Il miglior polinomio approssimante Marcello Colozzo

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1 SCIENTIA Iteratioal Review of Scietific Sythesis ISSN Moografia 00x 015 Matematica Ope Source Il miglior poliomio approssimate Marcello Colozzo y x Sommario Nell approssimazioe di ua fuzioe mediate u sistema di poliomi {ϕ k } liearmete idipedeti, è ecessario miimizzare l errore qudratico medio: 1 b [ = f x a k ϕ k x] dx, a che risulta essere ua fuzioe reale delle variabili reali a 1, a,..., a. Come è oto, la ricerca del miimo assoluto implica lo studio della forma quadratrica elle variabili ausiliarie λ 1, λ,..., λ : φλ 1, λ,..., λ = λ h λ k, a h a k h=1 ei puti critici P, cioè tali che P = 0. Per > lo studio di tale forma quadratica risulta difficoltoso. I questa moografia propoiamo u efficiete algoritmo basato sull algebra delle matrici. P

2 Sia f u qualuque elemeto dello spazio fuzioale C [a,b] delle fuzioi cotiue i [a,b] R, dotato di prodotto scalare defiito da: f,g = b a f xg xdx, f,g C [a,b] 1 Ci propoiamo di determiare il miglior poliomio approssimate f el seso dei miimi quadrati. Per essere più specifici, dopo aver assegato u ordie di approssimazioe N {0, 1}, costruiamo u sistema liearmete idipedete di poliomi {ϕ 1,ϕ,...,ϕ } quali elemeti di C [a,b]. Come è oto, il metodo dei miimi quadrati cosiste el miimizzare l errore quadratico medio. I simboli: f τ = a k ϕ k 1 = f τ assume u miimo assoluto Sviluppado f τ secodo la 1 si perviee: 1 = f a k c k + k =1 a k a k ϕ k,ϕ k, ode risulta essere ua fuzioe reale delle variabili reali. I questa equazioe i umeri reali c k soo i coefficieti di Fourier: c k = b a ϕ k xf x dx k = 1,,..., 3 Applichiamo, duque, il procedimeto stadard per la ricerca degli estremi assoluti della fuzioe reale delle variabili reali a 1,a,...,a. Si ricordi che tale procedimeto è basato su u teorema che richiede la cotiuità di e delle sue derivate parziali secode ei puti iteri del domiio di defiizioe. Dalla vediamo che è di classe C su R, per cui possiamo applicare il suddetto teorema. Iiziamo a determiare i puti estremali o puti critici della fuzioe. A tale scopo, riscriviamo la come: a = 1 f a k c k + k =1 a k a k ϕ k,ϕ k, 4 dove a = a 1,a,...,a R. I altri termii, i umeri reali a k soo le compoeti di u vettore di R ella base caoica {e k } di tale spazio vettoriale. Le coordiate dei puti critici della fuzioe 4 soo le soluzioi dell equazioe vettoriale: ovvero del sistema di equazioi scalari elle icogite a 1,a,...,a : = 0, 5 a h = 0 h = 1,,..., 6 Riesce: [ = 1 a h δ kh c k + k =1 ] ϕ k,ϕ k a k a k a k 1

3 Calcoliamo a parte la doppia sommatoria a secodo membro. Osservado che: si ha: k =1 = a k a k a k = δ kh a k + a k δ k h, ϕ k,ϕ k a k a k a k ϕ k,ϕ k δ kh a k + ϕ k,ϕ k a k δ k h k =1 Scambiado le sommatorie el primo termie a secodo membro: k =1 ϕ k,ϕ k a k a k a k = k =1 ϕ k,ϕ k δ kh a k + δ kh cacella ella sommatoria su k tutti e soli i termii co k h: k =1 Trattadosi di u idice muto, scriviamo: k =1 ϕ k,ϕ k δ kh a k = ϕ k,ϕ k δ kh a k = k =1 ϕ h,ϕ k a k k =1 ϕ h,ϕ k a k Passiamo al secodo termie a secodo membro della 7: Fialmete: per cui k =1 ϕ k,ϕ k a k δ k h = k =1 Pertato il gradiete di è: essedo ϕ k,ϕ h a k = ϕ k,ϕ h = ϕ h,ϕ k ϕ k,ϕ k a k a k a k = = c h + a h = = = c h + h=1 ϕ k,ϕ k a k δ k h 7 ϕ h,ϕ k a k ϕ h,ϕ k a k, ϕ h,ϕ k a k 8 ϕ h,ϕ k a k e h 9 c h e h + h=1 c + c = h=1 h=1 ϕ h,ϕ k a k e h ϕ h,ϕ k a k e h, c h e h 10 h=1

