Intuitivamente, una serie è la somma dei termini di una successione. Per esempio, data la successione 1. 2 n. n=1. a n = a 1 + a 2 + a

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1 Capitolo 7 7. Itroduzioe Ora che abbiamo visto successioi di umeri reali, ci occupiamo della importate ozioe di serie di umeri reali. Sebbee possiamo aver icotrato la ozioe di serie iformalmete, vogliamo itrodurre ora ua trattazioe rigorosa di serie. Ua serie è la somma di u isieme, ifiito, umerabile di umeri, sommati ell ordie dato. Sebbee ua serie possa apparire iocua a prima vista, perché sembra ua semplice somma di umeri, i realtà il fatto che i umeri da sommare siao ifiiti rede queste somme molto più complicate delle somme fiite. Tra i più importati tipi di serie ci soo le serie di poteze, uo strumeto estremamete utile i ua vasta gamma di problemi della Matematica e delle sue applicazioi, tra cui i calcoli umerici. Alla fie di questo capitolo comiceremo la trattazioe delle serie di poteze, che itederemo come fuzioi di ua variabile reale. 7.2 Serie Ituitivamete, ua serie è la somma dei termii di ua successioe. Per esempio, data la successioe 2, 4, 8, 6,..., possiamo formare la serie , che può ache essere scritta come 2. = Più i geerale, abbiamo la seguete defiizioe. Defiizioe 7.. Ua serie i R (detta ache serie di umeri reali) è ua somma formale a = a + a 2 + a = dove {a } = è ua successioe i R. Ogi umero a, co N, è chiamato termie della serie = a. L espressioe somma formale sigifica semplicemete ua successioe di umeri co l aggiuta di simboli scritti tra i termii della successioe. Metre scriviamo ua somma formale di ifiiti umeri, dobbiamo chiederci se tale somma ifiita sigifichi qualcosa, oltre ad essere u isieme di simboli scritti sulla pagia, poiché o tutto ciò che può essere scritto sigifica qualcosa. Ioltre, la somma tra umeri reali è stata defiita solo 7-

2 Capitolo 7. per due umeri reali alla volta. Utilizzado defiizioi ricorsive è possibile estedere la defiizioe di addizioe alla somma di qualsiasi isieme fiito di umeri reali. Tuttavia, o c è u metodo diretto per estedere la defiizioe di addizioe di umeri reali a ifiiti umeri reali. Ifatti è evidete che o ogi collezioe ifiita di umeri reali ha come somma u umero reale. Per esempio, cosideriamo la successioe 2, 2 2, 3 2,.... Possiamo formalmete scrivere la somma ifiita , ma o vi è speraza che questa somma sia uguale a u umero reale. D altra parte, alcue somme ifiite di umeri reali hao come risultato umeri reali. Per avere ua idea ituitiva di come ua collezioe ifiita di umeri possa essere sommata otteedo ua quatità fiita, visualizziamo la situazioe all idietro. Cosideriamo u quadrato di lato uitario. L area del quadrato è pari a. Tagliamo il quadrato i due parti uguali, ciascua delle quali ha altezza /2 e quidi ogi pezzo ha u area /2, metre l area sommata dei due pezzi è acora, che possiamo esprimere attraverso la scrittura = /2+/2. Poi tagliamo uo dei due rettagoli co altezza /2 i due pezzi e riordiiamo. I questo caso l area è = /2+/4+/4. Il risultato del cotiuare questo processo per altri due passi, coduce a = /2 + /4 + /8 + /6 + /6. Cotiuado i questo modo, sembra plausibile che = Questa equazioe risulta essere corretta. E ci dice che ua somma ifiita ha per somma ua quatità fiita, se i termii della serie vao a zero i modo sufficietemete rapido, ache se è difficile trasformare la ozioe ituitiva di adare a zero i modo sufficietemete rapido i ua defiizioe rigorosa. Per la ostra defiizioe formale della covergeza delle serie utilizziamo u idea diversa, che è quella che, per tetare di trovare la somma di ua serie, possiamo sommare i primi due termii, poi i primi tre termii, poi i primi quattro termii e così via, costruedo ua successioe di umeri reali. I questo modo, si riduce la questioe della covergeza di ua serie a quella della covergeza di ua successioe. È importate otare che, i questo processo, aggiugiamo sempre i termii della serie uo alla volta ell ordie dato, piuttosto che tutti i ua volta. Come vedremo, atteersi alla successioe idicata dai termii di ua serie è molto importate. Defiizioe 7.2. Sia = a ua serie i R.. La k-esima somma parziale di = a, idicata co s k, è defiita da k s k = a, per ogi k N. = La successioe delle somme parziali di = a è ua successioe {s k } k=. 2. Sia s R. Il umero s è la somma di = a, e si scrive a = s, = se la successioe delle somme parziali {s k } k= è covergete e lim s k = s. Se k = a = s, diciamo ache che = a coverge a s. Se = a coverge ad u umero reale, diciamo che = a è covergete, altrimeti diciamo che = a è divergete. 7-2

3 7.2. Serie 3. La serie = a diverge all ifiito, e si scrive a =, = se lim k s k =. La serie = a diverge all ifiito egativo, e si scrive se lim k s k =. a =, = Il seguete lemma, che afferma che se ua serie è covergete, allora la sua somma è uica, segue immediatamete dal Lemma 6., e e omettiamo la dimostrazioe. Lemma 7.. Sia = a ua serie i R. Se = a = s, co s R, allora s è uico. I cosegueza del Lemma 7. si può fare riferimeto alla somma di ua serie, se la somma esiste. Esempio 7.. Mostreremo che = 2 è covergete e che risulta facile vedere che la k-esima somma parziale della ostra serie è Sappiamo che è sempre k < 2 k, e quidi s k = k = 2 k. k < s k <. Utilizzado il Teorema 6.3 troviamo facilmete che covergeza di ua serie, deduciamo che = = 2 è covergete e che = 2 =. Sia k N. È lim s k =. Quidi, dalla defiizioe di k 2 =. Esempio 7.2. Mostreremo ora che la serie = ( ) è divergete. Sia k N. La k-esima somma parziale della ostra serie è {, se k è dispari s k = + ( ) ( ) k = 0, se k è pari. Osserviamo che si può scrivere s k = [ ] + ( ) k per ogi k N. Se la successioe s k fosse 2 covergete, allora dal Teorema 6. seguirebbe che {( ) k } k= = { 2s k} k= è covergete, il che è i cotraddizioe co quato mostrato ell Esempio 6.3. Quidi {s k } k= è divergete, il che sigifica che = ( ) è divergete. Esempio 7.3. Mostreremo che 2 = = 2. Osserviamo che se N, allora ( + ) 2 ( + ) =

