5 CAMPIONAMENTO SISTEMATICO 5.1 INTRODUZIONE

Transcript

1 5 CAMPIONAMENTO SISTEMATICO 5. INTRODUZIONE Prima dell'avveto degli elaboratori e della loro rapida diffusioe, l'estrazioe di u campioe casuale semplice o di u campioe stratificato di gradi dimesioi poteva risultare estremamete laboriosa implicado, per ogi uità da estrarre, il ricorso alla tavola dei umeri casuali. U metodo ideato per ridurre il lavoro sulle tavole e tutt'oggi acora molto utilizzato, oostate l iformatizzazioe della maggior parte delle operazioi di rilevazioe e soprattutto della selezioe di campioi probabilistici, è rappresetato dal così detto campioameto sistematico che richiede l'utilizzazioe di u meccaismo casuale, come ad esempio la tavola dei umeri casuali, soltato per la selezioe della prima uità. Il campioe è ifatti formato prededo ua uità ogi preseti ella lista, a partire dalla prima estratta casualmete dalle prime uità della lista, co pari al reciproco della frazioe di campioameto. Questo schema proprio per la sua semplicità ache dal puto di vista della sua implemetazioe su u calcolatore è acora oggi molto utilizzato soprattutto perché ordiado la lista secodo u prestabilito criterio cosete di formare u campioe formato da uità che provegoo da ogi parte la lista e o solo da alcue parti come potrebbe avveire, per effetto della casualità, i altri schemi di campioameto. Se, ad esempio, si effettua ua selezioe sistematica da ua lista di aziede che vegoo prelimiarmete ordiate per dimesioe, dalle più piccole alle più gradi, lo schema garatisce la preseza el campioe sia di aziede di piccole dimesioi, sia di medie, sia di gradi, proprio per la sua caratteristica di cogliere uità gradualmete partedo dalla sua parte iiziale e scorredo lugo di essa gradualmete. 5.

2 5.2 METODO DI SELEZIONE E STIMA DELLA MEDIA Si suppoga di dover estrarre u campioe di 00 studeti da ua lista di 500 studeti. Il reciproco della frazioe di campioameto, N/, è uguale a 5. Per formare il campioe è sufficiete selezioare u umero casuale compreso tra e 5 (estremi iclusi) che idividua la prima uità estratta e quidi procedere selezioado le altre uità co ua progressioe aritmetica di ragioe 5 fio all'esaurimeto della lista. Se, ad esempio, il primo umero estratto fosse 6, il campioe risulterebbe formato dalle uità della lista cotrassegate dai umeri d'ordie: cioè, Nell'esempio, volutamete molto semplice, la dimesioe campioaria era tale da redere itero il valore. Nella pratica, che prede il ome di ragioe o itervallo di selezioe, risulta spesso decimale. Se, ad esempio, la lista è composta da 536 studeti, lo stesso campioe di dimesioe 00 dà luogo ad u valore di pari a 5,36. I questa situazioe è possibile arrotodare all'itero iferiore o superiore a prezzo di u piccolo cambiameto ella dimesioe campioaria. Co = 5, ifatti, si dovrao selezioare 02 o 03 uità per esaurire la lista, metre co = 6 o si potrao estrarre più di 96 uità. Se queste variazioi dimesioali soo accettabili il problema è risolto, altrimeti possoo essere adottate delle soluzioi alterative compresa quella di utilizzare la frazioe di campioameto decimale arrotodado di volta i volta all itero più prossimo per idividuare l uità da iserire el campioe. Nell'esempio, co = 5,36, si selezioa u umero casuale tra 000 e 536. Si suppoga di aver selezioato il umero 235. Il umero, diviso per 00 e arrotodato all'itero più prossimo (2,35 2), da luogo alla selezioe della dodicesima uità. Si procede quidi sommado a 2,35 l'itervallo decimale 5,36 per otteere 7,7 che, arrotodato (7,7 8), dà luogo alla selezioe della diciottesima uità e cosi via, fio all'esaurimeto della lista. I sostaza, il procedimeto descritto porta ad utilizzare u itervallo pari a 5 o a 6 a secoda dell'arrotodameto che si effettua di volta i volta. 5.2

3 Nel campioameto sistematico, come i quello casuale semplice, ogi uità della popolazioe ha la stessa probabilità di etrare a far parte del campioe. Diversamete da quato avviee el campioameto casuale semplice, tuttavia, i quello sistematico o tutte le -ple hao la stessa probabilità di etrare a far parte del campioe. Al cotrario, fissato l'ordiameto della lista e stabilito di selezioare la prima uità tra le prime, soo soltato le -ple selezioabili, ciascua, ovviamete, co probabilità /. Il piao di campioameto è tale che: p s N i quato l isieme dei possibili campioi S cotiee soltato N elemeti. Ioltre sia la probabilità di iclusioe semplice che cogiuta soo uguali tra loro e pari a, poichè i ij 0 se i, j s altrimeti 5.3 STIMA DELLA MEDIA La media della popolazioe può essere stimata per mezzo dello stimatore di HT che ache i questo caso (il campioameto sistematico è u epsem) equivale alla media aritmetica semplice delle uità del campioe: ysis yi is N Yiti i La variaza di questo stimatore è ituitivamete la variaza tra i possibili valori che questo stimatore può assumere. Ache co elevati valori di N, il umero di possibili campioi sistematici, dato l ordiameto della lista è relativamete basso. 5.3

