Abbiamo, almeno informalmente, una certa familiarità con la nozione di successione numerica, come ad esempio, la successione 1

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1 Capitolo 6 6. Itroduzioe I molti corsi di Aalisi Matematica lo studio delle successioi precede lo studio dei iti di fuzioi. I questo approccio, le dimostrazioi di alcui tra i più importati teoremi riguardati la cotiuità, le derivate e gli itegrali utilizzao le successioi, piuttosto che la proprietà dell estremo superiore. I questo corso abbiamo sovvertito questa tradizioe, poedo prima lo studio della cotiuità, delle derivate e degli itegrali. Ci accigiamo ora allo studio delle successioi, u argometo di fodametale importaza ell Aalisi Matematica. 6.2 Abbiamo, almeo iformalmete, ua certa familiarità co la ozioe di successioe umerica, come ad esempio, la successioe 2, 4, 8, 6,.... Ituitivamete, ua successioe di umeri reali è ua collezioe di umeri reali, i cui si ricooscoo u primo, u secodo, u terzo, e così via, co u umero reale associato ad ogi elemeto di N. È importate distiguere tra il termie successioe ed il termie, correlato ma o idetico, serie, che rappreseta la somma degli elemeti di ua successioe, ad esempio Nel loro uso colloquiale queste due parole soo itercambiabili, ma ella termiologia matematica i due cocetti soo distiti, ed esse debboo essere usate rispettado il loro preciso sigificato. L idea ituitiva co cui pesiamo ad ua successioe o è abbastaza rigorosa per le ostre fialità. L associazioe dei sigoli elemeti di u isieme arbitrario di umeri reali co la posizioe di primo, secodo, terzo, e così via, sarà sostituita dalla defiizioe di ua fuzioe dall isieme dei umeri aturali all isieme dei umeri reali. I altre parole, sebbee scriviamo ua successioe di umeri reali ella forma a, a 2,..., la defiizioe formale di ua tale successioe è ua fuzioe f : N R, i cui pesiamo f() come il primo elemeto della successioe, f(2) come il secodo elemeto, e così via; vale a dire, pesiamo la successioe come data da a = f() per ogi N. Come si vede dalla seguete defiizioe, si può vedere ua successioe i qualuque isieme o vuoto. Defiizioe 6.. Sia A u isieme o vuoto. Ua successioe i A è ua fuzioe f : N A. Se f : N A è ua successioe, e se a i = f(i) per ogi i N, allora scriveremo a, a 2, a 3,... ovvero {a } = per idicare la successioe. Ogi umero a, co N, è chiamato termie della successioe {a } =. Ua successioe ell isieme R è ache detta successioe di umeri reali. 6-

2 Capitolo 6. È importate ricooscere che ua successioe o è soltato u isieme di elemeti, ma è ua collezioe umerabile di ifiiti elemeti posti i u dato ordie (la parola umerabile sigifica che quegli elemeti possoo essere posti i corrispodeza co l isieme dei umeri aturali). Per cotro, u qualuque isieme umerabile di ifiiti elemeti o è caratterizzato da u ordie preciso dei suoi elemeti. I altre parole, distiguiamo tra ua successioe {a } =, e l isieme dei termii della successioe {a N}. Per esempio, sia {a } = la successioe {( ) } = ; allora, la successioe {a } = ha ifiiti termii, ma l isieme {a N} = {, } ha solo due elemeti. Ache se i ua successioe o ci soo due termii uguali tra loro, essa è diversa dall isieme dei suoi termii. Per esempio, le successioi 2, 4, 8, 6,... e 4, 2, 8, 6,... soo diverse, pur avedo lo stesso isieme di elemeti. Iformalmete, l idea ituitiva di ite di ua successioe {a } = per che tede a ifiito è che il valore di a si avvicia sempre più a u umero l quado il valore di diveta molto grade. Naturalmete, o tutte le successioi hao u ite. È importate sottolieare che quado diciamo tede all ifiito si itede solo che diveta sempre più grade, o vi è alcu umero reale a cui si avvicia sempre più. Come abbiamo fatto per i iti di fuzioi, misuriamo la viciaza arbitraria co u umero positivo arbitrariamete scelto, spesso idicato co il simbolo ε. Riformuliamo la prima parte dell espressioe il valore di a si avvicia sempre più a u umero l metre il valore di diveta sempre più grade usado ε per idicare la misura della viciaza. L idea fodametale dell esisteza del ite di ua successioe è: se, per ogi possibile scelta di ε > 0, o importa quato piccolo, si può dimostrare che per ogi sufficietemete grade, il valore di a sarà a distaza miore di ε da l, allora diremo che il ite di {a } = è l. Useremo N per idicare la misura della gradezza di. Quidi se per ogi possibile scelta di ε > 0, o importa quato piccolo, possiamo dimostrare che vi è u certo N tale che per ogi almeo grade come, allora a sarà etro ua distaza ε da l, diremo che il ite di {a } = è l. Dire che a è etro ua distaza ε da l è dire che a l < ε. Vediamo quidi che il modo rigoroso di dire Il valore di a arriva sempre più vicio ad u umero l quado il valore di diveta più grade è per ogi ε > 0, esiste N N tale che per ogi N tale che, si verifica che a l < ε. L espressioe per ogi N tale che, si verifica che a l < ε può essere visualizzata graficamete dicedo che a è all itero di ua bada di larghezza 2ε cetrata i l per tutti gli tali che N e. Osserviamo che il ostro uso di ε ella discussioe qui sopra è uguale a quello che e abbiamo fatto ella discussioe dei iti di fuzioi, ache se abbiamo sostituito il δ (che i quel caso era piccolo quato più ε era piccolo) co u umero itero (che spesso sarà grade quato più ε è piccolo). Salvo che per questa sostituzioe di δ co, la seguete defiizioe è praticamete la replica della Defiizioe 3.. I altre parole, iti di fuzioi e iti di successioi soo diversi, i quato hao a che fare co fuzioi che hao diversi domii (itervalli aperti di R oppure umeri aturali), ma fuzioao ello stesso modo el codomiio (che è R i etrambi i casi). 6-2