4 Capitolo 7. Sia k N. La k-esima somma parziale della ostra serie è ( 2 2 ) ( ) ( ) ( k 2 ) k + Poiché lim s k = 2, risulta che 2 = k ( + ) è covergete e rappreseta u esempio di serie telescopica. = = 2 2 k +. 2 = 2. Questa serie ( + ) Esempio 7.4. Siao a, r R. La serie = ar è chiamata serie geometrica. Questo tipo di serie è ampiamete usato ella Matematica e elle sue applicazioi. Se a = 0 la serie è ideticamete ulla, cioè covergete a 0 per ogi r R; da qui i avati assumeremo a 0. Scrivedo i termii della serie vediamo che ar = a + ar + ar 2 + ar = Osserviamo che il rapporto tra ogi termie della serie e il precedete è pari a r; tale rapporto costate caratterizza la serie geometrica. Sia k N. La k-esima somma parziale della ostra serie è s k = a + ar + ar ar k. Se r =, allora chiaramete s k = ka. Se r, allora si vede facilmete che s k = a( rk ). r Ci chiediamo se la successioe {s k } k= sia covergete. Ciò, evidetemete, dipede dal valore di r. I primo luogo, suppoiamo che r =. Allora {s k } k= è data da {ka} k=, e questa successioe è divergete. Secodo, suppoiamo che r. Allora { a( r {s k } k } ) k= = r Abbiamo visto ell Esempio 6.6 che la successioe {r k } è covergete se e solo se < r, e { a( r k } ) che se < r < allora lim k rk = 0. Ne deduciamo che è covergete se e solo r k= se < r < (abbiamo assuto qui che r ), e che se < r <, allora lim s k = a k r.. k= Quidi = ar è covergete se e solo se < r < e se < r <, allora ar = a r. = Esempio 7.5. Mostreremo che la serie = è divergete. Questa serie è ota come la serie armoica, ed è ua serie iteressate ache se o è covergete. Sia k N. La k-esima somma parziale della ostra serie è s k = k. No esiste ua semplice formula per esprimere s k, ma siamo comuque i grado di mostrare che {s k } k= è divergete ache seza ua tale formula. Cosideriamo che se k N, allora s 2 k + 2. k 2 7-4

5 7.2. Serie k + 2 Poiché lim k 2 =, si deduce che {s 2 k} k= è divergete. Dal Lemma 6.4 si vede allora che è divergete. {s k } k= è divergete, e quidi la serie = Due semplici osservazioi sulle serie. Primo, ua serie o deve ecessariamete iiziare co =. Se k Z, possiamo altrettato legittimamete cosiderare serie della forma =k a. Per semplicità, tutti i risultati sarao presetati su serie che iiziao co =, trae i alcue situazioi i cui partire co = 0 è più coveiete. Secodo, la covergeza di ua serie o è ifluezata dal cambiare, o rimuovere, u umero fiito di termii della serie. Le serie vista egli Esempi precedeti soo i realtà atipiche, i quato siamo stati i grado di trovare, per la maggior parte di queste serie, delle formule per esprimere le somme parziali. I geerale, tuttavia, o è possibile, trovare formule utili per esprimere le somme parziali delle serie e, quidi, soo utilizzati altri criteri, più idiretti, per stabilire la covergeza. Esiste ua varietà di tali teciche, alcue delle quali si vedrao più avati. Il più semplice esempio di criterio, che ora euceremo, è quello che mostra la divergeza. L idea di questo criterio è che se ua serie è covergete, allora la successioe delle somme parziali è covergete, e quidi le somme parziali si avviciao sempre di più l ua all altra, e pertato i termii della serie devoo adare a zero. Teorema 7. (Criterio di divergeza). Sia = a ua serie i R. Se {a } = o coverge a 0, allora = a è divergete. Dimostrazioe. Suppoiamo che = a sia covergete. Sia s = = a. Sia {s } = la successioe delle somme parziali di = a. Allora lim s = s. Sia ε > 0. Allora esiste N N tale che N e N implicao s s < ε/2. Suppoiamo che N e N +. Allora N, e quidi a 0 = s s = s s + s s s s + s s < ε 2 + ε 2 = ε. Ne cosegue che lim a = 0. Il criterio di divergeza (Teorema 7.), ache se molto semplice, è spesso fote di errore. Come cosegueza del Teorema 7., se = a è covergete, allora certamete {a } = coverge a 0. Tuttavia, o è assolutamete vero che se {a } = coverge a 0, allora = a deve essere covergete, come si è visto ell Esempio 7.5. Cocludiamo questa sezioe co il seguete risultato fodametale sulla covergeza delle serie. Teorema 7.2. Siao = a e = b due serie i R, e sia k R. Suppoiamo che = a e = b siao covergeti. () (2) (3) = (a + b ) è covergete e = (a + b ) = = a + = b. = (a b ) è covergete e = (a b ) = = a = b. = ka è covergete e = ka = k = a. Ci si potrebbe chiedere perché o vi è alcua mezioe di prodotti e quozieti di serie el Teorema 7.2. La risposta è che prodotti e quozieti o fuzioao bee come 7-5

6 Capitolo 7. somme e differeze. No discuteremo quozieti di serie i questo corso, perché o c è ua formula per tali quozieti, ache per le serie co comportameto regolare, ma parleremo di prodotti di serie tra breve, e più avati i maggiore dettaglio, quado avremo acqisito u ulteriore cocetto. Si cosideri l equazioe = (a + b ) = = a + = b al puto () del Teorema 7.2. Noi vogliamo guardare l aalogo, per i prodotti di serie, di ogi membro di questa equazioe. Suppoiamo che = a e = b siao serie covergeti. È allora = a b ecessariamete covergete? La risposta, i geerale, è o. 7.3 Criteri di covergeza Come abbiamo visto ella sezioe precedete, ua serie è covergete, per defiizioe, se la successioe delle somme parziali della serie è covergete. I pratica, tuttavia, è spesso molto difficile trovare ua formula esplicita per esprimere le somme parziali di ua data serie, e o è pertato sempre possibile verificare se ua serie è covergete o meo facedo appello direttamete alla defiizioe di covergeza. Fortuatamete, ci soo diversi criteri di covergeza che possoo essere utilizzati per determiare se ua serie coverge. Come co le teciche di itegrazioe, essu criterio di covergeza è applicabile a tutte le serie, e i pratica, per ua serie particolare, si devoo esamiare i vari criteri di covergeza per decidere quale sia più utile ella situazioe data. Lo svataggio dei vari criteri di covergeza è che essi ci dicoo solo se ua serie è covergete, ma o quale sia la somma della serie el caso essa sia covergete. I questa sezioe vedremo alcui criteri di covergeza be oti. La maggior parte di questi criteri riguardao serie a termii o egativi. Al cetro della ostra trattazioe delle serie co termii o egativi è il seguete lemma, che è molto facile da dimostrare. Lemma 7.2. Sia = a ua serie i R. Suppoiamo che a 0 per ogi N, o che a 0 per ogi N. Sia {s } = la successioe delle somme parziali di = a. Allora = a è covergete se e solo se {s } = è limitata. Dimostrazioe. Suppoiamo che a 0 per ogi N. Allora la successioe {s } = è crescete, e il lemma allora segue immediatamete dal teorema della covergeza mootoa (Corollario 6.). L altro caso è simile, e tralasciamo i dettagli. Iiziamo la ostra discussioe sui criteri di covergeza co il criterio del cofroto, che è forse il criterio di covergeza più facile da usare. L idea di questo criterio è che se ua serie co termii o egativi è ota per essere covergete, qualsiasi altra serie co termii o egativi, e che sia, termie a termie, o superiore alla serie covergete, sarà ache essa covergete. Teorema 7.3 (Criterio del cofroto). Siao = a e = b due serie i R. Suppoiamo che a 0 e b 0 per ogi N, e che esista N N tale che N e N implicao a b. () Se = b è covergete, allora = a è covergete. 7-6

