CAP. V Limiti di funzioni reali
|
|
- Bianca Galli
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 CAP V Limiti di fuzioi reali Data ua fuzioe ƒ( defiita i u itervallo X escluso al più u puto di X, a volte iteressa esamiare il comportameto di ƒ( quado si avvicia ad I alcui casi accade che ƒ( si avvicii ad u certo umero reale quado si avvicia ad Ciò sigifica che comuque piccolo si cosideri u umero reale ε > la disuguagliaza f ( < ε sussiste per valori di abbastaza vicii ad, cioè tali che < δ co δ > e coveietemete piccolo Quado ciò si verifica si dice che ƒ( tede ad per tedete ad Si osservi che elle codizioi di sopra o si richiede che il puto appartega a X, ma soltato che sia possibile avviciarsi a i X Se ad esempio ƒ(, allora o ha seso studiare il comportameto di ƒ( quado si avvicia a, perché ƒ( è defiita per [, [ ed, duque, o può avviciarsi a rimaedo ell itervallo[, [ Al fie di precisare quato è stato detto sopra i modo molto ituitivo, premettiamo le segueti defiizioi DEF Se X è u itervallo o ridotto ad u solo elemeto, si chiama derivato di X, e si deota co X, l isieme formato dagli elemeti di X e dagli evetuali estremi di X (reali oppure o che o gli appartegoo DEF Se X, X,, X soo itervalli o ridotti ad u solo elemeto ed Χ Χ Χ, si chiama derivato di X l isieme Χ Χ Χ Esempi- Se a, b R ed a < b risulta Χ Χ e [ a, b] ] a, b [ [ a, b [ ] a, b] [ a, b] [ a, [ ] a, [ [ a [ { }, Se ivece X [ a, b [ ] a, b [ ] a, [ allora si ha: Χ a b a, b, [ ] [ ] [ [ { }, a
2 D ora i avati le fuzioi reali che prederemo i cosiderazioe le supporremo defiite, salvo avviso cotrario, i isiemi che risultao riuioi fiite di itervalli o ridotti ad u solo elemeto Tutto ciò premesso passiamo a dare la defiizioe di ite di ua fuzioe reale DEF Sia ƒ : X R e siao X ed Rˆ Si dice che ƒ( tede ad per tedete ad (oppure che è ite di ƒ i e si scrive se ( oppure ƒ ( per, ( Ι I ( I I ( tc (I X -{ }: f( I' Se R si dice che ƒ( coverge ad per tedete ad Se, ivece, (risp - si dice che ƒ( diverge positivamete (risp egativamete per tedete ad OSS Si oti che ella defiizioe di sopra o si richiede che il puto appartega ad X ma che sia solo u elemeto del derivato di X Ioltre l esisteza ed il valore del ite o dipede da ƒ( el caso i cui X, i quato ella ( si cosiderao solo i valori ƒ( co TEOR (Uicità del ite Se ƒ: X R ed Χ, esiste al più u ite di ƒ i La defiizioe di ite assume ua forma esplicita diversa a secoda che e/o siao umeri reali oppure o Nelle proposizioi che seguoo ci itiamo a trattare i segueti tre casi ( R, R ; ( R, ; ( -, - dei ove possibili casi che occorroo per ed PROP Sia ƒ: X R e siao proposizioi: a ; X R ed R Allora soo equivaleti le segueti b ε > δ > t c ( X, < < δ < ε Dim Si oti che l itoro Ι che figura ella ( della DEF è del tipo ] ε ε [ che vi figura è del tipo ] δ δ [ co δ> metre l itoro I di Da ciò cosegue l equivaleza di a e b,, co є >,
3 PROP Sia ƒ: X R e sia X R Allora soo equivaleti le segueti proposizioi: a ; b K R δ > t c ( X, < < δ K < c K > δ > t c ( X, < < δ K < Dim Per l equivaleza di a e b basta osservare che u itoro di è del tipo ] K, [co K R Per l equivaleza di b e c basta, ivece, osservare che se K R allora esiste sempre u umero reale strettamete positivo (azi e esistoo ifiiti che sia strettamete maggiore di K PROP Sia ƒ: X R Allora soo equivaleti le segueti proposizioi: a ; b K R k R t c ( X, < k < K c K > k > t c ( X, < k < K Dim Per l equivaleza di a e b basta osservare che u itoro di è del tipo ] -, K[ co K R Per l equivaleza di b e c basta, ivece, osservare che se K R allora esiste sempre u umero reale strettamete egativo (azi e esistoo ifiiti che risulta strettamete miore di K, ovvero esiste K ' > tale che K' < K Esercizi Utilizzado la defiizioe di ite si verifichi che Se c R ed fc : R R è la fuzioe costate di costate valore c (cioè R : fc ( c, allora per ogi Rˆ risulta fc ( c Se a, b R ed R allora risulta ( a b a b Risulta ; 4 Risulta, - 5 Risulta,
4 La è ovvia perché per ogi R risulta fc( c e, quidi, per ogi ε > e per ogi R risulta fc( c < ε, cioè la defiizioe di ite (cfr b PROP è abbodatemete verificata Si suppoga a (altrimeti la fuzioe a b è costate Osservato che per ogi R si ha ( a b ( a b a( a ε se ε >, posto δ a risulta ( a b ( a ε < < δ a < ε b < e, quidi, ( a b a b Se K > si ha K < K < K < duque posto k K si ha k < K < K < cioè D altra parte si ha < k < K K < K < K < cioè 4 Basta osservare che se ε > si ha < ε < < < ε ε ε Basta osservare che se ε > si ha < ε < < < < ε ε ε ε 5 4
5 OSS Si osservi che se R risulta Sussistoo le segueti proposizioi PROP4 Se Rˆ risulta f ( Si ha i particolare PROP5 Sia f ( : X R, sia Y X e siao ed Rˆ Y Allora sussiste l implicazioe ( Y f( PROP6 (Carattere locale del ite Soo equivaleti le proposizioi a b I I( tc ( f ( Ι Χ OSS L implicazioe b a della PROP6 si esprime dicedo che la proprietà di ite è ua proprietà di carattere locale, ossia l esisteza del ite e il suo valore dipedoo soltato dai valori che la fuzioe assume elle viciaze del puto (cioè i u itoro di ache di raggio piccolo Come applicazioe della PROP6 cosideriamo la fuzioe parte itera ϕ : R R defiita poedo per ogi R [ ] { Ζ } ϕ [ ] ma : e ( L itero relativo [ ] si chiama parte itera di e gode delle segueti proprietà: R : [] < [] Ζ [ [ [ ],, : - - 5
