Lezioni di Topografia

Transcript

1 progetto didattica i rete getto Dipartimeto di Georisorse e Territorio Politecico di Torio, dicembre 000 didattica i ret Lezioi di Topografia Parte II - Il trattameto statistico delle misure A. Mazio otto editore

2 DISPENSE DI TOPOGRAFIA PARTE II IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLE MISURE A. MANZINO Otto Editore P.zza Vittorio Veeto 4 03 Torio

3 INDICE PARTE SECONDA IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLE MISURE 6. STATISTICA DI BASE PRIMI TEOREMI DELLE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ...3 a. Teorema della probabilità totale...3 b. Defiizioe di probabilità codizioata...4 c. Defiizioe di idipedeza stocastica VARIABILI CASUALI...4 Esempio di variabile casuale cotiua...5 Fuzioe desità di probabilità...6 Dalla variabile casuale alla variabile statistica...7 La costruzioe di istogrammi...8 La media...9 La variaza TEOREMA DI TCHEBYCHEFF... Teorema... Il teorema el caso di variabili statistiche LA VARIABILE CASUALE FUNZIONE DI UNA VARIABILE CASUALE... 3 Esempio... 5 Esempio TEOREMA DELLA MEDIA... 6 Corollario... 6 i

4 Corollario... 7 Esempio LEGGE DI PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA... 8 Osservazioi al teorema di propagazioe della variaza... 8 Esempio di applicazioe del teorema di propagazioe della variaza ALCUNE IMPORTANTI VARIABILI CASUALI... 9 Distribuzioe di Beroulli o biomiale... 9 Distribuzioe ormale o di Gauss... La distribuzioe χ (chi quadro)... Distribuzioe t di Studet... 4 La distribuzioe F di Fisher LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI...7 Esempio... 8 Esempio DISTRIBUZIONI MARGINALI DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE INDIPENDENZA STOCASTICA... 3 Leggi relative alle distribuzioi VARIABILI CASUALI FUNZIONI DI ALTRE VARIABILI CASUALI Trasformazioe di variabili Esempio di applicazioe della trasformazioe ad u caso lieare MOMENTI DI VARIABILI -DIMENSIONALI Teorema della media per variabili casuali -dimesioali Corollario Corollario Mometi di ordie (,,, k ) di ua variabile casuale - dimesioale La propagazioe della variaza el caso lieare ad -dimesioi Esercizio Esercizio LA LEGGE DI PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA NEL CASO DI FUNZIONI NON LINEARI... 4 Esercizio La propagazioe della variaza da dimesioi ad ua dimesioe. 45 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio INDICE DI CORRELAZIONE LINEARE ii

5 7.8 PROPRIETÀ DELLE VARIABILI NORMALI AD -DIMENSIONI SUCCESSIONI DI VARIABILI CASUALI CONVERGENZA «IN LEGGE» TEOREMA CENTRALE DELLA STATISTICA Teorema Prima osservazioe al teorema cetrale della statistica Secoda osservazioe al teorema cetrale della statistica LE STATISTICHE CAMPIONARIE E I CAMPIONI BERNOULLIANI Osservazioe Defiizioe di statistica campioaria LE STATISTICHE «CAMPIONARIE» COME «STIME» DELLE CORRISPONDENTI QUANTITÀ TEORICHE DELLE VARIABILI CASUALI 56 Stima corretta o o deviata Stima cosistete Stima efficiete Stima di massima verosimigliaza FUNZIONE DI VEROSIMIGLIANZA E PRINCIPIO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA LA MEDIA PONDERATA (O PESATA) APPLICAZIONI DEL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI AL TRATTAMENTO DELLE OSSERVAZIONI I MINIMI QUADRATI APPLICATI AD EQUAZIONI DI CONDIZIONE CON MODELLO LINEARE Esempio applicativo: aello di livellazioe MINIMI QUADRATI, FORMULE RISOLUTIVE NEL CASO DELL'UTILIZZO DI PARAMETRI AGGIUNTIVI Esempio applicativo MINIMI QUADRATI : EQUAZIONI DI CONDIZIONE E PARAMETRI AGGIUNTIVI PROPRIETÀ DELLE STIME ŷ ED xˆ, LORO DISPERSIONE Pure equazioi di codizioe Pure equazioi parametriche IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI IN CASI NON LINEARI ESERCIZIO Modello geometrico Modello stocastico e soluzioe ai miimi quadrati iii

6 PARTE II IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLE MISURE 6. STATISTICA DI BASE I questo capitolo ci doteremo di alcui strumeti statistici per il trattameto delle misure. Vediamo come si iserisce la statistica ella tecica di misura e, per iiziare, come possiamo defiire ua misura. Coosciamo tre tipi di operazioi di misura: Misure dirette: vegoo eseguite cotado il umero di uità campioe coteute i ua quatità precostituita. Cocettualmete fuzioa così ad esempio ua bilacia a piatti, così è quado si misura col metro u oggetto ecc Misure idirette: soo defiite da u legame fuzioale a misure dirette; ad esempio la misura idiretta della superficie del triagolo oti due lati e l'agolo compreso misurati direttamete. Il legame è ell'esempio S absiγ. Misure dirette codizioate: soo delle misure dirette, ma fra loro soo legate da u legame fuzioale itero. Ad esempio la misura diretta di tre agoli di u triagolo piao deve verificare la legge: α+ β+ γ π Nel capitolo 6 tratteremo prevaletemete le misure dirette, el capitolo 7 quelle idirette (teorema della propagazioe della variaza); ifie le misure dirette codizioate sarao maggiormete trattate al capitolo 8 (miimi quadrati). Questa parte prede molti sputi, che liberamete iterpreta, da «Ferado Sasò: Il trattameto statistico delle misure. - Clup 990.» Da questo testo soo tratte ioltre dimostrazioi ed esempi.

7 STATISTICA DI BASE L'operazioe di misura, diretta o meo, ha i comue il fatto, che sotto opportue ipotesi, può essere cosiderata u'estrazioe da ua variabile casuale: vediamo ifatti tre esempi che ci porterao a giustificare questo paragoe. a. Dato u corpo rigido di lughezza poco maggiore di 3 m ed u metro campioe suddiviso i mm, si desidera misurare il corpo co il metodo del riporto (o delle alzate). b. Il lacio di dadi o truccati. c. Si misurao le coordiate x, y del puto ove cade u proiettile su u bersaglio rettagolare sparato da uo stesso tiratore. Questi esperimeti hao i comue il fatto che, a priori, è impossibile predire i modo determiistico il risultato dell'esperimeto: se si ripete ifatti, si otterrao diversi risultati. Nell'esempio a. il fatto che ripetedo l'operazioe di misura si ottegao diversi risultati, porta a dire che i questa operazioe si commettoo degli «errori», egli altri casi il diverso risultato è dovuto alle variazioi o ote dell'ambiete estero e dell'oggetto di misura (e di come questi iteragiscoo), o ad ua sua scarsa coosceza globale e putuale del feomeo. Questi «errori» possoo classificarsi i: Errori grossolai: soo i più baali ache se spesso i più difficili a idividuare. Possoo essere ad esempio il macato coteggio di ua alzata, la trascrizioe errata di ua misura, la codifica errata di u puto, ecc. I rimedi per evitarli soo l'acquisizioe e il trattameto automatici, il cotrollo e la ripetizioe delle misure possibilmete idipedeti ed acora automatici. No soo questi gli «errori» a cui itediamo riferirci ell esempio a. Errori sistematici: soo dovuti ad esempio all'imperfetta taratura dello strumeto di misura o legati ad errori di modello (ad es. la misura idiretta di u agolo di u triagolo piao quado questo sia i realtà meglio «modellabile» sulla superficie ellissoidica), hao la caratteristica di coservare valore e sego: ell esempio a. la misura co più alzate tra due puti A e B, sarà sempre superiore alla reale, se i puti itermedi o soo esattamete sull'allieameto AB. Soo elimiabili co tarature, co opportue procedure operative, o rededoli di sego altero (cioè pseudo accidetali): si può usare el caso della bilacia o rettificata, ad esempio, il metodo della doppia pesata. Ache questi «errori» o soo quelli che giustificao i diversi risultati degli esperimeti a. b. e c. Fluttuazioi accidetali: soo a priori imprevedibili, soo di sego altero e dipedoo i seso lato dall'ambiete. La fluttuazioe accidetale della misura è u feomeo aleatorio (casuale, probabilistico). Soo questi gli «errori» commessi egli esperimeti descritti. La scieza che studia questi feomei è la statistica matematica, perciò e foriremo i cocetti di base utili al trattameto delle misure geo-

