2.5 Calcolo dello stato di deformazione e sforzo in corrispondenza ad una concentrazione di tensione con superamento del limite di plasticizzazione

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1 .5 Calcolo dello stato di deformazioe e sforzo i corrispodeza ad ua cocetrazioe di tesioe co superameto del limite di plasticizzazioe Dato u elemeto co ua cocetrazioe di tesioe pari a K t = 3 L elemeto è realizzato co u materiale avete le segueti caratteristiche: E = Mpa K = 77 Mpa = 0.18 ed è sollecitato da uo sforzo omiale pari a 30 Mpa. Calcolare lo stato di deformazioe e di sforzo coseguete. Dalla legge di Ramberg-Osgood si ha: 1 ' = E K' Cosiderado che lo servameto si ha i corrispodeza ad ua deformazioe permaete di 0.00, si ricava che lo sforzo di servameto è pari a ' K' 5. Mpa s e quidi si è i preseza di u campo plastico dato che K t = 690 Mpa Se si cosidera applicabile il legame lieare tra le deformazioi omiale e massima si ha S Kte Kt = E cui corrispode, secodo la legge di Ramberg-Osgood s = 54.8 Mpa Se si cosidera applicabile la regola di Neuber si ottiee la soluzioe risolvedo il sistema formato da S Kt es Kt E 1 ' = E K' Procededo i modo iterativo si ottiee alla fie = = Mpa Se ivece si assume u comportameto del materiale elastico perfettamete plastico si ha: S Kt s E ricavado = = 5. Mpa.6 Calcolo del carico i corrispodeza ad ua durata assegata U elemeto meccaico costituete la struttura di sospesioe di u tubo, è formato, ad ua estremità da ua piastra co u foro, come idicato i figura.

2 -F d h F Spessore t I dati geometrici soo i segueti h = 100 mm t = 10 mm d = 50 mm K t = 3 Il materiale è C0 co le segueti caratteristiche: K = 77 Mpa = 0.18 f = 896 Mpa f = 0.41 b = -0.1 c = Determiare il carico che co ciclo altero simmetrico provoca ua durata di cicli. Utilizzado l equazioe di Maso e Coffi si può calcolare quale sia l ampiezza del ciclo di deformazioe che provoca la rottura dopo cicli. L equazioe ha l espressioe E ' f b ' N N c f Di cosegueza svolgedo il calcolo co i dati soprariportati si ha: / = che equivale a dire = Prescidedo dall iizio del ciclo e dal processo di stabilizzazioe del comportameto del materiale, la codizioe di carico, sul piao, è rappresetata i figura. Dovedo calcolare il carico massimo agete sull elemeto si devoo cosiderare le codizioi del puto A i figura, che corrispodoo a valori di e pari alla semiampiezza del ciclo. Per calcolare il carico corrispodete a questa semi-ampiezza si può usare il metodo di Neuber. Si possoo avere tre casi che geometricamete corrispodoo alle itersezioi tra la curva caratteristica del materiale e l iperbole di equazioe k t es Ifatti la relazioe fodametale per la fatica è la seguete k kte k t m

3 A Fig. 1.1 Ciclo di sollecitazioe Il valore dell espoete m dovrebbe essere valutato sperimetalmete per il sigolo caso i esame, tuttavia si può procedere, durate il progetto prelimiare, a valutare i casi estremi derivati da m = 0 e m = 1. Cosiderado il caso di deformazioe piaa, cioè m = 0, risulta essere e S Kt Kt E da cui svolgedo i calcoli si ottiee S E = 71. Mpa K t cui corrispode, attraverso l area resistete F = N Cosiderado ivece l espoete m = 1 deve essere S E Kt i cui / si ricava dalla legge di Ramberg-Osgood, risolvedo, per esempio iterativamete: 1 ' = E K' Calcolado si ottiee / = 65.5 Mpa e quidi: S = Mpa cui corrispode, attraverso l area resistete F = N Cosiderado ifie u comportameto elastico - perfettamete plastico, si ottiee S E s = Mpa Kt cui corrispode, attraverso l area resistete F = N E da otare che per eseguire il calcolo si è valutato il valore di s attraverso la legge di Ramberg- Osgood i corrispodeza ad ua deformazioe permaete di 0.00, otteedo s = 5.4 Mpa

4 I tre valori calcolati corrispodoo a tre comportameti diversi. Se si sta determiado il carico P ammissibile è evidete che il procedimeto co la massima sicurezza è quello che determia il puto C, corrispodete ad u comportameto del materiale elastico perfettamete plastico..8 Calcolo del umero dei cicli miimo di rottura U elemeto meccaico è sollecitato da u ciclo altero simmetrico e ha ua cocetrazioe di tesioe co Kt =.5. Sapedo che il valore dello sforzo omiale oscilla tra +300 e -300 MPa e che il materiale ha le segueti caratteristiche, calcolare il umero miimo di cicli che provoca la rottura: K = 735 Mpa = f = 645 Mpa f = b = c = Cosiderado la figura 1. il carico miimo corrispode al puto C che defiisce ache il valore massimo della deformazioe. Utilizzado l equazioe di Maso e Coffi: E ' f b ' N N c f si ota che gli espoeti soo etrambi egativi e pertato alla deformazioe massima corrispode il umero miimo di cicli. S kt = E S Dove si è calcolato co l equazioe di Ramberg-Osgood il valore dello sforzo i corrispodeza ad ua deformazioe permaete pari a 0.00, otteedo s = Mpa Iseredo questo valore ell equazioe di Maso e Coffi e risolvedola per tetativi si ottiee N = 5 A B C A C B Fig. 1. Itersezioi tra il legame costitutivo e l iperbole di Neuber