6 Sia R Ζ Allora [ ] < < [ ] e quidi posto [ ], δ mi{, } ed I ] δ, δ [, si ha I ], [ Da ciò cosegue che per ogi Ι risulta [], ossia ϕ è costate di costate valore Pertato esiste il ( ϕ ( Ι I e per il carattere locale del ite esiste ache il ϕ (, cioè [ ] [ ] Se, ivece, Ζ si ha ], [ :[ ] e ], [ :[ ], quidi ϕ ], [ e ϕ ], [ soo fuzioi costati di costate valore ed rispettivamete Pertato ( ϕ ] [, ( (, ϕ ], [ ( e quidi, a causa della PROP5, o esiste il ite di ϕ ( per tedete a PROP7 Se f : X R, allora le segueti proposizioi soo equivaleti: a ( b N risulta y successioe di elemeti di { } f ( y X tale che y Limite a destra e ite a siistra Data ua fuzioe di quado si avvicia ad f : X R ed X, a volte iteressa studiare il comportameto dalla destra (cioè per > oppure dalla siistra (cioè per < Per precisare tali cocetti diamo le segueti defiizioi DEF4 Se R, si chiama itoro destro (risp siistro di ogi itervallo aperto del tipo ], δ [ (risp ] δ, [ co δ > L isieme degli itori destri (risp siistri di si deota co I (risp ( ( I DEF5 Se X è u itervallo si chiama derivato destro (risp siistro, di X l isieme X (risp X formato dagli elemeti di X reali e diversi dall estremo superiore (risp iferiore di X Se, poi, X è riuioe degli itervalli X, X,, X si poe X X X X (risp X X X X e si chiama derivato destro (risp siistro di X Esempio Se X ], [ [ 4,7] ],[ [ 8, [ allora risulta X [,[ [ 4,7[ ],[ [ 8, [ e ],] ] 4,7] ],] ] 8, [ Ciò premesso si poe la seguete X 6
7 DEF6 Se f : X R, se X ( risp X e se Rˆ si dice che f ( tede ad per tedete ad dalla destra (risp siistra oppure che è ite a destra (risp a siistra di f i, e si scrive (risp se X f I' I( I I ( (risp I I ( t c I : ( I OSS4 Le proprietà del ite (uicità, proprietà locale, ecc valgoo ache per il ite a destra e a siistra PROP8 Sia f : X R, sia X (risp X ed R Allora soo equivaleti le segueti proposizioi: a (risp > δ > tc, δ X (risp δ, X : f ( b ε ] [ ] [ < ε Lasciamo al lettore la cura di esprimere la defiizioe di ite a destra e a siistra ei casi ed (cfr PROP e PROP La relazioe tra il ite ed il ite a destra e a siistra di ua fuzioe è messa i evideza ella seguete PROP9 Sia f : X R, sia X X e sia Rˆ proposizioi: Allora soo equivaleti le segueti a b Esempio: Per quato è stato detto a proposito della fuzioe parte itera, per ogi Z risulta [ ], [ ] Si ha ioltre, Pertato a causa della PROP 9 o esiste il ite di [ ] di per per ( Z e o esiste il ite Teoremi di cofroto L ordie di R si estede ad Rˆ poedo per ogi R - <, < 7
8 e - < Ciò premesso si presetao qui di seguito le pricipali proprietà dei iti ei cofroti dell ordie PROP- Siao ƒ: X R e g: X R e sia si ha la seguete implicazioe: X Se esistoo il e il g(, allora < g( ( Ι I t c ( Ι Χ { }: < g( ( Dim Posto ed m g( suppoiamo che, m R e che < m Poiamo ε m- e poi Risulta ε di tali che ] ε, ε [, Ι ] ε, m ε [ Ι m m m ε Ora per defiizioe di ite esistoo due itori I ed I e Posto I Ι cioè da cui e quidi l asserto COR- Sia ƒ: X R, ( Ι Χ { }: f ( Ι ( Ι Χ { }: g( Ι Ι I( e Ι, risulta Ι Χ : Ι, g( ( f( α ( { } Ι ε < < ε m ε < g( < m ε < g( Χ ed α R Allora si ha ( Ι I ( tc Ι Χ : f ( < α < > ( { } COR- (Teorema della permaeza del sego Sia ƒ: X R, Allora si ha ( f( < > ( { } PROP- Siao ƒ: X R e g: X R, g( g( Allora risulta > Χ ( Ι I ( Ι Χ : ( < tc f > e che esista u itoro I di Χ Suppoiamo che esistao il tale che per ogi ( Ι Χ { } e il si abbia 8
9 g( PROP- (Covergeza obbligatasiao ƒ, g ed h tre fuzioi reali defiite i X, sia suppoiamo che Χ e g( I I ( tc ( I X { }: ƒ( h( g( Allora esiste il h( e risulta h( COR- Siao ƒ: X R e g : X R, X Suppoiamo che g( I I ( tc ( I X - { }: ƒ( g( Allora esiste il e risulta PROP- Siao ƒ: X R, e g : X R, X e suppoiamo che esista u itoro I di tale che per ogi ( I X - { } risulti ƒ( g( Allora sussistoo le implicazioi segueti: g( g( - - Operazioi sui iti PROP4 Se risulta allora si ha:, g( m, e se, m R ( g( m ( g( se m m g( m 9
10 4 se m g( m Al fie di formulare la della PROP 4 ache el caso i cui e/o m o siao reali si adotta la seguete CONVENZIONE - Si poe per ogi R ( ( (- ( - - Si poe ache ( ( 4 (- ( - - Ciò premesso, si eucia la seguete PROP 5- Se esistoo il ed il g(, allora esiste ache il ( g( ( g( g( ad eccezioe dei casi e risulta α, g( - α -, g( OSS 5 -Nei casi α ed α si dice che il ite di ƒ g i si preseta ella forma idetermiata - Ciò è dovuto alla circostaza che ei casi suddetti ulla si può dire a priori sul ite della somma, potedo quest ultimo ache o esistere Ad esempio si cosiderio le fuzioi ( g( f, Si ha ; ifatti, se K > risulta K < < < K K Si ha ache - ; ifatti, se < < risulta - < - e, quidi, < Poiché - ache - a causa della della PROP