7 7.3. Criteri di covergeza (2) Se = a è divergete, allora = b è divergete. Esempio 7.6. Nell Esempio 7.5 abbiamo visto che = è divergete. Chiaramete < 0.3 per ogi N, e quidi dal criterio del cofroto (Teorema 7.3) segue che = 0.3 è divergete. D altra parte, o possiamo usare il criterio del cofroto per valutare la covergeza + 0.3, perché o divergeza di = < per ogi N. Ifatti, il criterio del cofroto dice che ua serie che è, termie a termie, più piccola di ua serie covergete è covergete, e che ua serie che è, termie a termie, più grade di ua serie divergete è divergete, ma o dice ulla su ua serie che è, termie a termie, più piccola di ua serie divergete o, termie a termie, più grade di ua serie covergete. D altra parte, sembrerebbe ituitivamete ragioevole che la serie = debba comportarsi i modo simile a =, perché quado diveta molto grade lo 0.3 diveta trascurabile. Ifatti, queste due serie si comportao i modo simile, ma il problema è semplicemete che il criterio di cofroto o ci aiuta i questa situazioe. Il prossimo criterio di covergeza ci permette di valutare la covergeza della serie ell Esempio 7.6 per la quale il criterio del cofroto (Teorema 7.3) o è applicabile. Ache questo uovo criterio di covergeza comprede u cofroto tra due serie, ma o richiede ua ipotesi rigorosa come a b per ogi N quado è maggiore o uguale a u determiato umero itero. L idea di questo criterio di covergeza, detto criterio di cofroto asitotico, è che se i rapporti dei termii di due serie hao u comportameto regolare quado va all ifiito, allora le due serie hao proprietà di covergeza comparabili. L euciato del seguete teorema fa uso implicito del fatto che se {c } = è ua successioe i R, e c 0 per ogi N, e {c } = è covergete, allora lim c 0. Teorema 7.4 (Criterio del cofroto asitotico). Siao = a e = b due serie i R. Suppoiamo che a 0 e b 0 per ogi N, e che a diverga a ifiito. Sia l = lim. b { } a b = sia covergete o () Suppoiamo che l (0, ). Allora = a è covergete se e solo se = b è covergete. (2) Suppoiamo che l = 0. Se = b è covergete allora = a è covergete. (3) Suppoiamo che l =. Se = b è divergete allora = a è divergete. Esempio 7.7. Nell Esempio 7.6 abbiamo ipotizzato che = è divergete, ache se o avevamo acora gli strumeti per dimostrarlo. Possiamo ora dimostrare questo risultato applicado il criterio del cofroto asitotico (Teorema 7.4) a = e 6. e 6.2 e i puti () e (3) del Teorema 6., vediamo che l = lim +0.3 = ( = lim = lim ) =.. Utilizzado gli Esempi

8 Capitolo 7. Dal criterio del cofroto asitotico segue che = covergete. Abbiamo visto ell Esempio 7.5, che = divergete è covergete se e solo se è divergete, e quidi = = è è Il criterio del cofroto (Teorema 7.3) e il criterio del cofroto asitotico (Teorema 7.4) soo molto facili da usare, ma hao u grave icoveiete, che è quello che per mostrare che ua serie è covergete, abbiamo bisogo di trovare u altra serie per il cofroto la cui covergeza sia ota, e trovare altre serie per questo cofroto o è sempre facile i pratica. Il prossimo teorema itroduce il criterio della radice. Teorema 7.5 (Criterio della radice). Sia = a ua serie i R. Suppoiamo che a 0 e suppoiamo che esista il limite lim = a = l. () Se l >, allora la serie = a diverge all ifiito. (2) Se l < 0, allora la serie = a coverge. (3) Se l =, ulla si può cocludere circa la covergeza della serie = a. Passiamo ora ad u altro criterio di covergeza, chiamato criterio dell itegrale, che ha u uso limitato, ma è molto efficace i alcue situazioi, e o richiede ua secoda serie per il cofroto. Il criterio si basa su itegrali impropri di Tipo. L idea di questo criterio di covergeza è presto detta. Se i termii di ua serie = a soo o egativi e decresceti, e se si può trovare ua fuzioe abbastaza regolare f : [, ) R tale che f() = a per ogi N, allora il valore dell itegrale improprio f(x) dx è strettamete legato alla somma della serie = a. Teorema 7.6 (Criterio dell Itegrale). Sia = a ua serie i R, e sia f : [, ) R ua fuzioe. Suppoiamo che f sia cotiua e decrescete, che f(x) 0 per ogi x [, ), e che f() = a per ogi N. Allora = a è covergete se e solo se f(x) dx è covergete. Esempio 7.8. Sia p R. La serie = o o dipede dal valore di p. Primo, suppoiamo che p =. Allora = dimostrato essere divergete. p si chiama p-serie. Se la serie = p è la serie armoica = sia divergete p, che era già stato Secodo, suppoiamo che p = 0. Allora = p è la serie costate =, che è divergete. Terzo, suppoiamo che p > 0 e p. Utilizziamo il criterio dell itegrale per verificare la covergeza di = p. Sia f : [, ) R defiita da f(x) = x p per ogi x [, ). Allora f() = per ogi N. Vediamo che f(x) > 0 per ogi x [, ). Sappiamo che f è derivabile, p e f (x) = px p 0 per ogi x (, ). Ne cosegue dal Teorema 4. che f è cotiua e, dal puto (3) del Teorema 4.8 che f è strettamete decrescete. Abbiamo quidi verificato che il criterio dell itegrale è applicabile, e da ciò cosegue che = divergete se 0 < p <. p è covergete se p >, e 7-8

