Scuola di Architettura Corso di Laurea Magistrale quinquennale c.u.
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- Filippa Colli
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1 Scuola di Architettura orso di Laurea Magistrale quiqueale c.u.
2 Sommario flessioe deviata M = M cos M = M si s f M m z mi M ( ) s s f m ( + ) z ma Nella precedete lezioe è stata esamiata u asta sollecitata da u mometo flettete la cui direzioe o coicide co u asse pricipale d ierzia della sezioe. Si è visto che, i geerale, i questo caso l asse eutro o coicide co l asse mometo (se o per i be oti casi particolari i cui si rietra ella flessioe retta) e la relazioe tra gli agoli che tali assi formao co l asse è la seguete. ta = ta = (40) Le tesioi ormali, diagrammate i figura, e le deformazioi assiali, che hao u adameto aalogo, si possoo calcolare attraverso le segueti relazioi M z = M M z M z = = E E E (38) Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
3 Teso flessioe M = M cos M = M si N 0 f m s M M ( ) s s f m ( + ) ( + ) M M N A Si esamia adesso il caso i cui, oltre alla sollecitazioe flessioale, per la quale valgoo i risultati sitetizzati ella precedete slide, sia presete ache ua azioe assiale. Se l azioe assiale è di trazioe (N>0) allora lo stato di sollecitazioe complessivo si dice di tesoflessioe, metre, se l azioe assiale è di compressioe (N<0) lo stato di sollecitazioe complessivo si dice di presso-flessioe. ogi caso dalla (22) si calcola N M M z = + (41) A e quidi, le tesioi ormali soo somma di due cotributi: uo dovuto alla sollecitazioe assiale ed uo dovuto alla sollecitazioe flessioale. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
4 Teso flessioe M = M cos M = M si N 0 ( ) ( + ) Dalla (41) si calcola l equazioe dell asse eutro come segue: N M M z = + = 0 = ta A (42) A M L asse eutro ha la stessa icliazioe di quello che si avrebbe el caso di sola flessioe deviata, ma o passa per il baricetro i quato itercetta l asse per = N ( M A) / La sua distaza dal baricetro è pari a N (43) m d s m N A M + M d = A N M cos e, a parità di sollecitazioe flessioale, aumeta all aumetare dello sforzo ormale: tato maggiore è lo sforzo ormale, tato più l asse eutro si allotaa dal baricetro. (44) Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
5 Teso flessioe M = M cos M = M si N 0 Per sollecitazioi di sforzo ormale abbastaza elevate, l asse eutro potrebbe o itersecare la sezioe trasversale: i questo caso la sezioe sarebbe iteramete tesa. ( + ) d m s N M + A M m Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
6 Presso flessioe M = M cos M = M si N 0 Ovviamete u discorso perfettamete aalogo vale per il caso di presso flessioe, ossia el caso i cui sia presete uo sforzo ormale di compressioe (egativo). ( ) f s ( ) m ( + ) N A M M s M M m s f Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
7 Azioe assiale eccetrica Ua sollecitazioe di teso- o pressoflessioe può ad esempio essere geerata da ua forza parallela all asse della trave, ma applicata eccetricamete, ossia o i corrispodeza del baricetro delle sezioi trasversali. Ua codizioe di questo tipo è presete ad esempio el tratto DE dell elemeto strutturale schematizzato i figura, sollecitato da due forze uguali ed opposte dirette secodo ua retta parallela, ma o coicidete, co l asse del tratto DE. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
8 Azioe assiale eccetrica P d P Su ua geerica sezioe trasversale di tale tratto soo preseti delle caratteristiche della sollecitazioe che soo tali da equilibrare la porzioe di struttura otteuta sezioado quella complessiva i due parti attraverso u piao coteete la sezioe trasversale i esame. Dall equilibrio alla traslazioe orizzotale si calcola lo sforzo ormale presete ella sezioe i esame N = P metre dall equilibrio alla rotazioe si calcola il mometo flettete M = P d Per quato detto, i effetti ua forza parallela alla liea d asse, ma eccetrica, geera sia sollecitazioe ormale che flessioale. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
9 Azioe assiale eccetrica Si cosideri che u asta (o u tratto di u elemeto strutturale, come si è visto ella precedete slide) sia caricata da ua forza parallela al suo asse, ma eccetrica. Siao e le coordiate del puto di applicazioe (detto cetro di sollecitazioe) di tale forza. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