11 Duque il ite di ƒ g i si preseta ella forma idetermiata - e i questo caso risultado ƒ(g( il ite di ƒ g ello o esiste (cfr esempio pag 7 Ora si cosiderio, ivece, le fuzioi ƒ(, g( - Risulta ovviamete Risulta ache ( i quato se < si ha < - e, quidi, se < (-, cioè < - ; da ciò cosegue l asserto a causa della della PROP Si ha, duque ( - e, perciò, il ite di ƒ g i si preseta ella forma idetermiata - I questo caso, però, essedo ƒ( g( si ha che esiste il ( g( Al fie di formulare la della PROP 4 el caso i cui e/o m o siao reali si adotta la seguete CONVENZIONE Per ogi є Rˆ -{} si poe ( ( se < - se < - se < ( ( se < Ciò premesso si eucia la seguete PROP6 Se esistoo il e risulta ed il g(,allora esiste ache il ( g( ( g( g( ad eccezioe dei casi β, g( ± β ±, g(
12 OSS 6 Nei casi β e β si dice che il ite di ƒ g i si preseta ella forma idetermiata i quato ulla si può dire a priori sull esisteza e sul valore del ite Ad esempio, se si cosiderao le fuzioi ƒ( e g(, risulta, g( ed essedo ƒ( g( o esiste il ite di ƒ g ello Se, ivece, si cosiderao le fuzioi ƒ( e g( si ha, g( ed essedo ƒ( g( si ha che g( Ora si poe la seguete DEF7- Se ƒ: X R e se X, si dice che ƒ è ifiitesima (risp ifiita i se (risp Esempi Essedo, la fuzioe è ifiita ello OSS7- Si oti che ogi fuzioe divergete positivamete o egativamete i u puto è ivi ifiita, ma o vale il viceversa come prova l esempio di sopra Sussiste la seguete PROP 7- Se ƒ: X R e g : X R e se X risulta Se per ogi Χ è ƒ( allora ( ƒ è ifiitesima i ( è ifiita i f f (ƒ è covergete i, g è ifiita i ( g è ifiitesima i (ƒ è covergete i, g è divergete i ( f g è ifiitesima i Al fie di formulare la 4 della PROP 4 el caso i cui e/o m o siao reali si adotta la seguete CONVENZIONE - Si poe R : R - {} : (, (-
13 Ciò premesso, dalla 4 della PROP 4, dalla PROP 6 e dalla della PROP 7 cosegue la PROP 8- Se esistoo il ed il g(, allora esiste ache il e risulta g( g( ad eccezioe dei casi g( γ γ γ ±, g( ± g( Rˆ - {}, g( f OSS 8- Nel caso γ si dice che il ite di g i si preseta ella forma idetermiata f el caso γ ivece si dice che il ite di g i si preseta ella forma idetermiata f ifie el caso γ si dice che il ite di g i si preseta ella forma semidetermiata Il motivo per cui la forma si chiama semidetermiata risiede el fatto che i questo caso si sa studiare i modo completo il ite del rapporto g f PROP 9- Se si preseta il caso γ allora risulta g( i, come si dimostra ella seguete Ioltre si ha: se esiste u itoro I di tale che ( I X - { } risulta g(>, allora esiste il ( g(
14 se esiste u itoro I di tale che (I X -{ } risulta g(<, allora esiste il ( ; g( se o è vera é l ipotesi di é quella di, allora o esiste il g( Esempio- Se si cosidera la fuzioe, poiché o esiste alcu itoro di ei puti del quale assuma sempre sego positivo o sempre sego egativo, allora a causa della o esiste il ite di ello Come applicazioe dei teoremi riguardati le operazioi sui iti si dimostra che se a a,, a, b, b,, soo umeri reali ed a e b m o soo ulli, allora, b m ( a a a a m m b m bm b b m bm a b m se m a se < m a b m ( se > m Si provi che ( ; ; Ua proprietà importate delle fuzioi mootoe è coteuta el seguete TEOR ( Limiti di fuzioi mootoe- Siao a, b R co a < b e sia f ] a, b [ Allora risulta : R se ƒ è crescete,esiste il a se ƒ è decrescete,esiste il a if, ] b[ a sup ed esiste il ], b[ a b sup ], b[ a ed esiste il if ] [ b a, b Dim Suppoiamo ƒ crescete e dimostriamo che esiste il ed è uguale al b sup ], b[ a A tal fie poiamo sup e suppoiamo che sia u umero reale, ovvero che ƒ sia ], b[ a itata superiormete Ricordiamo che gode delle segueti proprietà, caratteristiche dell estremo superiore: 4
15 ] a, b [: 4 ε > ] a, b [ t c ε < Noi dobbiamo dimostrare che, cioè che b 5 ε > δ > t c ( ] a, b [ ] b δ, b [ < ε Sia, duque, ε > Per la 4 esiste ] a, b [ tale che 6 ε < f ( Posto δ b, risulta δ > ed b δ Ioltre se ]a,b[ ]b-δ,b[ si ha < e, quidi, per la cresceza di ƒ risulta 7 e per la si ha 8 f ( Da 6, 7 e 8 cosegue che ε < f ( < ε ossia f ( < ε e quidi la 5 Co ragioameto aalogo si dimostra l asserto el caso U teorema aalogo al TEOR si dimostra per fuzioi mootoe defiite i itervalli ilitati Noi ci itiamo ad euciare il seguete TEOR- Se f : ] a, [ R è mootoa crescete ( risp decrescete, allora sup risp if ] a, [ ] a, [ f :, a è mootoa crescete ( risp decrescete, allora Se ] [ if, ] a[ risp sup ], a[ Esempi- Si cosideri la fuzioe ƒ( ²- A causa di ( pag 4 risulta D altra parte la ƒ è strettamete crescete ell itervallo ], [ Ifatti se, y ], [ ed <y si ha ƒ(y ƒ ( (y - y ( - y -(y- (y- (y (y- (y- (y- >, cioè ƒ(< ƒ(y Allora per il TEOR risulta ( f (, ] [ ], [ sup e poiché per il carattere locale del ite (cofrota OSS4 risulta 5