8 STATISTICA DI BASE detiche e topografiche. Ora cerchiamo di capire meglio i che ambito si cala la statistica el trattameto delle misure. Potremmo defiire la statistica la scieza che teta di descrivere co certezza l'icertezza. Nell'esempio del metro, otiamo che, se avessimo preteso di stimare la lughezza del corpo al mm, avremmo otteuto umeri apparetemete più variabili, metre, chiededo la misura al cm, il risultato sarebbe stato sempre uguale. Ne segue che, per la misura di ua gradezza, l'idetermiazioe si preseta solo co procedure di misura che spigoo l'approssimazioe ai cofii delle capacità di misura dell'apparato usato. Data per scotata questa idetermiazioe, dobbiamo tuttavia dire che ci aspettiamo u risultato poco disperso, o meglio ua gamma di possibili valori ed u ordie di priorità tra di essi. Questa priorità, espressa come umero reale compreso tra zero e uo si chiama probabilità. Ne diamo ora la più usata defiizioe detta assiomatica che cosiste el defiire la distribuzioe di probabilità i base alle proprietà (assiomatiche) che deve soddisfare: ua distribuzioe di probabilità P su u isieme S di valori argometali, è ua misura su ua famiglia di sottoisiemi di S (che iclude S stesso e l'isieme vuoto φ) che, oltre agli assiomi della misura: PA ( ) 0 P( φ ) 0 PA ( B) PA ( ) + PB ( ) soddisfa alla: PS ( ) Vediamo u esempio pratico: il lacio della moeta. S è costituito da valori argometali che possiamo redere umerici associado ad esempio x 0 a «testa» ed x a «croce». S è l'isieme dei valori argometali {0,} dei puti di coordiate x0, x sull'asse x. I sottoisiemi di S soo {φ}, {0}, {}, {0,}. Si ha P({φ}) 0; P({0}) /; P({}) /; P({0,}) PRIMI TEOREMI DELLE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ a. Teorema della probabilità totale Dati due eveti A e B, sottoisiemi disgiuti di S, la probabilità che si verifichi A o B, cioè PA ( B) è: PA ( B) PA ( ) + PB ( ) se A B Se A e B o soo disgiuti: φ 6.5 PA ( B) PA ( B) + PB ( ) PA ( ) + PB ( ) PAB ( ) 6.6 3

9 STATISTICA DI BASE b. Defiizioe di probabilità codizioata Si preseta quado si desidera esamiare la distribuzioe solo su di ua parte dei valori argometali, restrigedo S ad u sottoisieme. Isolado ua parte dei valori argometali si geera u'altra distribuzioe di probabilità. Ad esempio i ua popolazioe di 00 persoe caratterizzata dai possibili valori argometali: capelli chiari o scuri, occhi chiari o scuri (vedi tabella 6.), si desidera cooscere qual è la probabilità di estrarre ua persoa co occhi chiari fra quelle co i capelli chiari. Questa probabilità codizioata si idica P(A B) (probabilità di A codizioata a B) e vale: PA B ( ) PAB ( ) PB ( ) Nell'esempio P(B) 50/00, P(AB) 40/00, P(A B) Tab. 6. CAPELLI C S Occhi C 40 0 S 0 40 c. Defiizioe di idipedeza stocastica Diciamo A e B stocasticamete idipedeti se: PA B ( ) PA ( ) 6.8 Per la 6.7 si ha: cioè: PA B ( ) PAB ( ) PA ( ) PB ( ) PAB ( ) PA ( )PB ( ) 6.9 Duque due eveti A e B soo stocasticamete idipedeti se e solo se la probabilità composta P(AB) si scide el prodotto delle sigole probabilità. Questa affermazioe è il teorema della probabilità composta. 6. VARIABILI CASUALI Defiizioe: ua variabile casuale (vc) a ua dimesioe è ua distribuzioe di probabilità il cui isieme di valori argometali S sia rappresetabile i lr, tale che sia defiita la probabilità per qualuque isieme (ordiabile co x 0 ) del tipo: 4

10 STATISTICA DI BASE I( x 0 ) { x x 0 } S I questo modo sarà perciò caratterizzata dalla fuzioe di x 0 : F( x 0 ) P[ x I( x 0 )] F prede il ome di fuzioe di distribuzioe e gode delle proprietà: F( x 0 ) è defiita su x 0 lr 0 F( x) lim F( x) 0; lim F( x) x 0 x 0 F( x ) F( x ) x x Ua vc si dice discreta se l'isieme S è formato da u umero discreto di puti sui quali è cocetrata ua probabilità; se viceversa la probabilità che x assuma u sigolo valore è sempre uguale a zero allora la vc è cotiua. Nel primo caso avremo ua fuzioe di distribuzioe discotiua, el secodo cotiua. Ad esempio il lacio di ua moeta è rappresetato da ua vc discreta: i valori argometali soo x 0; x ; la variabile casuale x può rappresetarsi attraverso la tabella: x 0 x p p 6.5 Per x 0 F( x) 0; per 0 < x F( x) e per x > F( x) > e la sua fuzioe di distribuzioe è disegata i figura 6.. P 0,5 0 X Fig. 6. Esempio di variabile casuale cotiua Cosideriamo ua distribuzioe di probabilità defiita i S [ 0, ] lr P( a x b) b a cost Siamo el caso di distribuzioe uiforme, la sua fuzioe di distribuzioe F, riportata i figura 6., sarà: 6.6 5

11 STATISTICA DI BASE F( x) 0 x 0 F( x) x 0 x F( x) x > F 0 X Fig. 6. Fuzioe desità di probabilità Ua qualuque variabile casuale può caratterizzarsi attraverso la sua fuzioe di distribuzioe F. Se la vc è cotiua ci si chiede quale sarà la probabilità P che x sia compresa tra due valori [ x 0, x 0 + x]. Si avrà: P( x 0 x x 0 + x) F( x 0 + x) 6.7 Se x è piccolo ed F differeziabile: P( x 0 x x 0 + x) df( x 0 ) F' ( x 0 ) x f( x 0 ) x dove f(x) vie detta desità di probabilità ed è fuzioe di x, si ha: f( x 0 ) F' ( x 0 ) P( x 0 x x 0 + x) lim x x 0 che, per le caratteristiche di F, (mootoa e crescete) sarà: f( x 0 ) 0 x 6.8 La fuzioe di distribuzioe si ottiee allora come fuzioe itegrale della desità di probabilità: F( x) f() t dt x 6.9 co l'ipotesi di ormalizzazioe (o stadardizzazioe, vedi 6.4): f () t dt 6.0 6

12 STATISTICA DI BASE Si oti che: b a f( x) dx F( b) F( a ) P( a x b) Si abbia ad esempio la variabile casuale x defiita così: F 0 x 0 x 0 x x > (vedi figura 6.), la fuzioe desità di probabilità relativa è uiforme e vale: f( x) 0 x 0 x < 0; x > f (x) 0 X Fig. 6.3 Fuzioe di desità di probabilità costate e uiforme. Dalla variabile casuale alla variabile statistica Se, per mezzo della variabile casuale si vuole rappresetare l'isieme dei possibili risultati di u esperimeto o determiistico, si possoo orgaizzare i dati i ua tabella a doppia etrata i base ai risultati delle ripetizioi dell'esperimeto. Ad esempio: testa croce volte volte co + N Defiiamo variabile statistica (vs) ad ua dimesioe la tabella di due sequeze di umeri che specifica come u dato si distribuisce fra la popolazioe N: x x x F F F ovvero x x x f f f 6. 7

13 STATISTICA DI BASE x i soo i valori argometali, F i le frequeze assolute ed f i F i /N le frequeze relative. Si ha: F i N ; f i N 6. Cofrotado la 6. e la 6. si vede che la prima defiisce ua variabile casuale co distribuzioe di probabilità cocetrata sui valori x x, è sufficiete porre: P( x x i ) f i Co ciò, ogi defiizioe data e ogi proprietà mostrata per le variabili casuali deve valere ache per le variabili statistiche, poiché formalmete idetificabili co le variabili casuali attraverso la 6.3. La sostaziale differeza è di coteuto: sulla variabile casuale i umeri p i associati ai valori x i misurao u grado di possibilità che il risultato dell'esperimeto abbia valore p ij ; el caso della variabile statistica il umero f i registra a posteriori solamete il fatto che su N ripetizioi si soo otteuti F i risultati di valore x i. La probabilità, legata alla variabile casuale, è u ete aprioristico assiomatico, la frequeza, legata alla variabile statistica è u idice che misura a posteriori risultati empirici. Per mezzo di questa idetità formale, la fuzioe di distribuzioe F(x) delle variabili casuali, prede il ome, per le variabili statistiche, di fuzioe cumulativa di frequeza F(x) e rappreseta la percetuale di elemeti della popolazioe il cui valore argometale x i risulta miore o uguale a x. 6.3 N F( x) i f i x N i x i 6.4 La costruzioe di istogrammi Il cocetto di desità di probabilità o è applicabile ad ua variabile discreta perché la sua fuzioe di distribuzioe è i ogi puto discotiua o costate. Questo implica, per l'aalogia tra variabili casuali e variabili statistiche che o si può defiire u cocetto aalogo alla desità di probabilità per la variabile statistica. È tuttavia importate poter cofrotare la variabile statistica co particolari variabili casuali be coosciute attraverso la fuzioe desità di probabilità, ciò si fa attraverso la costruzioe di istogrammi. Il cofroto vie fatto tra probabilità (ella variabile casuale) e frequeza (della variabile statistica) i questo modo: si fissa u itervallo e si esamia la percetuale dei risultati che cadoo ello stesso itervallo: F( x 0 ) Nx ( 0, x) N 6.5 8

14 STATISTICA DI BASE dove il umeratore rappreseta il umero di elemeti che cadoo i detto itervallo. Il cofroto è valido per N grade (ad esempio N>00). Si abbiao ad esempio ua serie di valori ell'itervallo I (b a). Si riporta sull'asse x l'itervallo (a,b) e si divide i parti (co < m valori dati), o ecessariamete uguali ( I, I,, I ). Per ogi itervallo si cotao il umero di risultati che cadoo i I i N(I i ) e si sommao le frequeze relative a detto itervallo f K f i. Si disega sopra I i u rettagolo di altezza f K I i. Abbiamo costruito così ua tabella: x x x f f f 6.6 dove x i soo le ascisse dei valori medi degli itervalli I i. Si può verificare ifie che: f i f K K I i --- I i i 6.7 La media La descrizioe completa di ua variabile casuale deriva dalla coosceza della sua fuzioe di distribuzioe o della desità di probabilità od altro di equivalete. Per molti usi pratici la vc è be localizzata, cioè distribuita i ua ristretta zoa di valori ammissibili. Ad esempio, ella misura co distaziometri elettroici di distaze, ua distaza di km può avere ripetizioi che al più differiscoo di -3 mm; per tutte queste variabili le iformazioi più importati da cooscere soo dove è localizzata la distribuzioe e quato è dispersa. Allo scopo, soo utili due idici: media e variaza. Defiizioe: si chiama media della vc x, quado esista, il umero: M[ x] µ x f( x)dx Si oti l'aalogia col mometo statico di f(x). Nel caso di ua vc discreta: M[ x] x i p i e, per aalogia per ua variabile statistica, la media, che si idica co m vale: m x M[ x] x i N x i f i i N

15 STATISTICA DI BASE Dove co M [ ] si itede l'operazioe matematica (l'operatore) che, da ua distribuzioe, sia essa a priori vc o a posteriori vs, calcola u umero che è la media della distribuzioe. La 6.30 evidezia i N i il umero di volte che il valore argometale x i è stato estratto, presuppoedo la costruzioe di ua tabella ordiata allo scopo, se ivece co x j idichiamo il sigolo valore estratto si ha: m x --- x N i j,, N Si può dimostrare che la media è u operatore lieare cioè gode delle proprietà: M[ x+ y] M[ x] + M[ y] M[ kx] k M[ x] 6.33 La variaza È u idice che misura il grado di dispersioe di ua vc x attoro alla media. Per defiizioe, se esiste vale σ [ x] M[ ( x µ x ) ] Si defiisce la variabile scarto ν ν ( x µ x ) La variaza si ottiee cioè applicado l'operatore media al quadrato della variabile scarto, i altri termii è il mometo del secodo ordie della variabile scarto e si idica co σ [ x], σ x o solo σ. Per la variabile statistica, per aalogia, la variaza si idica co S ( x), S x o solo S. La radice quadrata della variaza si chiama scarto quadratico medio e si idica co sqm o co σ, tale valore è più usato della variaza, i quato dimesioalmete omogeeo a x. Si ha duque: σ x ( X µ x ) f( X )dx e, per ua vc discreta: σ x ( X i µ x ) p i i Co la solita aalogia tra variabile casuale e variabile statistica, per quest'ultima si ha: S ( X i M x ) N i ( X N N j M x ) i j ν j j N