4 il vettore di Fourier della fuzioe f secodo la base {ϕ k } di V, cioè il vettore le cui compoeti ella base caoica di R soo le coordiate di Fourier di f. Esplicitiamo la doppia sommatoria ell ultimo termie della 9: ϕ h,ϕ k a k e h = b h e h, dove: b h = h=1 h=1 ϕ h,ϕ k a k h = 1,,..., soo le compoeti di u vettore di R che deotiamo co b, ode: Per quato detto: b = = b c 11 ϕ h,ϕ k a k e h Da ciò vediamo che b è il risultato dell applicazioe di u edomorfismo A: h=1 Âa = b, la cui matrice rappresetativa ella base caoica {e k } di R è: ϕ 1,ϕ 1 ϕ 1,ϕ... ϕ 1,ϕ A = ϕ,ϕ 1 ϕ,ϕ... ϕ,ϕ ϕ,ϕ 1 ϕ,ϕ... ϕ,ϕ Simbolicamete: Â. = A, dove il simbolo =. deota rappresetato da. I maiera aaloga: a 1 a =. X = a... a Riesce: Âa =. AX = ϕ 1,ϕ k a k ϕ,ϕ k a k... ϕ,ϕ k a k I tal modo il gradiete di G si esprime attraverso l azioe dell edomorfismo  sul vettore a: = Âa c, 1 3

5 per cui l equazioe vettoriale 5 equivale alla seguete equazioe operatoriale: che ella base caoica di R si traduce ell equazioe matriciale: dove Âa = c, 13 AX = C, 14 C = Quidi la 13 scritta ella base caoica coduce al sistema di equazioi lieari: ϕ 1,ϕ 1 a 1 + ϕ 1,ϕ a ϕ 1,ϕ a = c 1 ϕ,ϕ 1 a 1 + ϕ,ϕ a ϕ,ϕ a = c ϕ,ϕ 1 a 1 + ϕ,ϕ a ϕ,ϕ a = c I altri termii, le coordiate dei puti estremali di soo le soluzioi del sistema 15 che è u sistema di equazioi lieari elle icogite a 1,a,...,a, di coefficieti i prodotti scalari ϕ h,ϕ k e i cui termii oti soo i coefficieti di Fourier della fuzioe assegata. Per il teorema?? la fuzioe f è uivocamete determiata dai suoi coefficieti di Fourier c 1,c,...,c. I particolare: c 1 c... c c 1 = c =... = c = 0 f x = 0, x [a,b] I altri termii, il sistema 15 è omogeeo se e solo se f è la fuzioe ideticamete ulla i [a,b]. Ioltre, comuque prediamo f C [a,b], la matrice dei coefficieti del sistema si scrive: ϕ 1,ϕ 1 ϕ 1,ϕ... ϕ 1,ϕ A = ϕ,ϕ 1 ϕ,ϕ... ϕ,ϕ , ϕ,ϕ 1 ϕ,ϕ... ϕ,ϕ che è la matrice rappresetativa di  Ed R ella base caoica di R. Per chiarezza riassumiamo i risultati raggiuti. Assegato il sistema liearmete idipedete {ϕ 1,ϕ,...,ϕ } C [a,b] mediate il quale vogliamo approssimare la ostra fuzioe f C [a, b], è uivocamete determiato u edomorifismo  Ed R la cui matrice rappresetativa ella base caoica è  =. A = ϕ h,ϕ k. Posto def a = 1 = f a k ϕ k, si ha = Âa b a c, essedo c = Σ k ϕ k,f e k. Possoo verificarsi i segueti casi: 1. det A 0, f o è ideticamete ulla i [a, b].. det A = 0, f o è ideticamete ulla i [a, b]. 3. f è ideticamete ulla i [a,b]. 4

