CAPITOLO 10. Funzione Caratteristica, Normale multivariata, convergenze

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1 CAPITOLO 0 Fuzioe Caratteristica, Normale multivariata, covergeze 5

2 0. Fuzioe caratteristica Fuzioe caratteristica La fuzioe caratteristica è uo strumeto teorico utile sotto diversi aspetti per studiare la distribuzioe di probabilità di umeri aleatori discreti e cotiui. Dato u umero aleatorio X, discreto o cotiuo, sia Y e itx cos(tx) + ise(tx), dove i è l uità immagiaria e t è u fissato valore reale, e idichiamo co φ X (t) la previsioe di Y, che risulta essere ua fuzioe di t. La fuzioe φ X (t) si chiama fuzioe caratteristica di X. Nel caso discreto, posto P (X x h ) p h, si ha φ X (t) h p h e itx h, metre el caso cotiuo, idicado co f(x) la desità di X, si ha ovvero φ X (t) φ X (t) cos(tx)f(x)dx + i e itx f(x)dx si(tx)f(x)dx. Alcue proprietà: () φ X (0), ( h p h, f(x)dx ); () φ X (t) φ X (0), t ; Cosideriamo il caso i cui X è u umero aleatorio cotiuo. φ X (t) e itx + f(x)dx e itx f(x) dx e itx }{{} cos (tx)+si (tx) (3) Se Y ax + b, si ha f(x)dx φ Y (t) P(e ity ) P(e it(ax+b) ) e ibt P(e iatx ) e ibt φ X (at); (4) I particolare, se Y X, si ha: f(x)dx φ Y (t) φ X (t) P(e itx ) φ X ( t) φ X (t), dove il umero complesso α + iβ α iβ, ovvero il coiugato di α + iβ. Ifatti φ X (t) P(cos(tX) + i si(tx)) P(cos(tX)) + ip(si(tx)) P(cos(tX)) ip(si(tx)) φ X ( t)

3 0. Fuzioe caratteristica 54 (5) Se φ X (t) è ua fuzioe reale, si ha φ X ( t) φ X (t). Se φ X (t) è ua fuzioe reale, si ha φ X (t) φ X (t). Allora φ X (t) φ X ( t) φ X (t) e quidi φ X (t) è ua fuzioe reale pari. (6) Se X ha ua desità simmetrica rispetto all asse delle y, cioè f(x) f( x), x R, allora X e X hao la stessa desità e pertato si ha φ X (t) φ X (t), ovvero φ X (t) è reale. Esempi. a) Dato u eveto E di probabilità p, sia X E. Si ha φ X (t) φ E (t) pe it + qe it 0 pe it + q. b) Dati eveti E,..., E, idipedeti ed equiprobabili di probabilità p, cosideriamo il.a. X E + + E. Si ha X B(, p); ioltre ( ) φ X (t) P (X h)e ith p h q h e ith h h0 h0 (pe it + q). c) Sia dato u umero aleatorio X co distribuzioe di Poisso di parametro λ. Idicado co p P (X ), si ha φ X (t) + 0 p e it + 0 λ +! e λ e it e λ 0 (λe it )! e λ e λeit e λ(eit ). d) Sia dato u umero aleatorio X co distribuzioe geometrica di parametro p, ovvero p h pq h per h N. Ricordado che per u umero complesso x < si ha (serie geometrica di ragioe x) otteiamo φ X (t) h + h x h x, p h e ith + h + pe it (qe it ) h h pq h e ith peit qe it.

4 0. Fuzioe caratteristica 55 e) Se X ha ua distribuzioe ormale stadard, X N 0,, si ha φ X (t) e itx π e x dx. Poichè X ha ua desità simmetrica rispetto all asse y, per la proprietà (6), si ha che φ X (t) è ua fuzioe reale, cioè φ X (t) cos(tx) e x dx. π Cosideriamo la derivata prima di φ X (t) (come fuzioe i t). dimostrare che φ X (t) d dt cos(tx) π e x dx d[cos(tx) e x ] π dx dt dx. x si(tx) π e x Si può Risolviamo il precedete itegrale (ella variabile x) mediate itegrazioe per parti. Poiamo h(x) si(tx) d(h(x)) dx t cos(tx) d(g(x)) x dx π e x g(x) x π e x dx }{{} Si ha Quidi da cui segue φ X (t) x si(tx) π e x dx y x [si(tx) π e x ] + t cos(tx) π e x dx 0 tφ X (t) tφ X (t). ed essedo φ X (0), risulta c 0. φ X (t) φ X (t) d dt log φ X(t) t, log φ X (t) t + c, π e y dy π e x Quidi: φ X (t) e t (fuzioe reale e pari). f) Se X ha ua distribuzioe ormale di parametri m, σ, il.a. Y X m σ ha ua distribuzioe ormale stadard e si ha φ Y (t) e t. Allora, osservado che X σy + m, applicado la proprietà 3), co a σ, b m, si