16 STATISTICA DI BASE Le ultime due espressioi valgoo per ua vc o ordiata: per questo si è sostituito l'idice j all'idice i. Dalla defiizioe di variaza, teedo coto della liearità dell'operatore media e sviluppado si ha: σ x M[ X µx + µ ] M[ X ] µm[ X ] + µ M[ X ] µ che permette di calcolare σ seza passare dalla variabile scarto. Per ua vs o ordiata la 6.39 si trasforma: S ( X ) --- X 6.40 N j m j Nella 6.39 rappreseta il mometo del ordie della vc che è dato dalla somma della variaza e del quadrato del valor medio TEOREMA DI TCHEBYCHEFF Nell'aalogia meccaica i cui la probabilità viee cosiderata come ua distribuzioe di massa cocetrata o distribuita sull'asse x, la media esprime (a parte ua costate di stadardizzazioe), la posizioe del baricetro (il mometo statico) e la variaza ha il seso di mometo di ierzia rispetto al baricetro. Più le masse soo disperse e più è alto il mometo di ierzia, cioè la variaza. Questa ozioe qualitativa è espressa i termii probabilistici quatitativi dal teorema di Tchebycheff che vale per qualsiasi tipo di distribuzioe. Teorema Preso λ >, e variabile casuale x, vale la disuguagliaza: P( x µ x λσ x ) λ Il teorema ci dice qual è la dimesioe dell'itervallo λσ attoro alla media etro cui, per qualuque distribuzioe di x, siamo sicuri di racchiudere ua probabilità miima di ( /λ ). Dimostrazioe Partiamo dalla defiizioe di σ x, cioè: σ x σ ( X µ x ) f( x)dx restrigedo l'itervallo di itegrazioe sarà sempre vero che: σ ( x µ ) f( x)dx x µ λσ 6.4

17 STATISTICA DI BASE Il primo termie all'itero dell'itegrale varrà, per lo meo ell'itervallo di itegrazioe: ( x µ ) ( λσ) duque l'espressioe 6.4 varrà a maggior ragioe sostituedo a costate ( λσ) : σ λ σ ( x µ ) la e, dividedo per σ : ---- f( x)dx λ x µ λσ cioè: c.v.d P( x λ µ x λσ) Il teorema el caso di variabili statistiche Cosideriamo la variabile: e facciamo l ipotesi che sia stata ordiata el seso crescete per defiizioe: x x f f x < x < x s ( x i m) f i Ache gli scarti ν i sarao allora cresceti. Possiamo dividere i tre parti la sommatoria di cui sopra: v < λs v λs λ s < v < λs s ν i f i + ν j f j + ν k f k i j k s sarà sempre maggiore od uguale alle prime due sommatorie, cioè: s ν f i, j i, j ij, v λs s ν i j ij, v λs A maggior ragioe, essedo ella sommatoria:, f i, j

18 STATISTICA DI BASE dividedo etrambi i membri per s : λ f ij, dividedo acora per λ e cosiderado che f k f ij, : ---- f λ k cioè: c.v.d. ν s λs, cioè λs < ν ij, v λs f k ---- λ λ s f i, j 6.4 LA VARIABILE CASUALE FUNZIONE DI UNA VARIABILE CASUALE Seguiamo quest'esempio: sia x la vc che rappreseta il lacio di u dado o truccato, si ha, chiamado (p,d) i possibili eveti (pari o dispari): L'isieme S è costituito dall'uioe di: co P( x p ) { xp} { xd} { xp} { xd} --; P( x d) S φ prediamo ora ua vc y che rappreseta il lacio di ua moeta o truccata e leghiamola alla vc x co questa corrispodeza: -- Y g ( X ) x p x d y testa y croce essedo i possibili valori x i 6 ed associamo per y i valori umerici 0 e a testa e croce. Co ciò 0 y i. Si ha: g( ) g( 4) g( 6) testa 0 g( ) g( 3) g( 5) croce Le due vc si esprimoo allora: 3

19 STATISTICA DI BASE X Y Questo esempio è stato fatto su variabili casuali discrete ma può geeralizzarsi al caso di variabili cotiue i cui ua fuzioe y g(x) sia defiita su tutto l'isieme S X dei valori argometali della x. La g(x) trasforma lo spazio S X ello spazio dei valori argometali S Y. Cerchiamo ora ivece ua corrispodeza più itera, più putuale: poiamo che la fuzioe g(x) sia ua fuzioe cotiua: quella tracciata ad esempio i figura 6.4. y d yg(x) a dy y 0 x x x 3 dx dx dx 3 b x c Fig. 6.4 Variabile casuale fuzioe di variabile casuale. dove il domiio dei valori argometali è: S X (a,b) S Y (c,d). Sia A Y u sottoisieme di S Y ; a questo sottoisieme corrispoderà u isieme: A X S X g( A X ) A Y cioè, per defiizioe: P( y A Y ) P( x A X ) 6.43 Ed ora cerchiamo l'auciata corrispodeza putuale: scegliamo per A Y u itervallo dy(y 0 ) attoro a y 0 e, ell'ipotesi che g(x) sia cotiua e differeziabile, si avrà che A X sarà formata da uo o più itervalli attoro a x i ach'essi di ampiezza dx i, per cui si avrà la corrispodeza i termii probabilistici di: A Y dy( y 0 ) A X dx i ( x i ) (co il simbolo Σ si itede qui l'operatore uioe isiemistica ). Si ha allora che: P( y dy( y 0 )) P( x dx i ( x i )) m

20 STATISTICA DI BASE cioè i quato per u itervallo ifiitesimo il secodo membro è uguale a f X ( x) dx, dove f X ( x) dx è la desità di probabilità della vc x. Dividedo etrambi i membri della 6.45 per dy si ottiee: e, per defiizioe del primo membro: che è la formula di trasformazioe di variabili casuali fra loro legate da ua fuzioe g. Esempio Il legame fra due vc x ed y sia: si ha: f( y )dy f ( x ) dx P( y dy( y 0 )) dy f y ( y 0 ) y ax+ b i f x ( x i ) g' ( x i ) ( x) g' ( x) a ; f y ( y) a P( x dx i ( x i )) f X ( x i ) dy dy dx f x quel che serve tuttavia è avere ua fuzioe esplicita di f y i fuzioe di y cioè f y (y): f y f y b x a ( y) a Se ell'esempio scegliamo per f x la fuzioe defiita ormale stadardizzata o Gaussiaa: si avrà: f x ( x) e π x a f y ( y) e π a y b a 6.47b Si può dimostrare che la media della vc y è b ed il suo sqm è ±a. Attraverso la trasformazioe lieare precedete si passa cioè dalla variabile o stadardizzata alla variabile stadardizzata di Gauss. 5

21 STATISTICA DI BASE Esempio Il legame sia y x cioè valori di x: x ± y. Ad u uico valore di y corrispodoo due x y ; x y g' ( x ) x y ; g' ( x ) x y ; f y ( y ) Se, come sopra, f x ( y ) f x ( y ) y y f x ( y ) è la 6.47a si avrà: f x ( y ) + f x ( y ) y f y ( y ) -- ( y ) -- ( y ) e e e ( per y 0) π y π y π y Il quadrato di ua variabile gaussiaa 6.47 ha duque fuzioe di distribuzioe di equazioe 6.48 che vedremo essere la variabile χ ad ua dimesioe cioè χ. y TEOREMA DELLA MEDIA Siao x ed y due variabili casuali legate dalla relazioe y g(x); allora la media di y, se esiste vale: µ y M y [ y] M x [ g( x) ] 6.49 È cioè possibile fare il cambiameto di variabili ell'operatore media M [ ]. Dimostrazioe Poiamoci, solo per semplicità, el caso che g(x) sia mootoa e crescete (g'(x)>0). Ricordado la defiizioe di media e la 6.46: M y [ y ] y f y ( y)dy y f x( x) g' ( x) dy g( x) f x( x) g' ( x) g' ( x )dx M y [ y ] g( x)f ( x x )dx M x [ g( x) ] c.v.d. Seguoo due importatissimi corollari del teorema. Corollario La media è u operatore lieare, vale a dire se x ed y soo due vc ed y ax+ b M y [ y] am x [ x] + b 6.50 Ifatti: 6

