Prova scritta di Analisi Matematica T-A, Ingegneria Energetica, 21/12/2015. MATRICOLA:...NOME e COGNOME:...
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- Renato Masini
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1 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, //5 Preferirei sosteere la prova orale il: 7/ 8/ ( puti Dato il seguete isieme A, stabilire se è aperto o chiuso. Ioltre studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, l esisteza di massimi e miimi, la compattezza. R : si( > } ( π 6 + kπ, 5π 6 + kπ A = = k Z It(A = A, Der(A = [ π 6 + kπ, 5π ] 6 + kπ, F r(a = π 6 + kπ, 5π } 6 + kπ, Ā = Der(A, k Z k Z if A =, mi A =, sup A = +, ma A = A è aperto, o è chiuso, o è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite 4 log( + +!( cos(5 ( +!( + arcta(cosh( + = e 4 + π (6 puti Studiare il seguete ite e + cos( 4 + log( + e 5 si( = 44 f( = log( (e (e7 + 7 d = 7e 4 7e 7 4 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro reale α > coverge il seguete itegrale geeralizzato si ( tah( α α ( 4 α d. 9 < α < 7(facoltativo, puti Studiare la uiforme cotiuità delle fuzioi f( = ( (, g( = si, h( = si sull itervallo (, ].
2 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, //5 Preferirei sosteere la prova orale il: 7/ 8/ ( puti Dato il seguete isieme A, stabilire se è aperto o chiuso. Ioltre studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, l esisteza di massimi e miimi, la compattezza. It(A = k Z R : cos( } [ π + kπ, π ] + kπ A = = k Z ( π + kπ, π + kπ, Der(A = A, F r(a = π + kπ, π } + kπ, Ā = A, k Z if A =, mi A =, sup A = +, ma A = A o è aperto, è chiuso, o è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite + log( + ( +!( + + si(7 4! arcta(sih( = (6 puti Studiare il seguete ite 4 9 cos( + si( (log( + + e = 7 f( = ( + 8 log( (e (e d = 5e 8 5e 4 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro reale α > coverge il seguete itegrale geeralizzato sih ( arcta( α α ( 9 α 4 d < α < 7(facoltativo, puti Studiare la uiforme cotiuità delle fuzioi f( = ( (, g( = si, h( = si sull itervallo (, ].
3 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, 8//6 Preferirei sosteere la prova orale il: / / ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A = Q : 4 4, } = Q [, ] It(A =, Der(A = [, ], F r(a = [, ], Ā = [, ], if A =, mi A =, sup A = ma A = A o è aperto, o è chiuso, è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite 5 si(7 4 = (6 puti Studiare il seguete ite (e t e t t dt si( + si( = f( = ta ( arcta( + arcta(. 5 log( + log( ( + d = + π 6 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro α R coverge il seguete itegrale π α α (4π π (cos( α d. < α < 7(facoltativo, puti Provare per iduzioe che ( è divisibile per 8, per ogi umero aturale dispari.
4 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, 8//6 Preferirei sosteere la prova orale il: / / ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A = Q : 4 4, } = Q [, ] It(A =, Der(A = [, ], F r(a = [, ], Ā = [, ], if A = mi A =, sup A =, ma A = A o è aperto, o è chiuso, è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite 7 cos(5 + = (6 puti Studiare il seguete ite (t e t + e t dt sih( + sih( = f( = e log(+ log(. arcta( ( + d = log( π 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro α R coverge il seguete itegrale e (log( 5α α (e 4α d. 5 < α < 4 7(facoltativo, puti Provare per iduzioe che ( è divisibile per 8, per ogi umero aturale dispari.
5 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, 5//6 Preferirei sosteere la prova orale il: 8/ 9/ ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A =, y R : =, y = }, N, >. A o è aperto, è chiuso, è itato, è It(A =, Der(A =, }, F r(a = A, Ā = A, if A = mi A =, sup A = ma A = (4 puti Studiare il seguete ite (! (! = + (6 puti Studiare il seguete ite log( + 4 cos( si( + + cos( + cos(4 + sih( 6 + = 9 f( = ( 4 + sih( d = e 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro α R coverge il seguete itegrale ( α 5 e α d. α < 4, α > 4 7(facoltativo, puti Studiare il seguete ite [ ( 9 + ( 9 + ( ] 9 (
6 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, 5//6 Preferirei sosteere la prova orale il: 8/ 9/ ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A =, y R : = +, y = }, N, >. It(A =, Der(A =, }, F r(a = A }, Ā = A }, if A =, mi A =, sup A = ma A = A o è aperto, o è chiuso, è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite (! (! = (6 puti Studiare il seguete ite cos( + cos( + sih( + log( + 6 cos(4 si( + + = 54 f( = + +. ( cosh( d = 5 e e 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro α R coverge il seguete itegrale e α ( α d. α <, α > 7(facoltativo, puti Studiare il seguete ite [ ( 9 + ( 9 + ( ] 9 (
7 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, /6/6 Preferirei sosteere la prova orale il: /6 4/6 ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A = y R : y = e }, R = [, + It(A = (, +, Der(A = [, +, F r(a = }, Ā = [, +, if A = mi A =, sup A = +, ma A = A o è aperto, è chiuso, o è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite si(( + π (! = (6 puti Studiare il seguete ite ( log + si ( + 4 cosh ( + + cos ( + 5 = 8 f( = ( + (. d = + (log( + π 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro reale α > coverge il seguete itegrale ( si α d. α > arcta( 7(facoltativo, puti Sia Γ : (, + R la fuzioe (di Eulero defiita da Γ(t = t e d. Dimostrare che l itegrale è covergete e quidi la fuzioe è be defiita. Ioltre provare che vale la seguete formula: Γ(t + = tγ(t, t (, +. Ifie calcolare Γ( +, co N.
