f n = f 0 + f 1 + f 2 + f (3.25)

Transcript

1 Serie di fuzioi Così come le serie umeriche estedoo l addizioe tra due umeri ad u ifiità umerabile di addedi, allo stesso modo le serie di fuzioi rappresetao l addizioe di u ifiità umerabile di fuzioi. Ache i questo caso, il sigificato dell operazioe di addizioe ifiita si basa sulla covergeza della successioe delle somme fiite otteute addizioado parzialmete gli addedi della serie. Tuttavia, tale successioe è ora ua successioe di fuzioi e pertato la covergeza della serie può essere valutata sulla base di tutte le diverse ozioi di covergeza che sussistoo per le successioi di fuzioi. Nella sezioe seguete formalizzeremo queste cosiderazioi, metre elle sezioi successive approfodiremo i particolare le ozioi di covergeza putuale ed uiforme. 3.1 Serie di fuzioi e loro covergeze Per serie di fuzioi si itede l addizioe degli ifiiti termii f : D R R di ua successioe di fuzioi (f ) 0 10, ossia ua scrittura formale del tipo f f 0 + f 1 + f 2 + f (3.25) Gli addedi f 0,f 1,f 2,... soo detti termii della serie (3.25) ed f è detto termie geerale della serie. La serie (3.25) viee spesso idicata ache co f (x) f 0 (x)+f 1 (x)+f 2 (x)+f 3 (x)+..., (3.26) soprattutto quado, ei casi cocreti, si ha la ecessità di evideziare le espressioi aalitiche delle fuzioi f (v. esempi più avati). Tuttavia, come già osservato per le successioi di fuzioi, la scrittura (3.26) potrebbe geerare cofusioe, i quato f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x),... soo i valori che le fuzioi f assumoo el puto x e quidi la (3.26) rappreseta ache la serie umerica otteuta calcolado tutte le fuzioi f i x. Coviee allora distiguere le due scritture, almeo i astratto. Il sigificato dell addizioe ifiita (3.25) è dato come al solito dalla successioe (S N ) N 0 otteuta addizioado parzialmete i termii della serie, cioè dalla successioe di fuzioi defiita dalle segueti somme fiite: 10 Al solito, suppoiamo che i termii f siaoidicizzatiapartireda 0per semplicità, ma la sostaza del discorso o cambia cosiderado (f ) 0 co

2 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 50 0 S 0 : f f 0, cioè S 0 (x) :f 0 (x), x D S 1 : 1 f f 0 + f 1, cioè S 1 (x) :f 0 (x)+f 1 (x), x D S 2 : 2 f f 0 + f 1 + f 2, cioè S 2 (x) :f 0 (x)+f 1 (x)+f 2 (x), x D S N : N f f 0 + f f N, cioè S N (x) :f 0 (x)+f 1 (x) f N (x), x D La successioe (S N ) èdettasuccessioe delle ridotte (o somme parziali) della serie (3.25) ed S N è detta ridotta (o somma parziale) N-esima della serie (3.25). Trattadosi di ua successioe di fuzioi, la successioe (S N ) può essere cosiderata dal puto di vista di tutte le ozioi di covergeza che si applicao alle successioi di fuzioi; tali ozioi vegoo allora riferite alla serie di fuzioi che ha geerato (S N ) e si dirà quidi che la serie di fuzioi (3.25) coverge: i u puto x 0 D se la successioe (S N ) coverge i x 0 ; putualmete ad ua fuzioe f su u isieme A D se S N f putualmete su A; uiformemete ad ua fuzioe f su u itervallo I D se S N f uiformemete su I; i media di ordie p ( 1, 2) ad ua fuzioe f su u itervallo [a, b] D se S N f i media di ordie p su [a, b]. L isieme di covergeza putuale Λ e la fuzioe limite S : Λ R della successioe (S N ),cioè Λ x D : lim S N (x) esiste fiito N e S (x) lim N S N (x) per ogi x Λ, vegoo detti isieme di covergeza putuale e fuzioe somma della serie (3.25). Come giustificheremo meglio ella sezioe seguete (v. (3.27)), si scrive f (x) S (x) per ogi x Λ. Ricordiamo ifie dalle Proposizioi 3.11, 3.22 e 3.23 che valgoo le segueti implicazioi: covergeza uiforme covergeza quadratica covergeza i media covergeza putuale essua delle quali può essere rovesciata. Esempio 3.1 Cosideriamo la serie di fuzioi x. Si tratta della serie geometrica di ragioe x (vista come variabile reale), i cui termii soo le fuzioi f : R R defiite da f (x) x.abbiamo

3 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 51 già dimostrato che la ridotta N-esima della serie è la fuzioe N +1 se x 1 S N (x) 1+x + x 2 + x x N 1 x N+1 1 x se x 1 echerisulta + se x 1 lim S N (x) 1 se x < 1 N 1 x o esiste se x 1. Duque l isieme di covergeza putuale della serie x è Λ ( 1, 1) e la sua fuzioe somma è S (x) 1 1 x,cioèsiha x 1 1 x per ogi x Λ. Proviamo che la covergeza è uiforme su ogi itervallo del tipo [ a, a] Λ, cioè che S N S uiformemete su ogi [ a, a] ( 1, 1). Per ogi N si ha S N S sup x [ a,a] 1 x N+1 1 x 1 1 x sup x N+1 x [ a,a] 1 x an+1 1 a, i quato x [ a, a] implica x N+1 a N+1 e 1 x 1 a. Siccome risulta lim N an+1 0perché 0 <a<1, siottiee 0 S N S an+1 1 a 0 e quidi lim S N S N 0(per cofroto). Ciò sigifica che S N S uiformemete su [ a, a]. Si osservi che la covergeza o è ivece uiforme su tutto Λ, iquatosutaleitervallosiha S N S sup x ( 1,1) 1 x N+1 1 x 1 1 x sup x N+1 x ( 1,1) 1 x + e quidi S N S (co orma calcolata su Λ) o tede a 0 per N. Esempio 3.2 Cosideriamo la serie di fuzioi 1+x +1 log 1+x 1 co x (0, 1), 1+x icuitermiisoolefuzioif :(0, 1) R defiite da f (x) log +1 1+x per ogi x (0, 1). 1+x Poiché log +1 1+x log 1+x +1 log (1 + x ) (si oti che per x>0 etrambi gli argometi dei due logaritmi soo positivi), la serie può essere riscritta come log 1+x +1 log (1 + x ) co x (0, 1), 1

4 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 52 da cui si vede chiaramete che si tratta di ua serie di tipo telescopico. Calcoladoe esplicitamete ridotta N-esima, risulta S N (x) N log 1+x +1 log (1 + x ) log 1+x N+1 log (1 + x) 1 e quidi, ricordado la discussioe sul comportameto della successioe geometrica x N+1,siottiee lim S N (x) lim log 1+x N+1 log (1 + x) log (1 + x). N N Duque la serie coverge putualmete su tutto l itervallo (0, 1) alla fuzioe S (x) log (1 + x), cioè si ha 1+x +1 log 1+x log (1 + x) per ogi x (0, 1). 1 Cotrolliamo se tale covergeza è ache uiforme: per ogi N si ha S N S sup log 1+x N+1 log (1 + x)+log(1+x) sup log 1+x N+1 log2 x (0,1) x (0,1) e quidi S N S o tede a 0 per N, cioè la covergeza o è uiforme su (0, 1). Restrigiamo allora l idagie agli itervalli del tipo (0,a] (0, 1). I tal caso, per ogi N si ottiee S N S sup log 1+x N+1 log 1+a N+1 x (0,a] e quidi S N S log 1 0 per N (perché 0 <a<1). I defiitiva, risulta 1+x +1 log 1+x 1 log (1 + x) per ogi x (0, 1), co covergeza uiforme su ogi itervallo (0,a] (0, 1). Negli esempi precedeti, lo studio della covergeza delle serie di fuzioi cosiderate è stato codotto tramite le defiizioi stesse di covergeza, ossia aalizzado direttamete la successioe delle ridotte (S N ) della serie. Tuttavia, come per le serie umeriche, tale atteggiameto o è sempre possibile, i quato la geerica somma parziale S N, che si ottiee sommado via via u umero sempre maggiore di termii f della serie, o si lascia i geerale scrivere i forma chiusa. Nei due paragrafi segueti, vedremo allora come affrotare lo studio delle covergeze putuale ed uiforme di ua serie di fuzioi a partire dalla sola coosceza del suo termie geerale f. 3.2 Studio della covergeza putuale e covergeza assoluta Aalizziamo meglio la ozioe di covergeza di ua serie f di fuzioi f : D R i u puto x 0 D. Tale ozioe sigifica che la successioe (S N ) delle somme parziali della serie coverge i x 0, cioèchecovergelasuccessioeumerica(s N (x 0 )), icuitermiisoo f 0 (x 0 ), f 0 (x 0 )+f 1 (x 0 ), f 0 (x 0 )+f 1 (x 0 )+f 2 (x 0 ),....

5 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 53 Tale successioe è evidetemete la successioe delle ridotte della serie umerica f (x 0 )f 0 (x 0 )+f 1 (x 0 )+f 2 (x 0 )+..., i cui termii soo i valori assuti dalle fuzioi f i x 0. Duque la covergeza della serie di fuzioi f i u puto x 0 equivale alla covergeza della serie umerica f (x 0 ) otteuta calcolado tutte le fuzioi f i x 0. Aalogamete, ache tutte le altre ozioi relative alla covergeza putuale della serie f possoo essere riformulate equivaletemete i termii della serie umerica f (x) co x fissato. Si ha che: l isieme di covergeza putuale Λ x D : lim S N (x) esiste fiito della serie di fuzioi N f coicide co l isieme dei puti x D i cui la serie umerica f (x) coverge, cioè risulta Λ x D : f (x) coverge ; la fuzioe somma S (x) lim N S N (x) della serie di fuzioi f coicide i ogi puto x Λ co la somma della serie umerica f (x), cioè risulta S (x) f (x) per ogi x Λ; (3.27) la serie di fuzioi f coverge putualmete ad ua fuzioe f su u isieme A D seesolo se f (x) f (x) per ogi x A. (3.28) Le scritture (3.27) e (3.28) soo quelle più comuemete utilizzate per deotare la covergeza putuale di ua serie di fuzioi. Ioltre, siccome la covergeza uiforme implica quella putuale, per idicare che ua serie di fuzioi coverge uiformemete ad ua fuzioe f su u itervallo I si usa scrivere f (x) f (x) uiformemete su I (itededo apputo che, o solo f (x) coicide co la somma della serie f (x) per ogi x I, ma la covergeza è ache uiforme). Sulla base delle osservazioi precedeti, per lo studio della covergeza putuale di ua serie di fuzioi f di cui o si coosca esplicitamete la ridotta N-esima S N si procede tipicamete così: si immagia di fissare x D e si studia il carattere della serie umerica be oti criteri di covergeza che valgoo, apputo, per le serie umeriche; f (x), utilizzado i si discutoo i risultati otteuti al variare di x D e si determia così l isieme di covergeza putuale Λ della serie di fuzioi f (sul quale la serie covergerà putualmete ad ua qualche fuzioe somma S, di solito o determiabile esplicitamete).

6 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 54 1 Esempio 3.3 Cosideriamo la serie di fuzioi. Si tratta della serie armoica geeralizzata di x 1 espoete x (visto come variabile reale), i cui termii soo le fuzioi f : R R defiite da f (x) 1. x Abbiamo già dimostrato che 1 coverge se x>1 x diverge se x 1, 1 per cui l isieme di covergeza putuale della serie cosiderata è Λ (1, + ). Siccome il sego dei termii f (x) può variare a secoda dei valori a cui viee fissata la variabile x, ello studio della covergeza putuale di ua serie di fuzioi risulta particolarmete utile il criterio di covergeza assoluta: fissato x D, se f (x) coverge allora f (x) coverge. Per questo motivo,siitroducelaseguete: Defiizioe 3.4 (di covergeza assoluta per serie di fuzioi) Sia (f ) 0 ua successioe di fuzioi f : D R R. Si dice che la serie di fuzioi f coverge assolutamete i u puto x 0 D se la serie umerica f (x 0 ) coverge; su u isieme A D se la serie umerica f (x) coverge per ogi x A. Poiché la covergeza assoluta di ua serie di fuzioi è ua ozioe defiita puto per puto e la covergeza assoluta di ua serie umerica implica la sua covergeza semplice, è evidete che la covergeza assoluta implica la covergeza putuale, el seso che se f coverge assolutamete su A allora coverge ache putualmete su A. Esempio 3.5 Si voglia determiare l isieme Λ di covergeza putuale della serie Itermiif (x) (2x) 2+x 2 2 della serie soo fuzioi defiite su R, quidi 2 (2x) 2 + x 2. (3.29) (2x) Λ x R : 2 + x 2 coverge. Testiamo iazitutto la codizioe ecessaria di covergeza: la serie può covergere solo per gli x R per i quali il termie geerale f (x) della serie è ifiitesimo per. Poiché 2 + x 2 2 per,siha lim (2x) 2 + x 2 lim 2x 2 + x 2 lim 2x + se 2x > se 2x 1 epertato lim f (x) 0seesolose 2x 1. Duque la serie (3.29) o coverge se 2x > 1 e può covergere (ma ache o covergere) se x [ 1/2, 1/2]. D ora i poi, potremo allora limitare lo studio della serie a tale itervallo.

7 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 55 Studiamo dapprima la covergeza assoluta per x [ 1/2, 1/2], ossia la covergeza della serie a termii positivi (2x) 2 + x 2 2x 2 + x 2 co x 1 2, 1 fisso. 2 2 Applichiamo il criterio della radice: si ha lim 2x 2 + x 2 lim 2 2x 2x < 1 x x 2 2, 1 2 epertatola serie (3.29) coverge assolutamete, e quidi putualmete, i ogi puto x ( 1/2, 1/2), metre ulla possiamo acora cocludere per x ±1/2. Valutiamo a parte il comportameto della serie i tali puti. Per x 1/2, la serie (3.29) diveta /4, (3.30) che diverge per il criterio del cofroto asitotico ( 1 2+1/4 1 2 e Per x 1/2, la serie (3.29) diveta 2 2 ( 1) 2 +1/4, ). che coverge per il criterio di Leibiz (la successioe b 1 2+1/4 > 0 èifiitesima e decrescete). I defiitiva, la serie (3.29) coverge se e solo se x [ 1/2, 1/2), cioèλ [ 1/2, 1/2). Osserviamo che la serie o coverge assolutamete el puto x 1/2 (perché la serie di termie geerale f ( 1/2) coicide co la (3.30)) e pertato l isieme dei puti i cui la serie (3.29) coverge assolutamete è dato dall itervallo aperto ( 1/2, 1/2). Nel prossimo paragrafo itrodurremo il cocetto di covergeza totale, che implica la covergeza putuale (implicado, azi, sia quella assoluta che quella uiforme). Aticipiamo allora che, ello schema di studio della covergeza putuale di ua serie di fuzioi fi qui illustrato, coviee a volte teere coto di tale implicazioe e quidi studiare la covergeza totale prima di quella putuale. 3.3 Studio della covergeza uiforme e covergeza totale I asseza della coosceza esplicita delle sue ridotte, l uico strumeto di cui si dispoe per lo studio della covergeza uiforme di ua serie di fuzioi geerica 11 è u criterio dovuto a Weierstrass, che utilizza la seguete: Defiizioe 3.6 (di covergeza totale) Sia (f ) 0 ua successioe di fuzioi f : D R R e sia I D u itervallo. Si dice che la serie di fuzioi f coverge totalmete su I se vale ua delle segueti codizioi, tra loro equivaleti: i) coverge la serie umerica f co calcolata su I (cioè la serie sup f (x) ); x I 11 vedremo più avati che esistoo risultati specifici per serie particolari, come quelle di poteze o di Fourier

8 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 56 ii) esiste ua successioe di umeri reali M 0 tali che 0 e x I risulta f (x) M e la serie M coverge. Teorema 3.7 (criterio di Weierstrass) Sia (f ) 0 ua successioe di fuzioi f : D R R esiai D u itervallo. Se la serie di fuzioi f coverge totalmete su I, allora coverge uiformemete e assolutamete (e quidi ache putualmete) su I. Ioltre la sua fuzioe somma S soddisfa S f co calcolata su I. I sitesi: la covergeza totale implica la covergeza sia assoluta che uiforme. Attezioe! il viceversa è falso: ua serie può covergere sia assolutamete che uiformemete seza covergere totalmete, come dimostra il Cotroesempio 3.9 più i basso. Segaliamo ache che o esistoo implicazioi geerali tra covergeza uiforme e covergeza assoluta. Esempio 3.8 Si voglia studiare la covergeza uiforme sugli itervalli [0,b] co 0 <b< 1 2 della serie f cosiderata ell Esempio 3.5. Studiamo la covergeza totale su tali itervalli, facedo rifermeto 2 ad etrambe le caratterizzazioi (i) e (ii) della Defiizioe 3.6. i) Studiado la fuzioe f (x) (2x) 2+x 2,oèdifficile calcolare esplicitamete f sup f (x) sup f (x) x [0,b] x [0,b] (siotiche f (x) f (x) per x 0). Ifatti, si ha f (x) 2(2x) ( 2) x 2 (2 + x 2 ) 2 e quidi risulta f (x) 0 per ogi x [0,b] e per ogi 2. Di cosegueza, f è crescete su [0,b] per ogi 2 e quidi La serie f è allora data da 2 b<1/2, sitrova lim sup f (x) f (b) (2b) x [0,b] 2 + b 2. 2 epertatolaserie f coverge. 2 (2b) 2+b 2. Applicado il criterio della radice e ricordado che (2b) 2 + b 2 lim 2b 2 + b 2 2b<1

9 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 57 ii) Per ogi 2 e per ogi x [0,b], siha2 + x 2 2 e 0 2x 2b, dacuisegue f (x) f (x) (2x) 2 + x 2 (2x) 2 (2b) 2. Duque f (x) M co M (2b) 2 elaserie 2 (essedo b<1/2). (2b) 2 coverge per il criterio della radice I defiitiva, la serie data coverge totalmete su [0,b] e pertato essa coverge ache uiformemete (e assolutamete) su [0,b], per il criterio di Weierstrass. Cotroesempio 3.9 Vedremo più avati che la serie ( 1) 1 x 1 coverge uiformemete alla fuzioe log (1 + x) sull itervallo [0, 1) (ma o solo), su cui coverge ache assolutamete, come si vede facilmete applicado il criterio della radice alla serie x ( 1) 1 1 D altra parte, poedo f (x) ( 1) x,risulta f sup x [0,1) 1 x ( 1) x co x [0, 1). sup x x [0,1) 1 sup x [0,1) x 1 e quidi la serie o coverge totalmete su [0, 1), iquato f 3.4 Proprietà della covergeza uiforme I segueti importati risultati soo ua semplice rilettura i termii di serie di fuzioi dei teoremi di passaggio al limite che valgoo per le successioi di fuzioi uiformemete covergeti. Cosideriamo come al solito ua successioe (f ) 0 di termii f : D R defiiti su u domiio comue D R. Teorema 3.10 (di cotiuità e limitatezza della fuzioe somma) Sia I D u itervallo qualsiasi. Se (i) le f soo cotiue (rispettivamete limitate) su I (ii) f (x) f (x) uiformemete su I, allora f è cotiua (rispettivamete limitata) su I. Teorema 3.11 (di itegrazioe termie a termie) Sia [a, b] D. Se (i) le f soo itegrabili su [a, b]

10 M.Guida, S.Rolado, 2014 Serie 58 (ii) f (x) f (x) uiformemete su [a, b], allora f è itegrabile su [a, b] e b f (x) dx b a a f (x) dx. (3.31) Il teorema precedete è spesso espresso brevemete dicedo che la covergeza uiforme permette di scambiare gli operatori di serie ed itegrale; ifatti, essedo f (x) f (x) per ogi x [a, b] (per covergeza putuale, cosegueza dell ipotesi (ii)), la formula (3.31) può essere riscritta come b a f (x) dx b a f (x) dx. Teorema 3.12 (di derivazioe termie a termie) Sia I D u itervallo qualsiasi. Se (i) le f soo di classe C 1 su I (vaitesoche,sei cotiee u suo estremo, i tale estremo si cosiderao le derivate destre o siistre) (ii) (iii) f (x) f (x) per ogi x I f coverge uiformemete su I, allora f èdiclassec 1 su I e f (x) f (x) per ogi x I, co covergeza uiforme su I. (3.32) Ioltre f (x) f (x) uiformemete su I. Il teorema precedete è spesso espresso dicedo brevemete che la covergeza uiforme (della serie delle derivate) cosete di scambiare gli operatori di serie e derivata; ifatti, essedo f (x) f (x) per ogi x I (ipotesi (ii)) ed idicado co d dx riscritta come d f (x) dx l operatore di derivazioe, la formula (3.32) può essere d dx f (x).