Matematica - Ingegneria Gestionale - Prova scritta del 25 giugno SOLUZIONI - (a n ) 1 + n ha limite + 1 = cos(πn) 1 cos(πn) )

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1 Matematica - Igegeria Gestioale - Prova scritta del 5 giugo SOLUZIONI -. Si idichio le frasi corrette PUNTI: /-/0 per ogi domamda). se a := + cosπ) a ) è limitata iferiormete cosπ) se a := a ) è limitata iferiormete se a := cosπ) a ) è limitata iferiormete + cosπ) cosπ) cosπ) = + cosπ) = = b perché b + metre c, c + ). ) + = + cosπ) ) = cosπ) ) a, a + + c. Si ha PUNTI: 4/-/0): e aalogamete max x x x = 8, mi x x x = 8 max x x x = 6, mi x x x = 6 Svolgimeto. Poiamo fx) := x x. Allora f x) = x x = xx ) che si aulla ei due puti ±. Aalizzado il sego di f si vede subito che è u puto di miimo relativo e è u puto di massimo relativo. Ioltre f) =, f ) =. Se calcoliamo ache i valori di f agli estremi abbiamo f ) = 8, f) = 8 e quidi il massimo e il miimo risultao assuti agli estremi.. Si trovi il valore dei segueti limiti PUNTI: /-0/0 ciascuo) lim + e ) = lim = e! ) ) + + lim = e / lim = + + +

2 e ) = e/ / +! = + / e = e perché a + =! a a ) ) = = ) + = ) + + = / + +) + +)!! ) + = e ) +/ + / + ) / e / + / 4. Si calcoli il limite seguete - questo esercizio va svolto e vale 7 puti. da cui cosx)e x lim x 0 six ) si x) = 4 cosx) = x) + x)4 4 + ox4 ) = x + x4 + ox 4 ) e x = + x + x ) + ox ) ) = + x + x 4 + ox 4 ) six) = x + ox), six ) = x + ox ) cosx)e x = x + x4 + ox 4 )) + x + x 4 + ox 4 )) = x + x4 + ox 4 ) + x 4x 4 + ox 4 ) + x 4 + ox 4 ) = 4 x4 + ox 4 ) six ) si x) = x+ox)) x +ox )) = x +o)) x +o)) = x 4 +o))+o)) = x 4 +o)) = x 4 +ox 4 ) e duque cosx)e x six ) si x) = 4 x4 + ox 4 ) x 4 + ox 4 4 ) secoda parte 5. Si trovi il carattere delle segueti serie PUNTI: /-/0 per ciascua). ) N CONVERGE + = ) si + + CONVERGE ASSOLUTAMENTE = = = ) CONVERGE. N ASSOLUTAMENT CONVERGE ASSOLUTAMENTE

3 ) a := = ) e / + + a := ) + = ) + = ) ) ) a := si + + si a := + + a = + + o)) = + o) 0 a diverge a coverge per Leibiz, a coverge assolutamete a coverge assolutamete a diverge 6. Si idichi la risposta corretta N.D.P=essua delle precedeti) PUNTI: 4/-/0). 5x x + 4)x ) = Ax + B x C x + 5x π + l) x + 4)x dx = ) D x + = Ax + B)x ) + Cx + )x + 4) + Dx )x + 4) x + 4)x = ) A + C + D)x + B + C D)x + A + 4C + 4D)x B + 4C 4D x + 4)x = ) da cui A + C + D = 0 A = 0 A = 0 A = 0 B + C D = 5 C + D = 0 C + D = 0 C = / A + 4C + 4D = 0 B + C D) = 5 C D = D = / B + 4C 4D = 0 B 4C D) = 0 B = 4 B = 4 e allora 5x x + 4)x ) dx = 4 x / x. / ) dx = x + [ x )] + arctg + [ x l x + )] + π = π ) + π + l) l ) = 4 7. Si scriva la soluzioe del problema di Cauchy PUNTI: 4/-0/0) { y + y = A. y0) = 0, y 0) = 0, yx) = Ae x + x) Svolgimeto. Il poliomo caratteristico è z + z che ha come radici e 0. Duque le soluzioi dell omogeea soo yx) = γe x + δ Cerchiamo ua soluzioe particolare ȳ. Dato che le costati soo soluzioi dobbiamo cercare ȳ della forma ȳx) = Bx. Allora, si vede subito che B = A e quidi le soluzioi dell equazioe soo descritte da yx) = γe x + δ + Ax

4 da cui y x) = γe x + A Impoedo le codizioi iiziali ulle si trova γ + δ = 0 e γ + A = 0 da cui γ = A e δ = A. 8. Si cosideri l equazioe differeziale: y = y x x x x > 0, y) = y 0.. Si studio le soluzioi, trovado i particolare 8 puti i tutto - da svolgere):. l espressioe delle soluzioe co codizioe iiziale y) = y 0, dato y 0 i R; i limiti a 0 + e a + di tale soluzioe al variare di y 0 ); i grafici relativi alle soluzioi più sigificative; per quali valori di y 0 l equazioe yx) = ha due distite soluzioi. Svolgimeto. Dalla formula risolutiva si ricava x yx) = x y) + t ) ) x t t dt = x y 0 + t + 4t 4t ) ) dt = x y 0 + [ lt) 4t + t ] ) x = x y 0 lx) 4x + x + ) = cx x lx) 4x + dove c = y = +. Allora qualuque sia c) lim yx) = lim xcx x lx) 4) + =, x 0 + x 0 + lim yx) =. x + Per studiare la mootoia di y cosieriamo F x, y) := y x x x, di modo che l equazioe si scrive y x) = F x, yx)). Allora F x, y) = 0 se e solo se y = x x + =: gx). Il grafico di g è ua parabola co vertice i, ), passate per 0, ) e, ). Teedo coto del fatto che y cresce quado si trova ella xoa sopra il grafico di g e decresce quado si trova sotto, si perviee ai grafici illustrati ella figura.

5 Per risolvere l ultimo puto cerchiamo la curca che passa per, ). Tale curva è caratterizzata dalla codizioe = y 0 + ) l) 4 + = 4y 0 + ) 8 l) 8 + y 0 = l) = l4) Quidi tale curva ha y 0 = l4). Come si vede dalla figura, se y 0 > l4) y taglia due volte la retta y =, metre per y 0 l4) y o la taglia mai.