ESAME DI MATEMATICA I Modulo di Analisi Matematica Corso 3 Anno Accademico 2008/2009 Docente: R. Argiolas

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1 ESAME DI MATEMATICA I Modulo di Aalisi Matematica Corso Ao Accademico 008/009 Docete: R Argiolas Cogome Matricola 6 Geaio 009 ore 9 Aula C Nome Corso voto Esercizio Assegata la uzioe a Si determii il suo campo di esisteza, classiicado gli evetuali puti di discotiuità e determiado gli evetuali asitoti; b Si determiio gli evetuali puti di o derivabilità, i puti di massimo e miimo relativi e assoluti, i puti di lesso; c Si tracci u graico approssimato della uzioe e il graico della uzioe Esercizio Assegata la uzioe g arcsi a Determiare il suo campo di esisteza e stabilire dove è positiva; b Stabilire se soo applicabili i teoremi di Weierstrass e Lagrage ell itervallo [-/;/]; c Veriicare se è applicabile il teorema degli zeri ell itervallo [-/;/] I caso cotrario dire se la uzioe possiede degli zeri determiadoe almeo uo; d Scrivere lo sviluppo di Taylor co puto iiziale 0 0 arrestato al secod ordie Determiare la atura del puto 0 0 e utilizzare lo sviluppo precedete per calcolare il seguete ite: g 0 e si Esercizio Si studi il carattere della serie umerica S sia studiadoe l assoluta covergeza sia utilizzado il criterio che si ritiee più opportuo

2 ESAME DI MATEMATICA I Modulo di Aalisi Matematica Corso Ao Accademico 008/009 Docete: R Argiolas 6 Geaio re 9 Aula C Soluzioe Esercizio a Si tratta di ua uzioe aritmica ratta La uzioe aritmica è deiita quado il suo argometo è strettamete positivo, metre per l esisteza della uzioe ratta basta imporre che il suo deomiatore sia diverso da zero, da cui segue che: 0 C E, 0 Studiamo il comportameto della uzioe agli estremi del campo di esisteza La uzioe preseta u asitoto verticale destro di equazioe Calcoliamo adesso il ite della uzioe per osserviamo che i tal caso il valore assoluto è superluo [ ] No ci soo asitoti orizzotali, potrebbero essercee obliqui m q No ci soo asitoti obliqui m b Calcoliamo la deriva prima Prima di evetuali sempliicazioi, calcoliamo il campo di esisteza della derivata prima Ci accorgiamo che:, C E di, il puto di ascissa è u puto di o derivabilità, che adesso classiichiamo, calcolado il ite destro e siistro della derivata i tale puto, o prima però di aver separato il valore assoluto

3 Passiamo ora al calcolo dei iti 0 Il puto di ascissa è u puto agoloso di ordiata y Dedichiamoci ora alla ricerca degli evetuali puti di massimo e miimo utilizzado il test di mootoia: 0 la uzioe o preseta massimi e miimi per, ioltre è sempre crescete 0 itervallo la uzioe è decrescete i questo,, di per valori veriicata è mai o Dallo studio della derivata prima abbiamo dedotto che la uzioe è crescete per, decrescete per,, o ha massimi e miimi, e il puto di ascissa, P è u puto agoloso che è ache miimo assoluto quidi ache relativo Ricerchiamo ora, attraverso lo studio della derivata secoda gli evetuali puti di lesso: la uzioe o preseta lessi c Graico della uzioe

4 La uzioe è positiva, quidi il graico del valore assoluto coicide co quello della uzioe stessa Soluzioe Esercizio a Il domiio della uzioe si ottiee impoedo, da cui segue che C E, Studiamo la positività della uzioe Poiché l arcoseo è positivo quado lo è il suo argometo, la uzioe è sempre positiva el suo campo di esisteza b Il teorema di Weierstrass assicura l esisteza di massimi e miimi assoluti per uzioi cotiue i itervalli chiusi e itati Ricordado che le uzioi elemetari soo sempre cotiue el loro campo di esisteza e osservado che il domiio della uzioe è u itervallo chiuso e itato, possiamo acilmete cocludere che il teorema è applicabile Il teorema di Lagrage, oltre alla cotiuità i u itervallo chiuso e itato richiede ache la derivabilità ello stesso itervallo ma aperto Calcoliamo la derivata prima della uzioe: g arcsi Si veriica acilmete, impoedo che il radicado al deomiatore sia strettamete positivo che C Edi g, E quidi applicabile il teorema di Lagrage ell itervallo assegato Questo garatisce l esisteza di almeo u puto del domiio i cui la retta tagete al graico della uzioe i quel puto è parallela alla retta cogiugete agli estremi dell itervallo c Il teorema degli zeri è applicabile a uzioi cotiue i itervalli chiusi e itati [a,b] e tali che g a g b 0 Abbiamo già veriicato vedi puto b che la uzioe è cotiua ell itervallo assegato Sappiamo ache che è positiva el suo campo di esisteza, o potrà quidi veriicare la codizioe g a g b 0 Iatti, voledo essere pigoli e svolgedo i calcoli si ottiee: π π π g a g b g g 0 6 Il teorema o è applicabile, ma esso rappreseta solo ua codizioe suiciete per l esisteza degli zeri di ua uzioe, quidi o possiamo escludere che la uzioe ammetta comuque degli zeri Iatti è acile veriicare che g arcsi 0 0, quidi l origie è uo zero per la ostra uzioe d Ricordiamo la ormula dello sviluppo di Taylor co puto iiziale zero quidi di Mac Lauri di ua uzioe g arrestato al secodo ordie: g g0 g 0 g 0 o Ricordado il puto b abbiamo che: g arcsi quidi g 0 0

5 Calcoliamo la derivata secoda: g 8 Valutado la derivata secoda i zero ricaviamo che g 0 Pertato la sviluppo della uzioe è: g o Il puto è u puto di miimo iatti, dallo sviluppo di Taylor abbiamo otteuto che: g 0 0 il puto è stazioario e g 0 0 derivata di ordie pari positiva Per calcolare il ite ricordiamo che: t t o t da cui segue e o e t 6 6 t o quidi si o si t 6 Pertato: 0 e g si o o 6 6 o 5 0 o o 0 dove ell ultimo passaggio abbiamo sruttato il pricipio di eiazioe degli iiitesimi e le proprietà dell o piccolo Beché o osse richiesto, per completezza di esposizioe, iserisco ache il graico della uzioe g primo graico e del poliomio approssimate sovrapposto alla uzioe secodo graico Soluzioe Esercizio Si tratta di ua serie a termii di sego altero Studiare l assoluta covergeza equivale a studiare la covergeza semplice della serie dei valori assoluti Si ha:

6 La serie appea trovata è a termii positivi per, la preseza del aritmo che iduce a utilizzare il criterio di codesazioe per studiare la covergeza Si ha: Utilizzado iie il criterio della radice, abbiamo La serie coverge per il criterio della radice La serie iiziale S pertato coverge assolutamete e per la be ota implicazioe covergeza assoluta implica covergeza semplice la serie coverge ache semplicemete Osserviamo che el calcolo del ite abbiamo sruttato il atto che il ite all iiito della radice eesima di costati e di poliomi vale Veriichiamo il risultato otteuto utilizzado il criterio di Leibiz Abbiamo 0 per la gerarchi degli iiiti, i poliomi vao più velocemete all iiito del aritmo co base maggiore di uo, e delle sue poteze Per veriicare la decresceza della successioe studiamo la derivata prima estededo il domiio dai umeri aturali ai umeri reali per 0 e Pertato la successioe è decrescete per 5