FORMULAZIONE ALTERNATIVA DELLE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA INTEGRALE

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2 FORMULAZIONE ALTERNATIA DELLE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA INTEGRALE i riscrivoo le equazioi di Maxwell i ua forma itegrale alterativa comoda per la determiazioe delle codizioi al cotoro: Ed B d (3.5a) H d J d + D d (3.5b) D d ρ d (3.5c) B d (3.5d)

3 CONDIZIONI AL CONTORNO. DICONTINUITA DEI ETTORI DI CAMPO La validità delle equazioi di Maxwell per il campo elettromagetico è stata postulata soltato per puti ordiari dello spazio; per puti, cioè, el cui itroo le proprietà fisiche della materia variao i modo cotiuo. Attraverso ua qualsiasi superficie che separa due corpi o mezzi tra loro avvegoo bruschi cambiameti ei parametri elettromagetici costitutivi. I scala macroscopica questi cambiameti si possoo di solito cosiderare discotiui, e quidi ci si deve aspettare che gli stessi vettori di campo presetio delle corrispodeti discotiuità. i suppoga dapprima che la superficie di separazioe tra i due mezzi vega sostituita co ua parete di trasizioe estremamete sottile, lugo la quale i parametri costitutivi vario rapidamete ma co cotiuità. Etro questa parete, quidi, i vettori del campo elettromagetico e le loro derivate soo fuzioi cotiue e limitate della posizioe e del tempo. 3

4 UPERFICI DI EPARAZIONE FERME, NON IN MOIMENTO i fissi dapprima l attezioe sul caso i cui la superficie di separazioe tra i due mezzi sia fissa, o i movimeto. e si assume che la superficie di separazioe si ferma, o i movimeto, allora i termii elle equazioi di Maxwell scritte i forma itegrale che cotegoo la derivata parziale rispetto al tempo: possoo essere portati fuori dall itegrale. Poiché l itegrale è lugo il volume, il risultato è ua fuzioe solo del tempo, e le derivate parziali rispetto al tempo divegoo derivate totali. Perciò, per il caso di superfici di separazioe o i movimeto le equazioi di Maxwell i forma itegrale devoo essere riscritte come ella forma (3.5). Per il vettore B si ha: B d, essedo ua superficie cilidrica co base di area Δa e altezza Δ. e la base del cilidro è sufficietemete piccola, si può supporre che B sia costate su ciascua base. Trascurado ifiitesimi di ordie superiore la ˆ può essere approssimata come di seguito: ( B + B ) + cotributidel matello ˆ (5.) Il cotributo del matello è proporzioale a. Al limite per Δ, le basi del cilidro vegoo a coicidere co le due facce di ed il cotributo dovuto al flusso attraverso il matello diviee trascurabile. e si cosidera positiva la ormale di uscete dal mezzo verso il mezzo, per Δ eδa si può scrivere: ( ) B d B B (5.) Co B e B si soo idicati, rispettivamete, il valore di B el mezzo e el mezzo 4 i corrispodeza della superficie di discotiuità. Δ

5 La (5.) stabilisce che la trasizioe della compoete ormale del vettore B attraverso ua qualsiasi superficie di discotiuità è cotiua. Il vettore D si può trattare alla stessa stregua. I questo caso, occorre ricordare che il flusso del vettore D attraverso ua superficie chiusa è pari alla carica elettrica totale coteuta all itero della superficie: D d Q La carica totale Q è distribuita etro la superficie di trasizioe co ua desità volumetrica r per cui: Q ρ Δa Δ (5.3) Quado le basi del cilidro si schiacciao l ua sull altra, il valore della carica rimae Δ costate, poiché o si può distruggere. Al limite per, per mateere costate il valore di Q, ρ diviee ifiita i modo che il prodotto sia fiito. Coviee, allora, sostituire al prodotto, di valore fiito, ρ Δ avete la dimesioe di desità superficiale di carica elettrica, la quatità Q ρ, defiita come la carica per uità di superficie. s lim ρ Δ lim Δ Δ Δa La trasizioe della compoete ormale del vettore D attraverso ua qualuque superficie di discotiuità soddisfa alla relazioe: ( D D ) ρs (5.4) Per la (5.4) la preseza sulla superficie di discotiuità di ua carica elettrica superficiale causa ua variazioe ella compoete ormale di D pari proprio alla desità di carica superficiale ρ s 5