16 si ha ache ( f ] [ (, sup ], [ OSS9- I Teoremi e cosetoo di ricavare i iti all ifiito delle fuzioi elemetari, come si vedrà el seguito U risultato fodametale ai fii del calcolo dei iti riguarda i iti di fuzioi composte ed è coteuto el seguete TEOR4 (Limiti di fuzioi composte Siao f : Χ R e Y g : R e sia f ( Y Χ Sia, ioltre, X, y Y ed Rˆ Se risulta y, g( y y y Ι I( t c ( Ι X { }: y allora esiste il g( g( y y y, Dim - La dimostrazioe di, a causa della defiizioe di ite, cosiste el dimostrare che Ι ' ' I( Ι ( t c ( Ι X { }: g( f ( Ι I Sia, perciò, ' Ι u itoro di A causa della secoda della esiste J I( y tale che ' 4 y ( J Y { y } g( y Ora essedo J u itoro di : Ι 5 ( Ι X { }: J y, a causa della prima della esiste I( Ι tale che Posto Ι Ι Ι, risulta ( Ciò dimostra la Ι I e da, 4, 5 cosegue che ' ( Ι X { }: g( f ( Ι 6
17 OSS- Quado si adopera la si dice che si calcola il ite di ( f ( poedo y e facedo tedere y ad y Formalmete scriveremo g ( y y f ( y y y g ( y g per I pratica quado si vuole calcolare il g( si eseguoo i segueti passaggi: ( si calcola il f (, suppoiamo che sia y ; ( ella fuzioe g ( f ( si sostituisce y al posto di e della fuzioe ( y g così otteuta si calcola il ite per y y, suppoiamo che sia ; g f ( per ( se si verifica la allora si può affermare che è il ite di ( Le ipotesi del TEOR4 si semplificao el caso i cui g( Più precisamete si dimostra il y TEOR5 - Siao f : X R, Y Se risulta g : R e sia ( X Y f Sia, ioltre X ed y Y allora esiste il f y e ( g ( f ( g y y ( y g( y g y y ( y g( y Esempio- Si calcoli il La fuzioe h ( è composta delle due fuzioi e ( y [ y] g Poiché 4 e y [ ] y, per il TEOR4 risulta 4 7
18 Formalmete si ha 4 4 y y y [ y ] Limiti delle fuzioi elemetari Adoperado i teoremi e sui iti delle fuzioi mootoe si dimostra che per ogi N *, se è pari e o ullo se è dispari, 4 * per ogi N ± se N * é pari, 5 e se è dispari 6, per ogi N *, R si ha 7 Per ogi a {} a se< a se < a < a se < a se < a < log a se < a se < a < log a se < a se < a < 8 Per ogi α R {} si ha α se < α se α <, α se se < α, α < 8
19 9 Per ogi k Z si ha tg, π kπ π k π tg π arctg, π arctg Calcolo di iti mediate l eiazioe di forme idetermiate Se a R * si calcoli il ( a b c Per ogi > si ha b c a b c a e quidi risulta se< a ( a b c se < a < Per il calcolo di questo ite si è teuto coto del fatto che per ogi R risulta (cioè che la fuzioe radice quadrata è cotiua, come si vedrà el seguito Se, ivece, a allora si ha ( a b c a e, quidi, risulta b c a b c a b c b c ( b c b a b c b c Co aalogo ragioameto si prova che per ogi a R * risulta ( a b c Dai iti e si ricavao ache i segueti iti ( a b c, a ± R * 9
20 Ifatti per il teorema sul ite delle fuzioi composte si ha: ± Come applicazioe si provi che y ( a b c ( ay by c y y y (, ( Nel calcolo dei iti segueti si mostra come si possao eiare forme di idetermiazioe appareti 4 4 ( ( Ifatti si ha e quidi ( 4 5 Ifatti si ha e poiché (cfr6 a pag8 e,quidi, (cfrprop8, si ha la 5 6 Ifatti risulta 8 e poiché 6 8 (cfr 8 pag9 e, allora si ha la 7 Ifatti risulta ( (
Le successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!
DettagliCapitolo 5. Successioni numeriche
Capitolo 5 Successioi umeriche Ua successioe è ua fuzioe avete domiio N o u suo sottoisieme del tipo A = { N > 0, 0 N} e come codomiio R e che associa a ogi umero aturale u umero reale a. La legge di ua
DettagliSUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioni cap3b.pdf 1
SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X =
DettagliSUCCESSIONI DI FUNZIONI
SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe
Dettagli06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI
06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI Ua successioe è ua fuzioe defiita i. I simboli ua f : A tale che f ( ) è ua successioe di elemeti di A. Se poiamo f ( i) ai co i,...,,..., ua successioe può essere rappresetata
DettagliAnalisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1
Aalisi Matematica Soluzioi prova scritta parziale. 1 Corso di laurea i Fisica, 018-019 3 dicembre 018 1. Dire per quali valori dei parametri α R, β R, α > 0, β > 0 coverge la serie + (!) α β. ( )! =1 Soluzioe.
DettagliLimiti di successioni
Limiti di successioi Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Uiversità degli Studi di Padova Dipartimeto di Matematica 20 ottobre 2015 Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Itroduzioe
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioi di Aalisi Matematica per i corsi di Laurea i Igegeria Chimica e Igegeria per l Ambiete e il Territorio dell Uiversità di Bologa. Ao Accademico
Dettagli2.5 Convergenza assoluta e non
.5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello
DettagliESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare
Dettaglik=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se
Serie di fuzioi Sia I R, per ogi k N, data la successioe di fuzioi (f k ) k co f k : I R, cosideriamo la serie di fuzioi (0.) f k () k=0 e defiiamo la successioe delle somme parziali s () = k=0 f k().