5 0. Fuzioe caratteristica 56 ottiee φ X (t) e imt σ t. g) Se X ha ua distribuzioe espoeziale di parametro λ, si ha h) X G c,λ. Si ha λ φ X (t) 0 0 e (λ it)x dx e itx λe λx dx λ λ it φ X (t) itx λc e 0 Γ(c) xc e λx dx ( λ λ it) c [φy (t)] c, (Y G,λ Exp(λ)). Calcolo dei mometi. Per ogi fissato itero k,,..., la previsioe di X k, che idichiamo co m (k), si chiama mometo di ordie k di X. TEOREMA 0.. Se, per u itero positivo k è P( X k ) <, allora la derivata k esima di φ X (t) esiste per ogi t, è cotiua, e si ha X (t) (ix) k e itx f(x)dx. φ (k) Ceo sulla dimostrazioe. Ricordiamo che, dato u umero aleatorio cotiuo X, co desità f(x), si ha φ X (t) e itx f(x)dx. Nelle ipotesi del Teorema 0. derivado rispetto alla variabile t, si ha φ X(t) ixe itx f(x)dx, φ X(t) (ix) e itx f(x)dx,... φ (k) X (t) (ix) k e itx f(x)dx.... Allora, se esistoo i vari mometi di X, si ha φ X(0) i xf(x)dx im (), φ X(0) i x f(x)dx i m (),... X (0) ik x k f(x)dx i k m (k). φ (k)

6 0. Somma di umeri aleatori stocasticamete idipedeti Pertato, si ha m (k) φ(k). U ragioameto aalogo si può fare se X è i k u.a. discreto. I molti casi, dovedo calcolare m (k), coviee sfruttare tale formula azichè applicare la defiizioe X (0) m (k) el caso cotiuo, oppure x k f(x)dx, m (k) p x k, el caso discreto. ESEMPIO 0.. Sia X N 0,, si ha P(X r ) 0, r dispari P(X r ) P(X k ) (k)!, r k, k N. k k! ESERCIZIO 0.. Sia X u umero aleatorio co distribuzioe uiforme i [a, b], co a < b, verificare che { e itb e ita φ X (t), t 0 it(b a), t 0 Sia Y cx + d, co c > 0, verificare che Y ha distribuzioe uiforme i [ac + d, bc + d]. ESERCIZIO 0.. Sia X u umero aleatorio co distribuzioe uiforme i [0, ], verificare che lim t 0 φ X(t) i. ( Sfruttare il fatto che lim t 0 φ X (t) ). ESERCIZIO 0.3. Sia X u umero aleatorio co distribuzioe espoeziale di parametro λ > 0 e sia Y ax, co a > 0, verificare che Y ha distribuzioe espoeziale di parametro λ/a. 0.. Somma di umeri aleatori stocasticamete idipedeti La proprietà più importate delle fuzioi caratteristiche è la seguete: dati umeri aleatori X,..., X stocasticamete idipedeti e posto Y X + + X, si ha φ Y (t) φ X (t) φ X (t) φ X (t).

7 0. Somma di umeri aleatori stocasticamete idipedeti 58 Cosideriamo il caso. Si ha φ X +X (t) P(e it(x +X ) ) P(e itx e itx ) P(e itx )P(e itx ) φ }{{} X (t)φ X (t). X X Ad esempio, dati eveti E,..., E, idipedeti ed equiprobabili di probabilità p, e posto si ha Quidi X E,..., X E, φ X (t) φ X (t) pe it + q. φ X + +X (t) φ X (t) φ X (t) (pe it + q). Ritroviamo i questo modo la fuzioe caratteristica del umero aleatorio E + + E, che ha distribuzioe biomiale di parametri, p. Altri due aspetti teorici importati relativi alle fuzioi caratteristiche soo:. La corrispodeza tra fuzioi caratteristiche e distribuzioi di probabilità è biuivoca; quidi la fuzioe caratteristica φ X (t) determia uivocamete la distribuzioe di probabilità di X. ESEMPIO 0.. Ricordado che ad ua distribuzioe ormale di parametri m, σ corrispode la fuzioe caratteristica e imt σ t e quidi, se X N(x), si ha φ X (t) e t. Allora, se Y X + 3, si ha φ Y (t) e 3it t, e quidi Y N 3,. Altro esempio: se X N m,σ e Y N m,σ, co X, Y stocasticamete idipedeti, si ha φ X (t) e im t σ t, φ Y (t) e im t σ t. Ioltre, per il.a. Z ax + by si ha co φ Z (t) e im 3t σ 3 t, m 3 am + bm, σ 3 a σ + b σ. Pertato Z N m3,σ 3. Si oti che, voledo evitare l uso della fuzioe caratteristica, il calcolo della di- stribuzioe di Z richiederebbe u ragioameto pro- babilistico molto più complicato.

