Teoria della Calcolabilità

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1 Teoria della Calcolabilità Si occupa delle questioi fodametali circa la poteza e le limitazioi dei sistemi di calcolo. L'origie risale alla prima metà del vetesimo secolo, quado i logici matematici iiziaroo ad esplorare i cocetti di computazioe algoritmo problema risolvibile per via algoritmica e dimostraroo l'esisteza di problemi che o ammettoo u algoritmo di risoluzioe. Þ Problemi o decidibili 1

2 Problemi computazioali Problemi formulati matematicamete di cui cerchiamo ua soluzioe algoritmica. Classificazioe: problemi o decidibili problemi decidibili problemi trattabili (costo poliomiale) problemi presumibilmete itrattabili problemi itrattabili (costo espoeziale) 2

3 Calcolabilità e complessità Calcolabilità: ozioi di algoritmo e di problema o decidibile Complessità: ozioe di algoritmo efficiete e di problema itrattabile La calcolabilità ha lo scopo di classificare i problemi i risolvibili e o risolvibili, metre la complessità i facili e difficili 3

4 ESISTENZA DI PROBLEMI INDECIDIBILI 4

5 Il problema della rappresetazioe L iformatica rappreseta tutte le sue etità (quidi ache gli algoritmi) i forma digitale, come sequeze fiite di simboli di alfabeti fiiti (e.g., {0,1}). 5

6 Il cocetto di algoritmo Algoritmo: sequeza fiita di operazioi, completamete e uivocamete determiate 6

7 Algoritmi La formulazioe di u algoritmo dipede dal modello di calcolo utilizzato: programma per u modello matematico astratto, come ua Macchia di Turig algoritmo per i pseudocodice per RAM programma i liguaggio C per u PC

8 Algoritmi Qualsiasi modello si scelga, gli algoritmi devoo esservi descritti, ossia rappresetati da sequeze fiite di caratteri di u alfabeto fiito Þ gli algoritmi soo possibilmete ifiiti, ma umerabili possoo essere elecati (messi i corrispodeza biuivoca co l isieme dei umeri aturali)

9 Problemi computazioali I problemi computazioali (fuzioi matematiche che associao ad ogi isieme di dati il corrispodete risultato) o soo umerabili 9

10 Il problema della rappresetazioe Drastica perdita di poteza: gli algoritmi soo umerabili, e soo meo dei problemi computazioali, che hao la poteza del cotiuo {Algoritmi} < < {Problemi} Þ Esistoo problemi privi di u corrispodete algoritmo di calcolo!

11 Il problema dell arresto Esistoo duque problemi o calcolabili I problemi che si presetao spotaeamete soo tutti calcolabili No è stato facile idividuare u problema che o lo fosse Turig (1930): Problema dell arresto 11

12 Il problema dell arresto Presi ad arbitrio u algoritmo A e i suoi dati di iput D, decidere i tempo fiito se la computazioe di A su D termia o o. 12

13 Il problema dell arresto Algoritmo che idaga sulle proprietà di u altro algoritmo, trattato come dato di iput È legittimo: possiamo usare lo stesso alfabeto per codificare algoritmi e i loro dati di igresso (sequeze di simboli dell alfabeto) Ua stessa sequeza di simboli può essere quidi iterpretata sia come u programma, sia come u dato di igresso di u altro programma 13

14 Il problema dell arresto U algoritmo A, comuque formulato, può operare sulla rappresetazioe di u altro algoritmo B Possiamo calcolare A(B) I particolare può avere seso calcolare A(A) 14

15 Il problema dell arresto Cosiste el chiedersi se u geerico programma termia la sua esecuzioe, oppure va i ciclo, ovvero cotiua a ripetere la stessa sequeza di istruzioi all ifiito (suppoedo di o avere limiti di tempo e memoria). 15

16 ESEMPIO: Stabilire se u itero p > 1 è primo. Primo(p) fattore = 2; while (p % fattore!= 0) fattore++; retur (fattore == p); Termia sicuramete (la guardia del while diveta falsa quado fattore = p). 16

