Derivate delle funzioni di una variabile

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1 Pro Cirizzi Marco wwwelettroealtervistaor wwwproessoremypodcastcom Derivate delle uzioi di ua variabile Il cocetto di derivata di ua uzioe è uo dei più importati arometi della matematica pura, come di oi sua applicazioe, ed è quello su cui si basa il calcolo diereziale Sia y ua uzioe deiita i u itervallo ] a, b [ e deotiamo co u puto itero a questo itervallo Suppoiamo di passare dal puto ad u altro puto qualuque, dell itervallo ] a, b [, dove prede il ome di icremeto della variabile Si deiisce icremeto della uzioe y la diereza: e può assumere valore positivo, eativo o ullo Il rapporto: si ciama rapporto icremetale della uzioe, relativo al puto e all icremeto Fissato il puto, questo rapporto varia i uzioe della variabile, purcé questa sia diversa da zero Deiizioe Si ciama derivata della uzioe el puto il ite, se esiste ed è iito, del rapporto icremetale al tedere di a zero La derivata si idica i uo dei seueti modi: [ D ], y, Riassumedo, la derivata della uzioe è deiita dalla relazioe: Se esiste il ite siistro del rapporto icremetale, si dirà ce la uzioe ammette derivata siistra el puto e si scriverà: metre, se esiste il ite destro del rapporto icremetale, allora si dirà ce la uzioe ammette derivata destra el puto e si scriverà:

2 Quado si dirà ce la uzioe è derivabile i u puto, si itederà ce i questo puto esistoo iiti sia la derivata siistra ce la derivata destra e ce queste siao ra loro euali Si dimostra il seuete teorema: Teorema Se ua uzioe è derivabile el puto, ivi è ace cotiua Bisoa però sottolieare il atto ce i eerale l implicazioe opposta del teorema o vale Iatti esistoo uzioi ce soo cotiue i u puto, ma ivi o derivabili Esempi Calcolare el puto la derivata della uzioe: Bisoa calcolare il rapporto icremetale della uzioe ed il ite di questo rapporto per Possiamo allora scrivere: Calcolare el puto la derivata della uzioe Si a: La uzioe: è cotiua el puto Dimostrare ce ello stesso puto o è derivabile Si a:

3 ; La derivata di, calcolata el puto, risulta:, e ciò prova la ostra aermazioe La uzioe: è cotiua el puto Dimostrare ce i tale puto la derivata della uzioe o esiste Si a: Le derivate siistra e destra della uzioe el puto, per > per <, soo rispettivamete: I due iti esistoo, soo iiti, ma o soo euali, il ce prova la ostra aermazioe 5 La uzioe: se è cotiua el puto Dimostrare ce i tale puto la uzioe o è derivabile Si a: se ; La derivata della uzioe se, calcolata el puto, risulta: se se se, posto se z z, si ricordi ce z z,

4 e ciò prova la ostra aermazioe NB D ora i poi, deoteremo co il puto i cui si vuole calcolare le derivate e sostituiremo la variabile, iora adottata ella deiizioe di rapporto icremetale della uzioe, co la variabile 6 Applicado la deiizioe di derivata, calcolare, el puto, la derivata della seuete uzioe: Si a: [ ] [ ] ; [ ] La derivata della uzioe, el puto, risulta: [ ] 7 Applicado la deiizioe di derivata, calcolare, el puto, la derivata della seuete uzioe: Si a:

5 [ ] [ [ ] 8 ; [ ] La derivata della uzioe, el puto, risulta: ] [ ] Applicado la deiizioe di derivata, calcolare, el puto, la derivata della uzioe: se Si a: se se se cos se cos se se cos se cos se cos se cos ; La derivata della uzioe se, calcolata el puto, risulta: se cos se cos se cos cos se se cos Derivate di alcue uzioi elemetari I questo pararao illustreremo le derivate di alcue uzioi elemetari, omettedo i relativi sviluppi matematici ce coducoo ad esse, i quato idetici a quelli eettuati ello svoeto deli esercizi precedeti Premesso ciò, iiziamo co la uzioe se :

6 La derivata della uzioe se è uuale a cos, purcé l aolo sia misurato i radiati, cioè: D se cos La derivata della uzioe cos è uuale a se, cioè: D cos se La derivata della variabile idipedete è uuale ad uo, cioè: D La derivata della uzioe costate C è ulla, cioè: D C 5 La derivata della uzioe lo risulta: a D lo a lo dove e idica il umero di Neper Se la base a del loaritmo coicide co il umero e di Neper, si a: D lo a e Teoremi sulle derivate Derivata della somma di più uzioi derivabili Sia : F m La derivata della somma alebrica di più uzioe derivabili, esiste ed è uuale alla somma delle derivate di queste uzioi, cioè: F m Derivata del prodotto di più uzioi derivabili Sia: F m