8 0. Somma di umeri aleatori stocasticamete idipedeti 59 ESEMPIO 0.3. Siao X P(λ ) e X P(λ ) si ha φ X + (t) φ X (t)φ X (t) e λ (e it ) e λ (e it ) Pertato X + X P(λ + λ ) e (λ +λ )(e it ). ESEMPIO 0.4. La fuzioe caratteristica di u.a. X co distribuzioe G α,λ, cioè co desità, è data da G α,λ (x) φ X (t) λα Γ(α) xα e λx, x > 0. ( ) α λ. λ it Pertato dati umeri aleatori X, X, rispettivamete, co distribuzioe G α,λ e G α,λ, si ha X + X G α +α,λ. ESERCIZIO 0.4. La fuzioe caratteristica di u umero aleatorio discreto X è φ X (t) 5 k. Calcolare la previsioe di X. Soluzioe. Si ha da cui segue φ X(o) e ikt 5 5 k Pertato: P(X) 3. P(X) ik 5 φ X(t) 5 k ike ikt 5 i( ) 5, 3i ip(x). ESERCIZIO 0.5. La fuzioe caratteristica di u umero aleatorio X è data da φ X (t) e it t. Posto Y X, calcolare la probabilità p dell eveto ( Y ). Risp.: p Soluzioe. φ X (t) e it t è la fuzioe caratteristica di ua distribuzioe ormale di parametri m, σ. Pertato Y X ha ua distribuzioe ormale stadard. Allora: p P ( Y ) Φ() ESERCIZIO 0.6. Le fuzioi caratteristiche di due umeri aleatori X, Y idipedeti soo rispettivamete φ X (t) e (eit ) e φ Y (t) e 3(eit ).

9 0. Somma di umeri aleatori stocasticamete idipedeti 60 Posto Z X + Y, calcolare la previsioe m di Z. Risp.: m Si ha: φ Z (t) φ X (t)φ Y (t) e (eit ) e 3(eit ) e 5(eit ), da cui ricordado che φ Z (0) im Z e osservado che φ Z(t) e 5(eit ) 5e it i, φ Z(0) 5i, segue: m Z 5. I effetti, e 5(eit ) è la fuzioe caratteristica di ua distribuzioe di Poisso di parametro λ 5.

10 0.3 Distribuzioe ormale multidimesioale - versioe provvisoria Distribuzioe ormale multidimesioale - versioe provvisoria U vettore aleatorio cotiuo (X, Y ) ha ua distribuzioe ormale bidimesioale (o doppia) se ha la seguete desità di probabilità f(x, y) πσ σ ρ e ( ρ ) [ ( x µ σ ) ρ ( )( ( ) ] x µ y µ y µ )+ σ σ σ, per ogi (x, y) R, dove µ, µ, σ, σ, ρ, soo valori reali co σ > 0, σ > 0, ρ <. Tale distribuzioe gode delle segueti proprietà: f (x) N µ,σ (x), f (y) N µ,σ (y), pertato le previsioi e gli scarti quadratici medi di X e Y soo rispettivamete µ, µ e σ, σ ; f (x y) N µ,σ (x), co µ µ + ρ σ σ (y µ ), σ σ ρ ; f (y x) N µ,σ (y), co µ µ + ρ σ (x µ ), σ σ ρ ; σ P(XY ) xyf(x, y)dxdy µ µ + ρσ σ, pertato ρ rappreseta il coefficiete di correlazioe di X e Y ; se ρ 0 risulta f(x, y) f (x)f (y), pertato se X e Y soo icorrelati, segue che soo idipedeti; ifie, se i parametri µ, µ, σ, σ soo fissati, al variare di ρ si ottegoo ifiite distribuzioi ormali bidimesioali co le stesse margiali N µ,σ (x), N µ,σ (y); il che sigifica che date le distribuzioi margiali o è possibile determiare la distribuzioe cogiuta Distribuzioi margiali. Si ha X N µ,σ e Y ( N µ,σ ). x µ Dimostriamo che X N µ,σ. Co la trasformazioe lieare u σ ( y µ e v σ ), si ha dy σ dv e lim y ± v ±. Pertato si ha, f (x) f(x, y)dy R σ πσ σ ρ R e ( ρ ) [u ρuv+v ] dv. Osservado che u ρuv + v u ρ u + (v ρu) u ( ρ ) + (v ρu)

