Matematica per Finanza, assicurazioni e impresa; aa ; argomenti svolti:

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1 Matematica per Fiaza, assicurazioi e impresa; aa ; argometi svolti: I settimaa; Presetazioe del corso. I particolare: -Aalisi (fuzioi reali di ua variabile reale, calcolo differeziale, calcolo itegrale); -Algebra lieare (sistemi di equazioi lieari, spazi vettoriali, algebra delle matrici). [Aalisi]. Liguaggio degli isiemi: apparteeza, quatificatori, implicazioi, iclusioe, isieme delle parti, uioe, itersezioe, prodotto cartesiao; per isiemi fiiti, cardialita, cardialita dell isieme delle parti, cardialita e uioe e itersezioe, cardialita e prodotto cartesiao. Primi isiemi umerici: umeri aturali N, iteri relativi Z, razioali Q. I Q: somma, prodotto, ordiameto e loro proprieta ; ozioe di campo ordiato; poteze ad espoete itero relativo, proprieta. L equazioe 2 = 2 o ha soluzioi i Q, dimostrazioe. Sistema di riferimeto sulla retta, idetificazioe dei umeri razioali come certi puti, esisteza di altri puti. Rappresetazioe decimale di umeri razioali: fiitezza del umero di cifre dopo la virgola o periodicita. Defiizioe di umero reale come allieameto decimale arbitrario; isieme R dei umeri reali. Esempio di u allieameto decimale o periodico (duque o corrispodete ad alcu umero razioale) [Algebra lieare]. Sistema di riferimeto sulla retta, corrispodeza biuivoca fra isieme R e isieme dei puti della retta. Segmeto orietato, sua misura co sego (rispetto a u riferimeto sulla retta). Sistema di riferimeto el piao, corrispodeza biuivoca fra isieme R 2 e isieme dei puti del piao. Pedeza di u segmeto rispetto ad u sistema di riferimeto; equazioe della retta per due puti; equazioe caoica della retta; equazioe geerale della retta. Equazioi lieari i ua icogita su R. Equazioi lieari i due icogite su R e rette el piao. Sistemi di due equazioi lieari i due icogite e itersezioe di rette el piao; codizioi di coicideza, parallelismo, icideza; metodo di elimiazioe (correttezza del metodo). Equazioi lieari i icogite su R; soluzioi come elemeti di R ; risoluzioe, discussioe. Sistemi di m equazioi lieari i icogite su R, otazioi; sistema determiato, impossibile, idetermiato [Aalisi]. Numero e di Nepero e pi greco π (ceo). Osservazioe sugli allieameti decimali co periodo 9. Operazioi di somma e prodotto su R, loro proprieta, proprieta distributiva (si afferma che si possoo defiire le operazioi i modo che valgao le proprieta ). Poliomi i ua icogita su R; valutazioe di u poliomio i u umero reale, pricipio di idetita, grado di u poliomio. Poteza ma del biomio ( + 1), defiizioe di coefficiete biomiale ( i ) come coefficiete di i, cioe tramite

2 l uguagliza ( + 1) = i=0 ( ) i ; i matrice dei coefficieti biomiali (triagolo di Tartaglia, Pascal,...); relazioe ricorsiva ( +1 i ) = ( i ) + ( i 1 ), dimostrazioe a partire dall idetita ( + 1)+1 = ( + 1) ( + 1). Idetita otevole ( + a 1 )( + a 2 ) ( + a ) = e k (a 1, a 2,..., a ) k k=0 dove e k (a 1, a 2,..., a ) e la fuzioe elemetare k ma i a 1, a 2,..., a : e k (a 1, a 2,..., a ) = a i1 a i2 a ik. 1 i 1 <i 2 < <i k Ordiameto su R, defiizioe, proprieta, proprieta rispetto alle operazioi. Poliomi i ua icogita su R; radici di u poliomio; teorema di Ruffii; cosegueza: u poliomio di grado su R ha al piu radici i R. Sego del triomio di II grado. [Algebra lieare]. Sistemi di equazioi lieari i tre icogite su R; risoluzioe col metodo di elimiazioe di u sistema di tre equazioi, e di u sistema di due equazioi; risoluzioe di ua equazioe. Sistema di riferimeto ello spazio, corrispodeza biuivoca fra isieme R 3 e isieme dei puti dello spazio. Equazioe lieari i tre icogite su R e piai ello spazio. Sistemi di due equazioi lieari i tre icogite e itersezioe di piai ello spazio; codizioi di coicideza, parallelismo, icideza i ua retta. Sistemi di tre equazioi lieari i tre icogite impossibili o idetermiati. Sistema triagolare di m equazioi i icogite, casi m =, m < e m >, discussioe e risoluzioe. Sistema a scala di m equazioi i icogite, discussioe e risoluzioe. II settimaa; [Aalisi]. Relazioi; fuzioi; grafico; fuzioi iiettive, suriettive; fuzioi biiettive e fuzioe iversa. Eumerazioe delle relazioi,..., biiezioi fra isiemi fiiti; permutazioi e fattoriali. Fuzioi reali di variabile reale; grafico. Fuzioi mootoe cresceti/decresceti, defiizioe diretta e caratterizzazioe mediate pedeze [Aalisi] Fuzioi poteza ad espoete itero relativo; loro proprieta di mootoia. Simmetria rispetto ad ua retta, rispetto a u puto. Fuzioi pari e dispari. Numeri reali: radici; poteze ad espoete razioale. Restrizioi delle fuzioi poteza ad espoete aturale (ozero) e le loro iverse fuzioi radice.

3 Relazioe fra i grafici di due fuzioi ua iversa dell altra. Numeri reali: poteze ad espoete irrazioale [Algebra lieare] Processo di elimiazioe per la soluzioe di u sistema; esempio; rappresetazioe co matrici del sistema e del processo di elimiazioe. Variabili libere e vicolate. Descrizioe del processo i geerale. Proposizioe: u sistema di m equazioi i icogite co m < o e impossibile o e idetermiato. [Aalisi] Fuzioi espoeziali; proprieta rispetto alle operazioi; mootoia. Numeri reali: logaritmi. Fuzioi logaritmo; proprieta rispetto alle operazioi; mootoia. Ceo all uso dei logaritmi per il calcolo (pre-computer). Fuzioi trigoometriche seo, coseo, tagete. Periodo di ua fuzioe. Restrizioi delle fuzioi seo, coseo, tagete e le loro iverse arcoseo, arcocoseo, arcotagete. III settimaa; [Aalisi]. Composizioe di fuzioi; proprieta ; fuzioi idetita ; caratterizzazioe della fuzioe iversa. Operazioi arimetiche (somma, sottrazioe, prodotto per costati, prodotto, divisioe) sulle fuzioi reali di variabile reale. Nozioe di fuzioe elemetare. Fuzioi poliomiali; fuzioi poliomiali di I e II grado e loro grafici. Equazioi e disequazioi algebriche [Algebra lieare] Vettori el piao; idetificazioe dell isieme dei vettori co l isieme dei segmeti orietati co origie i u puto fissato. Operazioi di somma di due vettori e di prodotto di u umero reale per u vettore; proprieta. Caratterizzazioe dei vettori che stao sulla retta di u dato vettore o ullo. Vettori ello spazio. Caratterizzazioe dei vettori che stao sul piao di u due dati vettori o allieati. Euple; operazioi di somma di due euple e di prodotto di u umero reale per ua eupla; proprieta. Defiizioe di spazio vettoriale. Spazi vettoriali geometrici G 2, G 3, spazio vettoriale dimesioale stadard R. Idetificazioe di G 2 co R 2 e di G 3 co R 3. Combiazioi lieari [Aalisi] Equazioi e disequazioi i ua icogita: esempi (algebriche, espoeziali, logaritmiche, trigoometriche, irrazioali, co valore assoluto), e pricipi geerali di trasformazioe (quelli usuali, e ruolo delle fuzioi iiettive e mootoe) e di risoluzioe; uso dei grafici. [Algebra lieare] Due vettori geometrici geerici. Defiizioe di sequeza di vettori liearmete idipedete, dipedete. Esempi di due e tre vettori i R 3. I R : dipedeza lieare di due vettori o ulli e proporzioalita ; vettori caoici e 1,..., e. Traduzioe di ua equazioe m j a j = b j=1

4 elle m icogite j (j = 1,..., m) co a j (j = 1,..., m) e b i R i u sistema a ij j = b i (i = 1,..., ) j=1 di equazioi elle m icogite j (j = 1,..., m), e viceversa. Sistema lieare omogeeo; soluzioe baale. Proposizioe: u sistema lieare omogeeo di m equazioi i icogite co m < ha sempre almeo ua soluzioe o baale. Teorema di caratterizzazioe dell idipedeza lieare. Proposizioe: i R ogi sequeza di m > vettori e liearmete dipedete. IV settimaa; [Aalisi]. Sulla retta reale: distaza fra due puti come valore assoluto della differeza; disuguagliaza triagolare. Itoro di u dato puto co u dato raggio; per due puti distiti, esisteza di due itori disgiuti. Iterpretazioe di ua fuzioe reale di variabile reale come legge oraria del moto di u puto materiale sulla retta. Problema: studio dell adameto di ua fuzioe per valori arbitrariamete gradi; discussioe di alcui casi. Defiizioe di limite (fiito, +, ) di ua fuzioe f :]a, + [ R per +. Iterpretazioe ciematica e iterpretazioe grafica della defiizioe. Ripresa dei casi iiziali. [Aalisi]. Semiitori di u dato puto co u dato raggio. Defiizioe di limite l ed l + (l umero reale) di ua fuzioe f :]a, + [ R per +. Limiti per + delle fuzioi elemetari: poteze α (α R), espoeziali ep b () (0 < b), logaritmi log b () (0 < b = 1), fuzioi poliomiali di I e II grado. Regola del cambiameto di base per logaritmi. Variate ( f () tede a... per... al posto di il limite di f () per... e... ). Teorema dei due carabiieri; aaloghi co uo solo. Esempi. Limiti per + e operazioi aritmetiche. Somma: tabellia del limite della fuzioe somma di due fuzioi co dati limiti (distizioe dei casi, fiito, + ); forma di idecisioe + + ( ), esempi. Prodotto: tabellia del limite della fuzioe prodotto di due fuzioi co dati limiti (distizioe dei casi 0 ±, fiito = 0, e ± ; forma di idecisioe 0, esempi. Limiti per + di fuzioi poliomiali. [Aalisi]. Fuzioe parte itera []; fuzioe 1/[]. Limiti per + e operazioi aritmetiche (cotiuazioe). Reciproco: limite della fuzioe reciproca 1/ f () di ua fuzioe f () co dato limite ( distizioe dei casi di dato limite 0 ±, fiito = 0, e ± ; possibile o esisteza el caso di dato limite 0 che o sia e 0 + e 0 ). Divisioe: tabellia del limite della fuzioe quoziete f ()/g() di due fuzioi f (), g() co dati limiti (distizioe dei casi di dati limiti 0 ±, fiito = 0, e ± ; forme di idecisioe 0/0, /, esempi. Limiti di fuzioi razioali. Poteza: riduzioe del caso geerale f () g () a u caso del tipo b h () (b R co 0 < b = 1); tabellia del limite della fuzioe poteza b h () di ua fuzioe h() co dato limite (distizioe dei casi di dato limite, fiito, e + ). Esempio (da completare):

5 1. Cofroto fra modi di tedere a + (o a, o a 0) per + ; fuzioi fra loro asitotiche. Proposizioe: ciascua fuzioe espoeziale b (b > 1) tede a + piu velocemete di ciascua fuzioe poteza α (α > 0) che a sua volta tede a + piu velocemete di ciascua fuzioe poteza log b () (b > 1). Limiti per. Cosa cambia elle defiizioi. Limiti elemetari. Coessioe: lim f () = lim + f ( ). Esempio: lim e. [Algebra Lieare]. Questioe: c e ua cotroparte geometrica dello spazio vettoriale stadard R, cosi come G 2 e G 3 lo soo per R 2 e R 3? Defiizioe di sistema di geeratori di uo spazio vettoriale V. Esempi: i G 2, almeo due vettori, due dei quali o allieati; i G 3, almeo tre vettori, tre dei quali o complaari; i R 3, ua sequeza che cotega i tre vettori caoici; i R 3, verifica che i vettori (1, 2, 4), (2, 5, 8) o soo u sistema di geeratori. Proposizioe: aggiugedo qualche vettore ad u sitema di geeratori di uo spazio vettoriale V si ottiee acora u sistema di geeratori di V (dimostrazioe). Proposizioe: essua sequeza di meo di vettori e u sistema di geeratori di R (idea della dimostrazioe). Spazio v 1,..., v m geerato da ua sequeza v 1,..., v m di vettori di uo spazio vettoriale V. Defiizioe di base di uo spazio vettoriale V. Esempi: i G 2, due vettori o allieati; i G 3, tre vettori o complaari. i R, base caoica e 1,..., e. Proposizioe: tutte le basi di R soo formate da vettori (dimostrazioe). Proposizioe: Se v 1,..., v m e ua base di uo spazio vettoriale V, allora ogi vettore v di V si puo scrivere i uo ed u solo modo come combiazioe lieare di v 1,..., v m ; coordiate di u vettore rispetto ad ua base. Proposizioe: se uo spazio V ha u sistema di geeratori fiito, allora da quel sistema di geeratori si puo estrarre ua base di V (dimostrazioe). Esempio: dato lo spazio V = v 1,..., v 5 geerato i R 4 dai vettori v 1 = (1, 0, 1, 1), v 2 = (2, 0, 2, 2), v 3 = (1, 1, 0, 1), v 4 = (2, 1, 1, 2), v 5 = (0, 1, 1, 1), estrazioe di ua base da questo sistema di geeratori, e scrittura delle coordiate dei vettori v i rispetto a questa base. Proposizioe: Se v 1,..., v m e ua base di uo spazio vettoriale V, allora la fuzioe ψ : V R m, ψ : v = r i v i (r i ) i=1 i=1 e ua biiezioe, coerete co le operazioi (di somma di vettori e di prodotto di scalari per vettori) i V ed R. V settimaa; [Aalisi] Risoluzioe di esercizi dati la settimaa precedete. Itori di u puto privati del puto. Defiizioe di limite di ua fuzioe f () per che tede a c, c R. Esempi: limite di si / per 0; limite di 1/ 2 per 0; limite di 2 per c. Semiitori di u puto privati del puto. Defiizioe di limite di ua fuzioe f () per che tede a c o c +. Esempi: limite di 1/ per 0 e per 0 + ; limite di 2 1/ per 0 e per 0 +. Relazioe fra limite di f () per c e limiti di f () per c e c +.

6 [Aalisi] Limiti delle fuzioi poteza, espoeziale, logaritmo, trigoometriche per c, c R. Altri esempi: limite di si (π/) per 0; limite di [] per 1 e 1 + ; limite di δ 0 () per 0. Proprieta dell operazioe di limite rispetto alle operazioi aritmetiche. Teorema dei carabiieri. Relazioi fra le operazioi di limite di ua fuzioe per che tede ai vari valori limite. Fuzioe cotiua i u puto e i u itervallo. Esempi: le fuzioi poteza, logaritmo, e trigoometriche soo cotiue sul loro domiio aturale; la fuziioe valore assoluto e cotiua su R; fuzioi cotiue defiite a pezzi ; esempi di fuzioi co vari tipi di discotiuita i u puto ( fuzioe δ c () i c; parte itera [] ei c Z; e si (π/) i c = 0 ). Buo comportameto della cotiuita rispetto alle operazioi aritmetiche ed alla composizioe di fuzioi. Proposizioe: tutte le fuzioi elemetari soo cotiue sul loro domiio aturale. Proprieta delle fuzioi cotiue: teorema dei valori itermedi e teorema degli zeri. Applicazioe. [Aalisi] Cosiderazioi sulle fuzioi poliomiali di III grado. Studio di ua fuzioe razioale, e del suo valore assoluto. Limiti otevoli: e 1 1 per 0; log (1+) 1 per 0; si 1 per 0; i altri termii: le fuzioi e 1, log (1 + ), si soo asitotiche ad per 0; cei all iterpretazioe grafica. Isieme R = R {, + } dei umeri reali estesi; idetificazioe di R co ua semicircofereza co estremi iclusi. Comportameto dell operazioe di limite rispetto alla composizioe di fuzioi; cambiameto di variabili. Discussioe dell euciato. Applicazioe alla determiazioe di alcui limiti ( 2 1 per 0 ). Per fuzioi cotiue su u itervallo, equivaleza fra iiettivita e mootoia stretta. e log (1+2 ) [Algebra Lieare] Nozioe di idipedeza lieare, sistema di geeratori, base riferita ad u isieme di vettori. Si e provato che ciascua pla di di vettori del tipo (a 11, 0, 0,..., 0), (a 12, a 22, 0,..., 0),... (a 1, a 2, a 3,..., a ), co a 11, a 22,..., a = 0, e ua base di R. Dal fatto che ogi spazio vettoriale fiitamete geerato si puo idetificare co uo spazio vettoriale stadard e che tutte le basi di uo spazio vettoriale stadard hao la stessa cardialita si e dedotto che tutte le basi di uo spazio vettoriale fiitamete geerato hao la stessa cardialita. Si e defiita la dimesioe dimv di uo spazio vettoriale V come la cardialita di ua qualsiasi base di V. Per ua matrice M co m righe ed coloe, si soo defiiti lo spazio riga R(M) ( R ) e lo spazio coloa C(M) ( R m ). Si e euciato che l operazioe di sommare ad ua riga u multiplo scalare di u altra riga lascia ivariati lo spazio riga della matrice e le relazioi lieari fra le coloe della matrice, e duque i particolare le dimesioi dello spazio riga e dello spazio coloa. Si e presetato u metodo, basato su queste proprieta di ivariaza, per determiare la dimesioe degli spazi riga e coloa di ua matrice. Si e euciato che lo spazio riga e lo spazio coloa di ua stessa matrice hao sempre la stessa dimesioe. Si e defiito il rago ϱ(m) di ua matrice M poedo ϱ(m) = dim(r(m)) = dim(c(m)). Si soo illustrate queste defiizioi e questi euciati su u esempio.