10 Azioe assiale eccetrica M M Si cosideri che u asta (o u tratto di u elemeto strutturale, come si è visto ella precedete slide) sia caricata da ua forza parallela al suo asse, ma eccetrica. Siao e le coordiate del puto di applicazioe (detto cetro di sollecitazioe) di tale forza. dicado co N lo sforzo ormale geerato da tale forza, le compoeti di mometo flettete si calcolao come segue M M = N = N Ovviamete, lo sforzo ormale N ha itesità pari al modulo della forza assiale e sego positivo o egativo a secoda del tipo di sollecitazioe assiale (trazioe o compressioe) idotta da tale forza. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
11 Azioe assiale eccetrica Le tesioi ormali preseti ella sezioe si calcolao dalla (41) come segue 1 = N + + A z (45) Dalla precedete si ottiee l equazioe dell asse eutro z = 0 = A (46) la cui pedeza è pari a ta = (47) e che iterseca gli assi i corrispodeza delle segueti ascisse = A = (48) A Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
12 Azioe assiale eccetrica osservazioi 1. L equazioe dell asse eutro (46) o dipede é dal modulo, é dal sego dello sforzo ormale, ma solo dalla posizioe del cetro di pressioe. Ovviamete il modulo ed il sego dello sforzo ormale ifluezao il valore delle tesioi ormali defiite dalle (45) (45) (46) z z 1 = N + + A = 0 = A ta = (47) = = (48) A A Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
13 Azioe assiale eccetrica osservazioi 2. Dalle (48) si vede che ed soo sempre discordi rispettivamete co ed : l asse eutro è secate per il quadrate opposto a quello i cui si trova il cetro di pressioe (45) (46) z z 1 = N + + A = 0 = A ta = (47) = = (48) A A Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
14 Azioe assiale eccetrica osservazioi 3. Dalle (48) si vede ache che, se il cetro di pressioe si trova su uo degli assi pricipali d ierzia, l asse eutro diviee parallelo all altro asse pricipale d ierzia (45) (46) z z 1 = N + + A = 0 = A ta = (47) = = (48) A A Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
15 Azioe assiale eccetrica osservazioi mmagiiamo di traslare il cetro di pressioe secodo la sua cogiugete co il baricetro i maiera tale che = cost 2 = A 1 2 ta = (47) = (48) A 1 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel dalla (47) si vede che i questo caso l icliazioe dell asse eutro o cambia. ambiao però i puti di itersezioe tra l asse eutro e gli assi del sistema di riferimeto defiiti dalle (48). pratica, ma mao che il cetro di pressioe si allotaa dal baricetro, l asse eutro vi si avvicia, e, viceversa, se il cetro di pressioe si avvicia al baricetro, l asse eutro gli si allotaa.
16 Azioe assiale eccetrica osservazioi 2 1 Se l asse eutro iterseca la sezioe trasversale, questa risulta parzializzata, ossia ua parte di essa sarà tesa ed u altra sarà compressa. caso cotrario, ossia se l asse eutro risulta estero alla sezioe, questa risulta sollecitata i modo omogeeo (tutta tesa o tutta compressa). 1 L evetuale possibilità di cooscere a priori 1 il sego delle tesioi ormali preseti i ua sezioe trasversale a partire ad 2 esempio dalla semplice coosceza del 2 puto di applicazioe del carico è molto importate, specialmete per l aalisi di elemeti strutturali costituiti i materiali che hao resisteza a trazioe ed a compressioe molto differete tra loro, come ad esempio accade per la muratura o per il calcestruzzo o armato che, com è oto, hao ua resisteza a trazioe (trascurabile ai fii igegeristici) molto iferiore alla resisteza a compressioe. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
17 Azioe assiale eccetrica osservazioi Per ogi direzioe baricetrica (es. quella tratteggiata i giallo i figura) esiste u particolare cetro di pressioe ( 0 ) tale che l asse eutro ad esso associato ( 0-0 ) risulta tagete alla sezioe. Tale puto rappreseta ua posizioe limite tra i possibili cetri di sollecitazioe più vicii di esso al baricetro, a cui corrispode u asse eutro estero alla sezioe (e quidi ua sezioe caricata i maiera omogeea), e quelli più lotai a cui corrispode u asse eutro che taglia la sezioe (che si parzializza). Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
18 Azioe assiale eccetrica occiolo cetrale d'ierzia Mario Fagoe Uiversità di Fireze tel L iviluppo dei puti che hao le stesse proprietà di 0 defiisce il cotoro di ua regioe detta occiolo cetrale d ierzia della sezioe che, per quato detto, ha le segueti proprietà: - se il cetro di pressioe ricade all itero del occiolo, l asse eutro o taglia la sezioe che quidi risulta sollecitata da tesioi ormali aveti lo stesso sego; - se il cetro di pressioe ricade all estero del occiolo, l asse eutro taglia la sezioe che quidi si parzializza - se il cetro di pressioe di trova sul cotoro del occiolo, allora l asse eutro è tagete alla sezioe trasversale: il sego delle tesioi ormali sulla sezioe è costate, trae per alcui puti che risultao scarichi.