11 0.3 Distribuzioe ormale multidimesioale - versioe provvisoria 6 f (x) si può scrivere come segue f (x) πσ ρ e [u ] πσ R R e ( ρ ) [u ( ρ )+(v ρu) ] dv. π ρ e ( v ρu ) ρ dv. }{{} ( ) e x µ σ. πσ Pertato X N µ,σ. Procededo i maiera aaloga, ma scambiado x co y, si ricava che ( ) f (y) f(x, y)dy e y µ σ πσ ovvero Y N µ,σ. Quidi si ha che R µ P(X), µ P(Y ), σ var(x), σ var(y ) Distribuzioi margiali codizioate. Calcoliamo la desità di probabilità di Y dato X x. f (y x) f(x, y) f (x) πσ ρ e πσ σ ρ e πσ ρ e ( ρ ) ( ρ ) { ( x µ σ ) ( ) x µ ρ [( ( ] } σ y µ x µ + ) )ρ σ σ ( ) πσ e x µ σ { ( ) x µ ( ρ [( ( ] } ( ρ ) σ y µ x µ )+ ) )ρ σ σ ( ) e x µ σ { [( ( ] } y µ x µ ) )ρ σ σ e πσ ρ [ y µ ρ σ σ (x µ ) σ ( ρ ) ]. Se poiamo µ µ + ρ σ σ (x µ ) e σ σ ( ρ ) si ha f (y x) [ e y µ ] σ, y R. πσ Pertato, per ogi fissato x R, si ha f (y x) N µ,σ (y), co µ µ + ρ σ σ (x µ ), σ σ ρ.

12 0.3 Distribuzioe ormale multidimesioale - versioe provvisoria 63 I maiera aaloga si dimostra che, per ogi fissato x R, si ha f (x y) N µ,σ (x), co Cocludedo si ha µ µ + ρ σ σ (y µ ), σ σ ρ. µ P(Y x) µ y (x), µ P(X y) µ x (y) cioè µ µ y (x) è proprio la fuzioe di regressioe di X su Y e µ µ x (y) è proprio la fuzioe di regressioe di Y su X. Poichè la curva di regressioe di Y su X è ua retta essa coicide co la retta di regressioe. Pertato ρ coicide co il coefficiete di correlazioe lieare di X e Y (per la dimostrazioe aalitica vedi dall Aglio pag 44). I particolare, osserviamo che se ρ 0 si ha f (y x) f (y), f (y x) f (y). Quidi, dato u vettore aleatorio (X, Y ) co distribuzioe ormale bidimesioale si ha X, Y stocasticamete idipedeti X, Y soo icorrelati Matrice delle variaze e covariaze. Osserviamo che la matrice delle variaze-covariaze del vettore (X, Y ) è data da ( ) ( ) σ σ Σ σ ρσ σ σ σ ρσ σ σ, e si ha detσ Σ σσ ( ρ ), Σ ( ) σ ρσ σ detσ ρσ σ σ. Allora, com è possibile verificare, la desità cogiuta si può rappresetare ella forma matriciale seguete dove f(x, y) π Σ e A(x µ,y µ ), ( ) x A(x µ, y µ ) (x µ, y µ ) Σ µ. y µ I geerale, dato u vettore aleatorio cotiuo X (X,..., X ), sia Σ la matrice delle variaze-covariaze di X. Si dice che X ha ua distribuzioe ormale dimesioale se la desità cogiuta è data da f(x,..., x ) e (π) A(x µ,...,x µ ), detσ