6 Nel caso 1 il sistema 15 è ormale e la sua uica soluzioe si ottiee applicado il teorema di Cramer:! ã 1,ã,...,ã R ã k = k deta, dove k è il determiate della matrice quadrata ricavata da A sostituedo la coloa k-esima co quella dei termii oti. Ne cosegue che el caso 1 esiste u solo puto critico P ã 1,ã,...,ã. Nel caso il sistema è o ormale e la codizioe di compatibilità è espressa dal teorema di Rouchè-Capelli. Precisamete, deotado co B la matrice dei coefficieti e dei termii oti: B = ϕ 1,ϕ 1 ϕ 1,ϕ... ϕ 1,ϕ c 1 ϕ,ϕ 1 ϕ,ϕ... ϕ,ϕ c ϕ,ϕ 1 ϕ,ϕ... ϕ,ϕ c si ha che il sistema 15 è compatibile se e solo se rago A = rago B. I tal caso il rago del sistema è p = rago A = rago B <, per cui esistoo p soluzioi. Seza perdita di geeralità suppoiamo che sia: ϕ 1,ϕ 1 ϕ 1,ϕ... ϕ 1,ϕ p ϕ,ϕ 1 ϕ,ϕ... ϕ,ϕ p ϕ p,ϕ 1 ϕ p,ϕ... ϕ p,ϕ p 0,, per cui il sistema 15 è equivalete a ϕ 1,ϕ 1 a 1 + ϕ 1,ϕ a ϕ 1,ϕ p a p = c 1 ϕ 1,ϕ p+1 a p ϕ 1,ϕ a ϕ,ϕ 1 a 1 + ϕ,ϕ a ϕ,ϕ p a p = c ϕ,ϕ p+1 a p ϕ,ϕ a... ϕ p,ϕ 1 a 1 + ϕ p,ϕ a ϕ p,ϕ p a p = c ϕ,ϕ p+1 a p ϕ,ϕ a, 16 che si risolve co il teorema di Cramer, assumedo le p icogite a p+1,...,a come parametri. Ne cosegue che el caso esistoo ifiiti puti critici. Ifie, el caso 3 il sistema è omogeeo: ϕ 1,ϕ 1 a 1 + ϕ 1,ϕ a ϕ 1,ϕ a = 0 ϕ,ϕ 1 a 1 + ϕ,ϕ a ϕ,ϕ a = 0... ϕ,ϕ 1 a 1 + ϕ,ϕ a ϕ,ϕ a = 0 Se det A 0 il sistema 17 ammette la sola soluzioe baale a 1 = a =... = a = 0. Se deta = 0, detto p il rago di A, i.e. rago del sistema, si ha che 17 ammette p autosoluzioi cioè soluzioi o ulle. Da tale aalisi emerge che la codizioe deta 0 è vitale per l autocosisteza del metodo di approssimazioe che stiamo elaborado. Ifatti, se f è ideticamete ulla i [a, b], la fuzioe diviee: a1,a,...,a = 1 a k a k ϕ k,ϕ k, k =1 metre la 11 si scrive: = Âa, per cui l equazioe operatoriale per i puti critici diviee: { } Âa = 0 a ker  = x R Âx =

