SOLUZIONI COMPITO del 5/06/2014 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU MECCANICA - ENERGETICA TEMA A

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1 SOLUZIONI COMPITO del 5/6/ ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU MECCANICA - ENERGETICA TEMA A Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è a termii di sego arbitrario (i fuzioe del parametro reale ), pertato comiciamo a cosiderare il modulo. Ricordiamo ache che se + <, ovvero se ±; + se +, ovvero se ±; + se >, ovvero per essu R. + Pertato, per ±, si ricava che il termie geerale della serie o è ifiitesimo, quidi la serie o coverge é asolutamete é semplicemete. Ivece, per ±, applicado il criterio della radice, otteiamo [( ) ] si <, (. dove abbiamo utilizzato il fatto che siy y, per y, co y +) Quidi, la serie coverge assolutamete e semplicemete se e solo se ±. Esercizio L itegrale proposto si può risolvere i vari modi. Noi procederemo effettuado la sostituzioe t + 5, da cui t 5, ovvero d t dt, t( 5), t() 5. Quidi ricaviamo e +5 d t e t dt t e t 5 5 t e t dt 5e 5 t e t 5 + 5e 5 e 5 + e t 5 3e5 + e 5 3e 5, dove, ella secoda e ella terza uguagliaza abbiamo utilizzato u itegrazioe per parti. Esercizio 3 Riscrivedo l equazioe differeziale ella forma y () y ()+ y () +, si ricava subito che essa è u equazioe del primo ordie a variabili separabili, priva di soluzioi sigolari. Procededo, quidi, per separazioe di variabili e itegrado, otteiamo log(y + ) y y + dy + d 5 e t dt (/ ) + d arcta + C, da cui, impoedo la codizioe iiziale, si ricava C log 3. Pertato, la soluzioe cercata sarà ( y () 3 ep arcta ). Iseredo el ite proposto l espressioe trovata, otteiamo ( ) y ( () 3 ep arcta ) ( ) + log log + + ( ) ep 3 arcta 3 6, dove abbiamo utilizzato il fatto che, per y, e y y, co y arcta, arctay y, co y e log( + y) y, co y +.

2 Esercizio Osserviamo iazitutto che possiamo riscrivere la fuzioe ella forma f() log ( ) + si ( ), da cui, utilizzado lo sviluppo di Mc Lauri al terzo ordie per la fuzioe y log( + y), co y ( )/, e per la fuzioe y si y, co y, otteiamo f() [ ( ) ( ) + ( ) 3 + o ( ( ) 3)] [( ) 3! 3 ( )3 + o ( ( ) 3)] [ ( ) ( ) + ( ) 3 + o ( ( ) 3)] [( ) 3 3 ( ) + o ( ( ) )] ( )3 ( ) ( )5 + 8 ( )3 ( ) ( )5 8 8 ( )5 6 + o ( ( ) 5). + o ( ( ) 5) Esercizio 5 Poiché per ipotesi f C (R) e la fuzioe è di classe C ( [, + ) ), per il teorema sulla derivazioe delle fuzioi composte, la fuzioe f( ) è ach essa cotiua i [, + ); pertato, la fuzioe itegrale [ ] ( f( t) dt è di classe C [, + ) ) e si aulla ell origie. Dal Teorema di Torricelli e dal Teorema di de L Hospital, si ha duque + [ f( ] t) dt H f( ) o() 3 F(), + + dove, ella secoda uguagliaza, abbiamo utilizzato lo sviluppo di f. Pertato, F risulta cotiua ell origie.