13 0.3 Distribuzioe ormale multidimesioale - versioe provvisoria 64 dove A(x µ,..., x µ ) (x µ,..., x µ ) Σ I forma matriciale e vettoriale si ha dove f(x,..., x ) Σ (π) x µ x µ e (x µ) Σ (x µ) t, x (x, x..., x ), µ (µ, µ..., µ ). La distribuzioe ormale dimesioale gode di proprietà simili a quella bidimesioale; i particolare X i N µi,σ i, i,...,. Ioltre, se per ogi i j si ha σ ij 0, la matrice delle variaze-covariaze diveta diagoale e la desità cogiuta coicide co il prodotto delle desità margiali, ovvero i umeri aleatori X,..., X soo stocasticamete idipedeti. Costruzioe di ua variabile aleatoria ormale multidimesioale.* Dati umeri aleatori X, X,..., X idipedeti e ideticamete distribuiti co distribuzioe ormale stadard (X i N 0, ) sia X (X, X,..., X ) il vettore aleatorio cogiuto. Ovviamete la desità di X è data da f X (x,..., x ) e (π) x xt. I tal caso X ha ua distribuzioe ormale multidimesioale co matrice delle variaze e covariaze la matrice Idetità. Cosideriamo ua trasformazioe lieare di X. Sia {}}{{}}{{}}{ {}}{ Y A X + µ co A ua matrice co A 0 e µ u vettore (coloa?). Si ha che le compoeti di Y soo Y a X + a X a X + µ ;. Y i a i X + a i X a i X + µ i ;. Y a X + a X a X + µ. Ioltre, essedo A ivertibile, si ha X (Y µ)a..

14 0.3 Distribuzioe ormale multidimesioale - versioe provvisoria 65 Poichè Cov(Y i, Y j ) Cov(a i X + a i X a i X, a j X + a j X a j X ) h k a iha jk cov(x h, X k ) a i a j + a i a j a i a j t a i a j si ha che la matrice variaze-covariaze di Y è Σ Y A A t. Si dimostra che Y ha ua distribuzioe ormale multivariata co desità f(y,..., y ) Σ Y (π) e (y µ) Σ Y (y µ)t ) t. ESERCIZIO 0.7. Dati umeri aleatori X, X idipedeti e ideticamete distribuiti co distribuzioe ormale stadard e defiiti Y X + X + ; Y X X determiare la desità Y e la desità di Y. Poichè X, X soo stocasticamete idipedeti si ha ( ) 0 Σ X 0 Ioltre sappiamo che (Y, Y ) ha ua distribuzioe ormale bidimesioale. Determiiamoe la desità. Poichè ( ) A e A segue che la matrice variaze-covariaze di Y è ( ) 0 Σ Y A A t 0 Quidi, Y, Y soo stocasticamete idipedeti co distribuzioe, rispettivamete, Y N, e Y N,.

15 0.4 Covergeze Covergeze Covergeza i legge o i distribuzioe. DEFINIZIONE 0. (Covergeza i legge o i distribuzioe). Ua successioe di distribuzioi co fuzioi di ripartizioe F (x), F (x),... coverge ad ua distribuzioe se esiste ua fuzioe di ripartizioe, F (x), tale che lim F (x) F (x), i ogi puto di cotiuità di F (x) Se idichiamo co X, X,... la successioe dei umeri aleatori co fuzioe di ripartizioe F (x), F (x),... e co X u umero aleatorio co fuzioe di ripartizioe F (X), se F coverge i distribuzioe a F scriveremo X L X, (X d X) e diremo che X coverge i legge (o debolmete) a X. Tale tipo di covergeza si suole dire covergeza debole. Notare che viee richiesta la covergeza delle fuzioi distribuzioi soltato ei puti di cotiuità per F. ESEMPIO 0.. Cosideriamo ua successioe di umeri aleatori X, X,..., X,... co fuzioe di ripartizioe del geerico X defiita da 0 x < ( ), F (x) x ( ). Sia X u umero aleatorio co fuzioe di ripartizioe data da 0 x < 0, F (x) x 0. Verificare se X L X. Distiguiamo tre casi. ( ) () Sia x < 0. Si ha F (x) 0. Poichè lim 0 esiste u x tale che x < ( ), > x. Allora si ha F (x) 0 F (x) per > x, cioè F (x) F (x). ( ) () Sia x > 0. Poichè lim 0 esiste u x tale che x > ( ), > x. Allora si ha F (x) F (x) per > x, cioè F (x) F (x). (3) Sia x 0. I tal caso F k (0) 0, F k+ (0) pertato F (0) o ha limite. Osserviamo che però il puto x 0 o è di cotiuità per F (x). Quidi F (x) F (x) i ogi puto di cotiuità per F (X), cioè X L X.