19 etro di sollecitazioe ed asse eutro: proprietà 1 Ai fii della determiazioe del cotoro del occiolo cetrale d ierzia di ua sezioe, risulta utile la seguete proprietà di dualità (teorema di reciprocità): sia 1 u possibile cetro di sollecitazioe e 1 il relativo asse eutro. 1 1 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
20 etro di sollecitazioe ed asse eutro: proprietà 1 Ai fii della determiazioe del cotoro del occiolo cetrale d ierzia di ua sezioe, risulta utile la seguete proprietà di dualità (teorema di reciprocità): sia 1 u possibile cetro di sollecitazioe e 1 il relativo asse eutro. Allora l asse eutro relativo ad u qualuque cetro di sollecitazioe che si trova sulla retta 1 coterrà il cetro di sollecitazioe 1. Le due rette 1 e 2 si dicoo coiugate. 2 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
21 Procedure per la determiazioe del occiolo cetrale d ierzia razie alla proprietà descritta ella precedete slide, si defiiscoo, per particolari tipi di sezioe, delle procedure semplificate per la determiazioe del occiolo cetrale d ierzia di ua sezioe. 1. Sezioe avete bordo curvilieo come idicato i figura e priva di simmetria. questo caso il occiolo si determia dalla sua defiizioe, iviluppado i cetri di pressioe relativi agli assi eutri tageti alla sezioe. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
22 Procedure per la determiazioe del occiolo cetrale d ierzia Sezioe polar-simmetrica (es. circolare o a coroa circolare). Si cosideri ua sezioe circolare ed u ipotetico asse eutro parallelo all asse e tagete alla figura. Dalle (48) è possibile calcolare le coordiate del cetro di pressioe ad esso relativo come segue: r r r / 4 r = = = 1 r A A r = = 0 1 A Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
23 Procedure per la determiazioe del occiolo cetrale d ierzia 1 2. Sezioe polar-simmetrica (es. circolare o a coroa circolare). Si cosideri ua sezioe circolare ed u ipotetico asse eutro parallelo all asse e tagete alla figura. Dalle (48) è possibile calcolare le coordiate del cetro di pressioe ad esso relativo come segue: r r r / 4 r = = = 1 r A Ar = = 0 1 A Per la polar-simmetria del problema, ache il occiolo cetrale d ierzia sarà polar-simmetrico e quidi coicide co ua circofereza cocetrica a quella di parteza e di raggio pari a r/4. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
24 Procedure per la determiazioe del occiolo cetrale d ierzia h / 2 h / 2 3. Sezioe di forma poligoale, covessa. Si cosideri che la sezioe trasversale i esame abbia u cotoro poligoale covesso, ad esempio rettagolare. l occiolo cetrale d ierzia sarà ach esso poligoale e si ottiee uedo i cetri di pressioe relativi agli assi eutri che cotegoo i lati della sezioe. b / 2 b / 2 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
25 l occiolo cetrale d ierzia per la sezioe rettagolare h / 2 h / h / 6 3. Sezioe di forma poligoale, covessa. Si cosideri che la sezioe trasversale i esame abbia u cotoro poligoale covesso, ad esempio rettagolare. l occiolo cetrale d ierzia sarà ach esso poligoale e si ottiee uedo i cetri di pressioe relativi agli assi eutri che cotegoo i lati della sezioe. l cetro di pressioe relativo ad u asse eutro coteete il lato superiore della sezioe si calcola dalle (48) come segue h 2 h = = = A A h 6 = = A 1 b / 2 b / 2 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