8 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, /6/6 Preferirei sosteere la prova orale il: /6 4/6 ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A = y R : y = π 4 + arcta(, R } = [, 4 π It(A = (, 4 π, Der(A = [, 4 π], F r(a =, 4 π}, Ā = [, 4 π], if A = mi A =, sup A = π, ma A = 4 A o è aperto, o è chiuso, è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite! ( cos(π = (6 puti Studiare il seguete ite 9 cos ( + cosh ( + log ( + si ( + = 8 f( = ( ( d = 7 arcta(5 8 log( log(9 54 (6 log( + π 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro reale α > coverge il seguete itegrale 5 ( si α d. α > 6 arcta( 5 7(facoltativo, puti Sia Γ : (, + R la fuzioe (di Eulero defiita da Γ(t = t e d. Dimostrare che l itegrale è covergete e quidi la fuzioe è be defiita. Ioltre provare che vale la seguete formula: Γ(t + = tγ(t, t (, +. Ifie calcolare Γ( +, co N.
9 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, 8/7/6 Preferirei sosteere la prova orale il: /7 /7 ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A = R : } = cos(π, N, >. It(A =, Der(A = }, F r(a = A }, Ā = A }, if A = mi A =, sup A = ma A = 4 A o è aperto, o è chiuso, è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite arcta( + si( log(4 cos(5π = (6 puti Studiare il seguete ite si ( cos ( log ( + + e ( si ( 4 cos ( = 4 f( =. π π 6 ( ( si ( + si ( cos ( + cos ( d = arcta + arcta + 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro α R coverge il seguete itegrale + ( ( 4 + α d. < α < 7(facoltativo, puti Si cosideri la fuzioe f( = log defiita sul suo domiio aturale. Determiare ua primitiva F tale che F ( = 4 e F ( = 7
10 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, 8/7/6 Preferirei sosteere la prova orale il: /7 /7 ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A = R : } = + cos(π, N, >. It(A =, Der(A = }, F r(a = A }, Ā = A }, if A = mi A =, sup A = ma A = 7 8 A o è aperto, o è chiuso, è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite log(7 + si(π arcta(cos( 5 4 = log 7 π (6 puti Studiare il seguete ite + cos ( e (si ( 5 log ( + + si ( cos ( = 5 f( = + +. π π 6 si ( + si ( cos ( + cos ( d ( = log( + log + 5 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro α R coverge il seguete itegrale + ( 5α + ( d. 5 < α < 7(facoltativo, puti Si cosideri la fuzioe f( = log defiita sul suo domiio aturale. Determiare ua primitiva F tale che F ( = 4 e F ( = 7
11 Prova scritta di Aalisi Matematica T-A, Igegeria Eergetica, 5/9/6 Preferirei sosteere la prova orale il: 8/9 9/9 ( puti Dato il seguete isieme A R, studiare: l itero, il derivato, la frotiera, la chiusura, la itatezza, gli estremi superiori e iferiori, massimi e miimi. Ioltre stabilire se è aperto, chiuso, A = R : log } = (, ] [e, + e It(A = (, e (e, +, Der(A = [, e ] [e, +, F r(a =, e, e}, Ā = [, ] [e, +, e if A =, mi A =, sup A = +, ma A = A o è aperto, o è chiuso, o è itato, o è (4 puti Studiare il seguete ite cos (! + + arcta(log = (6 puti Studiare il seguete ite e ( log + si ( cos ( + cos ( si ( log ( + + = f( = log( +. log ( e e ( 5 e + e d = log 6(5 puti Stabilire per quali valori del parametro reale α > coverge il seguete itegrale si( α 4 log( cos( α d. α > 7(facoltativo, puti Sia f C ([, +, R ua fuzioe strettamete mootoa tale che f( >, Studiare la covergeza del seguete itegrale f( = +. + cos(f(f ( f( d.
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Riassunto delle Esercitazioni di Analisi Matematica II
Riassuto delle Esercitazioi di Aalisi Matematica II C.d.L. i Matematica e Matematica per le Applicazioi - A. A. 2006-2007 Prof. Kevi R. Paye e Dott. Libor Vesely 1 Serie Numeriche - Mer. 28 marzo - due
n 2 e n 2n 2 exp 1 n 2 a n 4 a n 12 a n n cosn 16 a n log 4 16n 2 1 9n a n 1 n 2n n 1 20 a n 7n 1 4n n n 22 a n 2 n
3] SUCCESSIONI (a.a. 11/12) 3.1] Calcolare lim a se esiste ove: 1 a 2 2 3 2 4 1 3 a 2 2 2 3 log 1 2 a 4 a 2 e 2 2 exp 1 2 e exp 2 3 5 a 1 2 exp 1 6 a log 3 7 4 3 7 a log 3 7 8 a 4 2 log 32 7 3 e 2 9 a
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2.4 Criteri di convergenza per le serie
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Siamo interessati a studiare la convergenza della serie e porremo come al solito:
SERIE DI POTENZE Soo particolari serie di fuzioi, i cui termii soo moomi, evetualmete traslati: f (x) co f (x) =a (x x 0 ), a R, x 0 R, ossia dove a (x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 +... x
Ottavio Serra La costante C di Eulero-Mascheroni e la funzione Gamma. 1. =
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Equazioni differenziali
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