22 STATISTICA DI BASE M y [ y] M x [ ax + b] ( ax + b )f ( x)dx a xf x x ( x)dx+ b xf x ( x)dx M y [ y] am x [ x] + b Corollario Sia y g(x); sotto opportue ipotesi della g rispetto alle distribuzioi di x ed y e co ua certa approssimazioe vale: µ y M y [ y] g ( µ x ) 6.5 y g( ) µ x yg(x) a µ x b x Fig. 6.5 Dimostrazioe del corollario del Teorema della media. Dimostrazioe del corollario Sia x ua vc abbastaza cocetrata attoro a µ x (che abbia cioè piccolo σ x ), suppoiamo poi che g(x) abbia adameto molto regolare attoro a µ x, per lo meo i u itoro [a,b]. Sviluppado g(x) si ha, al primo ordie: g( x) g ( µ x ) + g' ( µ x )( x µ x ) µ y M y [ y ] g( x)f x ( x)dx [ g ( µ x ) + g' ( µ x )( x µ x )]f x ( x)dx Il secodo termie del secodo membro è ullo i quato rappreseta la media della variabile scarto, risulta duque provata la 6.5. L'equazioe 6.5 si trasforma ella 6.50 el caso lieare, el quale è rigorosa. g ( µ x ) f x ( x)dx + g' ( µ x ) ( x µ x )f x ( x)dx 7

23 STATISTICA DI BASE Esempio Di u aello si è più volte misurato direttamete il diametro, otteedo il valore medio di x ; si desidera cooscere la superficie itera media i modo idiretto. Applicado la 6.5 si ha: y πx LEGGE DI PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA Sotto le ipotesi del secodo corollario del teorema della media se la vc y è ua fuzioe della vc x: y g( x) σ g' ( µ x ) σ x 6.5 Dimostrazioe Poiamoci el solito itervallo [a,b] che comprede quasi tutto l'isieme S X, el quale valgoo la 6.50 e la 6.5. Per fuzioi mootoe si ha ( x)d x f y ( y)d y, duque: f x σ y b a ( g( x) µ x ) f x ( x)dx e, sviluppado g(x): σ y b [ g (/ µ x ) + g' ( µ x )( x µ x ) / µ y ] f x ( x)dx a σ y cioè a dire la 6.5. b a g' ( µ x ) ( x µ x ) f x ( x)dx g' ( µ x ) ( x µ x ) f x ( x)dx Osservazioi al teorema di propagazioe della variaza La 6.5 è ua formula rigorosa el caso che g(x) sia ua fuzioe lieare; i tal caso ifatti: y ax+ b µ y a µ x + b σ y M y [( y µ y ) ] M[ ( ax + b aµ x b) ] a M[ ( x µ x ) ] σ y a σ x c.v.d. b a 8

24 STATISTICA DI BASE Data ua variabile casuale x qualuque è sempre possibile co ua trasformazioe lieare costruire da questa ua variabile casuale z tale che: detta variabile casuale stadardizzata. Grazie al teorema della media e della propagazioe della variaza basta ifatti porre: e si avrà; µ z 0 ; σ z z x µ x σ x M[ z] M[ x µ x ] 0 σ x σ [ z] σ x σ x Esempio di applicazioe del teorema di propagazioe della variaza Nel calcolo della superficie itera di u aello si è misurato il diametro medio x 5 cm e stimato σ x ± 0.0cm si desidera calcolare la superficie media e la relativa variaza: y π x cm 4 Quate cifre hao seso i questo calcolo? σ y x -- π σ x π 4 x ; σ y σ x σ y ± cm Ha seso defiire duque y 9.63 cm ± cm y al massimo a due cifre dopo la virgola:. 6.7 ALCUNE IMPORTANTI VARIABILI CASUALI Distribuzioe di Beroulli o biomiale Cosideriamo u esperimeto stocastico ε e siao S i suoi possibili risultati. Suppoiamo che S sia costituita da due isiemi disgiuti A e B di eveti icompatibili 0 ed aveti rispettivamete probabilità p e q( p): 0 PA ( ) p ; PB ( ) q ; ε: q p

25 STATISTICA DI BASE co: M ε x i p i p ; σ ε ( p) p + ( 0 p) q pq Da questa vc discreta e costruiamo ua secoda: cosideriamo ripetizioi idipedeti di ε ed idichiamo co β la vc discreta (itera) che descrive la probabilità che, su esperimeti ε, k abbiao u risultato i A e ( k) u risultato i B. Per costruire la secoda riga della vc k: β: β 03 abbiamo ora bisogo di cooscere il teorema delle probabilità totali che dice i questo caso: la probabilità di k successi su prove è uguale alla somma delle probabilità di (k ) successi su ( ) prove per la probabilità p di u uovo successo, più la probabilità di k successi i ( ) prove per la probabilità q di u isuccesso. È possibile cioè ricavare la formula ricorsiva: P( k) p P(, k ) + q P(, k) Partiamo da ua prova dell'esperimeto: la probabilità di successo sarà p e di isuccesso q: P (, ) p ; P0 (, ) q Si ha ad esempio, applicado la 6.56: P0 (, ) p 0 + q q q ed i geere P(,0) q. Viceversa: P (, ) p P0 (, ) + q P (, ) P (, ) pq + pq pq P (, ) p P0 (, ) + q P0 (, ) P (, ) p P (, ) + q P (, ) p i geere P(,) p e, per valori qualuque di (,k) si dimostra che vale: P( k, ) p k q k k Duque la vc discreta β è così defiita: 6.58 k β: 0 q p q p

26 STATISTICA DI BASE Per ricavare media e variaza della 6.59 possiamo co maggior facilità applicare il teorema della media e quello della propagazioe della variaza. Essedo β la vc somma delle variabili ε: β ε + ε + + ε ed avedo ciascua variabile ε media uguale a p e variaza uguale a pq: M[ β] p 6.60 σ [ β] pq 6.6 La distribuzioe biomiale ha la forma di figura 6.6 (è discreta e duque costituita da u isieme distito di puti). P i Fig. 6.6 Distribuzioe biomiale o di Beroulli. Distribuzioe ormale o di Gauss La fuzioe desità di probabilità è data dalla: f x x µ σ ( x) e x σ π dove si può verificare che µ e σ soo media e variaza della variabile casuale già vista ella La figura 6.7 mostra due distribuzioi ormali co stessa media, µ ma co σ ±0.8 e σ ± rispettivamete. La stadardizzazioe della 6.6 coduce alla variabile z co distribuzioe: 6.6 f z ( z) e π z Se cerchiamo la fuzioe di distribuzioe della 6.63 si ha: 6.63