4 L espressioe della variaza dello stimatore può pertato essere scritta come segue: 2 V ysis y j Y j dove y j è la media del j-esimo campioe sistematico j,,. La variaza dello stimatore o può essere stimata dal campioe e si dice i questo caso che il piao di campioameto sistematico è o misurabile, traducedo letteralmete la defiizioe iglese ot measurable desig. Il motivo è facilmete ituibile: V y sis è la variaza tra medie di altrettati campioi sistematici dei quali possiamo osservare uo soltato. E evidete che co ua sola osservazioe o è possibile stimare ua variaza. Tuttavia poiché è ormalmete idispesabile disporre di ua stima della variaza dello stimatore occorre ricorrere a qualche espediete che ci coseta di aggirare l ostacolo. U primo modo potrebbe esser quello di assimilare il campioe sistematico ad u campioe casuale semplice. I effetti la selezioe sistematica sarebbe del tutto equivalete a quella casuale semplice se si facesse precedere l estrazioe da u'operazioe che dispoesse le uità della lista i ordie casuale (operazioe che corrispoderebbe a selezioare casualmete ua delle N! permutazioi della lista). Se questa operazioe è parte itegrate del processo di selezioe allora il campioameto sistematico può essere assimilato i tutto e per tutto a quello casuale semplice e la variaza stimata co l espressioe ota per questo ultimo. L'operazioe di ordiameto casuale della lista è però il più delle volte iopportua poiché, come si è già detto el precedete paragrafo, uo degli scopi della selezioe sistematica può essere proprio quello di riuscire ad iserire el campioe uità co caratteristiche legate alla loro diversa posizioe ella lista. Ciò potrebbe rispodere ad esigeze aaloghe a quelle che ispirao la stratificazioe. Ifatti, è possibile pesare alle sottoliste elle quali viee idealmete suddivisa la popolazioe come a degli strati dai quali vega estratta ua sola uità. U'evidete aalogia co il campioameto stratificato proporzioale rispetto al quale, tuttavia, verrebbe a macare l'idipedeza tra le estrazioi elle varie sottoliste. Ifatti, ua volta determiata la posizioe dell'uità da estrarre ella prima sottolista, soo automaticamete icluse el campioe le uità che hao la stessa posizioe elle altre sottoliste. Tra queste uità esiste spesso ua correlazioe seriale positiva che rede la variaza degli stimatori maggiore di quella risultate da ua stratificazioe 5.4

5 proporzioale. Ma si deve osservare che l'icremeto della variaza è spesso irrilevate i rapporto al vataggio di operare ua selezioe cotrollata, che il campioe sistematico offre. Purtroppo, ache utilizzado l aalogia co il campioameto stratificato il problema della stima della variaza dello stimatore y o viee comuque risolto perché ache il campioameto stratificato diveta u piao o misurabile se si estrae ua sola uità per ogi strato. Si deve ifatti ricordare che, ella stratificazioe, la variaza degli stimatori è fuzioe della variaza elemetare dei vari strati e eache questa può essere stimata mediate ua sola uità campioaria. U espediete per superare l ostacolo trattado il campioe sistematico come u campioe stratificato co u asola uità per strato è quello, che si usa ache ella stratificazioe, di abbiare gli strati, el sistematico le sottoliste, a due a due, e quidi procedere come se le risultati 2 sottoliste fossero strati coteeti ciascuo due uità campioarie. Ciò cosetirebbe di utilizzare per la stima della variaza l espressioe data per la stratificazioe proporzioale. Ioltre, seza che ciò cotraddica le aalogie precedetemete viste, il campioe sistematico deve essere cosiderato come u caso particolare di campioameto a grappoli (vedi il successivo Cap. 8), el quale vega selezioato u solo grappolo. Il grappolo è u aggregato di uità elemetari tra le quali esiste u qualche legame. Nel campioe sistematico il legame è rappresetato dall'idetica posizioe che le uità estratte hao all'itero delle sottoliste i cui viee suddivisa la lista della popolazioe. Neache questa corrispodeza comuque risolve il problema della stima della variaza poiché, come vedremo i seguito, ache el campioameto a grappoli la stima della variaza degli stimatori di medie e totali è legata alla dispoibilità di almeo due grappoli el campioe. sis 5.5