7 Per ua ota proprietà: R  + N  = dim R =, } dove R  è il rago dell edomorfismo  Â, ovvero R = dimâr, essedo  R = {Âx x R l immagie di R mediate  Â. Il termie N è, ivece, la ullità di Â, cioè N  = dim kerâ. Risulta poi: R  = rago A, {e k } base di R, ode: deta 0 = ragoâ = R  = = N  = 0 = ker  = {0}, cioè kerâ è il sottospazio improprio di R, ovvero il sottospazio il cui uico elemeto è il vettore ullo. Ne cocludiamo che se deta 0 e f è la fuzioe ideticamete ulla i [a,b], si ha: Âa = 0 a = 0, i.e. l uico puto critico è P 0, 0,..., 0, avedosi : 0, 0,..., 0 = 0 mi R = 0 Tali risultati soo cosisteti, poichè se f è ideticamete ulla, la migliore approssimazioe di f mediate poliomi è il poliomio ideticamete ullo, i.e. il poliomio τ = Σ k a k ϕ k co coefficieti a k tutti ulli. Viceversa, se deta 0 esistoo p poliomi o ulli che approssimao la fuzioe ideticamete ulla. E tale risultato è maifestamete icosistete. Riprediamo l equazioe operatoriale: Âa = c 18  è u edomorfismo simmetrico, giacchè A S R, essedo quest ultimo il sottospazio vettoriale di M R, 1 delle matrici simmetriche. Comè be oto dall Algebra lieare, ogi matrice simmetrica è riducibile a ua matrice diagoale. Più precisamete, gli edomorfismi simmetrici ammettoo ua base ortogoale di autovettori {u k } co autovalori reali. Abbiamo : Âu k = λ k u k k = 1,,..., tali che λ k R, u k u h = 0, h k Il sistema ortogoale {u k } può essere ormalizzato, otteedo ua base ortoormale di R. I tale base l edomorfismo  è rappresetato da ua matrice diagoale: λ  =. A diag =... λ λ Come è oto, la matrice diagoale A diag è legata alla matrice A da ua relazioe del tipo relazioe di similitudie: A diag = R 1 AR, 19 dove R è la matrice di passaggio dalla base caoica {e k } alla base {u k }. Trattadosi di basi ortoormali si ha che R è ortogoale, ode la relazioe di similudie 19 è i realtà ua relazioe di cogrueza: A diag = R T AR 1 M R, è lo spazio vettoriale delle matrici sui reali. Per semplicità cosideriamo pari a 1 la molteplicità algebrica di sigolo autovalore λ k. 6

8 Ciò si esprime dicedo che ogi matrice simmetrica è cogruete a ua matrice diagoale. Per quato riguarda la determiazioe di autovalori e autovettori, ricordiamo che gli autovalori soo gli zeri del poliomio caratteristico, i.e. le radici dell equazioe caratteristica o equazioe secolare: det A λī = 0, 0 dove Ī è la matrice idetità di ordie. Seza perdita di geeralità, suppoiamo di avere def radici semplici λ 1,λ,...,λ, per cui le compoeti ella base caoica dell autovettore u k = u k = Σ h=1 uk h e h si ottegoo risolvedo il sistema omogeeo: ϕ 1,ϕ 1 λ 1 u k 1 + ϕ 1,ϕ u k ϕ 1,ϕ u k = 0 ϕ,ϕ 1 u k 1 + ϕ,ϕ λ u k ϕ,ϕ u k = 0... ϕ,ϕ 1 u k 1 + ϕ,ϕ u k ϕ,ϕ λ u k = 0 I forza della 0 tale sistema ammette ifiite autosoluzioi defiite a meo di ua costate di ormalizzazioe. Al sottospazio vettoriale V = L {ϕ k } = {Σ k a k ϕ k a k R, ϕ k C [a,b]} corrispode R = {a 1,a,...,a a k R}. Si tratta di spazi vettoriali isodimesioali, quidi isomorfi. Gli elemeti della -pla ordiata a 1,a,...,a soo le compoeti del vettore a ella base caoica {e k } di R, ma soo ache le compoeti di τ ella base {ϕ k } di V. Quidi, alla base {e k } di R corrispode la base {ϕ k } di V. Ciò implica che al cambiameto di base {e k } { u k} corrispode i V il cambiameto di base: {ϕ k } {ψ k }, dove {ψ k } è ua base ortogoale di V. Quidi: A diag = ψ 1,ψ ψ,ψ ψ,ψ cioè λ k = ψ k. Se {ψ k } è ortoormale, si ha λ k = 1. I tal caso la 18 si scrive: da cui le soluzioi: Se {ψ k } è ortoormale: a k = Âa = c A diag X = C, c k, k = 1,,..., ψ k,ψ k a k = c k, k = 1,,..., ode l uico puto estremale ha per coordiate le coordiate di Fourier della fuzioe assegata f, cofermado il risultato otteuto dalla??. Ritoriamo al caso geerale i cui i poliomi di base di V o soo ortogoali. Abbiamo visto che se la matrice A è o sigolare, esiste uo ed u solo puto critico P ã 1,ã,...,ã della fuzioe. Per stabilire se si tratta di u puto di miimo, dobbiamo determiare le derivate parziali secode. A tale scopo, riscriviamo la 8 come per cui: a i = c i + = 0 + a i a j 7 ϕ k,ϕ i a k, ϕ k,ϕ i δ kj, 1