27 STATISTICA DI BASE σ σ µ Fig. 6.7 Distribuzioe ormale o di Gauss φ ( z) ( def)erf( z) z e π z dz 6.64 Attraverso la Φ(z) possiamo ricavare la probabilità che z od x appartegao a vari itervalli attoro a σ: i valori più comui soo: P( x µ x ) < σ erf( ) erf( ) P( x µ x ) < σ erf( ) erf( ) P( x ) < 3σ erf( 3) erf( 3) µ x 6.65 La distribuzioe χ (chi quadro) Si può dimostrare che se z, z,, z soo variabili casuali idipedeti, aveti ua distribuzioe ormale e stadardizzata la somma χ dei loro quadrati è pure ua variabile casuale: χ z + z + + z 6.66 la cui desità di probabilità (chiamado per o geerare cofusioi data da: f( h) h ( ) e Γ [ ] χ h ) è 6.67

28 STATISTICA DI BASE Come si vede χ dipede ache dal parametro itero, detto grado di libertà. Nella 6.67 il termie etro la quadra è ua costate che fa si che la relativa fuzioe di distribuzioe valga lim F( h). h Nelle 6.67, i paretesi, compare la fuzioe Γ di Eulero, geeralizzazioe della fuzioe fattoriale; per umeri reali si calcola attraverso: 0 Γ() s x s e x dx 6.68 Per valori di s semi-iteri si usa la più comoda formula ricorsiva Γ( ) ; Γ 3 -- π Γ( p + ) p Γ( p) 6.70 Si dimostra che: µ ( χ ) σ ( χ ) Nella pratica occorre trovare la probabilità totale dei valori argometali che superio χ 0 (figura 6.8). f (x) v x Fig. 6.8 Fuzioe desità di probabilità χ. χ 0 P χ χ ( > 0 ) f h ( ) dh 6.7 3

29 STATISTICA DI BASE Questi valori soo i geere tabulati i fuzioe di χ 0 e di. Tale variabile si idica spesso ache co χ per evideziare il umero di gradi di libertà. Distribuzioe t di Studet Sia z ua ormale stadardizzata e z i altre variabili ormali stadardizzate i e sia: y z + z + + z χ 6.7 ua secoda variabile casuale così costruita ed idipedete da z. Si defiisce la variabile t come: z t t χ z z + z + + z 6.73 Si dimostra che la fuzioe desità di probabilità f(t) vale: t f () t Γ π Γ( ) 6.74 La 6.74 è simmetrica rispetto all'origie, duque: Si prova che: µ () t 0 σ () t per > Per gradi valori di, t è molto simile alla variabile z. Per u certo valore del grado di libertà i valori della fuzioe di distribuzioe di questa variabile casuale si trovao tabulati i fuzioe delle probabilità α, t α ; ad esempio per α 5% si trova tabulato: P( t< ) α 6.77 t α

30 STATISTICA DI BASE Distribuzioe ormale stadard (G. di lib. ) Distribuzioe di "Studet" (N4 G. di lib.3) Fig. 6.9 Distribuzioe t di Studet. La distribuzioe F di Fisher Siao date due vc χ ad ed m gradi di libertà ed idipedeti tra loro; allora il rapporto F χ F m, χ m --- m è ua vc detta F di Fisher ad (,m) gradi di libertà. Si può dimostrare che: 6.78 e che: f ( F ) F ( ) m m Γ m per F 0 ( F + m) ( + m) Γ( ) Γ( m ) M[ F ] ( > ) σ ( F ) ( m+ ) m ( ) ( 4) 6.8 5

31 STATISTICA DI BASE,0 GL ; 5 GL 0,5 0 GL ; 0 GL F Fig. 6.0 Variabile F di Fisher. Ache qui le tabelle riportao P( F F 0 ) per (,m) gradi di libertà. Geeralmete è impiegata la variabile F detta di Fisher modificata che risulta essere sempre maggiore di essedo così defiita: F F co F F co F < 6.8 6

32 7. LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI Partiamo col defiire ua variabile casuale discreta a dimesioi cioè quella variabile per cui ogi valore argometale può essere idicato come u vettore x lr, cioè u puto ello spazio lr : x x x... x 7. L'isieme dei valori argometali S sarà duque u isieme S lr i cui è defiita la ostra distribuzioe di probabilità. La vc si dice discreta se la distribuzioe di probabilità è cocetrata solo su k puti x i, i,,k co la codizioe: k P ( x x ) i i I caso opposto la vc si dice cotiua. Aalogamete alla vc discreta ad ua dimesioe si potrà rappresetare ua vc discreta ad dimesioi co ua tabella -dimesioale. Nel caso di vc doppia ad esempio si può costruire la tabella: 7. x x x x k x p p p k i i P ij P( x x, x x ) x p p p k x h p h p h p h k 7

33 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI La vc discreta è sempre assimilabile alla variabile statistica, sostituedo alle p ij le frequeze relative f ij : f ij N ij N Ua distribuzioe di probabilità viee chiamata variabile casuale quado è defiita la probabilità per ogi isieme del tipo: { x x 0 ; x < x 0 } P( x x 0 ; x < x 0 ) F( x 0 ; x 0 ; x 0 ) F( x 0 ) Ache i questo caso possiamo defiire la fuzioe desità di probabilità della variabile casuale x se esiste, attraverso il limite: f( x ) lim PA ( ) ρ 0 ω( A) dove ω(a) è la misura dell'isieme A e ρ è il suo «diametro» che tede a zero i attoro al puto x. La 7.3 può essere riscritta co: f( x ) dp( x) dv( x) attoro a x. Dalla defiizioe prece- dove dv(x) è u elemeto di volume i lr dete si ha: 7.3 lr 7.4 P( x A) f( x ) dv( x ) A e la fuzioe di distribuzioe F( x 0, x 0,, x 0 ) dx f( x )dx derivado la 7.6 si ricava: f( x ) F( x) x x 7.7 Esempio I u ura soo coteute due pallie biache (b, B) e due ere (, N). La variabile casuale discreta che descrive l'estrazioe i blocco delle due pallie e la relativa probabilità soo : Si ricorda che gli esempi soo tratti dal già citato testo di F. Sasò. 8

34 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI b B N A ESTRAZIONE b / bb b bn 0 / / / A B Bb / B BN / 0 / / estrazioe N b B / N / / 0 / / Nb NB NB / / / / 0 Nell'ipotesi di due estrazioi successive co sostituzioe (reitegrazioe) ivece la vc sarà: b B N A ESTRAZIONE b bb bb b bn /6 /6 /6 /6 A B Bb BB B BN /6 /6 /6 /6 estrazioe N b B N /6 /6 /6 /6 / Nb NB NB NN /6 /6 /6 /6 Esempio Osservado u gra umero di tiri al bersaglio possiamo dire quato segue: a. i ogi zoa del bersaglio i colpi tedoo a distribuirsi uiformemete a parità di distaza dal cetro b. cotado i puteggi si è visto che, idicado co r la distaza dal cetro P[ r dr( r 0 )] r e σ r σ dr 7.8 η dω dϑ dr 0 ro ξ dc Fig. 7. Distribuzioe bidimesioale. La costate σ è u parametro di bravura del tiratore. Si vuole trovare la distribuzioe bidimesioale dei tiri (figura 7.). Notiamo che la 7.8 forisce la probabilità che P[ξ,η] dc co dc elemeto di coroa circolare attoro ad r 0. 9