3 6.2. Defiizioe 6.2. Sia {a } = ua successioe i R, e sia l R. Il umero l è il ite di {a } =, e si scrive a = l, se per ogi ε > 0, esiste N tale che N e implicao a l < ε. Se a = l, diciamo ache che {a } = coverge a l. Se {a } = coverge a u umero reale, diciamo che {a } = è covergete, altrimeti diciamo che {a } = è divergete. Proprio come la defiizioe dei iti di successioi è molto simile alla defiizioe di iti di fuzioi, così ache molti dei lemmi, teoremi e dimostrazioi i questa sezioe soo molto simili ai corrispodeti risultati sui iti di fuzioi che si trovao el Capitolo 3. Per il ostro primo lemma, osserviamo che o è detto ella Defiizioe 6.2 che il umero l ella defiizioe sia uico. Tuttavia, si scopre che se a = l co l R, allora esiste u solo tale umero l. I altre parole, se ua successioe ha u ite, sigifica che vi è u uico umero l cui a si avvicia sempre più quado diveta sempre più grade; se o esiste tale umero, allora o c è ite. Lemma 6.. Sia {a } = l è uico. ua successioe i R. Se a = l per qualche l R, allora Dimostrazioe. Suppoiamo che a = l e a = l 2 co l, l 2 R tali che l l 2. Sia ε = l l 2 /2. Quidi ε > 0. Duque esiste N tale che N e implicao a l < ε, esiste 2 N tale che N e 2 implicao a l 2 < ε. Sia = max{, 2 }. Allora e 2, e quidi l l 2 = l a + a l 2 l a + a l 2 = a l + a l 2 < ε + ε = 2ε = 2 l l 2 2 = l l 2, che è ua cotraddizioe. Ne deduciamo che se a = l, co l R, allora l è uico. I cosegueza del Lemma 6. potremo dire il ite di ua successioe, se il ite esiste. Vediamo ora alcui esempi di determiazioe del ite di ua successioe. Esempio 6.. Sia c R, e sia {a } = la successioe costate defiita da a = c per ogi N. Mostreremo che a = c; potremmo scrivere questo ite come c = c. Sia ε > 0. Sia =. Suppoiamo che N e. Allora a c = c c = 0 < ε. Esempio 6.2. Mostriamo che = 0. Vogliamo trovare N tale che N e implichio / 0 < ε, cioè / < ε. Sarà quidi ua buoa scelta predere N tale che / < ε. Per il puto (2) del Corollario.2 esiste N tale che / < ε. Suppoiamo che N e. Allora 0 = = N < ε. 6-3

4 Capitolo 6. Esempio 6.3. Mostriamo che {( ) } = è divergete. Suppoiamo che a = l, co l R. Sia ε = /2. Allora esiste N tale che N e implicao ( ) l < /2. Scegliamo, 2 N tali che e è dispari, e che 2 e 2 è pari. Allora 2 = ( ) = ( ) ( ) 2 = ( ) l + l ( ) 2 ( ) l + l ( ) 2 < =, che è ua cotraddizioe. Cocludiamo che la successioe è divergete. Ua semplice, ma utile, osservazioe sui iti di successioi è che se u umero fiito di termii di ua successioe vegoo modificati, questo o cambia il fatto che la successioe sia covergete o meo e, se la successioe è covergete, o cambia il ite della successioe. Per la ostra prossima defiizioe, occorre ricordare la defiizioe di sottoisieme di R itato. Defiizioe 6.3. Sia {a } = ua successioe i R. La successioe {a } = è itata superiormete, itata iferiormete, ovvero itata se l isieme {a N} è, rispettivamete, itato superiormete, itato iferiormete, ovvero itato. Sappiamo che ua successioe {a } = è itata se e solo se esiste p R tale che a p per ogi N; è sempre possibile scegliere p i modo che p > 0. A differeza di ua serie di altri teoremi e lemmi di questa sezioe, che hao aaloghi esatti per iti di fuzioi, il seguete lemma ha solo u aalogo parziale. Metre è possibile che u ite della forma f(x) esista ache se la fuzioe f o è itata, x c la atura discreta dei umeri aturali porta al fatto che ogi successioe covergete è itata, come ora diremo. L aalogo più vicio del seguete lemma, di cui omettiamo la dimostrazioe, per i iti di fuzioi è il Lemma 3.. Lemma 6.2. Sia {a } = ua successioe i R. Se {a } = è covergete, allora {a } = è itata. Sebbee il Lemma 6.2 mostri che ua successioe covergete è itata, il cotrario o è vero i geerale. Ad esempio, la successioe {( ) } = è chiaramete itata, ma abbiamo visto ell Esempio 6.3 che è divergete. Il seguete lemma è l aalogo del Lemma 3.2. L ipotesi di itatezza o può essere lasciata cadere. Lemma 6.3. Siao {a } = e {b } = due successioi i R. Suppoiamo che a = 0 e che {b } = sia itata. Allora a b = 0. Esempio 6.4. Sappiamo che = 0. La successioe {si } = è itata, poiché sappiamo si = 0. che si x per ogi x R. Il Lemma 6.3 quidi implica che 6-4