9 7.3. Criteri di covergeza Quarto, suppoiamo che p < 0. Allora p > 0, e quidi vediamo che cosegue che lim = lim x x p =. Ne p = lim p =. Il criterio di divergeza (Teorema 7.) implica allora che p è divergete. Mettedo isieme i vari casi, vediamo che = esempio, la serie = p 2 è covergete, e la serie = è covergete se e solo se p >. Per è divergete. Co l ultimo criterio di covergeza di questa sezioe, ci occupiamo di serie co alteraza di termii positivi e egativi. L idea di questo criterio di covergeza è la seguete. Suppoiamo di avere ua serie della forma = ( ) a, i cui si assume che a > 0 per ogi N, che {a } = è decrescete e che lim a = 0. Sia {s } = la successioe delle somme parziali di = ( ) a. Allora s = a, s 2 = a a 2 è miore o uguale a s, e s 3 = a a 2 +a 3 è maggiore o uguale a s 2 ma miore o uguale a s e così via. Sembra quidi, ituitivamete, come se i termii di {s } = fossero sempre più vicii a qualcosa, come, ifatti, si può dimostrare. Ioltre, osserviamo che, metre il seguete teorema è euciato per la serie della forma = ( ) a, u risultato aalogo vale ache per serie della forma = ( ) a. No solo il seguete criterio di covergeza è diverso dai precedeti criteri i quato o tratta di serie a termii o egativi, ma ha u altra caratteristica distitiva. I geerale, quado si dimostra che ua serie è covergete usado u criterio di covergeza, il criterio di covergeza o ci dice quale sia la somma della serie. Nel caso della serie alterata, tuttavia, ache se il criterio di covergeza o ci dice l esatto valore della somma della serie, il puto (2) del teorema ci forisce u modo per stimare la somma della serie molto facilmete. Per questo motivo le serie co termii di sego alterato soo particolarmete iteressati. Teorema 7.7 (Criterio per le serie a segi alteri). Sia {a } = ua successioe i R. Suppoiamo che a > 0 per ogi N, che {a } = sia decrescete, e che lim a = 0. () La serie = ( ) a è covergete. (2) Sia s = = ( ) a, e sia {s } = la successioe delle somme parziali di = ( ) a. Allora s s a + per ogi N. Esempio 7.9. Dimostreremo che la serie = ( ) serie armoica alterata. È evidete che / > 0 per ogi N, e che è covergete. Questa serie è detta { } è decrescete. Sappiamo che lim = 0. Possiamo quidi utilizzare il puto () del criterio per le serie a segi alteri (Teorema 7.7) per dedurre che = ( ) è covergete. Sia s = = ( ) a. Suppoiamo di voler stimare il valore di s etro due cifre decimali. Cioè, vogliamo trovare u umero reale che o è più lotao da s di Sia {s } = la successioe delle somme parziali di = ( ). Dal puto (2) del criterio per le serie a segi alteri vediamo che s s 20 /20 < /200 = Quidi s 20 è l approssimazioe desiderata di s, e u semplice calcolo umerico forisce s 20 = = 7-9

10 Capitolo Covergeza assoluta e covergeza codizioata La prima domada da porsi su ua serie è se sia o o covergete, ma si scopre che ache tra serie covergeti ci soo differeze ella atura della covergeza. Sappiamo dal criterio della divergeza (Teorema 7.) che, se ua serie è covergete, allora i termii della serie vao a zero. Ituitivamete, la distizioe che abbiamo bisogo di fare tra serie covergeti è che per alcue serie i termii vao a zero così rapidamete che ache la serie dei valori assoluti dei termii è covergete, metre per le altre serie i termii vao a zero più letamete, e la serie è covergete solo i virtù di cacellazioe tra i termii positivi e egativi. Noi o abbiamo u modo formale di defiire quato rapidamete i termii della serie vao a zero, ma possiamo acora distiguere tra questi due tipi di serie covergeti come segue. Defiizioe 7.3. Sia = a ua serie i R. La serie = a è assolutamete covergete se = a è covergete. La serie = a è codizioatamete covergete se = a è covergete ma o assolutamete covergete. Esempio 7.0. Per ua serie a termii o egativi o c è differeza tra covergeza e covergeza assoluta, e quidi ogi serie covergete co termii o egativi è assolutamete covergete. Esempio 7.. Abbiamo visto ell Esempio 7.9 che la serie armoica alterata = ( ) è covergete. D altra parte, la serie = ( ) è la serie armoica, che si è mostrato essere divergete ell Esempio 7.5. Quidi = ( ) o è assolutamete covergete, ma è codizioatamete covergete. Abbiamo visto ell Esempio 7. che ua serie può essere covergete ma o assolutamete covergete, e quidi ua tale serie è codizioatamete covergete. D altra parte, come vedremo el seguete teorema, di cui omettiamo la dimostrazioe, se ua serie è assolutamete covergete allora essa è covergete. Teorema 7.8. Sia = a ua serie i R. Se = a è assolutamete covergete, allora = a è covergete. Piuttosto che classificare ua data serie come covergete o divergete, possiamo ora classificarla come assolutamete covergete, codizioatamete covergete o divergete. Abbiamo acora u criterio di covergeza, che abbiamo lasciato per questa sezioe, poiché esso mostra o solo la covergeza ma l assoluta covergeza. Questo criterio di covergeza è coveiete i quato o richiede ua secoda serie per il cofroto. D altra parte, vedremo che ci soo alcue utili serie, come la serie armoica alterata, che o possoo essere valutate co questo uovo criterio di covergeza. L idea ituitiva di questo criterio è la seguete. Sappiamo già della covergeza della serie geometrica, discussa ell Esempio 7.4. Ua serie = a è ua serie geometrica se a + è costate per ogi N. Suppoiamo che ua serie = a o sia ecessariamete ua serie a 7-0

11 7.4. Covergeza assoluta e covergeza codizioata geometrica, così che a + o è ecessariamete costate, ma suppoiamo che a + si a a avvicii sempre più ad u certo umero al crescere di. Ciò sigifica che, al crescere di, la serie diveta sempre più simile ad ua serie geometrica e quidi, ituitivamete, questa serie dovrebbe avere u comportameto simile a quello di ua serie geometrica; quidi la a + covergeza o divergeza di questa serie dovrebbe dipedere dal fatto che lim sia a miore o maggiore di. Il seguete teorema coferma questa idea ituitiva. Teorema 7.9 (Criterio del rapporto). Sia { } = a ua serie i R. Suppoiamo che a + a 0 per ogi N e che a sia covergete o diverga a ifiito. Sia = l = lim a + a. () Se l [0, ), allora = a è assolutamete covergete. (2) Se l (, ) ovvero l =, = a è divergete. Osserviamo che il criterio del rapporto (Teorema 7.9) o discute il caso i cui l =. Vedremo ell Esempio 7.3 che o è possibile prevedere la covergeza o divergeza i quel caso. Esempio 7.2. Mostriamo che la serie 2 = è assolutamete covergete. Chiaramete! tutti i termii della serie soo diversi da zero, i modo da poter utilizzare il criterio del rapporto (Teorema 7.9). Utilizzado l Esempio 6.2 e il puto (3) del Teorema 6. vediamo che l = lim a + a = lim 2 + (+)! 2! = lim 2 + = lim Segue quidi dal puto () del criterio del rapporto che 2 =! 2 + = 0. è assolutamete covergete. Esempio 7.3. Esamiiamo la covergeza o divergeza delle due serie = e la prima serie, usiamo l Esempio 6.5 per vedere che l = lim + = lim + =. = 2. Per U calcolo simile mostra che il limite corrispodete ache per la secoda serie è, omettiamo i dettagli. Ora vediamo perché il criterio del rapporto o tratta il caso l = : ifatti, la serie = è divergete (Esempio 7.5), e la serie = è covergete (Esempio 7.8). Cioè, quado 2 l = si possoo verificare sia la covergeza che la divergeza. Ache se potrebbe sembrare i u primo mometo che la differeza tra serie assolutamete covergeti e serie codizioatamete covergeti sia solo u tecicismo, vi è i realtà ua grade differeza el comportameto tra questi due tipi di serie. Noi ora vedremo due argometi che mettoo i risalto questa differeza. 7-

