Esecitazione AM2 n.1-a.a /10/06. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme delle seguenti successioni di funzioni: 1.

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1 Esecitazioe AM.-A.A /0/06 Successioi di fuzioi Studiare la covergeza putuale ed uiforme delle segueti successioi di fuzioi:. f (x) = x +, x A R.. f (x) = si(x) +, x R. 3. f (x) = xe x, x [0, + ); stabilire se vale il teorema di passaggio al limite sotto il sego di itegrale i [0, ], ovvero se lim f 0 (x)dx = lim 0 f (x)dx. 4. f (x) = x + x, x R e verificare che lim f (x)dx = lim f (x)dx = f (x) = p xe x, p R, N, x [0, ]. 6. f (x) = e x x R e la successioe delle derivate g + (x) = e x ha seso studiarala. + se 7. f (x) = x x, x [0, ], verificare se vale il teorema di passaggio al limite sotto il sego di derivata. 8. f (x) = x( x ), x [, ]. Si verifichi che: lim f 0 (x)dx lim 0 f (x)dx. 9. f (x) = arcta(x), x R e verificare che é possibile itegrare termie a termie π lim f 0 (x)dx = lim 0 f (x)dx.

2 0. f (x) = x, i R. x se x [0, ]. f (x) = x se x (, ] i [0, ] e verificare che é possibile 0 se x (, ] itegrare termie a termie lim 0 f (x)dx = 0 lim f (x)dx. Soluzioi. Sia x A, lim + f (x) = x = j A (x) igezioe caoica di A i R ; la successioe coverge putualmete all igezioe caoica di A. Studiamo la covergeza uiforme: suppoiamo A limitato M > 0 t. c. per ogi x A : x M, f (x) j A (x) = x x = + x x x = x M, 0 sup x A f (x) j A (x) M 0, quidi + la covergeza é uiforme. Se A o é limitato la covergeza é solo putuale.. Sia x R, lim + f (x) = 0; la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i R. Studiamo la covergeza uiforme: si(x) si(x), 0 sup x R f (x) f(x) 0 + per, quidi la covergeza é uiforme. 3. Sia x [0, + ), lim + f (x) = 0; la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i R. Studiamo la covergeza uiforme: per ogi r > 0 i [r, + ) le f (x) per abbastaza grade soo decresceti per cui sup x [r,+ ) f (x) f(x) = sup x [r,+ ) f (x) = f (r) = re r 0 per, qudi abbiamo covergeza uiforme i [r, + ) per ogi r > 0. La covergeza o é uiforme i [0, ], il sup x [0,] f (x) f(x) = sup x [0,] f (x) = per e (f (x) = e x ( + x )), ifatti risulta lim f ( 0 (x)dx = lim dx = lim 0 xe x ) = e lim ( e + ) = 0 = f(x)dx. 0 { se x 0 4. Sia x R, lim + f (x) = 0 sex = 0 putualmete alla fuzioe f(x) i R. 0, la successioe coverge

3 Studiamo la covergeza uiforme: fissiamo N, x R f é cotiua e f o é cotiua per tato la covergeza o é uiforme poiché coserva la cotiuitá. La successioe risulta uiformemete covergete i R ( a, a) per ogi a > 0, i quato risulta sup x a f (x) f(x) = sup x a x = + x + a 0 per. Noostate la covergeza o sia uiforme i [, ] vale ( t lim f ) (x)dx = lim dx = lim + x + x dx ( ) [ = lim 0 + x dx = lim t arcta(t) ] = lim ( 0 ) arcta = = lim f (x)dx. 5. Sia x [0, ), lim + f (x) = 0, la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i [0, ). Studiamo la covergeza uiforme: fissiamo N, si tratterá di studiare dove la f (x) > 0, f (x) = p e x p+ xe x = p e x ( x) > 0 0 x. Si prova che la covergeza é uiforme i ogi itervallo del tipo [r, ) per ogi r > 0 e p R, ifatti i [r, ) f (x) < 0 defiitivamete per e quidi le f (x) soo defiitivamete decresceti, duque per abbastaza grade sup x [r, ) f ( x) f(x) = sup x [r, ) f ( x) = f (r) = p re r 0 per. I [0, ]: f (0) = 0, f () = p e, f ( ) = p e e 0 se p <, lim sup x [0,] f (x) f(x) = lim p e = se p =, e se p >. Il limite putuale é uiforme i [0, ] se p <. 6. Sia x R, f (x) = e x, per x = 0 si ha lim + + f (0) = 0, per x > 0 si ha lim e x = 0 lim f (x) = 0, per x < 0 si ha lim e x = + lim f (x) =, quidi per x < 0 o c é covergeza putuale, metre i [0, ) la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i [0, ). Studiamo la covergeza uiforme: e fissiamo N sup x R+ f (x) f(x) = sup x x R+, si tratterá di + studiare dove la f (x) > 0, f e x (x) = 0 per ogi x R + +, per 3