5 6.2. Ora vedremo che i iti di successioi si comportao bee riguardo all addizioe, sottrazioe, moltiplicazioe e divisioe dei termii delle successioi. Teorema 6.. Siao {a } = e {b } = due successioi i R, e sia k R. Suppoiamo che {a } = e {b } = siao covergeti. () {a + b } = (2) {a b } = è covergete e risulta (a + b ) = a + b. è covergete e risulta (a b ) = a b. (3) {ka } = è covergete e risulta (ka ) = k a. [ ] (4) {a b } = è covergete e risulta (a b ) = a (5) Se b 0, allora { } a b = è covergete e risulta [ ] b. ) ( a b a = b. Il Teorema 6. ha valeza sia teorica che pratica, come mostra il seguete esempio. Esempio 6.5. Mostreremo che =. Ache se sarebbe possibile forire ua dimostrazioe di tipo ε- per questo ite, useremo il Teorema 6. per redere la cosa più agevole. + Osserviamo che se N, allora + = + /. Poiché = e dedurre che = 0. Possiamo quidi applicare i puti () e (5) del Teorema 6. per + = + / = + 0 =. Il ostro prossimo risultato è l aalogo del Teorema 3.5, co la sola modifica che i questo caso è sufficiete che il cofroto termie a termie delle due successioi valga dopo u certo umero di termii. Teorema 6.2. Siao {a } = e {b } = due successioi i R. Suppoiamo che esista N tale che N e implichio a b. Se {a } = e {b } = soo covergeti, allora a b. Il seguete teorema forisce u modo coveiete per trovare il ite di ua successioe itrappoladola tra due successioi che hao iti, uguali, che possoo essere trattati più facilmete. Teorema 6.3. Siao {a } =, {b } = e {c } = tre successioi i R. Suppoiamo che esista N tale che N e implichio a c b. Se {a } = e {b } = soo covergeti e a = b, allora {c } = è covergete e c = a = b. 6-5

6 Capitolo 6. Il seguete utile esempio è, i parte, ua applicazioe del Teorema 6.3. Esempio 6.6. Sia r R. {r } =. Vi soo sei casi. Vogliamo esamiare la covergeza o divergeza della successioe Nel primo caso, suppoiamo che 0 < r <. Mostreremo che {r } = è covergete, e che r = 0. Segue dall ipotesi su r che /r >. Sia q = /r. Allora q > 0 e /r = + q. Se N allora /r = (/r) = ( + q) + q > q. Quidi 0 < r < /(q) per ogi N. Poiché /(q) = 0, e cosegue, per il Teorema 6.3, che r = 0. Nel secodo caso, suppoiamo che r >. Mostreremo che {r } = è divergete. Utilizzado il Lemma 6.2, si dimostra che {r } = è o itata. Sia p R. Se p 0, allora r > p per ogi N. Suppoiamo ora che p > 0. Cosegue dall ipotesi su r che 0 < /r <, e quidi dal caso precedete sappiamo che (/r) = 0. Pertato esiste N tale che N e implicao (/r) 0 < /p. E segue che se N e, allora r = r > p. Quidi {r } = è o itata superiormete, e quidi è o itata. Nel terzo caso, suppoiamo che r = o r = 0. Allora r = o r = 0. Nel quarto caso, suppoiamo che < r < 0. Quidi 0 < r <, e dal primo caso, vediamo che r = r = 0. Segue quidi immediatamete che r = 0. Nel quito caso, suppoiamo che r =. Allora {r } = è divergete, come è stato mostrato ell Esempio 6.3. Nel sesto caso, suppoiamo che r <. Mostreremo che {r } = è divergete, acora ua volta dimostrado che {r } = o è itata. Sia q R. Suppoiamo che q > 0; il caso co q 0 è simile, e tralasciamo i dettagli. Cosegue dall ipotesi su r che r >. Utilizzado il ragioameto seguito el secodo caso, sappiamo che esiste N tale che N e implicao r > q. Ne segue che, se N e e è pari, allora r = r > q. Quidi {r } = è o itata. Mettedo isieme tutti i casi di cui sopra, vediamo che {r } = è covergete se e solo se < r. Se < r < allora r = 0, e se r = allora r =. I modo aalogo a quato visto per i iti all ifiito di tipo 2 per le fuzioi, è ache possibile defiire che cosa sigifica per ua successioe divergere a o. Defiizioe 6.4. Sia {a } = all ifiito, e si scrive ua successioe i R. La a =, successioe {a } = diverge se per ogi p R, esiste N tale che N e implicao a > p. La successioe {a } = diverge all ifiito egativo, e si scrive a =, se per ogi q R, esiste N tale che N e implicao a < q. Osserviamo che diciamo che ua successioe diverge all ifiito, e o che coverge all ifiito, perché la covergeza sigifica sempre la covergeza ad u umero reale, e o c è u umero reale che sia ifiito. 6-6

7 6.3. Cofroti e stime asitotiche 6.3 Cofroti e stime asitotiche Ua successioe che ha ite 0, per che tede a, è u ifiitesimo. Ua successioe che diverge all ifiito (positivo o egativo) è u ifiito. Quado due successioi soo etrambe ifiitesimi o etrambe ifiiti è utile poter stabilire u cofroto tra di esse, per capire quale delle due teda più rapidamete a 0 o diverga più rapidamete all ifiito. Defiizioe 6.5. Siao {a } = e {b } = due successioi i R. Suppoiamo che {a } = e {b } = siao ifiiti. a. Se = 0, allora {a } = b è u ifiito di ordie iferiore a {b } = a 2. Se = l, l R e l 0, allora {a } = è u ifiito dello stesso ordie di b {b } = 3. Se a b =, allora {a } = è u ifiito di ordie superiore a {b } = a 4. Se o esiste il ite, allora {a } = b e {b } = o soo cofrotabili.. Defiizioe 6.6. Siao {a } = e {b } = due successioi i R. Suppoiamo che {a } = e {b } = siao ifiitesimi.. Se 2. Se {b } = 3. Se a = 0, allora {a } = b è u ifiitesimo di ordie superiore a {b } = a = l, l R e l 0, allora {a } = è u ifiito dello stesso ordie di b a b =, allora {a } = è u ifiitesimo di ordie iferiore a {b } = a, allora {a } = b e {b } = o soo cofrotabili. 4. Se o esiste il ite Al puto 2. della Defiizioe 6.5 e della Defiizioe 6.6 assume particolare rilievo il caso a i cui =. Si dice allora che le successioi {a } = b e {b } = soo asitotiche e, per idicare questa circostaza, si scrive a b, e si legge a è asitotico a b. La prossima proposizioe, di cui omettiamo la dimostrazioe, eleca alcue proprietà delle successioi asitotiche che riescoo spesso assai utili el calcolo dei iti. Proposizioe 6.. Siao {a } = e {b } = due successioi i R. {a } = e {b } = siao asitotiche. Suppoiamo che. Le successioi {a } = e {b } = hao lo stesso comportameto: covergoo allo stesso ite, divergoo etrambe all ifiito (positivo o egativo), o etrambe o hao ite. 6-7