16 0.4 Covergeze 67 TEOREMA 0.. Idicado co ψ la fuzioe caratteristica corrispodete ad F, la successioe F,..., F,... coverge i distribuzioe ad F se e solo se la corrispodete successioe di fuzioi caratteristiche ψ,..., ψ,... coverge a ψ. I breve F (x) F (x) ψ (t) ψ(t) Tale risultato teorico permette di dimostrare il Teorema cetrale del limite Teorema cetrale del limite. Data ua successioe di umeri aleatori X,..., X,..., idipedeti ed ugualmete distribuiti, co P(X i ) m, Var(X i ) σ, si cosideri la successioe delle medie aritmetiche Y X, Y X + X, Y X + + X,..., e quella delle medie aritmetiche ridotte Z,..., Z. Ovviamete P(Y ) m, Var(Y ) σ e quidi Z Y m σ/. Idicado co F i la fuzioe di ripartizioe di Z i, la successioe F,..., F,... coverge alla fuzioe di ripartizioe (di ua distribuzioe ormale stadard) Φ 0,, ovvero si ha lim F (z) lim P (Z z) Φ(z), z R. + + Il risultato precedete si ottiee dimostrado che la successioe ψ,..., ψ,... (di fuzioi caratteristiche dei umeri aleatori Z,..., Z,...) coverge alla fuzioe caratteristica (della distribuzioe ormale stadard) ψ(t) e t. TEOREMA 0.3 (Teorema cetrale del limite). Data ua successioe di. a. X,..., X,..., idipedeti ed ugualmete distribuiti, co P(X i ) m, Var(X i ) σ < +, e posto Y X, Y X +X,..., Y X + +X,..., Z Y m σ, Z Y m σ/,..., Z Y m σ/,..., si ha z lim P (Z z) Φ(z) N(t)dt, z R ; + ovvero, la successioe Z,..., Z,... coverge i legge ad u. a. Z co distribuzioe ormale stadard. DIMOSTRAZIONE. Dim.: si ha Z Y m σ/ ( ) Xh m σ h co P(U ) 0, V ar(u ),. h U h, I. a. stadardizzati U,..., U,... soo idipedeti ed ugualmete distribuiti; idicado co ψ(t) la loro fuzioe caratteristica, si ha ψ(t) ψ(0) + ψ (0) t + ψ (0)! t + t + ;

17 0.4 Covergeze 68 ) ioltre: ψ U h (t) P (e it U h ψ ( ) t ( ) t + t + o, ψ Z (t) ψ U h (t) Π U h hψ h (t) [ ( )] [ ( ) t t ψ + ψ ] ; ricordiamo che: log( + z) ( )+ z z z quidi: log ψ Z (t) log + z + o(z) z (z 0) ; [ + ψ ( ) t ] [ ( ) ] [ ( ) ] t t log + ψ ψ t + o ( ) t ; allora: lim ψ Z (t) e lim log ψ Z (t) e t. Osservazioe. La variabile aleatoria Z, cioè la media aritmetica di X, X,..., X stadardizzata, coicide co la somma S X + X X stadardizzata, ovvero Z X +X +...+X σ m X +X +...+X m σ S P(S). V ar(s) Pertato, possiamo dire che la successioe delle somme aleatorie stadardizzate S P(S) coverge i distribuzioe ad ua variabile aleatoria co V ar(s) distribuzioe ormale stadard. I sitesi P (Z z) P ( S P(S) V ar(s) z z) π e x dx ESEMPIO 0.5 (Processo Beroulliao). Cosideriamo ua successioe di eveti E, E,..., E,... idipedeti ed equiprobabili, co probabilità P (E ) p. Sia X i E i, i N. Si ha P(X i ) p, σ (X i ) p(q p). Per ogi N poiamo S X + X + X E + E + E.

18 0.4 Covergeze 69 Si ha che S Bi(, p) e quidi P(S ) p e σ (S ) p( p). Per il teorema cetrale del limite possiamo cocludere ( ) S p P < x Φ 0,(x). p( p) Quidi, per grade, la distribuzioe del umero aleatorio (delle frequeze ridotte) S p p( p) si può approssimare co ua ormale stadard. ESERCIZIO 0.8. Da u ura coteete pallia biaca e 9 ere si effettuao 00 estrazioi co restituzioe. Sia E i l eveto la i esima pallia estratta è biaca, i {,,..., 00}. Sia S 00 il umero aleatorio di pallie biache estratte. Calcolare mediate u opportua approssimazioe P (5 S 00 5). ESEMPIO 0.. Sia X si Bi(, p), co 40, p. Calcolare, mediate u opportua approssimazioe, P (X 0). Si ha Osserviamo che P (X 0) P (9.5 < X < 0.5) P ( 0.6 < Z < 0.6) Φ 0, (0.6) 0.7. P (X 0) ( ) ESEMPIO 0.3. Siao X, X,..., X,... ua successioe di variabili aleatori idipedeti e ideticamete distribuiti co X i U([0, ]). Calcolare P ( 0 i X i > 7) mediate u opportua approssimazioe. Ricordiamo che P(X i ) e V ar(x i). Utilizzado il Teorema cetrale del limite si ha P ( 0 i X i > 7) P ( 0 i X i 5 0 > ) Φ 0, (.9)