35 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI Siccome i dc la probabilità è uiformemete distribuita, allora: P[ ( ξ,η) dω] P[ x dc] dω P[ x dc] dϑ dc π Per la defiizioe di desità di probabilità: f ( ξ,η) P[ ( ξ,η) dω] P[ ( ξ,η) dω] dω r dr dϑ e σ r σ r dr dϑ π f ( ξ,η) r σ e e πσ πσ ξ + η σ La 7.9 rappreseta l'equazioe della distribuzioe ormale a due dimesioi DISTRIBUZIONI MARGINALI Lo scopo dell'itroduzioe delle distribuzioi margiali e delle distribuzioi codizioate è, ai ostri fii, capire se e quado due variabili casuali soo fra loro idipedeti. Cosideriamo l'eveto A: A { x dx ( x 0 ); < x < ; < x < } È facile ituire che la classe di questi eveti dipede solo dalla variabile casuale x e, el cercare la probabilità dell'eveto A i, domadiamo qual è la probabilità che x stia i dx qualuque valore assuto per x x. Da ua distribuzioe -dimesioale si geera cioè ua distribuzioe moo-dimesioale ed ua corrispodete vc x tale che: P[ x dx ] P x A [ ] dx dx dx 3 dx f( x 0,x, x ) Questa vc è detta margiale della x ed ha desità di probabilità: f x ( x 0 ) ricordado la defiizioe di desità di probabilità 6.3 come derivata dalla fuzioe F si ha: f x ( x 0 ) P[ x A] dx dx dx 3 dx f( x 0,x, x ) F( x x 0, +, +,, + ) Ua vc -dimesioale avrà margiali moo-dimesioali

36 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI Oltre alle distribuzioi margiali ad ua compoete si possoo ache itrodurre distribuzioi margiali di isiemi di compoeti: (x, x ), (x, x 3 ) ecc. Ad esempio: f x x ( x, x ) dx 3 dx f ( x 0,x 0, x ) che, itegrata, forisce la probabilità che u certo gruppo di compoeti (x,x ) appartegao ad u certo elemeto di volume dv per qualuque valore assuto dalle altre compoeti. 7. DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE Ci si chiede qual è la probabilità che m variabili, ad esempio (x x m ) stiao i u elemeto di volume dv m, metre le altre (x m+ x ) soo certamete vicolate ad u elemeto di volume dv m-. I due eveti A e B soo: A{ ( x x m ) dv m }; B{ ( x m + x ) dv m } Si desidera calcolare PAB [ ] che vale secodo la 6.7: PAB [ ] PAB [ ] PB [ ] f x ( x )dv m dv m R m dv m f x ( x x m, x m + x )dv m PAB [ ] f x ( x x m, x m + x )dx dx m dx dx m f x ( x x m, x m + x ) Tale distribuzioe di probabilità geera ua desità di probabilità per le variabili (x x m ) per qualuque valore delle rimaeti variabili (x m+ x ) che vale: f x x m x m + x ( x x m x m + x ) f x ( x x m, x m + x ) dx dx m f x ( x x m, x m + x ) f x x m x m + x ( x x m x m + x ) f x ( x x m, x m + x ) ( ) f xm + x x m + x 7. 3

37 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI 7.3 INDIPENDENZA STOCASTICA Leggi relative alle distribuzioi Ricordado le 6.8 due eveti si defiiscoo stocasticamete idipedeti se: PAB [ ] PA [ ] 6.8 Se ci limitiamo ad esamiare u elemeto di volume dv m : PA [ ] P[ ( x x m ) dv m ] f x x m ( x x m )dv m si ha allora che, el caso di eveti idipedeti, la 7. deve essere uguale ache a ( x x m ), cioè a dire: f x x m f ( x x m x m + x ) f x ( x) f x x m ( x x m ) f xm ( ) + x x m + x Se ciò è verificato le variabili casuali ( x x m ) soo stocasticamete idipedeti dalle rimaeti ( x m + x ). Se, al cotrario, la desità di probabilità totale f x ( x ) può essere fattorizzata el prodotto: 7. f x ( x ) φ ( x x m )ψ ( x m + x ) 7.3 le prime variabili soo idipedeti dalle secode. Si ota che i termii al secodo membro soo proporzioali alle margiali. Si arriva così al teorema: Codizioe ecessaria e sufficiete affiché ( x x m ) siao stocasticamete idipedeti da ( x m + x ) e viceversa, è che la desità di probabilità cogiuta si spacchi el prodotto delle due margiali: f x ( x ) f x x m ( x x m )f xm ( ) + x x m + x Ne segue u facile corollario: Codizioe ecessaria e sufficiete affiché le compoeti di ua vc -dimesioale siao tutte tra loro idipedeti è che la desità di probabilità cogiuta si spacchi el prodotto delle -margiali: 7.4 f x ( x ) f x ( x )f x ( x ) f x ( x ) 7.5 Si oti, a proposito, che la 7.9 che rappreseta la variabile di Gauss a due dimesioi può rappresetarsi ach essa dal prodotto: f ( ξ η) f( ξ) f ( η) e π σ -- ξ σ e π σ -- η σ 3

38 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI 7.4 VARIABILI CASUALI FUNZIONI DI ALTRE VARIABILI CASUALI Trasformazioe di variabili Suppoiamo che sia data ua fuzioe g che trasformi variabili da lr a lr : y g( x ) 7.6 ( g è u vettore di fuzioi). Si può dimostrare che, a partire da ua distribuzioe di probabilità i lr possiamo costruire ua i lr così fatta: Sia dv m (Y 0 ) u'elemeto di volume di lr i u itoro di Y 0, e sia A(Y 0 ) l'immagie iversa di dv m (Y 0 ), vale a dire l'isieme di: x lr g( x ) dv m ( Y 0 ) Si poe: P[ Y dv m ( Y 0 )] P( x A( Y 0 )) 7.7 ammesso che il secodo termie sia misurabile. Duque da ua variabile casuale x (a destra dell'uguale) possiamo costruire ua secoda (a siistra dell'uguale). Ci si chiede: cooscedo la distribuzioe di x come sarà distribuita la variabile y? I casi da predere i cosiderazioe soo tre: m< ; m ; m>. Escludiamo subito il caso m >, ifatti, se g(x) è differeziabile l'isieme dei valori argometali Y g( x ) x lr è u isieme i lr, ma avrebbe misura ulla: o ci iteressa per il trattameto delle misure aalizzare distribuzioi sigolari. Nel caso i cui m, se lo jacobiao J della fuzioe o è ullo, si ha ua cosiddetta trasformazioe regolare: J( g) g g x x g det. 0 x x g g x x lr ciò ci permette di dire che esiste ache la relazioe iversa che porta da y a x. Sia allora dv ( y) u elemeto di volume attoro ad y e dv ( x) l'elemeto di volume corrispodete attoro ad x. Il primo itoro lo otteiamo applicado ad x la trasformazioe g, cioè è l'itoro: 33

39 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI dv ( y) g( dv ( x )) 7.8 Per la defiizioe della probabilità ad -dimesioi si ha poi l'equazioe: P[ Y dv ( y )] P[ X dv ( x )] 7.9 e, per la defiizioe di desità di probabilità: cioè: f y ( y )dv ( y ) f x ( x )dv ( x ) f y ( y ) f x ( x ) dv ( y ) dv ( x ) 7.0 Ma la derivata al deomiatore è qualcosa di già oto, ifatti è lo Jacobiao di g, Jg ( ): det. g g x x e allora la 7.0 si trasforma i: dv ( y ) dv ( x ) 7. f y ( y ) f x ( x ) g x 7.a dove: x g ( y ) 7.b Esempio di applicazioe della trasformazioe ad u caso lieare Sia data ua trasformazioe lieare e regolare da lr a lr m y A x + b 7.3 co: A det.a g x Qui di seguito idicheremo di tato i tato co doppia sottolieatura le matrici e co sigola i vettori. Questa otazioe è usata per redere più chiaro il discorso all'iizio di u problema ed è tralasciata se il seso della formula è uivoco, od i geere, per brevità, all'itero di ua dimostrazioe già avviata. 34