8 Capitolo Si possoo scrivere catee di relazioi asitotiche del tipo: se a b... c, allora a c. 3. U espressioe composta da prodotto o quoziete di più fattori può essere stimata fattore per fattore: se a a, b b, c c, allora a b c a b c. I cofroti proposti ella Defiizioe 6.5 delieao la struttura di ua gerarchia degli ifiiti. Il prossimo esempio stabilisce due casi fodametali i questo seso. Esempio 6.7. Mostreremo che log a α = 0. (6.) Comiciamo ricordado ua ota disuguagliaza tra u umero reale positivo e il suo logaritmo: log a x < log a 2 x = x log a 2, x > 0. Applichiamo ora questa disuguagliaza al umero x = α/2 e abbiamo: α 2 log a < α/2 log a 2, e quidi log a α/2 < 2 α log a 2 vale a dire log a α = log a α/2 2 α/2 α log a 2 Per il Teorema 6.2 risulta allora immediatamete la (6.). α/2. Esempio 6.8. Applichiamo ora il risultato dell Esempio 6.7 per mostrare che Sostituedo al umero aturale il umero aturale 2 otteiamo: α = 0. (6.2) a log 0 = a 2 (2 ) α = log a 2 (2 α ). Fissato allora a >, scegliedo α > 0 i modo che sia 2 α = a, otteiamo immediatamete = 0, (6.3) a che è il caso particolare della (6.2) el caso i cui α =. Il caso geerale segue dall idetità α ( ) ( ) α α a = =. a /α (a /α ) Ifatti, poiché a /α >, dalla (6.3) si ha: e quidi ache: (a /α ) = 0, ( ) α = 0. (a /α ) 6-8

9 6.4. Teoremi sulla covergeza Il prossimo teorema è uo strumeto molto utile per risolvere alcui casi di cofroto tra ifiiti. Teorema 6.4 (Criterio del rapporto). Sia {a } = che sia a > 0 per ogi N, e che esista il ite ua successioe i R. Suppoiamo () Se l <, allora = 0. (2) Se l >, allora =. a + (3) Se a a + = l. a =, allora a =. Osserviamo che el caso l = il Teorema 6.4 o cosete di trarre alcua coclusioe circa la covergeza di {a } =. Esempio 6.9. Mostriamo che la successioe {a } =, defiita da a ovvero b è u ifiito di ordie iferiore a!. Quidi: b = 0 per ogi b R, cob > 0.! Applichiamo il criterio del rapporto alla successioe {a } =. Abbiamo: = b! è u ifiitesimo, a + = a b + ( + )!! b = Otteiamo così u uovo caso di gerarchia tra ifiiti. b + = 0. Esempio 6.0. Mostriamo che la successioe {a } =, defiita da a =! ovvero! è u ifiito di ordie iferiore a. Quidi:! = 0. Applichiamo il criterio del rapporto alla successioe {a } =. Abbiamo: a + = a b + ( + )!! b = Otteiamo così u uovo caso di gerarchia tra ifiiti. b + = 0. è u ifiitesimo, 6.4 Teoremi sulla covergeza Le proprietà fodametali delle successioi che abbiamo visto ella sezioe precedete si basao soltato sulle proprietà algebriche dei umeri reali; ciò sigifica che queste proprietà valgoo ache per successioi ell isieme dei umeri razioali. I questa sezioe ci occuperemo di tre importati teoremi che si basao sulle proprietà dell estremo superiore e dell estremo iferiore dei umeri reali. 6-9

10 Capitolo 6. Come motivazioe per ciò che vedremo tra breve, ricordiamo il Teorema 5.4, che forisce ua caratterizzazioe della itegrabilità di ua fuzioe seza richiedere ua stima del valore dell itegrale. Quel teorema afferma, essezialmete, che se tutte le somme di Riema di ua fuzioe su u itervallo chiuso itato si avviciao reciprocamete quado la orma della partizioe diveta sempre più piccola, allora la fuzioe è itegrabile. I modo simile, sarebbe importate poter stabilire che ua successioe è covergete pur seza trovare ecessariamete il valore del ite della successioe, poiché questo, i molti casi, o è affatto semplice. I particolare, vedremo qui ora l aalogo (ache se molto più semplice) del Teorema 5.4 per le successioi, che afferma ituitivamete che ua successioe è covergete se e solo se i valori dei suoi termii divetao sempre più vicii quado diveta sempre più grade. La caratterizzazioe della covergeza di successioi, chiamata teorema di completezza di Cauchy, sarà data el Corollario 6.2. Prima di essere i grado di dimostrare questo risultato, abbiamo bisogo di alcui altri importati cocetti e teoremi sulle successioi; questi teoremi o foriscoo ua caratterizzazioe completa della covergeza delle successioi, ma stabiliscoo alcue codizioi che garatiscoo la covergeza. Il primo dei tre importati teoremi di questa sezioe, detto teorema della covergeza mootoa, richiede la seguete defiizioe, che è aaloga alla Defiizioe 4.6. Defiizioe 6.7. Sia {a } = ua successioe i R.. La successioe {a } = è crescete se < m implica a a m per ogi, m N. 2. La successioe {a } = è strettamete crescete se < m implica a < a m per ogi, m N. 3. La successioe {a } = è decrescete se < m implica a a m per ogi, m N. 4. La successioe {a } = è strettamete decrescete se < m implica a > a m per ogi, m N. 5. La successioe {a } = è mootoa se è crescete o decrescete. 6. La successioe {a } = è strettamete mootoa se è strettamete crescete o strettamete decrescete. Alcui libri usao i termii o decrescete e crescete per idicare quello che oi chiamiamo, rispettivamete, crescete e strettamete crescete, e allo stesso modo per decrescete. Come el caso delle fuzioi, o esiste qui ua termiologia uivoca. { } + Esempio 6.. Mostreremo che la successioe è strettamete crescete, e quidi è + 2 = strettamete mootoa. Idichiamo questa successioe co {a } =. U approccio è il seguete. Siao, m N, e suppoiamo che < m. Allora a m a = m + m = m (m + 2)( + 2) > 0, e quidi a < a m. Quidi {a } = è strettamete crescete. U altro approccio è quello di cosiderare la fuzioe f : [, ) R defiita da f(x) = x + per ogi x [, ). x + 2 Allora f (x) = (x + 2) 2 per ogi x (, ). Quidi f (x) > 0 per ogi x (, ), e segue dal Teorema 4.8 che f è strettamete crescete. Cosiderado la restrizioe di f ai umeri aturali, vediamo che {a } = è strettamete crescete. 6-0