19 0.4 Covergeze Covergeza i Probabilità. DEFINIZIONE 0.. Data ua successioe X, X,..., X,... di umeri aleatori e u umero aleatorio X diremo che X tede i probabilità a X e scriveremo (00) X P X se fissati comuque due umeri positivi ɛ, θ è possibile determiare u itero ɛ,θ, tale che per ogi > ɛ,θ risulti (0) P ( X X ɛ) < θ o, i altri termii, se (0) ɛ > 0 lim P ( X X ɛ) 0 Nel caso di vettori aleatori co dimesioi k maggiori di la disuguagliaza X X vale compoete per compoete. Sigificato geometrico per k. Dire che X P X equivale a dire che la probabilità della striscia X X < ɛ qualuque sia l ampiezza (ɛ) tede a o equivaletemete che la probabilità della parte di piao X X ɛ tede a Covergeza Quasi certa. Ua successioe di variabili aleatorie {X (ω)} rappreseta ua successioe di fuzioi misurabili da (Ω, F) i (R, B ). Per tale successioe u usuale covergeza matematica è quella putuale, cioè X (ω) X, ω Ω ovvero (se come distaza cosideriamo quella euclidea) ɛ > 0, m : X (ω) X(ω) < ɛ per > m. Ua covergeza del geere però è troppo forte per le variabili aleatorie, visto che siamo iteressati allo studio delle probabilità. Pertato la covergeza sarà sufficiete ache se o si realizza i alcui puti, purchè questi formio u isieme di misura trascurabile. DEFINIZIONE 0.3 (Covergeza quasi certa.). Data ua successioe di v.a. {X } e ua v.a. X, diremo che X coverge quasi certamete a X se l eveto X (ω) X(ω) è quasi certo, ovvero se P (X X) P ({ω Ω : X (ω) X(ω)}) I tal caso si scrive X q.c. X, oppure che X tede a X co probabilità. La covergeza q.c. di X ad ua v.a. X sigifica predere i cosiderazioe i ua prova (ipotetica) i valori assuti dalle ifiite v.a. X e vedere se questi covergoo al valore assuto dalla v.a. X: tale eveto deve avere probabilità. Caratterizzazioe della covergeza quasi certa,

20 0.4 Covergeze 7 q.c. TEOREMA 0.. X X se e solo se ɛ > 0, lim P ( X r X < ɛ) r Pertato ua defiizioe alterativa di covergeza quasi certa potrebbe essere la seguete. DEFINIZIONE 0.4. Data ua successioe di v.a. {X } e ua v.a. X, diremo che X coverge quasi certamete a X se, fissati due umeri positivi ɛ, θ, è possibile determiare u itero ɛ,θ, tale che per ogi > ɛ,θ risulti ( + ( P Xr X ɛ )) < θ. r Fissati, i altri termii, arbitrariamete ɛ e θ debboo risultare miori di θ, per > ɛ,θ, o solo le probabilità, P ( X X ɛ ), che ciascuo sigolarmete degli scarti sia o iferiore a ɛ (come richiesto dalla covergeza i probabilità), ma ache le probabilità che ache uo solo su tutti gli scarti X X da ɛ,θ i poi sia o iferiore a ɛ. Si dimostra il seguete TEOREMA 0.. Se X q.c. X allora X P X. Il viceversa o vale. Si possoo costruire alcui cotroesempi. I defiitiva la relazioe che sussiste, solo i u verso, tra le verie covergeze, è la seguete. X q.c. X X P X X L X Applicazioe - Legge dei gradi umeri. Sia X, X,..., X,... ua successioe di variabili aleatorie i.i.d, co P(X ) µ e var(x ) σ fiite. Cosideriamo la successioe delle medie aritmetiche X X i /. i Si ha P(X ) µ e var(x ) σ /. Pertato la media aritmetica avrà ua distribuzioe cetrata su µ che al tedere di all ifiito avrà ua variaza ifiitesima var(x ) σ / 0, ovvero sempre più cocetrata su µ. Osserviamo che per trovare la distribuzioe di X bisogerebbe fare covoluzioi. Proviamo che X P X la successioe X coverge i probabilità al umero aleatorio X µ. Per la disuguagliaza di Cebicev si ha P ( X µ > ɛ) var(x ) ɛ