5 Tale valore rappreseta il miimo valore calcolabile. Ifatti cosiderado valido il caso della deformazioe piaa (m=0) si ottiee e S Kt Kt cui corrispode il umero di cicli N = 1566 Nel caso di tesioe piaa (m=1) si ottiee ivece S kt = E avedo calcolato il valore di dalla legge di Ramberg-Osgood Mpa Pertato si ottiee per il umero di cicli: N = 33.

6 .1 MECCANICA DELLA FRATTURA.1.1 Lughezza critica di ua cricca Ua cricca di lughezza a è posizioata all itero di u elemeto piao di estesioe molto maggiore della cricca stessa, tato da poterlo cosiderare ifiito (fig.1). Cosiderado che le caratteristiche del materiale costituete soo le segueti: R = 800 Mpa S = 600 Mpa K IC = 80 Mpam determiare la lughezza critica della cricca effettiva a (critica) cosiderado le piccole plasticizzazioi all apice della cricca stessa e assumedo uo sforzo di trazioe ormale alla cricca pari a 50 Mpa. a Fig. 4.1 Forma della cricca e codizioe di carico La relazioe fodametale per la propagazioe di ua cricca el caso di piccole plasticizzazioi è Y a r p K IC dove r p è il raggio di plasticizzazioe. Ioltre per u elemeto piao di dimesioi ifiite rispetto alla cricca si ha Y=1 Pertato sostituedo i valori umerici si ottiee: 1 K IC a r p m = 3.6 mm Cosiderado che l espressioe di r p è la seguete 1 K I r p S si ottiee el caso i esame: 1 K IC r p m =.8 mm S Pertato la lughezza effettiva critica della cricca è pari a: a r p r 59.6 mm p.1. Dimesioi di soglia di ua cricca U elemeto è realizzato di u materiale co le segueti caratteristiche.

7 R = 900 Mpa S = 700 Mpa D-1 = 450 Mpa K th = 7 Mpa m Determiare le dimesioi del difetto che assicurao ua vita ifiita co u ciclo dall origie, i cui lo sforzo è pari al corrispodete valore limite a fatica (si assuma assete l effetto della forma, della fiitura superficiale, della corrosioe e delle dimesioi). = = Mpa 1 K a th 0,076 mm.13 Meccaica della frattura e fatica Ua cricca di lughezza a è posizioata all itero di u elemeto piao di estesioe molto maggiore della cricca stessa, tato da poterlo cosiderare ifiito (fig.1). Assumedo u estesioe iiziale a = mm ed u ciclo dall origie co sforzo massimo pari a 180 Mpa calcolare il umero di cicli a rottura sapedo che il materiale, ha le segueti caratteristiche: R = 800 Mpa S = 600 Mpa K IC = 80 Mpam e ha i segueti parametri caratteristici di Paris: C = m/[ciclo(mpam) ] = 3.5 K th = 6 Mpam Determiare ioltre qual è l estesioe del difetto ammissibile a (amm) per il quale o vi è propagazioe. a Fig. 1 Schema della cricca e della disposizioe di carico La codizioe per la quale o si ha propagazioe si calcola co la relazioe K Y th a amm Cosiderado che per la disposizioe di fig.1 Y=1, e che per il ciclo dall origie = max = 180 Mpa si ottiee: 1 K th aamm m = 0.35 mm Questo risultato garatisce che co ua cricca iiziale pari a mm (a = 1 mm) si abbia effettivamete propagazioe. Per calcolare il umero di cicli che porta il sistema alla propagazioe istabile, cioè alla rottura, di deve itegrare la legge di Paris. La legge di Paris ifatti ha l espressioe: da CK C a max dn che può essere itegrata separado le variabili. Di cosegueza si ottiee

8 N acritica aiiziale C da max a C 1 max Sulla base dei dati iiziali si ha a 1 acritica aiiziale a C 1 1 a iiziale 1 1 K IC a critica m = 6.9 mm max Svolgedo i calcoli si ottiee N = cicli E da otare che il risultato è abbastaza isesibile all esattezza delle caratteristiche dei materiali. Ifatti se ad esempio il valore di K IC raddoppiasse (K IC = 160 Mpam) si otterrebbe per la lughezza critica: 1 K IC a critica m = 51.5 mm max e per il umero di cicli N cicli co ua variazioe pari a 4.7%. critica max