12 Capitolo 7. Il primo tema riguarda la moltiplicazioe di serie. Come è mostrato dal puto () del Teorema 7.2, la covergeza della somma di due serie covergeti fuzioa bee, cioè abbiamo visto che = (a + b ) = = a + = b quado = a e = b soo covergeti. Per cotro, la situazioe per il prodotto di serie covergeti o è così semplice. Quello che ci iteressa di prodotti di serie o è l aalogo di = (a + b ), che sarebbe = (a b ) e che o preseta particolare utilità, ma piuttosto la aaloga di = a + = b, che è [ = a ] [ = b ]. I particolare, ci piacerebbe sapere se esiste u modo coveiete per calcolare il prodotto di due serie, poiché moltiplicare ogi termie i ua serie per ciascu termie ell altra serie, come viee fatto quado si moltiplicao due somme fiite, sarebbe difficile co le serie a causa della loro atura ifiita. Come esempio di moltiplicazioe di somme fiite, pesiamo ad u prodotto del tipo [a 0 + a + a 2 ] [b 0 + b + b 2 ]. Questo prodotto si sviluppa moltiplicado ogi termie i a 0 + a + a 2 per ogi termie i b 0 + b + b 2, come segue [a 0 + a + a 2 ] [b 0 + b + b 2 ] = a 0 b 0 + a 0 b + a 0 b 2 + a b 0 + a b + a b 2 + a 2 b 0 + a 2 b + a 2 b 2. Per comodità, è possibile riordiare i termii di questo prodotto raggruppado gli elemeti secodo le somme dei loro pedici, e otteedo così [a 0 +a +a 2 ] [b 0 +b +b 2 ] = a 0 b 0 +(a 0 b +a b 0 )+(a 0 b 2 +a b +a 2 b 0 )+(a b 2 +a 2 b )+a 2 b 2. Useremo questa idea di raggruppameto degli elemeti i base alle somme dei loro pedici quado tratteremo i prodotti delle serie. Per coveieza di otazioe, sarà più semplice cosiderare il prodotto di due serie che iiziao co = 0, piuttosto che =, cioè serie della forma =0 a. No vi è alcua perdita di geeralità ell avere la serie che iizia co = 0, perché ogi serie della forma = a può essere riscritta come =0 a +. Il seguete teorema mostra che i prodotti di serie fuzioao esattamete come previsto quado almeo ua delle serie è assolutamete covergete. Si comicia co ua defiizioe. Defiizioe 7.4. Siao =0 a e =0 b due serie i R. Il prodotto di Cauchy di =0 a e =0 b è la serie =0 c defiita da c = (a kb k ) per ogi N {0}. Osserviamo che il prodotto Cauchy di due serie i R è sempre defiito, ache se le serie origiali soo divergeti. Teorema 7.0. Siao =0 a e =0 b due serie i R. Sia =0 c il prodotto di Cauchy di =0 a e =0 b. Suppoiamo che =0 a e =0 b siao covergeti, e che =0 a o =0 b sia assolutamete covergete. Allora =0 c è covergete e [ =0 a ] [ =0 b ] = =0 c. Esempio 7.4. Sia =0 a = =0 b = =0. Questa serie può ache essere scritta 2+ come =, ed è ua serie geometrica, come si è visto ell Esempio 7.4. Da quell esempio 2 7-2

13 7.4. Covergeza assoluta e covergeza codizioata sappiamo che =0 a e =0 b soo covergeti e 2 a = b = 2 =0 =0 Poiché tutti i termii di questa serie soo positivi, allora essa è assolutamete covergete. Sia =0 c il prodotto di Cauchy di =0 a e =0 b. Se N {0}, allora c = (a k b k ) = ( ) 2 k+ 2 k+ = = = Segue ora dal Teorema 7.0 che =0 c = + = = = è covergete e 2+ [ 2 + = ] [ ] c = a b = =. = =0 =0 Sarebbe stato semplice utilizzare il criterio del rapporto (Teorema 7.9) per mostrare che = 2 + è assolutamete covergete, ma o ci avrebbe detto qual è la somma della serie. No è possibile rafforzare la coclusioe del Teorema 7.0 e dire che il prodotto di Cauchy di =0 a e =0 b è assolutamete covergete, perché ci soo serie tali che, seppure ua di esse è assolutamete covergete, il prodotto di Cauchy è codizioatamete covergete. Tuttavia se =0 a e =0 b soo etrambe assolutamete covergeti, allora il loro prodotto di Cauchy è assolutamete covergete. No è possibile idebolire le ipotesi del Teorema 7.0 e dire solo che =0 a e =0 b soo covergeti, perché ci soo serie codizioatamete covergeti il cui prodotto di Cauchy è divergete. D altra parte, il prodotto di Cauchy può risultare covergete (e perfio assolutamete covergete), ache se le serie soo etrambe codizioatamete covergeti. Ci occupiamo ora di u altra differeza tra serie assolutamete covergeti e serie codizioatamete covergeti, che è la questioe relativa al riordio dei termii della serie. I realtà, il problema che abbiamo visto i relazioe al prodotto Cauchy di due serie codizioatamete covergeti è u caso particolare del problema più geerale del riordio di serie, perché il modo i cui fuzioa il prodotto di Cauchy di =0 a e =0 b è legato al raggruppameto dei termii i base alle somme dei loro pedici e il raggruppameto comporta u cambio dell ordie dei termii della forma a i b j. Iiziamo la ostra discussioe sul riordio delle serie co ua domada aaloga per le somme fiite. I primo luogo, abbiamo bisogo di ricordare ciò che la somma di u umero fiito di umeri, per esempio , sigifica. I liea di pricipio, ioltre, essa è defiita per due soli umeri alla volta. Tuttavia, è possibile utilizzare defiizioi ricorsive per defiire a +a a per ogi N ed ogi a,..., a R. Ua volta che abbiamo tale defiizioe, è possibile usufruire delle leggi commutativa e associativa per l addizioe per modificare l ordie di qualsiasi somma fiita seza cambiare il valore della somma. Per esempio, vediamo che = (3+7)+2 = (7+3)+2 = 7+(3+2) = 7+(2+3) = Per capire di cosa parliamo, abbiamo bisogo della seguete defiizioe. =0 7-3