21 0.4 Covergeze 7 ma var(x ) σ / 0 pertato si ha ɛ > 0 lim P ( X µ > ɛ) 0. Tale risultato prede il ome di Legge (debole) dei gradi umeri. Ad esempio è utile per stimare la vera misura di ua lughezza, dopo aver effettuato diverse misure, si può cosiderare come vera misura la media aritmetica. I particolare tale risultato prede ache il ome di Teorema di Beroulli, i quato ella sua prima forma fu dimostrato da Beroulli. Sia X, X,..., X,... ua successioe di variabili aleatorie beroulliae i.i.d, co P(X ) p e var(x ) p( p) fiite. Ovvero {, co P (X ) p X 0, co P (X 0) p q I tal caso la successioe delle medie aritmetiche diviee la frequeza relativa f di successo su prove e il teorema diviee ɛ > 0 lim P ( f p > ɛ) 0. Cioè la frequeza relativa di successo coverge i probabilità alla probabilità p di successo. U altro importate risultato dovuto a Beroulli, idicado co S i X i la frequeza assoluta, è il seguete k > 0 lim P ( S p > k). Cioè il umero di S p tede i probabilità all ifiito. Possiamo pertato dire che, i riferimeto al lacio di ua moeta, se si fao u umero elevati di laci la frequeze relativa di T esta sarà, co probabilità alta, vicia a /, ma la frequeza assoluta, cioè il umero di T esta, sarà probabilmete lotao da /. Se ad ogi lacio si vice se esce T esta e se esce Croce, allora dopo u umero elevato di laci la vicita (positiva o egativa) sarà lotaa da zero Covergeza i Legge e covergeza i Probabilità. TEOREMA 0.3. Se X P X allora X L X. Ioltre se X a co probabilità vale il viceversa, cioè se X L X allora X P X Il precedete teorema dimostra che la covergeza i probabilità è più forte della covergeza i legge, trae per variabili degeere. I geerale la covergeza i legge o implica la covergeza i probabilità. Vediamo u cotroesempio. ESEMPIO 0.4. Sia X, X,..., X,... ua successioe di variabili aleatorie idipedeti e uiformemete distribuite i (0, ) e sia X ua variabile

22 0.4 Covergeze 73 aleatoria co distr. uif. sempre i (0, ) Essedo tutte le variabili i gioco co stessa distribuzioe tutte avrao come fuzioe di ripartizioe la fuzioe F F defiita come F (x) 0, se x 0, x, se 0 x <,, se x. Quidi X coverge i legge a X. Proviamo che o c è covergeza i probabilità. Osserviamo che la desità margiale f(x, x) è {, se (x, x) Q f (x, x), 0, altrimeti avedo idicato co Q il quadrato uitario, Q {(x, y) : 0 x, 0 y }. Cosideriamo l eveto X X > ɛ si ha P ( X X > ɛ) ( ɛ) cioè fissato ɛ la quatità P ( X X > ɛ) rimae costate al crescere di, quidi X P X. ESERCIZIO 0.. Sia {X U(0, /), N} ua successioe di variabili aleatorie ( delta di Dirac), provare che X coverge sia i legge che i probabilità a X Covergeza i Media. Dato u umero reale r > 0, diciamo che X tede a X i media r esima, e scriviamo se X m.r. X. P( X X r ) 0. Per r si parla di covergeza i media quadratica. Ioltre tale covergeza, poichè prede i cosiderazioe i valori medi, richiede che essi siao fiiti. Ricordiamo che la disuguagliaza di Cebicev (Markov). Per r > 0, ɛ > 0, si ha P ( X > ɛ) P( X r ) ɛ r, pertato possiamo dimostrare che TEOREMA 0.4. ifatti X m.r. X X P X, ɛ, P ( X X > ɛ) P( X X r ) ɛ r 0

23 0.4 Covergeze 74 ESEMPIO 0.5. Nell ifereza statistica classica (oltre alla correttezza) si dice che uo stimatore Y è cosistete se tede i probabilità alla gradezza η da stimare. Se P(Y ) η, cioè lo stimatore è corretto, si ha P((Y η) ) P((Y P(Y )) ) var(y ) quidi se la var(y ) 0 segue che Y m.q. η. e per il Teorema 0.4 si ha Y P η cioè lo stimatore è cosistete. Pertato la media campioaria X (per variabili co mometi di ordie fiiti) è uo stimatore corretto e cosistete della media.