17 ESEMPIO Programma che trova il più piccolo umero itero pari (maggiore di 4) che NON sia la somma di due umeri primi Il programma si arresta quado trova 4 che NON è la somma di due primi 17

18 Algoritmo GOLDBACH Scadisci i ordie crescete i umeri aturali pari maggiori di 2, fio a trovare u umero che NON sia esprimibile come la somma di due umeri primi Se e quado questo accade, stampa il umero e termia 18

19 Cogettura di Goldbach XVIII secolo ogi umero itero pari 4 è la somma di due umeri primi Cogettura falsa è Goldbach() si arresta Cogettura vera è Goldbach() NON si arresta 19

20 TEOREMA Turig ha dimostrato che riuscire a dimostrare se u programma arbitrario si arresta e termia la sua esecuzioe o è solo u impresa ardua, ma i geerale è IMPOSSIBILE! TEOREMA Il problema dell arresto è INDECIDIBILE 20

21 DIMOSTRAZIONE Se il problema dell arresto fosse decidibile, allora esisterebbe u algoritmo ARRESTO che: presi A e D come dati di iput determia i tempo fiito le risposte: ARRESTO(A,D) = 1 se A(D) termia ARRESTO(A,D) = 0 se A(D) o termia 21

22 Osservazioe L algoritmo ARRESTO o può cosistere i u algoritmo che simuli la computazioe A(D) se A o si arresta su D, ARRESTO o sarebbe i grado di rispodere NO (0) i tempo fiito. 22

23 DIMOSTRAZIONE I particolare possiamo scegliere D = A, cioè cosiderare la computazioe A(A) ARRESTO(A,A) = 1 Û A(A) termia 23

24 DIMOSTRAZIONE Se esistesse l algoritmo ARRESTO, esisterebbe ache il seguete algoritmo: PARADOSSO(A) while (ARRESTO(A,A)) { ; } 24

25 DIMOSTRAZIONE L ispezioe dell algoritmo PARADOSSO mostra che: PARADOSSO(A) termia x = ARRESTO(A,A) = 0 A(A) o termia 25

26 DIMOSTRAZIONE Cosa succede calcolado PARADOSSO(PARADOSSO)? PARADOSSO(PARADOSSO) termia x = ARRESTO(PARADOSSO, PARADOSSO) = 0 PARADOSSO(PARADOSSO) o termia cotraddizioe! 26

27 DIMOSTRAZIONE L uico modo di risolvere la cotraddizioe è che l algoritmo PARADOSSO o possa esistere Duque o può esistere emmeo l algoritmo ARRESTO I coclusioe, il problema dell arresto o è decidibile! 27

28 Problemi idecidibili Altri problemi lo soo: Ad esempio, è idecidibile stabilire l equivaleza tra due programmi (se per ogi possibile iput, producoo lo stesso output) Lezioe di Turig : o esistoo algoritmi che decidoo il comportameto di altri algoritmi esamiadoli dall estero, cioè seza passare dalla loro simulazioe. 28

29 Il decimo problema di Hilbert Esistoo risultati di o calcolabilità relativi ad altre aree della matematica, tra cui la teoria dei umeri e l'algebra Tra questi, occupa u posto di rilievo il be oto decimo problema di Hilbert 29

30 Equazioi diofatee U equazioe diofatea è u equazioe della forma p(x 1, x 2,...,x ) = 0 dove p è u poliomio a coefficieti iteri. 30

31 Il decimo problema di Hilbert Data u arbitraria equazioe diofatea, di grado arbitrario e co u umero arbitrario di icogite p(x 1,x 2,...,x ) = 0 stabilire se p ammette soluzioi itere. 31

32 Teorema Il decimo problema di Hilbert o è calcolabile. Yuri Matiyasevich,

33 MODELLI DI CALCOLO E CALCOLABILITÀ 33

34 Modelli di calcolo La teoria della calcolabilità dipede dal modello di calcolo? oppure... la decidibilità è ua proprietà del problema? 34