11 6.4. Teoremi sulla covergeza Esempio 6.2. La successioe {( ) } = o è mootoa, omettiamo i dettagli. Il seguete teorema, ache se o molto difficile da dimostrare, immediatamete implicherà il teorema della covergeza mootoa (Corollario 6.). Nel Teorema 6.5 è importate teere a mete la differeza tra ua successioe {a } =, e l isieme di tutti i suoi termii {a N}. L isieme {a N} o è ua successioe, e o può avere u ite, ache se può avere u estremo superiore o u estremo iferiore. L idea di questo teorema è che se ua successioe è crescete, allora essa può fare ua delle due cose, cioè, aumetare seza ite, el qual caso la successioe diverge a ifiito, o o aumetare seza ite, el qual caso la successioe è itata superiormete, e sembra quidi plausibile che esista u umero cui la successioe coverge. Teorema 6.5. Sia {a } = ua successioe i R. () Se {a } = è crescete e itata superiormete, allora {a } = è covergete e a = sup {a N}. (2) Se {a } = è crescete e o itata superiormete, allora =. (3) Se {a } = è decrescete e itata iferiormete, allora {a } = è covergete e (4) Se {a } = a = if {a N}. è decrescete e o itata iferiormete, allora a =. Il seguete corollario è ua cosegueza immediata del Teorema 6.5 e del Lemma 6.2. Corollario 6. (Teorema della covergeza mootoa). Sia {a } = ua successioe i R. Suppoiamo che {a } = sia mootoa. Allora {a } = è covergete se e solo se {a } = è itata. Il teorema della covergeza mootoa (Corollario 6.) è utile per dimostrare altri teoremi, per esempio alcui risultati sulla covergeza di serie el prossimo capitolo. Seppure molto importate i liea di pricipio, il teorema di covergeza mootoa o è, tuttavia, molto utile dal puto di vista della dimostrazioe che ua certa successioe sia covergete, perché la maggior parte delle successioi o soo mootoe. Passiamo ora ad u altro approccio per trovare successioi covergeti. Si cosideri la successioe {( ) } =, che è certamete o mootoa. Osserviamo, tuttavia, che ache se questa successioe o è covergete, essa cotiee due successioi covergeti al suo itero, vale a dire, l isieme di tutti i termii che hao valore, e l isieme di tutti i termii che hao valore. Al fie di euciare il ostro prossimo importate risultato, il teorema di Bolzao-Weierstrass, Teorema 6.6 di seguito, i primo luogo abbiamo bisogo di discutere la ozioe geerale di ua successioe coteuta i u altra successioe. { } Si cosideri la successioe, che possiamo scrivere come =, 2, 3, 4,.... (6.4) 6-

12 Capitolo 6. Possiamo trovare molte successioi che soo coteute i questa successioe, per esempio la successioe, 3, 5, 7,... e 2, 4, 8, 6,.... (6.5) Ua successioe o è solo u isieme ifiito umerabile, ma è u isieme ifiito umerabile elecato i u ordie specifico, ed è importate otare che per ua successioe coteuta i u altra l ordie dei termii deve essere preservato. Per esempio, oi o cosideriamo la successioe 4, 2, 8, 6,... come coteuta ella successioe (6.4), ache se l isieme dei suoi termii è u sottoisieme di quello dei termii della (6.4). Al fie di preservare l ordie della successioe origiaria, dobbiamo guardare gli idici dei termii della successioe i cosiderazioe. Ad esempio, se la successioe 6.4 è idicata co {a } =, allora potremmo idicare la successioe (6.5) co {a 2 } =; la ragioe per cui l ordie dei termii ella successioe origiaria è preservato è che la successioe di idici {2 } = è strettamete crescete. Questa idea è formalizzata ella seguete defiizioe. Defiizioe 6.8. Sia {a } = ua successioe i R. Suppoiamo che {a } = sia defiita da ua fuzioe f : N R tale che f() = a per ogi N. Sia g : N N ua fuzioe. Suppoiamo che g sia strettamete crescete. Allora la successioe defiita dalla fuzioe f g : N R è ua sotto-successioe di {a } =. La successioe defiita da f g è scritta come {a k } k=, dove g(k) = k per ogi k N. Sebbee la Defiizioe 6.8 sia formulata i termii della fuzioe g, i pratica o sarà mai mezioata esplicitamete questa fuzioe, e si defiirao sotto-successioi scrivedo espressioi della forma {a k } k=. Si osservi che la fuzioe g ella Defiizioe 6.8 è strettamete crescete se e solo se la successioe { k } k= è ua successioe strettamete crescete i N. Esempio 6.3. Sia {a } = ua successioe i R. Prededo termii alteri di questa successioe, a partire dal primo, si ottiee la sotto-successioe {a 2 } =. Formalmete, impiegado la Defiizioe 6.8, utilizziamo la fuzioe g : N N defiita da g() = 2 per ogi N per defiire questa sotto-successioe, sebbee facciamo così solo per mostrare il metodo, e da qui i avati o scriveremo la fuzioe g esplicitamete. Esempio 6.4. Sia {b } = defiita da b = ( ) per ogi N. Evidetemete {b } = è divergete. La sotto-successioe {b 2 } = è la successioe costatemete pari a, e quidi questa sotto-successioe è covergete. Vediamo, quidi, che ua successioe può essere divergete ma avere ua sotto-successioe covergete. Esempio 6.5. La successioe {} = è divergete, e tutte le sue sotto-successioi soo altresì divergeti. Quidi, o tutte le successioi hao ua sotto-successioe covergete. 6-2

13 6.4. Teoremi sulla covergeza Esempio 6.6. Sia {c } = defiita da {, se è pari c =, se è dispari La successioe {c } = è divergete, ed è o itata ma, a differeza della successioe cosiderata ell esempio 6.5, la successioe {c } = ha ua sotto-successioe covergete, che è {c 2 } =. Il seguete lemma dice che se ua successioe è covergete, allora soo tali tutte le sue sotto-successioi. Lemma 6.4. Sia {a } = ua successioe i R, e sia {a k } k= ua sotto-successioe di {a } =. Se {a } = è covergete, allora {a k } k= è covergete e risulta a k = a. k Nell Esempio 6.4 abbiamo visto ua successioe divergete che ha ua sotto-successioe covergete, e quidi il Lemma 6.4 o può essere espresso i termii di codizioe ecessaria e sufficiete. Nell Esempio 6.6 abbiamo visto ua successioe divergete che o è itata e che ha ua sotto-successioe covergete, e ell Esempio 6.5 abbiamo visto ua successioe divergete che o è itata e che o ha ua sotto-successioe covergete. Nell Esempio 6.4 abbiamo visto ua successioe divergete che è itata e che ha ua sotto-successioe covergete. Osserviamo che maca l esempio di ua successioe divergete che sia itata e che o abbia ua sotto-successioe covergete. Si scopre, come si vedrà co il Teorema di Bolzao-Weierstrass, che u tale esempio o esiste. Si comicia co il seguete lemma u po sorpredete. Lemma 6.5. Sia {a } = ua successioe i R. Allora {a } = ha ua sotto-successioe mootoa. Siamo ora proti a euciare il secodo dei ostri teoremi importati, che è uo strumeto molto utile. Teorema 6.6 (Teorema di Bolzao-Weierstrass). Sia {a } = ua successioe i R. Se {a } = è itata, allora {a } = ha ua sotto-successioe covergete. Dimostrazioe. Suppoiamo che {a } = sia itata. Per il Lemma 6.5 sappiamo che {a } = ha ua sotto-successioe mootoa. Poiché {a } = è itata allora è itata ache tale sotto-successioe mootoa, e quidi, per il teorema della covergeza mootoa (Corollario 6.), questa sotto-successioe è covergete. Siamo ora proti per la caratterizzazioe della covergeza delle successioi auciata all iizio di questa sezioe. Si comicia co ua defiizioe precisa della ozioe di termii di ua successioe sempre più vicii gli ui agli altri. 6-3

14 Capitolo 6. Defiizioe 6.9. Sia {a } = ua successioe i R. La successioe {a } = è ua successioe di Cauchy se per ogi ε > 0 esiste N tale che, m N e, m implicao a a m < ε. { } Esempio 6.7. Mostreremo che è ua successioe di Cauchy. Sia ε > 0. Per il puto = (2) del Corollario.2 esiste N tale che / < ε. Suppoiamo che, m N e, m. Seza perdita di geeralità, suppoiamo che m. Allora m < m, e pertato m m = < m m m = < < ε. Esempio 6.8. Proveremo che {( ) } = o è ua successioe di Cauchy. Sia ε =. Sia N u umero itero. Scegliamo, m N tali che, m, e che sia pari e m sia dispari. Allora ( ) ( ) m = ( ) = 2 > ε. Vediamo quidi che per il dato ε, o esiste che fuzioi, e quidi {( ) } = o è ua successioe di Cauchy. Qual è la relazioe tra l essere ua successioe di Cauchy e l essere covergete? U aspetto di questa relazioe è abbastaza semplice. Se ua successioe è covergete, allora i suoi termii si avviciao sempre più ad u uico umero, il che implica che i termii debboo ache avviciarsi sempre di più gli ui agli altri. Teorema 6.7. Sia {a } = ua successioe i R. Se {a } = {a } = è ua successioe di Cauchy. è covergete, allora Dimostrazioe. Suppoiamo che {a } = sia covergete. Sia l = a. Sia ε > 0. Esiste N tale che N e implicao a l < ε/2. Suppoiamo che, m N e, m. Allora a a m = a l + l a m a l + l a m < ε 2 + ε 2 = ε. La dimostrazioe del Teorema 6.7 o usa altro che le defiizioi di covergeza e di successioe di Cauchy e le proprietà algebriche fodametali dei umeri reali. Ivece, le proprietà dell estremo superiore e dell estremo iferiore o soo state utilizzate. Quidi, questo teorema sarebbe acora vero se i umeri reali fossero sostituiti co i umeri razioali. D altra parte, l iverso del Teorema 6.7 o è sicuramete vero per i umeri razioali. Per esempio, sia {t } = ua successioe di umeri razioali che coverge a 2. Poiché ua successioe di umeri razioali è ache ua successioe di umeri reali, e poiché {t } = coverge i R a 2, allora segue dal Teorema 6.7 che questa successioe è ua successioe di Cauchy, se vista come ua successioe i R. È poi ache ua successioe di Cauchy se cosiderata come successioe i Q. Tuttavia, poiché 2 o è razioale, e cosegue che {t } = o è covergete come successioe i Q, ache se è ua successioe di Cauchy i Q. 6-4

