Corso di Linguaggi e Traduttori 1 AA TEORIA DELLA COMPUTAZIONE (cenni)

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1 Corso di Liguaggi e Traduttori 1 AA TEORIA DELLA COMPUTAZIONE cei) 1

2 Sommario Iterazioe e ricorsioe Relazioi di ricorreza Complessità computazioale 2

3 Iterazioe e Ricorsioe Dato u problema, la sua soluzioe può essere forita i termii iterativi o ricorsivi Le soluzioi iterative rimadao ai classici costrutti iterativi della programmazioe procedurale while_do o for) Le soluzioi ricorsive rimadao ivece ai costrutti ricorsivi ricorsioe primitiva o µ-ricorsioe) 3

4 U Esempio: Calcolo del Fattoriale Soluzioe iterativa: Iterazioe e ricorsioe 0! 1! Π k1,..., k Soluzioe iterativa i C): log fattit ) { log f 1; while > 0 ) f -- * f ; retur f ; } 4

5 U Esempio: Calcolo del Fattoriale Soluzioe ricorsiva: 0! 1 Iterazioe e ricorsioe! * -1)! Soluzioe ricorsiva i C): log fattit ) { if < 1 ) retur 1; retur * fatt-1) ; } 5

6 Iterazioe e Ricorsioe Strutture di Cotrollo Iterative t C f f C t A A while_do util_do A A t C f C f t do_while do_util 6

7 Ricorsioe Primitiva Iterazioe e Ricorsioe Gli schemi ricorsivi possoo essere defiiti formalmete ell'ambito dei umeri aturali Fuzioi base Composizioe di fuzioi Ricorsioe primitiva µ-ricorsioe 7

8 Ricorsioe Primitiva: Fuzioi Base Zero Idetità Successore 0 λ x i u λx s [ 0] [ x ] i x) λx[ x +1] Iterazioe e Ricorsioe x x ) x,..., 1, 2 x x x ) x,..., 1, 2 x 8

9 Ricorsioe Primitiva: Composizioe Date la fuzioe h e la famiglia di fuzioi g i i1,2,...,m defiite sui umeri aturali: h : N m N gi : N N i 1,2,..., m... la fuzioe f : N N è otteuta per composizioe da h, g 1, g 2,..., g se: f 2 x) h g1 x), g x),..., gm x)) Iterazioe e Ricorsioe 9

10 10 Ricorsioe Primitiva: Defiizioe La fuzioe f è defiita per ricorsioe primitiva a partire dalle fuzioi h e g se: Iterazioe e Ricorsioe N N f N N g N N h : : : ) se )),,, 0 se ) ), z s y z x f z x h y x g y x f

11 Ricorsioe Primitiva: Esempio Iterazioe e Ricorsioe Somma tra due umeri utilizzado soltato: i) le fuzioi base, ii) lo schema di composizioe e iii) lo schema di ricorsioe primitiva x y 0 + x, y) s + x, z)) y s z) Facedo l' ufoldig della defiizioe ricorsiva si ottiee ovviamete: x+y +x,y) ss...sx)...)), i cui cioè la fuzioe di base sx) viee applicata y volte 11

12 12 Ricorsioe Primitiva: Esempio Defiizioe del fattoriale di u umero utilizzado soltato: i) le fuzioi base, ii) lo schema di composizioe e iii) lo schema di ricorsioe primitiva Iterazioe e Ricorsioe )!), * 0 1! z s z + + ) )), 0 ), z s y z x s y x y x + ) )),,* 0 0 ), * z s y z x x y y x

13 µ-ricorsioe Iterazioe e Ricorsioe Date le fuzioi g ed f, rispettivamete ad +1 ed argometi, diciamo che f è otteuta per ricorsioe primitiva da g se vale il seguete schema: dove [ g x, ) 0] f x) µ y y µy g x, y) 0 [ g x, y) 0] deota il più piccolo y tale che 13

14 Relazioi di Ricorreza Relazioi di ricorreza Ua fuzioe f) defiita i termii di se stessa su valori decresceti di è detta relazioe di ricorreza La defiizioe di fattoriale di u umero è ua tipica relazioe di ricorreza 14

15 Relazioi di Ricorreza Relazioi di ricorreza Spesso è utile effettuare l' ufoldig di ua relazioe di ricorreza, elimiado cioè le ivocazioi ricorsive 15