3 TEMA B Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è a termii o egativi (idipedetemete dal parametro reale ). Ricordiamo ache che ( ) se + <, ovvero se ± ; se + +, ovvero se ± ; + se + >, ovvero per essu R. Pertato, per ±, si ricava che il termie geerale della serie o è ifiitesimo, quidi la serie o coverge (ovvero, i questo caseo, diverge). Ivece, per ±, applicado il criterio della radice, otteiamo [ ( ) ] ( ) log <, (. dove abbiamo utilizzato il fatto che log( + y) y, per y, co y +) Quidi, la serie coverge se e solo se ±. Esercizio L itegrale proposto si può risolvere i vari modi. Noi procederemo effettuado la sostituzioe t +, da cui t, ovvero d t dt, t( ), t(3). Quidi ricaviamo 3 + si( + )d t sit dt t cost + t cost dt 8 cos + t si t si t dt 8 cos + 8 si + cost 8 cos + 8 si + cos cos + 8 si, dove, ella secoda e ella terza uguagliaza abbiamo utilizzato u itegrazioe per parti. Esercizio 3 Riscrivedo l equazioe differeziale ella forma y () e y()+ +, si ricava subito che essa è u equazioe del primo ordie a variabili separabili, priva di soluzioi sigolari. Procededo, quidi, per separazioe di variabili e itegrado, otteiamo e y+ e y+ dy + d (/ ) + d arcta + C, da cui, impoedo la codizioe iiziale, si ricava C. Pertato, la soluzioe cercata sarà ( y () log arcta ) +. Iseredo el ite proposto l espressioe trovata, otteiamo ( ) y () + ( log arcta ) ( + + ) + si + + si + ( ) log arcta +, dove abbiamo utilizzato il fatto che, per y, log( + y) y, co y arcta, arctay y, co y e si y y, co y +. 3

4 Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la fuzioe proposta può essere riscritta ella forma f() e ( e ) {cos[( )] }, da cui, utilizzado lo sviluppo di Mc Lauri al terzo ordie per la fuzioe y e y, co y, e quello al quarto ordie per la fuzioe y cosy, co y ( ), otteiamo ( ) f() e [( ) + + ( )3 3! + o ( ( ) 3)] { [( )] [( )] + + o ( ( ) )}! ( ) ( )3 e [( ) o ( ( ) 3)] [ ( ) 8 3! 3 ( )6 + o ( ( ) 6)] e( ) 5 + e( ) 6 e( )7 8e( )7 + + o ( ( ) 7) 3 3 e( ) 5 + e( ) 6 e( ) 7 + o ( ( ) 7). Esercizio 5 Poiché per ipotesi f C (R) così come la fuzioe 3, per il teorema sulla derivazioe delle fuzioi composte, la fuzioe f( 3 ) è ach essa cotiua su R; pertato, la fuzioe itegrale [ + f(t 3 ) ] dt è di classe C (R) e si aulla ell origie. Dal Teorema di Torricelli e dal Teorema di de L Hospital, si ha duque 3 [ + f(t 3 ) ] dt H + f( 3 ) + + o( ) 3 3 /3 F(), dove, ella secoda uguagliaza, abbiamo utilizzato lo sviluppo di f. Pertato, F risulta cotiua ell origie.

5 TEMA C Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è a termii o egativi (idipedetemete dal parametro reale ). Ricordiamo ache che ( ) + se + <, ovvero se ±; se +, ovvero se ±; + se + >, ovvero per essu R. Pertato, per ±, si ricava che il termie geerale della serie o è ifiitesimo, quidi la serie o coverge (ovvero, i questo caso, diverge). Ivece, per ±, applicado il criterio della radice, otteiamo [ ( ) ] ( ) log <, (. dove abbiamo utilizzato il fatto che log( + y) y, per y, co y +) Quidi, la serie coverge se e solo se ±. Esercizio L itegrale proposto si può risolvere i vari modi. Noi procederemo effettuado la sostituzioe t +, da cui (t )/, ovvero d t dt, t( /), t() 3. Quidi ricaviamo / 3 + si( + )d t si t dt t cost t cost dt 9 cos3 + t si t 3 3 si t dt 9 cos3 + 6 si3 + cost 9 cos3 + 6 si3 + cos3 7 cos3 + 6 si3, dove, ella secoda e ella terza uguagliaza abbiamo utilizzato u itegrazioe per parti. Esercizio 3 Riscrivedo l equazioe differeziale ella forma y () e y() +, si ricava subito che essa è u equazioe del primo ordie a variabili separabili, priva di soluzioi sigolari. Procededo, quidi, per separazioe di variabili e itegrado, otteiamo e y e y dy + d (/) + d arcta + C, da cui, impoedo la codizioe iiziale, si ricava C. Pertato, la soluzioe cercata sarà ( y () log arcta ) + +. Iseredo el ite proposto l espressioe trovata, otteiamo + y () si ( + log ( ) + log ( arcta + ) arcta ( + ) ) + si +, dove abbiamo utilizzato il fatto che, per y, log( + y) y, co y arcta, arctay y, co y e siy y, co y