14 Capitolo 7. Defiizioe 7.5. Siao = a e = b due serie i R. La serie = b è u riordio di = a se esiste ua fuzioe biiettiva f : N N tale che b = a f() per ogi N. Ua fuzioe biiettiva da u isieme a sé stesso è spesso chiamata u permutazioe dell isieme, ache se oi o useremo tale termiologia. La domada è: riordiare i termii di ua serie, che è ua somma ifiita, modifica il valore della somma della serie? Naturalmete, questa domada è rilevate solo per serie covergeti. La risposta a questa domada o è affatto ovvia, perché la defiizioe della somma di ua serie è molto dipedete dall ordie dei termii; se i termii di ua serie soo riordiati, allora la successioe delle somme parziali viee modificata. Ifatti, come si può vedere co semplici esempi, la somma di ua serie può cambiare se i termii della serie soo riordiati. Questo strao comportameto si verifica co serie codizioatamete covergeti. Il seguete teorema, di cui omettiamo la dimostrazioe, mostra che tale problema o si verifica co serie assolutamete covergeti. Teorema 7.. Sia = a ua serie i R. Suppoiamo che = a sia assolutamete covergete. Se = b è u riordio di = a, allora = b è assolutamete covergete e = b = = a. 7.5 Serie di poteze Fio ad ora i questo capitolo abbiamo preso i cosiderazioe ua serie di umeri, per esempio Ci occupiamo ora di serie che cotegoo ua variabile. Esistoo molti tipi diversi di tali serie, per esempio x + 2 x e si πx + si 2πx + si 3πx x3 Sebbee etrambi i tipi di serie qui sopra siao utili (il primo i Aalisi Complessa e il secodo i Fisica, tra gli altri usi), limiteremo la ostra attezioe alla forma più semplice e più utilizzata di serie co ua variabile, che soo le serie di poteze, per esempio, la serie + x 2 + x2 3 + x3 4 + x4 5 + x Le serie di poteze soo ua geeralizzazioe dei poliomi. Il simbolo x che abbiamo usato ella serie qui sopra rappreseta semplicemete u elemeto di R. Noi o coosciamo il valore umerico dell elemeto x, ma questo o lo rede più variabile rispetto a qualsiasi altra lettera, come c, che rappreseta u elemeto i R. Come tali, le serie di cui sopra co x soo ache serie co termii che soo umeri. Da qui i avati, vedremo le serie di poteze come fuzioi. 7-4

15 7.5. Serie di poteze Defiizioe 7.6. Sia A R u isieme, e sia f : A R ua fuzioe. La fuzioe f è ua serie di poteze se esistoo a R ed ua successioe {c } = i R tale che =0 c (x a) è covergete per ogi x A e f(x) = =0 c (x a) per ogi x A. Cosidereremo spesso serie di poteze i cui a = 0, cioè, serie di poteze della forma =0 c x. Ache se abbiamo defiito le serie di poteze come fuzioi ella Defiizioe 7.6, i pratica si è soliti defiire ua serie di poteze semplicemete dicedo Sia =0 c (x a) ua serie di poteze seza fare riferimeto alla serie di poteza come ad ua fuzioe, i particolare seza idicare u domiio e u codomiio. Fortuatamete, essu vero problema asce da questo modo iformale di defiire le serie di poteze, e così per comodità lo useremo, ache se co la seguete avverteza. Se diciamo Sia =0 c (x a) ua serie di poteze, allora dobbiamo pesare ua tale espressioe come la defiizioe di ua fuzioe, il cui domiio si presume essere l isieme A = {x R =0 c x è covergete}. Si potrebbe ache predere qualsiasi sottoisieme di A come domiio, ma o faremo così se o diversamete specificato. Esamiiamo ora alcui esempi di serie di poteze, ciascuo presetato el cosueto modo sopra idicato; per ciascua di queste serie di poteze troveremo il domiio. Uo strumeto molto utile per trovare il domiio di ua serie di poteze è il criterio del rapporto (Teorema 7.9), che è stato euciato per le serie umeriche, ma che vale ache per le serie di poteze, perché per ogi valore di x el domiio, la serie di poteze è ua serie di termii che soo umeri. Esempio 7.5. Vogliamo trovare il domiio della serie di poteze =0 x. Questa serie ha la forma =0 c (x a), dove a = 0, e dove c = per ogi N {0}. Sia x R. La serie =0 x è ua serie geometrica, come discusso ell Esempio 7.4, i quato la serie ha la forma = ar, dove a = e r = x. Abbiamo visto ell Esempio 7.4 che ua serie geometrica = ar è covergete se e solo se < r <, e che se < r < allora = ar = a r. Quidi la serie di poteze =0 x è covergete se e solo se < x <, e se < x < allora =0 x = x. Il domiio di =0 x è quidi l itervallo aperto (, ). Esempio 7.6. Vogliamo trovare il domiio della serie di poteze =0. Sia x R. Si! utilizzerà il criterio del rapporto (Teorema 7.9) per valutare se la serie x =0 è covergete.! Tuttavia, per l ipotesi del criterio del rapporto, i termii della serie debboo essere tutti diversi da zero. Abbiamo quidi bisogo di predere i cosiderazioe due casi. I primo luogo, suppoiamo che x = 0. Allora la serie di poteze è ua =0, che è assolutamete covergete. I secodo 0! luogo, suppoiamo che x 0. Usado l Esempio 6.2, e il puto (3) del Teorema 6., vediamo che l = lim x + (+)! x! Segue dal criterio del rapporto che x =0! casi si deduce che il domiio di =0 per ogi x R. x! 0 = lim x + = 0. è assolutamete covergete. Mettedo isieme i due è R, e che la serie di poteze è assolutamete covergete x 7-5