DettagliSuccessioni e limiti di successioni
Successioi e limiti di successioi Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Uiversità degli Studi di Padova Dipartimeto di Matematica 24 ottobre 2016 Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva
Dettagli11 IL CALCOLO DEI LIMITI
IL CALCOLO DEI LIMITI Il calcolo di u ite spesso si ricodurrà a trattare separatamete iti più semplici, su cui poi si farao operazioi algebriche. Dato che uo o più di questi iti possoo essere ±, bisoga
Dettagli2.4 Criteri di convergenza per le serie
2.4 Criteri di covergeza per le serie Come si è già acceato i precedeza, spesso è facile accertare la covergeza di ua serie seza cooscere la somma. Ciò è reso possibile da alcui comodi criteri che foriscoo
DettagliSERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)
SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log
Dettagli15 - Successioni Numeriche e di Funzioni
Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 15 - Successioi Numeriche e di Fuzioi Ao Accademico 2013/2014 M Tummiello, V Lacagia,
DettagliDefinizione di intorni Limite finito di una successione Limite infinito di una successione Successioni monotòne Numero di Nepero
Limiti e cotiuità Defiizioe di itori Limite fiito di ua successioe Limite ifiito di ua successioe Successioi mootòe Numero di Nepero 2 2006 Politecico di Torio 1 Sia x 0 R r>0 Itori u puto della retta
Dettagli1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.
Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):
DettagliSUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 1
SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. Successioi RICHIAMI Ua successioe di elemeti di u isieme X è ua fuzioe f: N X. E covezioe scrivere f( ) = x, e idicare le successioi mediate la ifiitupla ordiata delle
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti
Dettagli9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE
9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE Iiziamo ora ad esamiare gli argometi veri e propri di questa prima parte del corso, i cui svilupperemo gli strumeti per giugere a descrivere soddisfacetemete le proprietà
DettagliEsercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) =
Esercitazioe 3 Successioi di fuzioi Esercizio : Studiare la covergeza i (0, ) della successioe {f } dove f (x) = metre Sol.: Si verifica facilmete che lim f (x) = 0 x (0, ) lim sup f (x) = lim = + (0,)
DettagliEsercizi sulle Serie numeriche
AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Serie umeriche Esercizio svolto. Discutere il comportameto delle segueti serie umeriche: a +! b [ ] log c log+ d log + e arcta f g h i l log log! 3! 4
DettagliTracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57
Tracce di soluzioi di alcui esercizi di matematica - gruppo 42-57 4. Limiti di successioi Soluzioe dell Esercizio 42.. Osserviamo che a = a +6 e duque la successioe prede valori i {a,..., a 6 } e ciascu
Dettaglin 1 = n b) {( 1) n } = c) {n!} In questo caso la successione è definita per ricorrenza: a 0 = 1, a n = n a n 1 per ogni n 1.
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 0: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale - Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Successioi umeriche:
DettagliSERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.
SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....
Dettagli1 Successioni numeriche
Aalisi Matematica 2 Successioi umeriche CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 5 SERIE NUMERICHE Chiamiamo successioe di umeri reali ua fuzioe a valori reali defiita su N oppure
DettagliDOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI
DOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI I questa scheda soo proposte alcue domade teoriche sul cocetto di ite e alcui esercizi sul calcolo di iti proposti a temi d esame egli scorsi ai.
Dettaglia n (x x 0 ) n. (1.1) n=0
Serie di poteze. Defiizioi Assegati ua successioe {a } di umeri reali e u puto x dell asse reale si dice serie di poteze u espressioe del tipo a (x x ). (.) Il puto x viee detto cetro della serie e i umeri
Dettagli(a 0, a 1, a 2,..., a n,...) (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),... (1, 3, 5, 7,...) Lezione del 26 settembre. 1. Successioni.
Lezioe del 26 settembre. 1. Successioi. Defiizioe 1 Ua successioe di umeri reali e ua legge che associa a ogi umero aturale = 0, 1, 2,... u umero reale - i breve: e ua fuzioe N R; si scrive ella forma
DettagliSoluzioni degli esercizi del corso di Analisi Matematica I
Soluzioi degli esercizi del corso di Aalisi Matematica I Prof. Pierpaolo Natalii Roberta Biachii & Marco Pezzulla ovembre 015 FOGLIO 1 1. Determiare il domiio e il sego della fuzioe ( ) f(x) = arccos x
DettagliRisoluzione del compito n. 3 (Febbraio 2018/2)
Risoluzioe del compito. 3 (Febbraio 08/ PROBLEMA a Determiate le soluzioi τ C dell equazioe τ iτ +=0. { αβ =4 b Determiate le soluzioi (α, β, co α, β C,delsistema α + β =i. c Determiate tutte le soluzioi
Dettagli2 Criteri di convergenza per serie a termini positivi
Uiversità Roma Tre L. Chierchia 65 (29//7) 2 Criteri di covergeza per serie a termii positivi I questo paragrafo cosideriamo serie a termii positivi ossia serie a co a > 0. Si ricordi che ua serie a termii
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche Silvio Vianelli
Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia Dip. di Scieze Statistiche e Matematiche Silvio Viaelli Apputi del corso di Matematica Geerale Le Serie Ao Accademico 2009/200 V. Lacagia - S. Piraio
DettagliAM110 - ESERCITAZIONI V - VI. Esercizio svolto 1. Dimostrare che ogni insieme finito ha un massimo ed un minimo.
AM110 - ESERCITAZIONI V - VI 16-18 OTTOBRE 2012 Esercizio svolto 1. Dimostrare che ogi isieme fiito ha u massimo ed u miimo. Sia A = {a 1,..., a } R. Dimostriamo che A ha u massimo si procede i maiera
DettagliEsercizi di approfondimento di Analisi IA
Esercizi di approfodimeto di Aalisi IA 4 geaio 017 1 Estremo superiore/iferiore, classi cotigue, archimedeità 1.1. Mostrare che A = {x R : x > 0, x < } ha u estremo superiore ξ, ed è ξ =. 1.. Siao A, B
DettagliMatematica I, Limiti di successioni (II).