6 Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la fuzioe proposta può essere riscritta ella forma f() e ( e ) [cosh( ) ], da cui, utilizzado lo sviluppo di Mc Lauri al terzo ordie per la fuzioe y e y, co y, e quello al quarto ordie per la fuzioe y cosy, co y, otteiamo ( ) ( )3 f() e [( ) o ( ( ) 3)]{ ( ) ( ) + + o ( ( ) )} 3!! ( ) ( )3 e [( ) o ( ( ) 3)][ 3! ( ) + ( )6 + o ( ( ) 6) ] e( )5 e( )6 e( ) e( )5 e( )6 e( ) e( )7 + o ( ( ) 7). + o ( ( ) 7) Esercizio 5 Poiché per ipotesi f C (R) così come la fuzioe 3, per il teorema sulla derivazioe delle fuzioi composte, la fuzioe f( 3 ) è ach essa cotiua su R; pertato, la fuzioe itegrale [ + f(t 3 ) ] dt è di classe C (R) e si aulla ell origie. Dal Teorema di Torricelli e dal Teorema di de L Hospital, si ha duque 3 [ + f(t 3 ) ] dt H + f( 3 ) + + o( ) 3 3 /3 F(), dove, ella secoda uguagliaza, abbiamo utilizzato lo sviluppo di f. Pertato, F risulta cotiua ell origie. 6

7 TEMA D Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è a termii di sego arbitrario (i fuzioe del parametro reale ), pertato comiciamo a cosiderare il modulo. Ricordiamo ache che se + <, ovvero se ±; + se +, ovvero se ±; + se >, ovvero per essu R. + Pertato, per ±, si ricava che il termie geerale della serie o è ifiitesimo, quidi la serie o coverge é asolutamete é semplicemete. Ivece, per ±, applicado il criterio della radice, otteiamo [( ) ] si <, (. dove abbiamo utilizzato il fatto che siy y, per y, co y +) Quidi, la serie coverge assolutamete e semplicemete se e solo se ±. Esercizio L itegrale proposto si può risolvere i vari modi. Noi procederemo effettuado la sostituzioe t + 6, da cui (t 6)/, ovvero d t dt, t( 3), t(5). Quidi ricaviamo e +6 d t e t dt t e t 6e 8e + e t t e t dt 6e t e t 8e + e e, + dove, ella secoda e ella terza uguagliaza abbiamo utilizzato u itegrazioe per parti. Esercizio 3 Riscrivedo l equazioe differeziale ella forma y () y ()+ y () +, si ricava subito che essa è u equazioe del primo ordie a variabili separabili, priva di soluzioi sigolari. Procededo, quidi, per separazioe di variabili e itegrado, otteiamo log(y + ) y y + dy + d e t dt (/) + d arcta + C, da cui, impoedo la codizioe iiziale, si ricava C log 6. Pertato, la soluzioe cercata sarà ( y () 6 ep arcta ). Iseredo el ite proposto l espressioe trovata, otteiamo + + 6ep y () 6 ep ( ( ) log log ( arcta ) arcta ) ( ) + +, dove abbiamo utilizzato il fatto che, per y, e y y, co y arcta, arctay y, co y e log( + y) y, co y +. 7

8 Esercizio Osserviamo iazitutto che possiamo riscrivere la fuzioe ella forma f() log ( ) sih ( 3), da cui, utilizzado lo sviluppo di Mc Lauri al terzo ordie per la fuzioe y log(+y), co y ( 3)/3, e per la fuzioe y sihy, co y 3, otteiamo f() [ ( ) 3 ( ) 3 + ( ) o ( ( 3) 3)] [( 3) + 3! ( 3)3 + o ( ( 3) 3)] [ ( ) 3 ( ) 3 + ( ) o ( ( 3) 3)] [( 3) ( 3) + o ( ( 3) )] ( 3)3 ( 3) ( 3) ( 3)3 ( 3) ( 3) ( 3)5 9 + o ( ( 3) 5). + o ( ( 3) 5) Esercizio 5 Poiché per ipotesi f C (R) e la fuzioe è di classe C ( [, + ) ), per il teorema sulla derivazioe delle fuzioi composte, la fuzioe f( ) è ach essa cotiua i [, + ); pertato, la fuzioe itegrale [ ] ( f( t) dt è di classe C [, + ) ) e si aulla ell origie. Dal Teorema di Torricelli e dal Teorema di de L Hospital, si ha duque + [ f( ] t) dt H f( ) o() 3 F(), + + dove, ella secoda uguagliaza, abbiamo utilizzato lo sviluppo di f. Pertato, F risulta cotiua ell origie. 8