6 Per studiare il comportameto delle compoeti tageziali coviee utilizzare come cotoro di itegrazioe per la prima equazioe di Maxwell i forma itegrale: B d + E tˆ ds s u cammio rettagolare. I lati del rettagolo di lughezza Δ s giaccioo sulle due facce della parete di trasizioe, e i lati che peetrao ella parete soo uguali i lughezza allo spessore Δ della parete stessa. La superficie aperta attraverso la quale si calcola il flusso del vettore B è l area del rettagolo, è la ormale positiva ad esse. Il verso della ormale positiva è determiata come al solito dal verso di percorreza del cotoro s. A meo di ifiitesimi di ordie superiore, la B d + E tˆ ds si può approssimare co la: s ( ˆ + ˆ B E t (5.5) E t ) Δs + cotributi deg li estremi Δs Δ e la parete si riduce alla superficie, il cotributo dei segmeti agli estremi diviee trascurabile. e è di uovo la ormale positiva alla superficie, si può dimostrare facilmete che vale la seguete codizioe ai limiti per la compoete tageziale del vettore E: (5.6) E E ( ) ˆ Ifatti: lim Δ ( E tˆ + E tˆ ) Δs + lim cotributi deg li estremi Δs Δ ( E tˆ + E tˆ ) Δs ( E + E ) Δs ( E E ) Δ E ˆ i ti Ei i lim Δ B t 6 (5.7)

7 Per la (5.6) le compoeti tageziali del vettore E si mategoo cotiue attraverso ua qualuque superficie di discotiuità. Il comportameto ai limiti del vettore H si può dedurre immediatamete procededo come per il vettore, partedo dalla secoda equazioe di Maxwell espressa i forma itegrale. i ha, quidi: D (5.8) ( H H ) lim + J Δ Δ Il primo termie el secodo membro della (5.8) tede a zero per Δ perché D e le sue derivate soo fiite. e la desità di correte J è fiita ache il secodo termie è ullo. Può accadere, però, che la correte I J Δs Δ che scorre attraverso il rettagolo, cioè la superficie, vega schiacciata i uo strato ifiitesimo sulla superficie di discotiuità, metre i lati della parete vegoo portati a combaciare. I questo caso coviee rappresetare questa correte superficiale co ua desità di correte lieare K defiita come segue: K lim J Δ (5.9) J Δ + ista la (5.9), la (5.8) diviee: ˆ ( H H) K (5.) Per la (5.) le compoeti tageziali del vettore H presetao ua discotiuità attraverso ua qualuque superficie di discotiuità pari alla desità lieare di correte elettrica presete sulla superficie di discotiuità stessa. E opportuo osservare che quado la coducibilità dei due materiali soo fiite, o vi può essere alcua correte superficiale, poiché E è fiito ed il prodotto σ E Δ tede a zero co il tedere a zero di Δ. I questo caso che è il ormale si ha: 7 H H (5.) ( ) ˆ

8 8 Riepilogado, si è ora i grado di aggiugere alle equazioi di Maxwell per i vettori di campo, altre quattro relazioi che determiao le codizioi di trasizioe di u campo elettromagetico da u mezzo ad u altro, separati tra loro da ua superficie di discotiuità: (5.) E importate sottolieare che le codizioi al cotoro (5.) soo state derivate dalle equazioi di Maxwell scritte i forma itegrale, seza l uso delle relazioi costitutive. Esse, pertato, valgoo idipedetemete dalla atura dei mezzi. Dalle (5.) si deducoo immediatamete: a) le codizioi di trasizioe per le compoeti ormali dei vettori E ed H i u mezzo lieare ed isotropo: (5.3) b) le codizioi di trasizioe per le compoeti tageziali dei vettori D ed B i u mezzo lieare ed isotropo: (5.4) ( ) ˆ B B ( ) s ˆ ρ D D ( ) K H H ˆ ( ) ˆ E E ε ρ ε ε μ μ s ˆ ˆ E E H H ε ε μ μ μ ˆ ˆ D D K B B

9 UPERFICI DI EPARAZIONE IN MOIMENTO Le codizioi al cotoro scritte come ella (5.) valgoo ell ipotesi che la superficie di discotiuità tra i due mezzi sia ferma, o sia cioè i movimeto. Nelle espressioi delle equazioi di Maxwell i forma itegrale, quado la superficie di discotiuità tra i due mezzi è i movimeto, la derivata parziale rispetto al tempo o può più essere portata fuori dall itegrale. Per derivare le codizioi al cotoro i prossimità di superfici di discotiuità i movimeto bisoga scegliere cotori di itegrazioe opportui che seguao la superficie di discotiuità. I accordo co la teoria ciematica, per ogi campo vettoriale A, per volumi che si muovoo co velocità v vale la seguete relazioe itegrale: d dt A A d d + A ( vˆ ) d (5.5) Nella (5.5) il termie co l itegrale di superficie tiee i coto il movimeto della superficie di discotiuità. La (5.5) si dimostra distribuedo iazitutto la derivata rispetto al tempo all itero dell itegrado del primo membro a siistra: d ( d ) d d dt A A + t A t Ora, per defiizioe di derivata il secodo termie del membro di destra della (a) è dato ache da: A ( d ) Δt ( +Δ ) A ( ) A d t t d t lim Δt 9 (a) (b)

