite di f) per a. Ad esempio, cosideriamo la fuzioe f) = si e studiamoe il ite per +. Se scegliamo la successioe a = π che diverge a + ) otteiamo che fa ) = 0 per ogi e quidi ache fa ) = 0. Se però prediamo la + successioe ã = π +π che pure diverge a + ) otteiamo che fã ) = per ogi 98

13 e quidi ache fã ) =. Duque la fuzioe f) = si o ammette + ite per +. Esempio 3.6 i iti delle fuzioi elemetari) Riportiamo di seguito i iti delle fuzioi elemetari agli estremi degli itervalli su cui soo defiite. Il grafico delle fuzioi dovrebbe chiarire il sigificato geometrico dei iti i questioe. f) = co itero positivo dispari = + = + f) = co itero positivo pari = + = + f) = = co itero positivo dispari + 0 = = = + f) = 0 = = + co itero positivo pari = 0 99

14 caso α > caso 0 < α < f) = α co α > 0 + α = + α = f) = a co a > a = 0 + a = + f) = log a co a > log 0 + a = log a = + + f) = si o esistoo f) = cos o esistoo si ± cos ± f) = ta π π ta = + π o esiste ta π ta = π + 00

15 π f) = arcta arcta = π π + arcta = π Esempio 3.7 alcui iti otevoli fodametali) Applicado la defiizioe di ite di fuzioi e usado i iti di successioi dati el teorema 3.8 e el corollario 3.9, possiamo subito risolvere i segueti casi: + ) log + ) a = e = = log a a > Si oti che soo iti o immediati trattadosi di situazioi della forma 0 0. Tutti i iti precedeti soo da teer be presete per il loro utilizzo egli esercizi. 3.8 I teoremi fodametali sui iti di fuzioi Attraverso la defiizioe di ite di fuzioe, tutti i teoremi fodametali sui iti di successioi ammettoo ua corrispodete versioe per i iti di fuzioi. Uicità del ite Se f) L per a e ache f) L per a, allora L = L. Permaeza del sego i) Se f) L per a e L > 0 allora esiste u itoro I di a tale che f) > 0 per ogi I, a. ii) Ioltre, se f) L per a e f) 0 per ogi I \ {a} dove I è u itoro di a, allora L 0. Teorema del cofroto Siao f), g) e h) tre fuzioi a valori reali defiite per ogi I \ {a}, dove I è u itoro di a. Suppoiamo che f) g) h) I \ {a}, f) L e h) L per a. Allora ache g) L per a. 0

16 Limite e operazioi algebriche Se f) L e g) M per a allora f)+g) L+M e f) g) L M per a. Se ioltre g) 0 per ogi I \ {a} I itoro di a), allora f) g) L M per a. Tali coclusioi valgoo i tutti i casi che o siao forme idetermiate. Sul ite di fuzioi vale ache questa ulteriore importate proprietà: Composizioe di iti Se a f) = L e L g) = M allora a gf)) = M. Osservazioe 3.8 Tutti i teoremi fodametali sui iti precedetemete elecati valgoo ache per il ite destro e per il ite siistro. Il risultato sulla composizioe di iti è molto utile perché permette di effettuare delle sostituzioi el calcolo dei iti, al fie di semplificare i coti. Ifatti tale risultato ci dice che se vogliamo calcolare gf)) e sappiamo che f) = L, a a possiamo porre = f), trasformare il ite iiziale scrivedo che gf)) = g) a L e, ifie, calcolare direttamete l ultimo ite. Esempio 3.9 Verifichiamo che + ) α = α α R. 0 Osserviamo che si tratta di ua forma idetermiata del tipo 0 0 risolvere i modo immediato. Poiamo e quidi o si può Duque = log + ) cioè = e. + ) α = eα e. Sappiamo che se 0 allora = log + ) 0 e quidi + ) α e α = 0 0 e. 0

17 Ora scriviamo Sappiamo che e α e = eα α e α. 0 e = 0 e = Ioltre, effettuado la sostituzioe t = α abbiamo ache che e α e t = = 0 α t 0 t e così fialmete, applicado la regola dei iti del prodotto, otteiamo il risultato desiderato. 3.9 Limiti otevoli per le fuzioi trigoometriche Teorema 3.0 si =. 0 Dimostrazioe. La dimostrazioe qui presetata costa di tre parti; ella prima parte si prova, per via geometrica, la disuguagliaza Nella secoda parte si dimostra il ite destro prova la tesi completa del teorema. cos si ) 0, π. 3.7) si 0 + =. Ifie, ella terza parte si Prima parte: dimostrazioe di 3.7). Fissato 0, π ), costruiamo la figura seguete, i cui rappreseta l agolo i radiati compreso tra le semirette usceti dall origie e passati per A e B. Abbiamo che: O area del triagolo OAB = OA BH B H C = si A, OA = OB = BH = si AB = AC = ta 03

