Esame di maturità scientifica, corso sperimentale PNI a. s

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1 Esame di maturità scietifica, corso sperimetale PNI a. s Prolema 1 Sia γ la curva di equazioe y = ke ove k e λ soo parametri positivi. Puto 1 Si studi e si disegi γ ; Domiio: La fuzioe f ( ) = ke co k e λ parametri positivi é defiita Simmetrie: siccome f(-)=f() la fuzioe è pari (il grafico della fuzioe è simmetrico rispetto all asse delle ordiate). essedo k> 0 Sego: f( ) > 0 ke > 0 e > 0 Itersezioi co gli assi: essedo f( ) > 0 la curva γ o iterseca l asse delle ascisse. Per =0 si ha f(0)=k, cioè il grafico della fuzioe iterseca l asse delle ordiate el puto M(0;k). Limiti agli estremi dell itervallo: lim ke λ = 0 ; lim ke λ = 0 + La retta di equazioe y=0 è u asitoto orizzotale a destra e a siistra per il grafico della fuzioe. L esisteza dell asitoto orizzotale y=0 esclude l esisteza degli asitoti oliqui. No esistoo asitoti verticali. Derivata prima: y' = λ k e λ Sego della derivata prima λ > 0 k> 0 ' > 0 λ e > 0 > 0 < 0 y k e Il puto M(0;k) è u puto di massimo assoluto per il grafico della fuzioe. Derivata secoda: '' y = λk e λe = λke ( λ 1 ) Sego della derivata secoda λ > 0 k> 0 e > y'' > 0 λke ( λ 1) > 0 ( λ 1) > 0 < >+ λ λ I puti F1 ; k e e F + ; k e λ λ fuzioe y = ke. soo due puti di flesso per il grafico della

2 I questa figura λ è fisso e k varia. All aumetare del valore di k aumeta il λ valore = 3 massimo della fuzioe. I questa figura k è fisso e λ varia. All aumetare del valore di λ dimiuisce l ascissa del puto di flesso: la forma a campaa della curva diveta sempre più stretta. Puto Si determii il rettagolo di area massima che ha u lato sull asse e i vertici del lato opposto su γ. L area del rettagolo ABCD è miima per =0, massima per i vertici del rettagolo ABCD, i questo caso, soo: =+ 1 λ Puto 3 Sapedo che + e d= π e assumedo 1 λ = l area compresa tra γ e l asse sia 1., si trovi il valore da attriuire a k affiché

3 L area compresa tra γ e l asse è data dall itegrale improprio: 1 Impoedo I=1,si ottiee k π = 1 k =. π Puto 4 Per i valori di k e λ sopra attriuiti, γ è detta curva stadard degli errori o delle proailità o ormale di Gauss (da Karl Friedrich Gauss, ). Ua media µ 0 e uo scarto quadratico medio σ 1 come modificao l equazioe e il grafico? All aumetare di σ la curva si allarga e preseta ua maggiore dispersioe rispetto al valor medio µ. Il parametro µ (media) determia ua traslazioe della curva gaussiaa.

4 Prolema Sia f la fuzioe così defiita f ( ) se π π = cos a + co a e umeri reali diversi da zero. Puto 1 a+ Si dimostri che, comuque scelti a e, esiste sempre u valore di tale che f( ) =. Ricordiamo che: se f :[ a; ] cotiua ( [a,] chiuso e limitato), f assume massimo assoluto M e miimo assoluto m i [a,] (Teorema di Weierstrass), f assume tutti i valori compresi tra m ed M ( Teorema dei valori itermedi). Cioè ua fuzioe f cotiua i u itervallo chiuso e limitato [a,] ha come immagie u itervallo limitato e chiuso [m,m]. La fuzioe f ( ) se π π = cos a +, co a e umeri reali diversi da zero, è defiita e cotiua su tutto R e quidi è defiita e cotiua ache su [a;]; ioltre f(a)=a e f()=, per cui f( a) + f( ) a+ f ( a) < < f( ) f( a) < < f( ) per il Teorema dei valori itermedi esiste certamete u valore di, itero all itervallo di estremi a+ a,, per il quale f( ) =. Puto Si cosideri la fuzioe g otteuta dalla f poedo a==. Si studi g e se e tracci il grafico. Poedo a== si ottiee: g ( ) se π π = cos + dalla formula di duplicazioe del seo si ha: π cosπ g'()= + 1 > 0 cosπ > la disequazioe si può risolvere graficamete. π

5 Puto 3 Si cosideri per >0 il primo puto di massimo relativo e se e forisca ua valutazioe approssimata applicado u metodo iterativo a scelta. π cosπ Aiamo visto che g'()= + 1. Il primo puto di massimo relativo co ascissa positiva 1 = α soddisfa le codizioi g'( α)=0; < α < 1 π cosπ Applicado il metodo di isezioe all equazioe + 1= 0 1 ell itervallo ;1 si ha: 1 g ( 1 ) g ( ) α 0, ,5708 0,5<α <1 0,75 (media tra 0,5 e 1) 1-0,1107-0, ,5<α <0,75 0,65 (media tra 0,5 e 0,75) 0,75 +0,3989-0,1107 0,65<α <0,75 0,6875 (media tra 0,65 e 0,75) 0,75 +0,173-0,1107 0,6875<α <0,75 0,71875 (media tra 0,6875 e 0,75) 0,75 +0,0035-0,1107 0,71875<α <0,75