10 Il volume ifiitesimo d può essere fattorizzato el prodotto: d d dx, essedo d la superficie di base del volume ifiitesimo delimitata dal cotoro ds e dx l altezza del volume ifiitesimo diretto lugo la direzioe. ia v la velocità istataea dell elemeto d della superficie, si ha allora dx vˆ dt All istate t si ha dx vˆ t metre all istate t Δt si ha pertato la (b) diviee: + dx vˆ ( t + Δt) A t ( d ) ( +Δ ) A ( ) Ad t t d t lim Δ t Δt ( ˆ ˆ)( +Δ ) A( vˆ) A v t t d td ( ˆ ˆ ) Δt A v d (c) Iiettado la (c) ella (a) si ottiee la (5.5) c.v.d.

11 Nota la (5.5), le equazioi di Maxwell i forma itegrale (3.5a) (3.5d), el caso di superfici di discotiuità i movimeto divegoo: E( vˆ ) B d d B H+ ( vˆ ) D d Dd + Jd D d ρ d B d A titolo di esempio si ricava la (5.6a): B Ed d Bd + B( vˆ) d ˆ ( ˆ ˆ) d d t t E B v B t (5.5) (5.6a) (5.6b) (5.6c) (5.6d) Per quato riguarda le codizioi al cotoro, procededo i modo aalogo al caso di superfici di discotiuità o i movimeto, si dimostra facilmete che per il caso di superfici di discotiuità i movimeto co velocità v, esse soo: ( B B ) ( D D ) ρs (5.7) ( H H) + ( vˆ )( D D) K ( E E) ( vˆ )( B B) Le (5.7) si riducoo alle (5.) o solo quado vˆ, ma ache quado vˆ. Perciò, quado la velocità di spostameto è parallela al piao di iterfaccia, come è ituitivo, le codizioi al cotoro soo le stesse del caso stazioario.

12 CONDIZIONE DI RADIAZIONE ALL INFINITO Tra le codizioi al cotoro è utile cosiderare ache il comportameto del campo elettromagetico all ifiito. A questo riguardo il campo variabile el tempo differisce otevolmete dal campo statico. Nel regime stazioario, se tutte le sorgeti soo situate a distaza fiita dall origie, le itesità dei vettori di campo tedoo a zero all ifiito come R essedo R la distaza radiale dall origie. D altra parte se ad ua distaza fiita dall origie soo collocate delle sorgeti variabili co il tempo, le itesità dei vettori di campo si aullao i modo che lim R A sia fiito, co A E, H, D, B. R Nei puti i cui la sorgete è ulla, le itesità del campo soddisfao all equazioe: ϕ + k ϕ (5.8) Metre ua soluzioe dell equazioe di Laplace (5.8) è uivocamete determiata dalle sorgeti del poteziale e dalla codizioe di regolarità all ifiito, queste due codizioi o soo sufficieti ivece per determiare uivocamete la fuzioe d oda ϕ, perché la (5.8) ammette come soluzioi ode sia divergeti che covergeti verso la sorgete.

13 Tale questioe è stata studiata da ommerfeld i relazioe co la fuzioe di Gree associata alla (5.8) per spazi di estesioe ifiita. e si idica co g( x,y,z ) la distribuzioe della sorgete limitata i u volume fiito, allora la fuzioe d oda ϕ, soluzioe della (5.8) è uivocamete determiata se: ) I tutti i puti esteri ad ua superficie chiusa la ϕ soddisfa alla: ϕ + k ϕ g x, y, z ( ) ) La ϕ soddisfa a codizioi al cotoro omogeee su del tipo: ϕ α ϕ + β 3) La ϕ si aulla i modo che il limite del prodotto R ϕ sia fiito al tedere di R all ifiito; 4) La ϕ soddisfa alla codizioe di radiazioe all ifiito: che assicura che a gradi distaze dalla sorgete il campo rappreseti u oda progressiva divergete che si allotai, cioè, dalla sorgete. lim R ϕ R R jk ϕ 3