40 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI Si ha: x A ( y b ) 7.4 f y ( y ) f x ( A ( y b )) A ( x ), ad esempio, il prodotto di ormali sta- Sia la fuzioe di distribuzioe dardizzate, tali che: f x ( x ) che può essere ache scritta come: f x e x e x π π e ( π ) x 7.6a f x ( x ) e ( π ) ( x T x) Dalla 7.4 ricaviamo: x T [ A ( y b )] T ( y b ) T ( A ) T 7.6b Si ottiee ifie dalla 7.5: f y ( y ) e ( π ) A Esamiiamo l'espoete della 7.7. Defiita A ua matrice reale, simmetrica e positiva, si dimostra che è sempre possibile scomporla el prodotto: A A T A AA T di modo che la 7.7 diviee: -- ( y b ) T ( A ) T A ( y b ) f y ( y ) ( π ) A e -- ( y b ) T ( A ) ( y b ) 7.9 La 7.9 rappreseta la forma ella quale è possibile scrivere la fuzioe desità di probabilità di ua qualsiasi variabile ormale -dimesioale o stadardizzata e rappreseta ache, co la 7.3 e la 7.8 la via da seguire per la stadardizzazioe. Questi cocetti sarao ripresi ed estesi i seguito. Esamiiamo ifie il caso di ua trasformazioe da lr a lr m co m <, cioè: y y m g ( x x ) g m ( x x ) 7.30 Ad u elemeto di volume dv m ( y ) x A X ( dv m ) che o ha misura fiita: può corrispodere u isieme di 35

41 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI dv m ( y ) ga [ X ( dv m )] Poedo: P[ Y dv m ( Y 0 )] P[ x A X 0 ] si ha: f Y ( y ) A X ( dv m ) dv m ( y ) f ( x )dv x ( x ) 7.3 Oltre alla 7.3, se o itervegoo ulteriori ipotesi, o si può i questo caso dire altro. 7.5 MOMENTI DI VARIABILI -DIMENSIONALI Ache per le variabili casuali -dimesioali possoo geeralizzarsi i cocetti visti ad ua dimesioe. Se esiste la media della variabile casuale -dimesioale x questa è per defiizioe u vettore -dimesioale µ x dato da: R µ x M[ x] dv ( x)f x ( x ) x dove il simbolo sta per prodotto scalare. La compoete i-esima di µ x vale: R µ xi M[ x i ] dv ( x)x i f x ( x) dalla 7.3 si ota che per calcolare di x i, ifatti: µ xi basta cooscere la distribuzioe margiale µ xi dx i dv x i f ( x x ) dx i x i dx dx i β µ xi dx i x i f x i ( x i ) dx i + dx f x ( x ) cioè la compoete i-esima della media di x è uguale alla media della compoete i-esima. Nel caso ad esempio di ua variabile statistica doppia [ x, y ], rappresetata al solito dalla tabella:

42 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI x y x, x,, x r y, y,, y s possiamo, sfruttado la solita aalogia, ricavare: M[ x ] x M[ y ] y -- x r i -- y s j Teorema della media per variabili casuali -dimesioali Sia ua trasformazioe da lr a lr m, co x variabile casuale x lr e variabile y lr per defiizioe di media, se esiste, si ha: y lr M[ y ] M y [ g( x )] g( x )f x ( x ) dx I questo caso il teorema della media afferma che: M Y [ y ] M x [ g( x) ] Corollario Nel caso i cui la fuzioe vettoriale g sia lieare, el caso cioè i cui: y A x + b µ y A µ x + b 7.37 Corollario x lr y g x se la variabile è be cocetrata i ua zoa di attoro alla media µ x e, ella stessa zoa la fuzioe che lega le due variabili casuali: ( ) è letamete variabile allora: µ y g ( µ x ) 7.38 i aalogia a quato visto per vc ad ua dimesioe. Mometi di ordie (,,, k ) di ua variabile casuale -dimesioale Si defiiscoo mometi di ordie (,,, k ) di ua variabile casuale -dimesioale gli scalari: µ,,, k i,i,,i k M x i, x i,, x [ k ik ]

43 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI Si defiiscoo mometi cetrali i corrispodeti mometi della variabile scarto: ν x µ x Molto spesso tuttavia i mometi più usati soo quelli del secodo ordie che, per defiizioe idichiamo co: c ik M[ ( x i µ xi )( x k µ xk )] M[ ν i ν k ] Notiamo che per ik si ha: 7.40 c ii σ i M[ ( x i µ xi ) ] 7.4 cioè i mometi cetrali del secodo ordie per ik soo le variaze della compoete i-esima di x. I coefficieti c ik per i k si idicao ache co σ ik e soo detti coefficieti di covariaza delle compoeti e. Come evidete dalla 7.40 divegoo: c ik x i x k c ki, la 7.40 e la 7.4 espresse i forma matriciale C xx [ c ik ] M[ ( x i µ xi )( x k µ xk )] C xx M[ ( x µ x )( x µ x ) T ] 7.4 La C xx è detta per ovvi motivi matrice di variaza covariaza o matrice di dispersioe ed è simmetrica. Si può dimostrare, aalogamete al caso moo-dimesioale, che: C xx M[ xx T ] µ x µ T x Cerchiamo ora u'altra espressioe della 7.4 el caso particolare i cui le compoeti di x siao fra loro idipedeti. I questo caso f( x ) può essere scritta come prodotto delle margiali 7.5: f( x ) f x ( x ) f x ( x ) e, osservado che ogi margiale è ormalizzata per suo coto, cioè che: f ( xj x ) dx j j si trova, per i k, ricordado la 7.40, M[ x i x k ] x i x k f x ( x) dx d M[ x i x k ] µ xi µ xk f x ( x ) dx x f x ( x ) dx x i f xi ( x i ) dx i 7.43 x k f xk ( x k ) dx k

44 LA VARIABILE CASUALE A DIMENSIONI ma, ricordado la 7.43: c ik M[ x i x k ] µ xi µ kk e deriva che: c ik σ ik 0 i k 7.45 cioè, per compoeti di x idipedeti, la matrice C xx è diagoale e assume la forma: σ 0 C xx 0 σ 7.46 Si può verificare i molti casi che o è vero viceversa, cioè la forma diagoale di o sigifica ecessariamete che le -compoeti siao fra loro idipedeti. La propagazioe della variaza el caso lieare ad -dimesioi Come el caso moo-dimesioale ci domadiamo cosa vale la matrice di variaza covariaza di ua variabile casuale y lr m fuzioe di ua secoda variabile x lr. L'ipotesi è che la relazioe g sia lieare, cioè y A x + b e che m. Per il teorema della media: duque: µ y A µ x + b C xx ( y µ y ) A ( x µ x ) 7.47 ma per defiizioe di : C yy C yy M[ ( y µ y )( y µ y ) T ] MAx [ ( µ x )( x µ x ) T A T ] sfruttado la liearità dell'operatore media, M[ ], si ha: C yy AM[ ( x µ x )( x µ x ) T ]A T AC xx A T 7.48 È questa la legge di propagazioe della variaza el caso lieare. 39