16 Capitolo 7. Esempio 7.7. Vogliamo trovare il domiio della serie di poteze = (x 3) 5. Sia x R. I primo luogo, suppoiamo che x = 3. Allora la serie di poteze è =, che è assolutamete 5 covergete. I secodo luogo, suppoiamo che x 3. Usado l Esempio 6.5 e il puto (3) del Teorema 6., vediamo che l = lim (x 3) + (+)5 + (x 3) 5 = lim [ + ] x 3 = 5 0 x 3. 5 Per il criterio del rapporto (x 3) = 5 è assolutamete covergete quado x 3 /5 <, ed è divergete quado x 3 /5 >. Cioè, la serie di poteze è assolutamete covergete quado 2 < x < 8, ed è divergete quado x < 2 e quado x > 8. Da qui il domiio della serie (x 3) = 5 cotiee l itervallo aperto ( 2, 8), e o iterseca l isieme (, 2) (8, ). Resta da verificare se (x 3) = 5 è covergete o divergete per x = 2 e x = 8. Il criterio del rapporto o fuzioa per questi due valori di x, perché soo i valori di x i corrispodeza dei quali si ha l =, che è proprio la codizioe i cui il criterio del rapporto o forisce risposta. Dobbiamo quidi esamiare i due casi x = 8 e x = 2 idividualmete. Se x = 8, la serie di poteze (x 3) = 5 è =, che è la serie armoica, e quidi è divergete. Se x = 2, la serie di poteze (x 3) = 5 è ( ) =, che è, a meo di u fattore, la serie armoica alterata, e quidi è covergete. Mettedo isieme i vari casi, si vede che il domiio di (x 3) = 5 è [ 2, 8). Esempio 7.8. Vogliamo trovare il domiio della serie di poteze =!x. Sia x R. I primo luogo, suppoiamo che x = 0. Allora la serie di poteze è =!0, che è assolutamete covergete. I secodo luogo, suppoiamo che x 0. Si vede allora che l = lim ( + )!x +!x = lim ( + ) x =. Segue dal criterio del rapporto che =!x è divergete per ogi x R {0}. Pertato il domiio di =!x è {0}. Osserviamo che egli Esempi 7.5, 7.6, 7.7 e 7.8 il domiio della serie è u itervallo i R, dove pesiamo R come l itervallo (, ), e pesiamo {0} come l itervallo [0, 0]. Questa osservazioe risulta o essere ua coicideza. Fatto piuttosto otevole, per quato straa ua serie di poteze possa sembrare, il suo domiio deve essere u itervallo, come mostreremo el Teorema 7.2 qui di seguito. Teorema 7.2. Sia =0 c (x a) ua serie di poteze i R. Allora vale ua sola delle segueti affermazioi: () la serie di poteze è assolutamete covergete per ogi x R; (2) la serie di poteze coverge solo per x = a, dove è assolutamete covergete; (3) esiste R (0, ) tale che la serie di poteze è assolutamete covergete per ogi x (a R, a + R), e la serie di poteze è divergete per ogi x R [a R, a + R]. 7-6

17 7.5. Serie di poteze È importate osservare che al puto (3) del Teorema 7.2, o si dice ulla circa la covergeza i x = a R e x = a + R. Ifatti, i questi puti può accadere di tutto. Cioè, ci soo serie di poteze che covergoo su (a R, a + R), esistoo serie di poteze che covergoo su (a R, a + R], ci soo serie di poteze che covergoo su [a R, a + R) e ci soo serie di poteze che covergoo su [a R, a+r]. Ciò che è otevole el Teorema 7.2 è che i tutti i casi possibili, l isieme di umeri reali i cui la serie di poteze coverge è apputo u itervallo di qualche forma, e mai u tipo più complesso di sottoisieme di R, il che coduce alla seguete defiizioe. Defiizioe 7.7. Sia =0 c (x a) ua serie di poteze i R. L itervallo di covergeza della serie di poteze è l isieme {x R =0 c (x a) è covergete}. Il raggio di covergeza della serie di poteze è defiito come segue:. se la serie di poteza è assolutamete covergete per ogi x R, il raggio di covergeza è R = ; 2. se la serie di poteze è covergete solo per x = a, il raggio di covergeza è R = 0; 3. se esiste R (0, ) tale che la serie di poteze è assolutamete covergete per ogi x (a R, a + R), e la serie di poteze è divergete per ogi x R [a R, a + R], il raggio di covergeza è R. Per comodità, si prederà i cosiderazioe il simbolo come maggiore di qualuque umero reale, i quato o deve essere pesato come u umero reale, ma semplicemete come u simbolo utile. Suppoiamo che ua serie di poteze abbia raggio di covergeza R. Se diciamo che R > 0, itediamo dire che R è u umero reale positivo o R =, se diciamo che R <, itediamo che R è u umero reale positivo o R = 0. Osserviamo che R > 0 se e solo se l itervallo di covergeza è o degeere. Ioltre, se R =, allora scriveremo (a R, a + R) per itedere (, ) = R, il che ci permette di evitare i casi particolari. Esempio 7.9. Ribadiamo i risultati degli Esempi 7.5, 7.6, 7.7 e 7.8 i termii di raggio di covergeza e di itervallo di covergeza. Per l Esempio 7.5 il raggio di covergeza è e l itervallo di covergeza è (, ); per l Esempio 7.6, il raggio di covergeza è e l itervallo di covergeza è (, ); per l Esempio 7.7, il raggio di covergeza è 5 e l itervallo di covergeza è [ 2, 8); per l Esempio 7.8, il raggio di covergeza è 0 e l itervallo di covergeza è [0, 0]. Il Teorema 7.2 ci dice che i liea di pricipio il domiio di ua serie di poteze è u itervallo, ma o ci dice come trovare l itervallo di covergeza. I pratica, il modo più comue per trovare l itervallo di covergeza di ua serie di poteze è quello mostrato ell Esempio 7.7, che è quello di utilizzare il criterio del rapporto (Teorema 7.9) per trovare il raggio di covergeza, e quidi di verificare gli estremi del poteziale itervallo di covergeza sigolarmete. Tuttavia, come si vede el seguete esempio, ci soo alcue serie di poteze per le quali il criterio del rapporto o fuzioa, ache se tali serie di poteze o si icotrao molto spesso ella pratica. Lavorado co i poliomi, sappiamo che i coefficieti di u poliomio soo uici, cioè, se due poliomi soo uguali, allora i loro coefficieti soo uguali. Ora euciamo il risultato aalogo per serie di poteze, fiché la serie di poteze ha raggio di covergeza positivo. 7-7