9 Cioè: = a h a k ϕ h,ϕ k Seza perdita di geeralità cosideriamo il caso particolare =. Quidi: Le 8 si scrivoo: 1 [ a = f a c + a 1 ϕ 1,ϕ 1 + a 1 a ϕ 1,ϕ + a ϕ,ϕ ] quali compoeti del gradiete di : Le : Risolviamo: Riesce: = a 1 c 1 + a 1 ϕ 1,ϕ 1 + a ϕ 1,ϕ 3 = a 1 c + a 1 ϕ 1,ϕ + a ϕ,ϕ, Âa = c = Âa c = a 1 ϕ 1,ϕ 1 4 = a ϕ,ϕ = a 1 a ϕ 1,ϕ { ϕ1,ϕ 1 a 1 + ϕ 1,ϕ a = c 1 ϕ,ϕ 1 a 1 + ϕ,ϕ a = c 5 deta = ϕ 1,ϕ 1 ϕ,ϕ ϕ 1,ϕ, da cui vediamo che deta 0, ϕ 1,ϕ 0. Abbiamo quidi u uico puto estremale P ã 1,ã co: Si oti che ã 1 = c 1 ϕ,ϕ c ϕ 1,ϕ ϕ 1,ϕ 1 ϕ,ϕ ϕ 1,ϕ 6 ã = c ϕ 1,ϕ 1 c 1 ϕ,ϕ 1 ϕ 1,ϕ 1 ϕ,ϕ ϕ 1,ϕ ã 1,ã = c 1,c {ϕ k } è ortoormale, cofermado quato detto i precedeza. Per stabilire la atura del puto critico P, dobbiamo calcolare l hessiao i tale puto: [ ] H ã 1,ã = a 1 a ã1,ã a 1 a ã1,ã ã1,ã Osserviamo che le derivate secode di soo delle costati. I ogi caso, sostituedo i loro valori eq. 4 ell equazioe precedete si ottiee: H ã 1,ã = 4 deta 7 8