Matematica I, 05102012 Limiti di successioi II) 1 Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2, α R), b, = 0, 1, 2, b R), log b, = 1, 2, b > 0, b 1), si, = 0, 1, 2,, cos, = 0, 1, 2,, per + hao il seguete
DettagliSERIE NUMERICHE. Test di autovalutazione. 1+a 2
SERIE NUMERICHE Test di autovalutazioe. E data la serie: dove a R. Allora: ( ) 3a +a (a) se a = la serie coverge a (b) se a = 3 la somma della serie vale 5 (c) se a = 5 la serie diverge a (d) se a 0 la
Dettagli1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti
6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo
DettagliTutoraggio AM1 17/12/2015. sin(x) arctan(x) 2) lim sup / inf x 0 + cos(x) sin( 1 x ) e x2 cos 2 (x 3 ) x 2 + ln(3x + 2) δ(x) δ(x) =
Tutoraggio AM1 17/12/2015 Per la parte teorica sui if e sup vedi le ote su iti iferiori e superiori di fuzioi. A) Date due successioi a },b }, mostrare le segueti proprietà (escludere i casi i cui si abbia
DettagliMatematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1
Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti 1 Lorezo Freddi 1 1 Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 06, 33100
DettagliDefinizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.
SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a 2 + + a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale
DettagliSOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 2015/16, FOGLIO 2. se x [n, 3n]
SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 05/6, FOGLIO Sia f : R R defiita da f x { se x [, 3] 0 altrimeti Studiare la covergeza putuale, uiforme e uiforme sui compatti della successioe f e della
Dettaglix n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma
1 Serie di poteze È stato dimostrato che la serie geometrica x (1.1) coverge se e solo se la ragioe x soddisfa la disuguagliaza 1 < x < 1. I realtà c è covergeza assoluta i ] 1, 1[. Per x 1 la serie diverge
DettagliAnalisi Matematica A e B Soluzioni prova scritta n. 4
Aalisi Matematica A e B Soluzioi prova scritta. 4 Corso di laurea i Fisica, 17-18 3 settembre 18 1. Scrivere le soluzioi dell equazioe differeziale ( u u + u = e x si x + 1 ). 1 + x Soluzioe. Si tratta
DettagliCorso di Istituzioni di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre Le successioni. Versione preliminare
Corso di Istituzioi di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre 2005 Le successioi Versioe prelimiare Uo dei cocetti fodametali dell aalisi modera é il cocetto di limite. Per
Dettagli1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n
Esercizi preparati e i parte svolti martedì 0.. Calcolare al variare di α > 0 Soluzioe: + ) α Per α il ite è e; se α osserviamo che da + /) < e segue che α + ) α [ + ) ] α < e α Per α > le successioi e
DettagliEsercizi di Analisi II
Esercizi di Aalisi II Ao Accademico 008-009 Successioi e serie di fuzioi. Serie di poteze. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f : [, ] R è defiita poedo f (x) := x +.. Studiare
DettagliLIMITI DI SUCCESSIONI
LIMITI DI SUCCESSIONI Formalmete, ua successioe di elemeti di u dato isieme A è u'applicazioe dall'isieme N dei umeri aturali i A: L'elemeto a della successioe è quidi l'immagie a = f) del umero secodo
Dettaglix x x f(x) 5-f(x) Approccio Intuitivo Man mano il valore di x si avvicina a x 0 il valore di f(x) si avvicina a L
Deiizioe imite Approccio Ituitivo Ma mao il valore di si avvicia a il valore di si avvicia a Possiamo precisare meglio: 5 5 5-,968377 4,87459,549,99 4,96,399,996838 4,98736,639,999 4,996,3999,999684 4,998735,65,9999
DettagliEsercitazioni di Geometria II
Esercitazioi di Geometria II Letizia Perigotti - perigotti@sciece.uit.it 20 aprile 2012 Esercizio 1. Dimostrare che la famiglia degli itervalli chiusi e limitati B 1 = {[a, b] R : a < b} o è base di alcua
DettagliProva scritta di Analisi Matematica I 15/09/2010
Prova scritta di Aalisi Matematica I VO 5/09/00 ) Data la fuzioe f ( ) + a) disegare il grafico illustrado i passaggi fodametali b) Euciare e dimostrare il Teorema di Rolle e se possibile applicarlo a
DettagliAnalisi Matematica I
Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio Domada La derivata della fuzioe f) log ) si è ) log )si B) log )cos ) log ) si cos loglog ) + si ) log
DettagliAnalisi Matematica I Soluzioni del tutorato 2
Corso di laurea i Fisica - Ao Accademico 07/08 Aalisi Matematica I Soluzioi del tutorato A cura di Davide Macera Esercizio Abbiamo che x 3 + si(log(x)) + cosh(x) x3 + si(log(x)) + e x ( + x 6 ) / + log(e
DettagliSerie di potenze / Esercizi svolti
MGuida, SRolado, 204 Serie di poteze / Esercizi svolti Si cosideri la serie di poteze (a) Determiare il raggio di covergeza 2 + x (b) Determiare l itervallo I di covergeza putuale (c) Dire se la serie
DettagliNUMERI REALI Mauro Saita Versione provvisoria. Settembre 2012.
NUMERI REALI Mauro Saita maurosaita@tiscaliet.it Versioe provvisoria. Settembre 2012. Idice 1 Numeri reali. 1 1.1 Numeri aturali, iteri, razioali......................... 1 1.2 La scoperta dei umeri irrazioali.........................