18 OA AB area del settore circolare OAB = =, OA AC area del triagolo OAC = = ta. Quidi, cofrotado le tre figure geometriche di cui abbiamo calcolato l area, troviamo che si ta cioè si si cos. Siccome 0, π ) abbiamo che si > 0 e cos > 0 e quidi, dividedo per si e passado ai reciproci, otteiamo la disuguagliaza 3.7). si Secoda parte: 0 + =. Come abbiamo visto, si ha che 0 < si < per ogi 0, π ). Per il teorema del cofroto per il ite destro, otteiamo che si 0 per 0 +. Dall idetità fodametale della trigoometria deduciamo che cos ) = si ) per 0 + e quidi, essedo cos > 0 per 0, π ), ricaviamo che cos per 0+. Ifie, applicado di uovo il teorema del cofroto, grazie a 3.7) otteiamo che si per 0 +. Terza parte: coclusioe. Calcoliamo il ite siistro si 0 Ma si ) = si per ogi R e quidi. Effettuado la sostituzioe = abbiamo che si 0 = si ). 0 + si ) si si = = = per quato provato ella secoda parte. Duque ache il ite siistro vale. Pertato, per il teorema 3.4, possiamo cocludere che si per 0. Teorema 3. Se 0 allora cos, ta, arcsi, arcta. Dimostrazioe. Per otteere il primo ite moltiplichiamo e dividiamo per + cos e sfruttiamo l idetità fodametale della trigoometria e il ite otevole provato el teorema 3.0: cos cos ) = + cos ) = si ) + cos ) = 04 si ) + cos.

19 Per il secodo ite utilizziamo la defiizioe di tagete e acora il ite otevole del teorema 3.0: ta = si cos. Per quato riguarda il terzo ite, effettuiamo la sostituzioe = si, osservado che se 0 allora = arcsi 0 e quidi, per il teorema sulla composizioe dei iti, arcsi arcsisi ) = = 0 0 si 0 si =. Aalogamete, per dimostrare il quarto ite, effettuiamo la sostituzioe = ta e troviamo: arcta arctata ) = = 0 0 ta 0 ta =. Naturalmete, grazie alla defiizioe stessa di ite di fuzioi, tutti i iti sopra discussi si possoo riformulare i versioe sequeziale el modo seguete: se {ε } è ua successioe ifiitesima, co ε 0 per ogi, allora si ε ε, cos ε ε, ta ε ε, arcsi ε ε, arcta ε ε. 3.0 Relazioi asitotiche otevoli Ricordiamo che due successioi {a } e {b }, co b 0 per ogi, si dicoo asitotiche e si scrive a b ) se a b. Teuto coto dei iti fiora icotrati, abbiamo giustificato tutte le relazioi asitotiche elecate ella tabella riportata ell osservazioe.48 del capitolo precedete. ifiitesima {ε } co ε 0 per ogi, il ite Ad esempio, data ua successioe + log+ε ) ε = si riformula i termii di relazioe asitotica scrivedo che log + ε ) ε per +. Tutte le relazioi asitotiche della tabella sopra citata si possoo formulare equivaletemete el cotesto dei iti di fuzioi. Più precisamete, due fuzioi f) f) e g) si dirao asitotiche per a se a g) =. Naturalmete, affiché abbia seso parlare di ite del rapporto f) g) per a occorre che f) e g) siao defiite i u itoro di a, escluso evetualmete il valore a, e che g) o si aulli mai i tale itoro. Duque la tabella riportata ell osservazioe.48 può essere riscritta co 0 05

20 al posto della successioe ifiitesima {ε }: Per 0 si ha che log + ) a log a a > 0) si arcsi cos + ) α α α 0) ta arcta Nota bee! Tali relazioi asitotiche valgoo solo per 0. Se si vuole trovare l adameto asitotico di ua fuzioe f) vicio ad u valore a 0, ci si può sempre riportare al caso a = 0 effettuado ua traslazioe, cioè cosiderado la fuzioe g) = f + a) e studiado g) vicio a 0. Ad esempio, cosideriamo f) = 3 3 e cerchiamo il comportameto asitotico di f) vicio a i cui la fuzioe o è defiita). Posto =, troviamo f) = Ora defiiamo g) = e cerchiamo il comportameto asitotico di g) i 0. Possiamo sfruttare la relazioe + ) α α per 0), per cocludere che g) cioè, torado alla variabile, 3 /3 = 3 /3 per 0 f) 3 )/3 per. 3. Uso delle relazioi asitotiche Per la relazioe di asitoticità tra fuzioi valgoo le stesse regole già viste el caso delle successioi, cioè: se f) L per a co L R, L 0, allora f) L per a, se f) g) per a allora f)) α g)) α per a, per ogi α; i particolare f) g) per a, 06

21 { f ) g ) se f ) g ) { f ) g ) se f ) g ) per a allora f ) f ) g ) g ) per a, per a allora f ) f ) g ) g ) per a. Ivece i geerale o è vero che se f ) g ) e f ) g ) allora f ) + f ) g ) + g ). Ioltre o si può mai scrivere che f) 0 perché o si può eseguire la divisioe per zero). cos Esempio 3. Stabilire se esiste il ite. 0 e Dalla tabella precedete, per 0 si ha che cos e e. Quidi, ricordado che =, abbiamo che Duque cos e 0 + = = se > 0 se < 0. cos e = cos e 0 e =. Siccome il ite destro e il ite siistro soo diversi, il ite esiste. 0 cos e o 07