4 e tato sup x R+ f (x) f(x) = lim x x = 0 per. + + Duque la successioe coverge uiformemete i [0, ). Studiamo la successioe delle derivate g (x) = e x, x R + +, poiché per x < 0 o c é covergeza { putule. Risulta covergere putualmete lim g (x) = ma per ogi N g se x = 0, 0 se x > 0, é cotiua, metre g é discotiua i x = 0 duque la covergeza o é uiforme i quato la covergeza uiforme coserva la cotiuitá. Sia a > 0, studiamo la covergeza uiforme i [a, ): e fissiamo N sup x [a, ) g (x) g(x) = sup x x [a, ), si tratterá di studiare dove la g (x) > 0, g (x) = e x < 0 per ogi + + x [a, ), per tato g risulta strettamete decrescete i [a, ) quidi sup x [a, ) f (x) f(x) = lim x a + e x = e a 0 per + +. La successioe o coverge uiformemete i [0, ), ma se ci discostiamo cosiderado a > 0 coverge uiformememte i [a, ). 7. Sia x [0, ] lim + f (x) = x per ogi x [0, ], la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) = x i [0, ]. Studiamo la covergeza uiforme: f (x) f(x), per ogi x [0, ], quidi la covergeza é uiforme. La f é { derivabile f (x) = x per ogi x [0, ] e 0 se x =, lim f (x) = per tato f se x [0, ), () lim f (), f o é uiformemete covergete i [0,], o vale il teorema di passaggiio al limite i x =. 8. Sia x [, ], lim + f (x) = 0, la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i [, ]. Studiamo la covergeza uiforme: fissiamo N, sup x [,] f (x) f(x) = sup x [,] f (x) = f ( ( + +) +, per cui la covergeza o é uiforme. Risulta lim f 0 (x)dx = lim = lim (+) 0 f (x)dx = Sia x R, lim + f (x) = sigx, la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) = sigx i R. Studiamo la covergeza uiforme: fissiamo N, la covergeza o é uiforme i quato la fuzioe limite f é discotiua ivece f é cotiua e la covergeza uiforme 4 +) =

5 coserva la cotiuitá. Risulta possibile l itegrazioe termie a termie: lim f ( 0 (x)dx = lim π arcta log( + ) ) = = lim 0 f (x)dx. 0. Sia x R, f (x) = x = e log x = e x log, f (x) é crescete i x, f (x) > ( x log > 0) per ogi x, se x 0 f (x) + per, se x < 0 f (x) = f ( y) = e log y + per, per tato la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) = i (, 0). Studiamo la covergeza uiforme: fissiamo N, i [ r, 0], r > 0, sup [ r,0] f (x) f(x) = sup [ r,0] ( x ) = per, quidi o si ha covergeza uiforme i itervalli del tipo [ r, 0] e ache i itervalli coteeti l origie. Cosideriamo (, ε], ε > 0 per isolare l origie, risulta sup (, ε] f (x) f(x) = e log ε 0 per.duque f (x) coverge uiformemete a i (, ε], co ε > 0.. Sia x [0, ], lim + f (x) = 0, la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i [0, ]. Studiamo la covergeza uiforme: fissiamo N, la covergeza o é uiforme i quato sup x [0,] f (x) f(x) = sup x [0,] f (x) = f ( ) =. Risulta possibile itegrare termie a termie: lim f 0 (x)dx = lim = 0 = lim 0 f (x)dx. Lavoro a casa. f (x) = x +, x R; stabilire se vale il teorema di passaggio al limite sotto il sego di derivata.. f (x) = x, x [0, ). x+ 3. f (x) = x + x, x [0, ). 5

6 4. f (x) = x + x, x [, ). 5. f (x) = x 0 si(x t) t dt, x [0, ]. Soluzioi. Sia x R, lim + f (x) = x = x ; la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) = x i R. Studiamo la covergeza uiforme: f (x) f(x) = x + x = x + x x + + x = 0 per, quidi le f covergoo uiformemete a f. Le f soo t.c. f (x) = x x +, f (x) x x per ; le f soo tutte derivabili, le f covergoo verso f, ma f o derivabile (la successioe delle derivate o uiformemete covergete), quidi o vale il teorema.. Sia x [0, ), lim + f (x) = 0, la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i [0, ). Studiamo la covergeza uiforme: fissiamo N, si tratterá di studiare dove la f (x) > 0, f (x) = +x x (+) > 0 per ogi x > 0, quidi la f é strettamete crescete i tutto [0, ), sup x [0, ) f (x) f(x) = sup x [0, ) f (x) = lim x f (x) = 0 per, quidi la covergeza é uiforme i [0, ). 3. Sia x [0, ), lim + f (x) = 0, la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i [0, ). Studiamo la covergeza uiforme: fissiamo N, si tratterá di studiare dove la f (x) > 0, f (x) = (+ x ) x(x) = +3 x 3 x = 3 x > 0 3 x = ( (+ x ) (+ x ) (+ x ) x ) > 0 > x 0 x, f ( ) =, sup x [0, ) f (x) f(x) = sup x [0, ) f (x) = per cui la covergeza o é uiforme i [0, ). I [, ) la f sará decrescete ed f () = per cui essedo + sup x [0, ) f (x) f(x) = 0 per si ha covergeza + uiforme i [, ). 4. Sia x [, ), lim + f (x) = 0, la successioe coverge putualmete alla fuzioe f(x) 0 i [0, ). 6

7 Studiamo la covergeza uiforme: x fissiamo N, x [, ),, per cui + x + x x x sup x [, ) per il cofroto la covergeza é uiforme i + x [, ). 5. Sia x [0, ] e t [0, x], si ha che 0 x t 0 si(x t) x t. Risulta che: 0 f (x) = x si(x t) dt x x tdt = x +, per tato lim 0 t 0 t + f (x) = 0, per x [0, ). Per x =, abbiamo che f () = sitdx + 0 t per. Duque la successioe coverge putualmete su [0, [. Studiamo la covergeza uiforme: ogi f é cotiua su [0, ], per cui se f 0 uiformemete i A [0, [, deve essere covergete a 0 i Ā, per cui A [0, δ] per qualche δ ]0, [. D altra parte se A verifica tale codizioe risulta: sup x A f (x) f(x) = sup x A f (x) ( delta) + 0 per. Duque si ha covergeza uiforme su isiemi A t. c. A [0, δ] per qualche δ ]0, [. 7