DettagliSECONDO ESONERO DI AM1 10/01/ Soluzioni
Esercizio. Calcolare i segueti iti: Razioalizzado si ottiee SECONDO ESONERO DI AM 0/0/2008 - Soluzioi 2 + 2, 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = Per il secodo ite ci soo vari modi, e mostro tre. Ora ( ) ( + si = +
DettagliEsercizi sull estremo superiore ed inferiore
AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sull estremo superiore ed iferiore Esercizio svolto. Dire se i segueti isiemi soo limitati iferiormete o superiormete ed, i caso affermativo, trovare l estremo
DettagliI appello - 11 Dicembre 2006
Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 I appello - Dicembre 006 ) Calcolare il seguete ite: [ ( )] + cos. + ) Data la fuzioe f() = e +, < 0, 0, =, =,,..., log( + ), 0,, =,,...,
Dettagli. Motivando la risposta, dire qual è l ordine di infinitesimo di sinx Dati i numeri complessi z. e x lim x
Prova scritta di Aalisi Matematica I () //5 Euciare e dimostrare il teorema della permaeza del sego Fare u esempio Defiizioe di fuzioe ifiitesima per Motivado la risposta, dire qual è l ordie di ifiitesimo
DettagliLezione 2. . Gruppi isomorfi. Gruppi S n e A n. Sottogruppi normali. Gruppi quoziente. , ossia, equivalentemente, se x G Hx = xh.
Prerequisiti: Lezioe Gruppi Lezioe 2 Z Gruppi isomorfi Gruppi S e A Riferimeti ai testi: [FdG] Sezioe ; [H] Sezioe 26; [PC] Sezioe 58 Sottogruppi ormali Gruppi quoziete L Esempio 7 giustifica la seguete
DettagliSvolgimento degli esercizi del Capitolo 4
4. Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorezo Giacomelli Aalisi Matematica 2 a edizioe Svolgimeto degli esercizi del Capitolo 4 Il limite segue dal teorema del cofroto: e / 0 per. 4.2 0
Dettagli16 - Serie Numeriche
Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 6 - Serie Numeriche Ao Accademico 03/04 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S.
Dettagli( 1) k+1 x k + R N+1 (x), k. 1 + x 10 2, 5 R N+1 ( 1 3 ) ) )
Esercizi di Aalisi - Alberto Valli - AA 05/06 - Foglio 8. Fatevi veire u idea per calcolare log48 alla secoda cifra decimale. Lo sviluppo di Taylor di log( + ) è covergete per solo per (,]. Duque bisoga
DettagliCorsi di laurea in fisica ed astronomia Prova scritta di Analisi Matematica 2. Padova,
Corsi di laurea i fisica ed astroomia Prova scritta di Aalisi Matematica 2 Padova, 28.8.29 Si svolgao i segueti esercizi facedo attezioe a giustificare le risposte. Delle affermazioi o motivate e giustificate
DettagliTEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER
TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER I uo spazio euclideo di dimesioe fiita, ad esempio R 3, cosideriamo u sottospazio, ad esempio u piao passate per
DettagliUna raccolta di esercizi
Corso di Aalisi matematica per Fisici (aa 007-08) (prof Alfoso Villai) Ua raccolta di esercizi (aggiorameto: maggio 008) Risolvere le segueti equazioi ell icogita : a) ( + ) = ( ); b) ( 8) = 9; c) 4 =
Dettagli(x log x) n2. (14) n + log n
Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali- Aalisi Matematica A (c.l.t. i Fisica) Prova parziale del 8 Novembre 20 Svolgere gli esercizi segueti. Studiare il domiio ed il comportameto della serie
Dettagli0.1 Esercitazioni V, del 18/11/2008
1 0.1 Esercitazioi V, del 18/11/2008 Esercizio 0.1.1. Risolvere usado Cramer il seguete sistema lieare x + y + z = 1 kx + y z = 0 x kz = 1 Soluzioe: Il determiate della matrice dei coefficieti è (k 2)(k
DettagliEsercizi sui limiti di successioni
AM0 - AA 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sui iti di successioi Esercizio svolto a) Usado la defiizioe di ite, dimostare che: + 3 si π cos e ) e b) 0 Soluzioe Comiciamo da a) Vogliamo dimostrare che: ε
DettagliCalcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 31 Gennaio 2018 Soluzioni Scritto
Calcolo I - Corso di Laurea i Fisica - Geaio 08 Soluzioi Scritto Data la fuzioe f = 8 + / a Calcolare il domiio, puti di o derivabilità ed asitoti; b Calcolare, se esistoo, estremi relativi ed assoluti.
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Commissione L. Caravenna, V. Casarino, S. Zoccante Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza
ANALISI MATEMATICA Commissioe L. Caravea, V. Casario, S. occate Igegeria Gestioale, Meccaica e Meccatroica, Viceza Nome, Cogome, umero di matricola: Viceza, 6 Settembre 25 TEMA - parte B Esercizio ( puti).
Dettagli****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ******
****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ****** 1 2 1. Fuzioi misurabili. I questo umero estediamo la ozioe di misurabilità alle fuzioi. Defiizioe 1. Siao u isieme o vuoto, Y uo spazio topologico e µ
DettagliUniversitá di Roma Tor Vergata
Uiversitá di Roma Tor Vergata Prof. A. Porretta ) Calcolare i segueti iti: ( ) + + 3 ( ) cos π + log 4 log( 3 + ) +! e + log ( ) si 3 + 3 5 e si + 3 4 + 3 log + ( ) 3 ( ) arctg + log ( ) + 5 + 3! si (log
DettagliMatematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1
Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti Lorezo Freddi Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 206, 3300 Udie,
DettagliCorso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli
Uiversità di Treto - Corso di Laurea i Igegeria Civile e Igegeria per l Ambiete e il Territorio - 07/8 Corso di Aalisi Matematica - professore Alberto Valli 8 foglio di esercizi - 5 ovembre 07 Taylor,
DettagliConvergenza di variabili aleatorie
Covergeza di variabili aleatorie 1 Covergeza quasi certa Ua successioe (X ) 1 di v.a. coverge quasi certamete alla v.a. X se: X X (P-q.c.), cioè P(X X) = 1, ove {X X} = {ω : X (ω) X(ω)} è l issieme di
DettagliTEORIA DELLE MATRICI. dove aij K. = di ordine n, gli elementi aij con i = j (cioè gli elementi a 11
1 TEORIA DELLE MATRICI Dato u campo K, defiiamo matrice ad elemeti i K di tipo (m, ) u isieme di umeri ordiati secodo m righe ed coloe i ua tabella rettagolare del tipo a11 a12... a1 a21 a22... a2 A =.........
DettagliSoluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.
60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: + 4 3 9 Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: + 4 3 9 Si tratta
DettagliEsercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim.
Esercizi svolti. Calcolare i segueti iti: a log + + c ± ta 5 + 5 si π e b + si si e d + f + 4 5 g + 6 4 6 h 4 + i + + + l ± + log + log 7 log 5 + 4 log m + + + o cos + si p + e q si s e ta cos e u siπ
DettagliCorsi di laurea in fisica ed astronomia Prova scritta di Analisi Matematica 2. Padova,
Corsi di laurea i fisica ed astroomia Prova scritta di Aalisi Matematica Padova, 5.7.08 Si svolgao i segueti esercizi facedo attezioe a giustificare le risposte. Delle affermazioi o motivate e giustificate
DettagliII-9 Successioni e serie
SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La
Dettaglin + 2n 3 ; (1) lim n 2 log n + n (2) lim 2 n + 5 n = (3) lim Soluzione. (1). Riscrivendo oppportunamente la successione, si ha n2 (1 + 1/n 2 ) = n
Limiti di Successioi Ifiiti ed Ifiitesimi Esercizio Calcolare se esistoo i segueti iti: + + ; log + + + 5 ;! + +! Soluzioe Riscrivedo oppportuamete la successioe si ha + a = = + / = + Poichè + = + + =
DettagliUn risultato di compattezza: il Teorema di Ascoli-Arzelà. Applicazione ad un risultato di esistenza per le equazioni differenziali ordinarie.
U risultato di compattezza: il Teorema di Ascoli-Arzelà. Applicazioe ad u risultato di esisteza per le equazioi differeziali ordiarie. Voglio comiciare questo secodo icotro co u risultato di compattezza
DettagliLimiti di successioni
Limiti di successioi Ricordiamo che si chiama successioe (umerica) ua qualsiasi fuzioe a : N a () R. Per evideziare il fatto che i valori assuti dalla fuzioe a si possoo umerare (cioè cotare), si preferisce
DettagliProposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.
Laboratorio di Matematica, A.A. 009-010; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile
Dettagli1. ESERCIZI sui NUMERI REALI. Determinare l estremo superiore e inferiore, il massimo e il minimo, se esistono, dei seguenti insiemi.
. ESERCIZI sui NUMERI REALI Determiare l estremo superiore e iferiore, il massimo e il miimo, se esistoo, dei segueti isiemi.. A = { R }. B = { < }. C = { + N {0}} 4. D = { k k Z} Provare di ciascua delle
Dettagli1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;
. Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: + + + 0. Pertato, per il criterio del cofroto
DettagliFacoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Matematica - A.A Prova scritta di Analisi Matematica I del c.1.
Prova scritta di Aalisi Matematica I del 25-5-1998 - c.1 1) Per ogi umero N, 2, siao dati 2 umeri reali positivi a 1, a 2,...a, b 1, b 2,...b. Provare, usado il Pricipio di Iduzioe, che a 1 + a 2 +...
DettagliEsercizi di Analisi Matematica 1 utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni.
Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio Es. Esercizi di Aalisi Matematica utili per la preparazioe all esame scritto. File co soluzioi. a.5.5.5.5 b 4 3.5 3.5.5.5 5 5 Figura 5 5.5 a 3 b 4 5.5 6 5
DettagliEsercizi sulle successioni
Esercizi sulle successioi 1 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 2 3. a := 2 + 3 3 7 2 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 0. a := 4 + 3 3 5 + 7
DettagliSerie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti
Serie umeriche e di fuzioi - Esercizi svolti Serie umeriche Esercizio. Discutere la covergeza delle serie segueti a) 3, b) 5, c) 4! (4), d) ( ) e. Esercizio. Calcolare la somma delle serie segueti a) (
Dettagli1 Esponenziale e logaritmo.
Espoeziale e logaritmo.. Risultati prelimiari. Lemma a b = a b Lemma Disuguagliaza di Beroulli per ogi α e per ogi ln a k b k. k=0 + α + α Teorema Disuguagliaza delle medie Per ogi ln, per ogi upla {a
DettagliAbbiamo, almeno informalmente, una certa familiarità con la nozione di successione numerica, come ad esempio, la successione 1
Capitolo 6 6. Itroduzioe I molti corsi di Aalisi Matematica lo studio delle successioi precede lo studio dei iti di fuzioi. I questo approccio, le dimostrazioi di alcui tra i più importati teoremi riguardati
DettagliProgramma dettagliato del Corso di Analisi 1
Programma dettagliato del Corso di Aalisi Ig. per l Ambiete e il Territorio, Ig. Civile, Ig. dei Trasporti a.a. 2006-2007 http://www.dmmm.uiroma.it/persoe/capitaelli I NUMERI E LE FUNZIONI REALI Itroduzioe
DettagliSerie numeriche. Esercizi
Serie umeriche. Esercizi Mauro Saita, aprile 204. Idice Serie umeriche.. Serie a termii defiitivamete positivi..............................2 Serie a termii di sego altero.................................
DettagliEquazioni differenziali
Equazioi differeziali Defiizioe 1 Si chiama equazioe differeziale u tipo particolare di equazioe fuzioale, ella quale la fuzioe icogita compare isieme ad alcue sue derivate, ossia u equazioe ella quale,
DettagliEsercizi di Analisi Matematica A utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni.
Esercizi di Aalisi Matematica A: soluzioi Es. Esercizi di Aalisi Matematica A utili per la preparazioe all esame scritto. File co soluzioi. PSfrag replacemets a.5.5.5.5 PSfrag replacemets 5 5 a b 4 3.5
DettagliMichela Eleuteri ANALISI MATEMATICA. Serie numeriche (teoria ed esercizi)
Michela Eleuteri ANALISI MATEMATICA Serie umeriche (teoria ed esercizi) A Giulia co la speraza che almeo ella matematica o assomigli al papà Idice Serie 5. Deizioe di serie e prime proprietà........................
Dettagli