7 La derivata del prodotto di più uzioi derivabili, esiste ed è uuale alla somma dei prodotti ce si otteoo moltiplicado la derivata di oi attore per tutti i attori rimaeti, cioè: [ ] m m m m m D F Derivata della uzioi poteza Sia: [ ] F co umero itero positivo maiore di uo La derivata dell eesima poteza di ua uzioe è uuale al prodotto di [ ] per la derivata della uzioe, cioè: [ ] F Da questo teorema coseue il seuete caso particolare: la derivata della uzioe risulta: Derivata del rapporto di uzioi Sia: F e suppoiamo ce e siao derivabili el puto La derivata del quoziete di due uzioi derivabili esiste ed è uuale al deomiatore moltiplicato per la derivata del umeratore meo il umeratore moltiplicato per la derivata del deomiatore, il tutto diviso per il quadrato del deomiatore [ ] F Da questo teorema coseuoo le seueti derivate: Sia: se t cos La derivata è:

8 D t t cos Sia: La derivata è: ct t cos se Osservazioe D ct ct se No sempre soo vere le implicazioi iverse dei teoremi sulla derivata della somma, della diereza, del prodotto e quoziete I altre parole, può capitare ce i u puto esista la derivata della somma di più uzioi, ma o le derivate delle siole uzioi, calcolate ello stesso puto Per esempio, le uzioi: t, se o soo derivabili el puto, ma risulta derivabile, ello stesso puto, la uzioe: F Ivitiamo il lettore a dimostrare questa aermazioe Derivate delle uzioi composte Sia : [ φ ] F ua uzioe composta Si dimostra il seuete teorema: Teorema Se z e φ soo due uzioi derivabili, allora lo è ace la uzioe composta [ φ ] F, e la sua derivata è: [ φ ] φ F Questo teorema si estede al caso i cui le uzioi itermedie soo più di ua 5 Derivata loaritmica

9 La derivata loaritmica di ua uzioe è la derivata del loaritmo, i base e, di questa uzioe I ormula, si a: D [ lo ] Dalla ormula iversa di questa relazioe si ottiee: [ lo ] D cioè, la derivata di ua uzioe la si può otteere moltiplicado tale uzioe per la derivata del loaritmo della uzioe stessa Facciamo qualce esempio: La derivata della uzioe a co a >, risulta: [ lo a ] a D[ lo a ] a lo a a D Se a e, abbiamo: e [ loe ] e D[ loe ] e loe e e D Teedo coto di questo risultato e della reola di derivazioe delle uzioi composte, i eerale si a: D e e La derivata della uzioe: co umero reale qualsiasi, risulta: D [ lo ] D[ lo ] Come caso particolare, cosideriamo la uzioe: ce può essere scritta ace el seuete modo: la cui derivata risulta:

10 D lo D lo 5 I base alla derivata loaritmica, si dimostra acilmete ce la uzioe: ammette la seuete derivata: [ ] [ ] lo 6 Derivazioe delle uzioi iverse Sia y ua uzioe derivabile, co derivata diversa da zero, i tutti i puti di u itervallo ivi ivertibile Sia φ y la uzioe iversa di teorema: Teorema Si dimostra il seuete La derivata della uzioe iversa φ y di, el puto y, è uuale al reciproco della derivata, cioè: φ y Per are u esempio di applicazioe di questo teorema, calcoliamo la derivata della seuete uzioe: y arcse la quale è l iversa della uzioe se y Utilizzado la ormula scritta sopra, si a: D arcse D se y, cos y ma cos y ± se y ± Se cosideriamo la variabile y ell itervallo allora cos y è positivo e la derivata di arcse risulta: π π,, per l ivertibilità della uzioe,

11 D arcse Utilizzado la stessa reola di derivazioe, si otteoo altre derivate delle uzioi iverse delle uzioi oiometrice, di cui ci itiamo a riportare i risultati: D arccos, dove y arccos è l' iversa di cos y D arct, dove y arct èl' iversa di t y D arcct, dove y arcct è l' iversa di ct y 7 Derivate di ordie superiore Sia y ua uzioe deiita i u itervallo [ b ] derivata secoda di, e la si idica co, oppure co D a,, ivi derivabile Si ciama, la derivata della derivata di Aaloamete si deiisce derivata terza di, e la si idica co, oppure co D, la derivata della derivata secoda di Proseuedo allo stesso modo, si deiisce la derivata d ordie, co umero itero positivo qualsiasi Esercizi svolti Derivate delle uzioi di ua variabile Ricordado le seueti ormule di derivazioe: D, D, D k k applicado il teorema di derivazioe di ua somma: risolviamo i seueti esercizi: [ ] D D D,

12 Data la uzioe: 5 calcolare la derivata Si a: 5 Data la uzioe: a b c calcolare la derivata Si a: a b Data la uzioe: calcolare la derivata Si a: 8 8 Data la uzioe: calcolare la derivata Si a: 5 Data la uzioe:

13 7 7 calcolare la derivata Si a: Ricordado ace la reola di derivazioe del quoziete di due uzioi: [ ] D risolviamo i seueti esercizi: 6 Data la uzioe: calcolare la derivata Si a: 7 Data la uzioe: calcolare la derivata Si a: 8 Data la uzioe: 5 5 calcolare la derivata Si a:

14 Data la uzioe: calcolare la derivata Si a: [ ] Ricordado ace la reola di derivazioe del prodotto di due uzioi: [ ] [ ] [ ],, D D risolviamo i seueti esercizi: