Def. Se f(x) è una funzione derivabile infinite volte in un intorno di un punto c, ed esiste R > 0 o R = + tale che f(x) = f (n) (c)

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1 Apputi sul corso i Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 5: Riferimeti: R.Aams, Calcolo Differeziale. -Si cosiglia vivamate i fare gli esercizi el testo. Cap Serie i Taylor, fuzioe aalitica. sigifica che e è stata fatta ua imostrazioe a lezioe, simile a quella el libro, se presete. Def. Se f() è ua fuzioe erivabile ifiite volte i u itoro i u puto c, e esiste R > o R = + tale che f() f () (c) ( c) per ogi (c R, c + R), cioè f è rappresetata alla sua serie i Taylor co cetro i c i u itoro el puto c, allora f() si ice aalitica i c. Se f è aalitica i ogi puto i u isieme aperto I, allora si ice che f() è aalitica i I. Abbiamo visto che la fuzioe g() = o è aalitica el puto c =. { e /, se, se = Coizioe Sufficiete. Sia I = (c R, c+r), co R > (o R = + ), sia f() C (I), e esista ua costate M > tale che f () () M, per ogi =,,,... e per ogi I. Allora f() è aalitia i I. ES. Le fuzioi f () = si, f () = cos, f () = e, f 4 () = log, f 5 () = soo aalitiche el loro isieme i efiizioe. Attezioe: la erivata i f() = e o è limitata i tutto R, però è limitata i I = (c R, c + R), per ogi c e R > ; quii f() è aalitica i I per ogi I (cioè per ogi c R esiste u itoro i c i cui la serie i Taylor cetrata i c coverge a f), e quii è aalitica i R.

2 Sviluppi i serie i M aclauri si ( ) + ( + )!, R ; cos ( ) ()!, R; e, R; log( + ) ( ), (, ], (, ). Da + ( ), (, ), itegrao si ottiee arcta sih = e e ( ) +, (, ); + + ( + )!, R; cosh = e + e ()!, R; ( + ) α α(α )(α )...(α + ) (serie biomiale), (, ) Sviluppi i serie i Taylor i cetro c = c + c = c + c c ( ) c + ( c), c < c log = log( c + c) = = log(c( + c ) = log c + ( ) ( c), c < c c c e ( c) ec

3 Esercizi vari Determiare lo sviluppo i serie i M aclauri, e l itervallo i covergeza = log( ), [, ) + = + / = log ( ) = ( ) + + = (log( + ) log( )), (, ); si = cos() = ( ) R; ()! ( ) ()! () e / ( ) / ( ) R; ( ) = = I questi ultimi ue esempi = è ua iscotiuità elimiabile, e si coviee la fuzioe prolugata co cotiuità: si ( ) ( + )! 4+, R; ( ) = log( + ), (, ]; + (perchè vale l uguagliaza ache i =?) Calcolare la somma i 4 ell isieme i covergeza (4 ) = = 4 44 = 4 = 4 4 = 4 ( ) = 4 4 (4 ) 4, per <, ( 4 )

4 Dagli sviluppi oti eurre la somma = e ; = e ; ( ) ( ) = e 9 = log ; ()! = cosh() ; ( ) = e ( ) ( + )! = si. Ua applicazioe al calcolo itegrale: Determiare ua primitiva ella fuzioe f() = e E oto che tale fuzioe o è itegrabile i termii fiiti, besì per serie: F () = et t = t t + ( + ) Stesso esercizio per la fuzioe f() = si F () = si t t t = ( ) t ( + )! t ( ) + ( + )( + )! Determiare l isieme i covergeza i 4 (4 ) log a () 4 la serie coverge se 4 <, 4 < 4 iverge se 4 > il cetro è c = 4 il raggio è R = 4 4 = : se 4 = 4 log iverge se 4 = ( ) 4 coverge per il criterio i Leibitz log (fare la erivata). I = [, ) 4

5 Determiare l isieme i covergeza i ( ) log a () la serie coverge se < <, iverge se > il cetro è c = il raggio è R = = log coverge I = [, + ] Serie ricoucibili a serie i poteze Determiare l isieme i covergeza i Attezioe: NON E ua serie i poteze!! a () 4 4 ( ) <, se 4 = cov la serie coverge sse 4 4 4, 6 I = (, ] [ 6, + ) Calcolare la somma i e ell isieme i covergeza Attezioe: NON E ua serie i poteze!! POSTO t = e si ha t, serie i poteze i cetro c = e raggio R = e se t = a quii iverge I I t = (, ) la somma è t t = t t a cui la serie ata coverge sse < e < I = (, + ) e e i I la somma è e = e 5