6 Quesito 1 Questioario La misura degli agoli viee fatta adottado ua opportua uità di misura. Le più comui soo i gradi sessagesimali, i radiati, i gradi cetesimali. Quali e soo le defiizioi? Quesito Provate che la superficie totale di u cilidro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come 3 sta a 4. Quesito 3 U solido viee trasformato mediate ua similitudie di rapporto 3. Come varia il suo volume? Come varia l area della sua superficie? Ricordiamo i segueti teoremi sui solidi simili: Le misure delle aree delle superfici di due solidi simili stao tra loro come i quadrati delle misure di due elemeti lieari omologhi. Le misure dei volumi di due solidi simili stao tra loro come i cui delle misure di due elemeti lieari omologhi Quesito 4 Cosiderate gli isiemi A = { 1,, 3, 4} e B { ac,, } A i B? Quesito 5 Dare u esempio di fuzioe g, o costate, tale che: = ; quate soo le applicazioi (le fuzioi) di lim g ( ) = 3 e g()=4. Quesito 6 Date u esempio di fuzioe f() co u massimo relativo i (1, 3) e u miimo relativo i (-1, ). Quesito 7 Tra i triagoli di ase assegata e di uguale area, dimostrare che quello isoscele ha perimetro miimo.

7 Si fissi u sistema di assi cartesiai ortogoali di cetro O coicidete co u vertice della ase di u triagolo OAB di ase assegata OA =. Sia B il terzo vertice di coordiate (,y) del triagolo. Tutti i triagoli di ase assegata e area S assegata si ottegoo facedo variare il vertice B sulla S OA BH y S retta y =, ifatti S = S = y =. Tra tutti questi triagoli doiamo trovare quello di perimetro miimo. La fuzioe p() ha u solo puto stazioario di ascissa = ed essedo lim p ( ) ± puto è u puto di miimo. I coclusioe, il perimetro del triagolo ABC è miimo per S Per questo valore si ha AB = BO = +, cioè il triagolo ABC è isoscele. Quesito 8 Trovate due umeri reali a e, a, che hao somma e prodotto uguali. =+ questo Quesito 9 Si dimostri che l equazioe e + 3= 0 ammette ua e ua sola soluzioe e se e calcoli u valore approssimato utilizzado u metodo iterativo a scelta. =. La prima parte di questo quesito è uguale al quesito 4 del tema assegato per il corso di ordiameto. Per comodità si riportao le coclusioi alle quali si era perveuti. La fuzioe y e 3 X 1; e f( 1) = e + 3( 1) = < 0; f(0) = e + 3(0) = 1> 0, e X. = + è defiita e cotiua su tutto l asse reale, essedo cotiua [ ] per il teorema degli zeri la fuzioe f() si aullerà almeo ua volta ell itervallo ] [ 1 1; 0 e y' = e + 3 > 0, la fuzioe è strettamete crescete e quidi si aullerà solo ua volta. La soluzioe dell equazioe data è uica e appartiee all itervallo X1 ] 1; 0[. Applicado il metodo di isezioe all itervallo [-1;0] si ha: 1 f( 1 ) f( ) 1 <*< , <*< ,5 -,63-0,89-1<*< -0,5-0,5-0,5-0,89 +0,0-0,5<*< -0, ,57-0,5 +0, ,088-0,57<*< -0, ,578-0,57-0, ,0037-0,578<*< -0,57 Essedo ioltre derivaile X 1 ] 1; 0[ Si può assumere il valore -0,57 come approssimazioe, esatta fio alla terza cifra decimale, della soluzioe dell equazioe. Applicado il metodo delle tageti si ha

8 approssimazioe f ( ) passo f ( ) = e + 3 f '( ) 1 = e f '( ) 1-1 -, , ,1846-0,1846 0, , , ,5747 0, , ,5763 Questo metodo permette di raggiugere i tre passi l esattezza alla terza cifra decimale. Applichiamo ifie il metodo delle secati ell itervallo [a,], dove a=-1, =0. Si ha: f ( 1) < 0; f(0) > 0, f ''( ) = e > 0 approssimazioe passo f ( ) + 1 = f = e + 3 f( ) f ( ) 1-1 -, ,753-0,753-0, , ,581-0, , ,5764-5,1338E-05-0,5763 ( ) Quesito 10 Nel piao è data la seguete trasformazioe: 3 y y + y 3 Di quale trasformazioe si tratta? Ricordiamo che: Se e deduce che è la composizioe di ua rotazioe di 30 co u omotetia di rapporto k=.