10 Risulta H ã 1,ã 0, poichè è deta 0. Ne cosegue che P ã 1,ã o è puto di sella comuqe prediamo il sistema {ϕ k }. Ricordiamo, poi, che per il oto criterio dell hessiao affichè P ã 1,ã sia u puto di miimo relativo, deve aversi: Riesce a 1 ã1,ã H ã 1,ã > 0, > 0, i quato a 1 ã1,ã a 1 > 0 ã1,ã = b a ϕ k, metre H ã 1,ã > 0 deta > 0 Ne cocludiamo che P ã 1,ã è puto di miimo relativo per G a se e solo se deta > 0. Tale puto è maifestamete di miimo assoluto per la fuzioe a 1,a. Per > la ricerca del miimo di richiede lo studio della forma quadratica: φ λ 1,λ,...,λ = h=1 elle variabili ausiliarie 3 λ 1,λ,...,λ. Precisamete: a h a k A. φ è defiita positiva = P 0 è puto di miimo relativo proprio; P λ h λ k B. φ è defiita egativa = P 0 è puto di massimo relativo proprio; C. φ è idefiita = P 0 o è puto di estremo relativo. Ma, per quato precede, il miimo assoluto di può essere determiato co l algebra delle matrici, ovvero risolvedo il sistema di equazioi lieari 15. Abbiamo, quidi, il seguete algoritmo: Sia data la fuzioe f C [a,b]. Stabiliamo u ordie di approssimazioe idividuato da u itero positivo, dopodichè scegliamo ad arbitrio u sistema liearmete idipedete di poliomi {ϕ 1,ϕ,...,ϕ }. Calcoliamo la orma al quadrato della fuzioe: quidi le coordiate di Fourier di f: f = c k = ϕ k,f = b a b a [f x] dx, ϕ k x f xdx, e i prodotti scalari: ϕ h,ϕ k = b ϕ h xϕ k xdx 3 Solitamete defiite da: λ k = a k ã k, ρ dove ρ = dist P, P = a k ã k, co P P. a 9

11 A questo puto o dobbiamo fare altro che risolvere il sistema di equazioi lieari 15. Per quato visto el caso particolare =, riesce deta 0 per ogi sistema {ϕ k } liearmete idipedete. Quidi l uica soluzioe ã 1,ã,...,ã è, se deta > 0, puto di miimo di : Esempio 1 Approssimare la fuzioe mediate τ 8 x = Σ 8 a kϕ k, dove: Svolgimeto. Calcolado gli itegrali, si trova: Norma al quadrato di f Coordiate di Fourier di f c 1 = mi R = G ã1,ã,...,ã f : [ 1, 1] arcsix ϕ 1 x = 1 + x 3 + x 5 ϕ x = 1 x ϕ 3 x = x 4 x 5 ϕ 4 x = + x + x x 3 + x 4 + 3x 5 ϕ 5 x = 3 + 4x x ϕ 6 x = 1 + x + x + x 3 + x 4 ϕ 7 x = 4 + x 7x 3 + x 5 ϕ 8 x = 5 3x + 4x x 5 f = c = 4 3 c 3 = π c 4 = π c 5 = 3 + π 1 + arcsix dx = π 1 + x 3 + x arcsixdx = π c 6 = π c 7 = π 48 c 8 = π 10

12 Prodotti scalari dei vettori di base ϕ h,ϕ k e quidi il sistema di equazioi lieari: 018 a a 3 a a a a a a = + 13π 48 4 a a a a a a a a 15 8 = 4 3 a a a a a 35 5 a a a = 11π a a a a a a a a = π a a 15 10a a a a a a = + π 3 8 a a 1 a a a a a a = π a a a a a a a a = π a a a a a a a a = π 48 Riesce det A = 0, per cui il sistema se è compatibile è idetermiato. Tetado, tuttavia, di trovare almeo ua soluzioe ad esempio, co u sistema di computer algebra, si ha: τ 8 x = π ϕ 1 x π ϕ x π ϕ 3 x π 0480 ϕ 3 x 1 + 1π ϕ 4 x π ϕ 5 x I fig. 1 riportiamo il grafico di f e del poliomio approssimate. 5 y x Figura 1: Approssimazioe della fuzioe f x = 1 + arcsix mediate τ 8 x. Esempio Approssimare la fuzioe 1, per 0 < x 1 f x = 0, per x = 0 1, per 1 < x < 0 9 mediate τ 8 x = Σ 8 a kϕ k, dove ϕ k soo i poliomi dell esempio precedete. Svolgimeto. Si oti che f C [ 1, 1], poichè x = 0 è u puto di discotiuità di prima specie. Trattadosi di ua discotiuità fiita, possiamo comuque tetare u approssimazioe. Calcolado le coordiate di Fourier e gli elemeti di matrice di A, si perviee all approssimazioe graficata i fig.. 11

13 y x Figura : Approssimazioe della fuzioe 9 co τ 8 x. 1