16 16 Relazioi di Ricorreza: Ufoldig: Esempio Relazioi di ricorreza 1)!! 1 0! 1)! ) 2) 1)! 3)! 2) 1)! 2)! 1)! k k K K 1 1)! 1 k k j i j i k )! 1 ) 2) 1)! K

17 Complessità Computazioale Complessità computazioale Ogi problema ha ua complessità computazioale associata, che forisce u'idicazioe di quato è difficile risolverlo, i termii di tempo o di spazio ecessari per la computazioe U problema può avere diversi algoritmi che lo risolvoo, ma soltato alcui avrao la complessità computazioale del problema Per tutti gli altri la complessità sarà superiore e i tal caso diremo che tali algoritmi soo poco efficieti rispetto al problema 17

18 Complessità Computazioale E' possibile classificare u problema i fuzioe della sua complessità Esistoo diverse formulazioi che illustrao le gerarchie di complessità dei problemi. La distizioe più diffusa è tra problemi di complessità: poliomiale P) o determiistica poliomiale NP) Complessità computazioale espoeziale EXP) Stabilire se P coicide co NP è u problema aperto. Attualmete si assume che P? NP 18

19 Complessità Computazioale Complessità poliomiale Complessità computazioale Idichiamo co la dimesioe dei dati da elaborare Gli algoritmi di questa classe possoo essere risolti da ua MdT determiistica i u tempo proporzioale ad u poliomio i Complessità o determiistica poliomiale Gli algoritmi di questa classe possoo essere risolti da ua MdT o determiistica i u tempo proporzioale ad u poliomio i Complessità espoeziale Gli algoritmi di questa classe possoo essere risolti da ua MdT determiistica / o determiistica i u tempo espoeziale rispetto ad 19

20 Complessità Computazioale La complessità computazioale di u problema può essere determiata i base ad u atteggiameto: Ottimistico si valuta la complessità el caso migliore i fuzioe della dimesioe dei dati da elaborare Pragmatico si valuta la complessità el caso medio i fuzioe della dimesioe dei dati da elaborare Pessimistico Iterazioe e Ricorsioe si valuta la complessità el caso peggiore i fuzioe della dimesioe dei dati da elaborare 20

21 Complessità Computazioale Iterazioe e Ricorsioe Il calcolo della complessità el caso medio è tipicamete o baale e spesso prevede il ricorso a ozioi di statistica La complessità ei casi migliore e peggiore è ivece più semplice da calcolare Tipicamete il calcolo della complessità è limitato al comportameto medio o peggiore 21

22 Notazioe O-grade Iterazioe e Ricorsioe Nel seguito ci limiteremo a cosiderare la complessità el tempo per il caso peggiore La otazioe utilizzata per il calcolo del comportameto el caso peggiore è chiamata otazioe O-grade Ovviamete ci iteressa il comportameto di u algoritmo i termii asitotici, e quidi possiamo effettuare molte semplificazioi che a prima vista sembrao brutali 22

23 Notazioe O-grade Iterazioe e Ricorsioe O f )) è l isieme di tutte le fuzioi g) t.c. due costati positive c e 0 per cui g ) cf ) per ogi 0 O f )) forisce il limite superiore al comportameto asitotico di ua fuzioe legato al tempo di esecuzioe): g ) O f )) g ) è di ordie f ) 2 Esempio: g ) è di ordie 2 poiché co 2 c4 e 0 3, g ) < 4 per 3 23

24 Notazioe O-grade Iterazioe e Ricorsioe Alcue semplici regole: La complessità di ua porzioe di codice i cui il tempo di esecuzioe o dipede dalla dimesioe dell'iput è cosiderata costate La complessità di ua sequeza di istruzioi è data da quella dell'istruzioe di complessità piùelevata La complessità di u'iterazioe è data dal umero di iterazioi svolte moltiplicato per la complessità del corpo dell'iterazioe Per il calcolo di porzioi ricorsive è bee, quado possibile, eseguire l' ufoldig 24

25 Notazioe O-grade Iterazioe e Ricorsioe Ci soo alcue classi di complessità poliomiale riteute importati: O1) Complessità costate che o dipede da ) Olog ) O) O log ) O 2 ) O 3 ) O2 ) Esempio: ricerca biaria Esempio: ricerca lieare Esempio: algoritmo merge sort Esempio: algoritmo bubble sort problemi itrattabili) 25