18 Capitolo 7. Teorema 7.3. Siao =0 c (x a) e =0 d (x a) due serie di poteze i R. Suppoiamo che =0 c (x a) e =0 d (x a) abbiao etrambe raggio di covergeza positivo. Siao I c e I d gli itervalli di covergeza, rispettivamete, di =0 c (x a) e =0 d (x a). Se =0 c (x a) = =0 d (x a) per ogi x I c I d, allora c = d per ogi N. Cocludiamo questa sezioe co due teoremi sulla covergeza delle somme, differeze e prodotti di serie di poteze. Il primo teorema segue immediatamete dal Teorema 7.2, e e omettiamo la dimostrazioe. Teorema 7.4. Siao =0 c (x a) e =0 d (x a) due serie di poteze i R e siao k R e r N. Siao I c e I d gli itervalli di covergeza, rispettivamete, di =0 c (x a) e =0 d (x a). () (2) =0 (c + d )(x a) è covergete per ogi x I c I d, e risulta (c + d )(x a) = c (x a) + d (x a) per ogi x I c I d. =0 =0 =0 =0 (c d )(x a) è covergete per ogi x I c I d, e risulta (c d )(x a) = c (x a) d (x a) per ogi x I c I d. =0 =0 =0 (3) =0 kc (x a) +r è covergete per ogi x I c, e risulta kc (x a) +r = k(x a) r =0 =0 c (x a) per ogi x I c. Il ostro prossimo teorema, che riguarda i prodotti di serie di poteze, è meo semplice del Teorema 7.4. Ituitivamete, sarebbe ragioevole aspettarsi che moltiplicare serie di poteze sia aalogo a moltiplicare poliomi. Per esempio, vediamo che [a 0 + a x + a 2 x 2 ] [b 0 +b x+b 2 x 2 ] = a 0 b 0 +(a 0 b +a b 0 )x+(a 0 b 2 +a b +a 2 b 0 )x 2 +(a b 2 +a 2 b )x 3 +a 2 b 2 x 4 ]. I primi tre termii di questo prodotto soo quelli tipici, metre i termii x 3 e x 4 hao coefficieti che o seguoo lo stesso schema, poiché i poliomi origiali si fermao a x 2. Il prodotto di due serie di poteze fuzioa aalogamete, co ua avverteza. Il problema è la differeza tra la covergeza assoluta e la covergeza codizioata. Come abbiamo visto ella sezioe precedete, serie assolutamete covergeti si comportao meglio di serie codizioatamete covergeti, ed i particolare la moltiplicazioe di serie assolutamete covergeti si comporta meglio della moltiplicazioe di serie codizioatamete covergeti. Quidi, come vedremo ora, il prodotto di due serie di poteze si comporta bee se restrigiamo la ostra attezioe all itervallo di covergeza privato degli estremi. Teorema 7.5. Siao =0 c (x a) e =0 d (x a) due serie di poteze i R. Siao R c e R d i raggi di covergeza di =0 c (x a) e =0 d (x a), rispettivamete. Sia R = mi {R c, R d }. Per ogi N, sia e = c kd k. La serie di poteze =0 e (x a) è assolutamete covergete per ogi x (a R, a + R), e [ =0 c (x a) ] [ =0 d (x a) ] = =0 e (x a) per ogi x (a R, a + R). 7-8

19 7.6. Serie di Taylor 7.6 Serie di Taylor Il cocetto di serie umerica è il primo passo verso l itroduzioe di serie di tipo più geerale, cioè le serie di fuzioi, che si possoo vedere come serie umeriche dipedeti da u parametro x: quado queste serie covergoo per ogi x apparteete ad u certo itervallo, esse rappresetao delle fuzioi. Icotreremo spesso fuzioi di questo tipo, defiite da serie trigoometriche o da serie di poteze. Estededo il discorso avviato ella sezioe precedete, daremo solo u primo ceo alle serie di poteze, dette ache serie di Taylor, che si possoo vedere come u estesioe aturale della formula di Taylor (4.2). Riprediamo allora la formula di Taylor co resto di Lagrage (4.2), itrodotta el capitolo (4), riscrivedola ella forma: f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + E (x; x 0 ), (7.) k! dove E (x, x 0 ) = f (+) (ξ) ( + )! (x x 0) +, e ξ (x 0, x). Se la fuzioe f ha derivate di ogi ordie, si può scrivere la serie f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, (7.2) k! detta serie di Taylor della fuzioe f (cetrata i x 0 ). No abbiamo, i geerale, alcua garazia che la serie sia covergete e che la sua somma sia f(x). Ciò sarà vero, per u certo x R, se accadrà che E (x; x 0 ) 0 per ; ifatti, ciò equivale a dire che la somma parziale -esima della serie T (x; x 0 ), ammette limite fiito e tale limite è precisamete f(x). Se accade che, per ogi x i u itervallo I, E (x; x 0 ) 0, diremo che f(x) è sviluppabile i serie di Taylor ell itervallo I. Ci soo fuzioi che soo sviluppabili i serie di Taylor su tutto R, altre che lo soo solo su u itervallo limitato, altre per le quali l itervallo si riduce a u puto solo (il solo puto x 0 ). Ci occuperemo ora pricipalmete delle fuzioi elemetari e x, si x, cos x che, come mostreremo ei prossimi esempi, soo sviluppabili i serie di Taylor su tutto R. Esempio Scriviamo lo sviluppo di McLauri all ordie per e x, co resto di Lagrage. Per ogi N e per ogi x R esiste u puto ξ (0, x), tale che e x = x k k! + x+ ( + )! eξ. Fissato x, facciamo tedere. Il puto ξ può variare co ma, essedo sempre compreso tra 0 e x, si può comuque affermare che { e x, se x > 0 e ξ =, se x < 0. I ogi caso, per ogi x R e, e ξ si matiee limitato, metre, applicado il criterio del rapporto (Teorema (6.4), si vede che x + ( + )!

20 Capitolo 7. Ne cosegue che e x = lim x k k! = x k, per ogi x R. k! Abbiamo quidi mostrato che la fuzioe e x si può scrivere come somma di ua serie di poteze, la sua serie di Taylor, covergete per ogi x R. I particolare, per x = otteiamo che costituisce ua defiizioe del umero e alterativa a quella che già coosciamo ( e = lim +, ) e = equivalete ad essa da u puto di vista teorico, ma molto più efficiete da u puto di vista pratico, cioè per otteere u approssimazioe del umero e. La serie, ifatti, coverge molto più rapidamete della successioe. Esempio 7.2. U discorso completamete aalogo si può ripetere per le fuzioi seo e coseo. Il termie f + (ξ) che compare elle rispettive formule di McLauri ha la forma ± cos ξ o ± si ξ, e ha pertato valore assoluto limitato da. Questa limitazioe è sufficiete a ripetere la dimostrazioe precedete e cocludere che si x = ( ) k x 2k+ (2k + )!, per ogi x R. cos x = k!. ( ) k x2k (2k)!, Queste formule soo molto iteressati, per almeo due motivi. Il primo è che foriscoo u algoritmo efficace per il calcolo umerico approssimato delle fuzioi trigoometriche elemetari, per valori arbitrari delle variabili: la struttura a segi alteri, e il carattere rapidamete decrescete (i valore assoluto) del termie geerico, redoo queste serie particolarmete adatte al calcolo approssimato. Il secodo motivo è che, ad eccezioe dei pochi casi i cui x è u agolo otevole per cui i valori di si x e cos x soo oti dalla geometria elemetare, oppure soo ricavabili da questi mediate idetità trigoometriche, la defiizioe trigoometrica di si x e cos x o forisce alcu criterio operativo per il calcolo del valore della fuzioe; i u certo seso, quidi, le serie che abbiamo appea scritto si possoo cosiderare come la prima defiizioe completamete rigorosa di queste fuzioi elemetari. Altri sviluppi i serie di McLauri per fuzioi otevoli soo: k+ xk log( + x) = ( ), per x <, k ( + x) α = k= ( ) α x k, per x <, co α R. k 7-20