26 l occiolo cetrale d ierzia per la sezioe rettagolare h / 2 h / b / 6 b / h / 6 h / Sezioe di forma poligoale, covessa. Si cosideri che la sezioe trasversale i esame abbia u cotoro poligoale covesso, ad esempio rettagolare. l occiolo cetrale d ierzia sarà ach esso poligoale e si ottiee uedo i cetri di pressioe relativi agli assi eutri che cotegoo i lati della sezioe. l cetro di pressioe relativo ad u asse eutro coteete il lato superiore della sezioe si calcola dalle (48) come segue h 2 h = = = A A h 6 = = A 1 b / 2 b / 2 Aalogamete si determiao i cetri di pressioe relativi agli assi 2, 3 ed 4. Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
27 l occiolo cetrale d ierzia per la sezioe rettagolare h / b / 6 b / h / 6 Applicado il teorema di reciprocità si dimostra che i cetri di sollecitazioe relativi agli assi passati per u vertice soo compresi all itero del segmeto che ha per estremi i cetri di sollecitazioe relativi agli assi coteeti i lati coflueti el vertice i cosiderazioe. h / 2 1 h / b / 2 b / 2 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
28 l occiolo cetrale d ierzia per la sezioe rettagolare h / 2 h / b / 6 b / h / 6 h / 6 Applicado il teorema di reciprocità si dimostra che i cetri di sollecitazioe relativi agli assi passati per u vertice soo compresi all itero del segmeto che ha per estremi i cetri di sollecitazioe relativi agli assi coteeti i lati coflueti el vertice i cosiderazioe. Pertato, il occiolo cetrale d ierzia si ottiee uedo i cetri così determiati b / 2 b / 2 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
29 Procedure per la determiazioe del occiolo cetrale d ierzia h / 2 4. Sezioe di forma poligoale, o covessa. Si cosideri che la sezioe trasversale i esame abbia u cotoro poligoale o covesso, ad esempio a T. h / 2 b / 2 b / 2 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
30 Procedure per la determiazioe del occiolo cetrale d ierzia h / 2 h / 2 4. Sezioe di forma poligoale, o covessa. Si cosideri che la sezioe trasversale i esame abbia u cotoro poligoale o covesso, ad esempio a T. questo caso alcui assi coteeti i lati o soo secati (idicati i ero) e vao quidi cosiderati ella defiizioe del occiolo, metre altri soo secati (idicati i rosso) e o vao quidi cosiderati. Si osservi che ua codizioe di questo tipo si verifica elle zoe del cotoro o covesse. b / 2 b / 2 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
31 Procedure per la determiazioe del occiolo cetrale d ierzia h / 2 h / 2 4. Sezioe di forma poligoale, o covessa. Per le sezioi a cotoro poligoale o covesse, del tipo idicato i figura, i vertici del occiolo soo i cetri di pressioe relativi a tutti i possibili assi o secati la sezioe, ma coteeti due vertici. b / 2 b / 2 Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
32 Esercizio 20cm 10cm Si determii il occiolo cetrale d ierzia per la sezioe scatolare i figura (avete spessore pari a 5mm) e lo si cofroti co quello relativo ad ua sezioe rettagolare piea avete base ed altezza pari alle dimesioi massime di quella i esame (1020cm). Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
33 Esercizio 5kN U asta a sezioe trasversale rettagolare è caricata da due forze uguali ed opposte applicate i corrispodeza dei vertici della sezioe come idicato i figura. 5kN 30cm Si determiio e si diagrammio le tesioi ormali preseti i ua geerica sezioe trasversale. 10cm Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
34 Esercizio 100mm 100mm Si calcoli il occiolo cetrale d ierzia della sezioe schematizzata i figura 100mm 12mm 12mm Mario Fagoe Uiversità di Fireze mario.fagoe@uifi.it; tel
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