15 6.5. Applicazioi delle successioi A differeza di quato si è appea visto i Q, vedremo co il Teorema 6.8 più avati che qualsiasi successioe di Cauchy i R è covergete i R. Lemma 6.6. Sia {a } = ua successioe i R. Suppoiamo che {a } = sia ua successioe di Cauchy. Se {a } = ha ua sotto-successioe covergete {a k } k=, allora {a } = è covergete e a = a k. k Dimostrazioe. Suppoiamo che {a k } k= sia ua sotto-successioe covergete di {a } =. Sia l = a k. Sia ε > 0. Poiché {a } = è ua successioe di Cauchy, esiste p N tale k che, m N e, m p implicao a a m < ε/2. Poiché a k = l, esiste q N tale k che k N e k q implicao a k l < ε/2. Sia = max {p, q}. Suppoiamo che N e. Allora. Poiché p P, è ache p q e p p. Allora a l = a a P + a P l a a P + a P l < ε 2 + ε 2 = ε. Lemma 6.7. Sia {a } = ua successioe i R. Se {a } = è ua successioe di Cauchy, allora {a } = è itata. Siamo ora proti per il ostro risultato pricipale sulle successioi di Cauchy. Teorema 6.8. Sia {a } = ua successioe i R. Se {a } = è ua successioe di Cauchy, allora {a } = è covergete. Dimostrazioe. Suppoiamo che {a } = sia ua successioe di Cauchy. Dal Lemma 6.7 sappiamo che {a } = è itata. Dal Teorema di Bolzao-Weierstrass (Teorema 6.6) sappiamo che {a } = ha ua sotto-successioe covergete. Dal Lemma 6.6 deduciamo che {a } = è covergete. Il terzo dei ostri teoremi importati i questa sezioe, è semplicemete ua combiazioe del Teorema 6.7 e del Teorema 6.8. Corollario 6.2 (Teorema di completezza di Cauchy). Sia {a } = ua successioe i R. Allora {a } = è covergete se e solo se {a k } k= è ua successioe di Cauchy. 6.5 Applicazioi delle successioi Le successioi hao molte applicazioi ell Aalisi, e i tutta la Matematica. Ci soo, i particolare, diverse coessioi tra le successioi e alcui temi che abbiamo visto ei capitoli precedeti, come vedremo tra breve. Scopo di questa sezioe è quello di mostrare l ampia gamma di utilizzo delle successioi, e costruire qualche risultato specifico. Comiciamo co il rapporto tra iti di successioi e iti di fuzioi. La maggior parte dei teoremi e dimostrazioi sui iti di successioi soo molto simili ai teoremi 6-5

16 Capitolo 6. aaloghi e alle dimostrazioi dei iti di fuzioi di cui al Capitolo 3. Il seguete teorema e il successivo corollario mostrao come le successioi possao essere utilizzate per caratterizzare l esisteza di iti di fuzioi e per rilevare la cotiuità di esse. Teorema 6.9 (Caratterizzazioe dei iti mediate successioi). Sia I R u itervallo aperto, sia c I, sia f : I {c} R ua fuzioe e sia l R. Allora per ogi successioe {c } = f(x) = l se e solo se x c f(c ) = l i I {c} tale che c = c. Corollario 6.3 (Caratterizzazioe della cotiuità mediate successioi). Sia I R u itervallo aperto e sia f : I R ua fuzioe. Allora f è cotiua se e solo se ( ) f(c ) = f c per ogi successioe {c } = i I tale che {c } = è covergete e c I. Ora utilizziamo la caratterizzazioe della cotiuità mediate successioi (Corollario 6.3), isieme co la regola di de l Hôpital per le forme idetermiate del tipo 0/0 (Teorema 4.5), per forire ua spiegazioe della seguete defiizioe del umero e. Defiizioe 6.0. Il umero e è l uico umero i (0, ) tale che ( e = +. ) Esempio 6.9. Partiamo dalla ostra defiizioe del umero e data ella Defiizioe 6.0. Mostriamo ora che tale ite esiste. Sia r R. Allora, dall aaloga uilaterale della regola di de l Hôpital per le forme idetermiate del tipo 0/0 (Teorema 4.5) vediamo che log( + rx) r = x 0 + x x rx = r. Ne deduciamo che ( log + r ) t ( = t log + r ) ( = t t t t x 0 + x log + r ) log( + rx) = = r. /x x 0 + x Ne cosegue quidi che ( log + r ) = r. Sappiamo che e x è ua fuzioe cotiua. Ora possiamo usare la caratterizzazioe della cotiuità mediate successioi (Corollario 6.3) per dedurre che ( + r = ) elog(+r/) = e log(+r/) = e r. L equazioe sopra forisce ua caratterizzazioe della fuzioe espoeziale. scegliamo r = vediamo che ( e = e = +. ) I particolare, se 6-6

17 6.5. Applicazioi delle successioi La ostra prossima applicazioe delle successioi è relativa all itegrazioe. Ricordiamo che ella defiizioe di itegrale, data ella Defiizioe 5.3, è stato ecessario predere i cosiderazioe tutte le possibili partizioi e tutti i possibili isiemi rappresetativi di tali partizioi per verificare che ua fuzioe è itegrabile. I pratica, questo modo di procedere è decisamete troppo complicato. È allora possibile predere i cosiderazioe solo alcue delle partizioi e degli isiemi rappresetativi. Il seguete teorema mostra che se sappiamo già i liea di pricipio che ua fuzioe è itegrabile, per esempio se sappiamo che è cotiua utilizzado il Teorema 5.5, allora il valore dell itegrale può essere calcolato come il ite di ua sigola successioe di somme di Riema, utilizzado ua opportua scelta della successioe di partizioi e di isiemi rappresetativi. Teorema 6.0. Sia [a, b] R u itervallo chiuso itato o degeere, e sia f : [a, b] R ua fuzioe. Suppoiamo che f sia itegrabile. Sia {P } = ua successioe di partizioi di [a, b] tale che P = 0. Per ogi N, sia Ξ u isieme rappresetativo di P. Allora b a f(x) dx = S(f, P, Ξ ). È importate otare che se o sappiamo che ua data fuzioe è itegrabile, allora esamiare ua sola successioe di partizioi e isiemi rappresetativi, come el Teorema 6.0, o è sufficiete per dimostrare l itegrabilità. Il seguete esempio illustra l uso del Teorema 6.0 el calcolo del valore di u itegrale. Esempio Abbiamo visto el Teorema 5.5 che tutte le fuzioi cotiue su itervalli chiusi itati o degeeri soo itegrabili. Quidi sappiamo che 2 0 x2 dx esiste. Possiamo quidi utilizzare il Teorema 6.0 per calcolare il valore di questo itegrale come segue. Sia f : [0, 2] R defiita da f(x) = x 2 per ogi x [0, 2]. Sia N. Siao le partizioi P di [0, 2], e gli isiemi rappresetativi Ξ di P, defiiti come ell Esempio 5.. Si è visto i quell esempio che P = 2/ e S(f, P, Ξ ) = 4( + )(2 + )/(3 2 ). Quidi, dall Esempio 6.2 e dal puto (3) del Teorema 6., si vede che P = 0. Il Teorema 6.0 e il Teorema 6. quidi implicao che 2 x 2 dx = S(f, P 4( + )(2 + ), Ξ ) = 3 2 = Come si vede dall Esempio 5.0, che utilizza il Teorema Fodametale del Calcolo versioe II (Teorema 5.2), il ostro uso del Teorema 6.0 forisce il corretto valore dell itegrale. Tuttavia, o vogliamo soltato otteere il valore corretto dell itegrale, ma piuttosto dimostrare che i alcui casi è possibile utilizzare iti di somme di Riema per calcolare direttamete u itegrale, seza fare uso del Teorema Fodametale del Calcolo. Naturalmete, il metodo che abbiamo usato qui per calcolare u itegrale è poco pratico, e o sarebbe utilizzabile se o avessimo ua formula molto coveiete per esprimere il valore della sommatoria. I defiitiva, o potremmo calcolare il valore di molti itegrali seza il Teorema Fodametale del Calcolo. Ci occupiamo ora di u diverso uso del Teorema 6.0, che è quello di dare ua spiegazioe ituitiva alla formula che forisce il valore medio di ua fuzioe. 6-7

18 Capitolo 6. Esempio 6.2. Impariamo i teera età come calcolare il valore medio di u umero fiito di umeri, cioè sommado i umeri e quidi dividedo per il umero dei umeri. No è così evidete come trovare il valore medio di ua collezioe ifiita di umeri. I particolare, sia [a, b] R u itervallo chiuso itato o degeere, e sia f : [a, b] R ua fuzioe. Vogliamo trovare il valore medio della fuzioe f, il che sigifica che vogliamo trovare qualcosa che sarebbe chiamato il valore medio dei umeri ell isieme f([a, b]), che è u isieme ifiito. Potremmo predere campioi fiiti degli elemeti di f([a, b]), calcolare il valore medio di ciascu campioe, e poi calcolare il ite di questi valori medi quado le dimesioi dei campioi vao all ifiito, se tale ite esiste. Sia N. Dobbiamo quidi selezioare u isieme di elemeti di [a, b], che idicheremo Ξ = {ξ, ξ2,..., ξ}, dove l apice idica che i umeri soo i Ξ. Il valore medio dell isieme {f(ξ ), f(ξ2 ),..., f(ξ)} è f(ξ ) + f(ξ2 ) f(ξ). Guardiamo quidi a f(ξ ) + f(ξ2 ) f(ξ ) ella speraza che questo ite esista. Ache se il ite esiste, per essere sigificativo avremmo bisogo di sapere che tutti questi iti soo uguali, idipedetemete da quali umeri soo selezioati per ogi Ξ. Purtroppo, se o mettiamo alcue restrizioi sulla scelta dei umeri ξ, ξ2,..., ξ, allora essi potrebbero essere tutti raggruppati i ua parte dell itervallo [a, b], i modo tale che f(ξ ), f(ξ2 ),..., f(ξ) potrebbe o rappresetare accuratamete la fuzioe. Dobbiamo allora fare i modo che i umeri ξ, ξ2,..., ξ siao abbastaza uiformemete distaziati, ache se o ecessariamete esattamete equidistati. U modo per garatire che i umeri ξ, ξ2,..., ξ rispettio tale codizioe è costruire ua partizioe P = {x 0, x, x 2,..., x } di [a, b] co itervalli di lughezza (b a)/, ed esigere che ξi [x i, x i ] per ogi i {,..., }. I altre parole, suppoiamo che Ξ sia u isieme rappresetativo di P. Allora f(ξ ) + f(ξ 2 ) f(ξ ) = b a = b a i= f(ξ i ) b a f(ξi )(x i x i ) i= = b a S(f, P, Ξ ). Ora suppoiamo che f sia itegrabile. È evidete che P = 0, e quidi segue, dal puto (3) del Teorema 6. e dal Teorema 6.0, che f(ξ ) + f(ξ2 ) f(ξ ) = b a S(f, P, Ξ ) Quidi, quado f è itegrabile, deduciamo che esiste = b a S(f, P, Ξ ) = b a b f(ξ ) + f(ξ2 ) f(ξ ) = b a a f(x) dx. b a f(x) dx, per ogi scelta dell isieme Ξ soggetta alla restrizioe discussa sopra. Ha quidi seso defiire il valore medio di ua fuzioe itegrabile come il secodo membro dell equazioe qui sopra. 6-8