Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN

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1 Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica Zaichelli (Bologa), 998, ISBN Capitolo 3 LIMITI E CONTINUITÀ Soluzioe dei problemi posti al termie di alcui paragrafi 3. Fuzioi umeriche reali 3.-. Si hao i grafici mostrati dalle figure 3. a h. Figura 3.a Figura 3.b Figura 3.c Figura 3.d

2 3 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica e f Figura 3.e Figura 3.f g h Figura 3.g Figura 3.h 3.-. Si hao i grafici mostrati dalle figure 3. a d Se x x e f(x )=f(x ), dove x e x appartegoo al domiio di f, cioè soo umeri diversi da d/c, allora ax + b cx + d = ax + b cx + d (ax + b)(cx + d) =(ax + b)(cx + d) (ad bc)x =(ad bc)x (ad bc)(x x )=. Per la legge di aullameto del prodotto si trova, i defiitiva, f(x )=f(x ) (ad bc) =.

3 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità 3 a b Figura 3.a Figura 3.b c d Figura 3.c Figura 3.d Se duque ad bc, la fuzioe f è iiettiva; per calcolare l iversa basta ricavare x dall uguagliaza y = ax + b cx + d ; si trova x =( dy + b)/(cy a); duque la fuzioe iversa, defiita per y a/c, si scrive f : y dy + b cy a. Come si vede, la fuzioe iversa f è u rapporto tra fuzioi poliomiali di primo grado, come la fuzioe diretta f Si trovao i segueti risultati: a) f (y) = y 3 ; b) f (y) =3y;

4 3 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica c) f (y) = exp (y 3); d) f (y) = exp (y ) ; e) f (y) =ly ; f) f (y) =l(y ) Si trovao i segueti risultati: a) f è defiita per x,g è defiita per x>; b) f è defiita per x, g è defiita per x ; c) f è defiita per ogi x reale, g è defiita per x ; d) f è defiita per x, g è defiita per ogi x reale; e) f è defiita per ogi x reale, g è defiita per x>; f) f è defiita per ogi x reale, g è defiita per x ; g) f è defiita per x, g è defiita per ogi x reale; h) f è defiita per x,g è defiita per x>; i) f è defiita per ogi x reale, g è defiita per x Si trova: a) dispari; b) é pari é dispari; c) dispari; d) pari; e) é pari é dispari; f) dispari Soo tutte periodiche di periodo π, ad eccezioe della fuzioe c) che è periodica di periodo π/ω La tesi si scrive a = + >a + = + + +> + +. Trattadosi di quatità o egative, possiamo cofrotare i quadrati; la tesi diveta 4( +)>+ ++ ( +) +> ( +). U ulteriore elevameto al quadrato forisce + +> +, disuguagliaza ovviamete vera. Co gli strumeti itrodotti el capitolo quarto, si può osservare che, se si cosidera la fuzioe f(x) := x, allora la disuguagliaza +> + + diveta f( +)> [f()+f( + )]. Poiché + è la media aritmetica dei valori e +, l ultima disuguagliaza scritta esprime la stretta cocavità della fuzioe x x, proprietà immediatamete verificata, i quato la derivata secoda della fuzioe stessa è egativa.

5 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità La tesi sussiste per =: a =,a =3/. Suppoiamo che, per u assegato aturale, sia a >a + ; allora La tesi è dimostrata per iduzioe. a + = (a + +)< (a +)=a Se a = b la successioe è costate. Suppoiamo, per fissare le idee, che sia a = a<b= a ; si hao le disuguagliaze a <a <a, a <a 3 <a, a <a 4 <a 3, e così via. Duque la successioe dei termii di idice pari è strettamete crescete, quella dei termii di idice dispari è strettamete decrescete a) Si ha a =,a = =.4..., a = 5 = Si è duque idotti a cogetturare che si tratti di ua successioe strettamete decrescete. Tale tesi si scrive + > ( +) + + +> + +. Trattadosi di quatità o egative possiamo cofrotare i quadrati otteedo > + + +>, disuguagliaza evidetemete vera. b) Si ha b = e (e ); si tratta duque di ua progressioe geometrica di ragioe e >, e pertato di ua successioe strettamete crescete. c) La successioe /( + ) è strettamete crescete: + < + + ( +)< ( +). La fuzioe t t è ach essa strettamete crescete. Ne segue che la successioe i esame è strettamete crescete i quato composta da due fuzioi dello stesso tipo. d) Strettamete crescete, i base allo stesso ragioameto del precedete esercizio. 3.3 Defiizioe di limite di ua fuzioe i u puto Se x >, gli itori di x di raggio r < x o itersecao l itervallo [, ], e duque a più forte ragioe o itersecao gli isiemi [, ] Q e[, ] Q. See

6 34 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica coclude che i umeri maggiori di e, per la stessa ragioe, quelli miori di o soo puti di accumulazioe per gli isiemi i esame. Al cotrario, se x, comuque si scelga il raggio r> l itoro di cetro x e raggio r ha i comue co l itervallo [, ] u itervallo o ridotto ad u puto: tale itervallo cotiee ifiiti umeri razioali ed ifiiti umeri irrazioali, come sappiamo dal corollario della Proposizioe.6-3 (v. paragrafo.6, pagia 5) Per = m si ha /m+m/ =, duque appartiee ad A. E ituitivo supporre che se ed m soo poco diversi tra loro, il umero /m + m/ sia poco diverso da. Cosideriamo, ad esempio, i umeri per cui si ha m = +: = = ( + )+ = + =+ +. = Fissato u umero positivo r, il umero i esame differisce da a meo di r a patto che sia + <r + > r. Tutti i valori di abbastaza gradi (ad esempio quelli > /r) verificao la disuguagliaza scritta Per p = si ritrova l esercizio precedete. Per ogi fissato p, si ha + p =+p, duque tutti i umeri aturali appartegoo ad A. Esamiiamo, come el precedete esercizio, i umeri che si ottegoo per p fissato e m = +. Siha p( +) + + = + p( + +) = + = (p +) +(p +) +(p ) + p = p ++ + (p ) + p. + = Ora si ha (p ) + p + p + p + = p. Duque i umeri i esame differiscoo da + p a meo di r a patto che sia p <r >p r.

7 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità Si ha ( ) =, duque è puto di accumulazioe di A. Esso è ache l uico puto di accumulazioe: se x è u umero diverso da, diciamo x >, l itoro di cetro x e raggio r<x cotiee al più u umero fiito di elemeti di A : tutti gli elemeti per cui <x r > x r, soo certamete esteri all itoro i questioe. Per A si trova aalogamete che soo puti di accumulazioe i umeri e ed essi soltato; si tega presete che + = Si ha f(x) f(x )=ax + b (ax + b) =a(x x ). Duque la codizioe f(x) f(x ) <εè verificata se e solo se x x <ε/ a. Si può duque scegliere δ ε = ε/ a. Geometricamete l iterpretazioe è semplice: a parità diε il umero δ ε è tato più piccolo quato più grade è a, cioè la pedeza della retta grafico di f Sia x x ; la tesi si scrive x x x x x x + x x. Elevado al quadrato si ottiee x x + x x + x x x x x x. L ultima disuguagliaza è evidetemete verificata: essa è stretta se <x <x. Perché sia x x <εè duque sufficiete che sia x x <ε x x <ε. I altri termii, si può scegliere δ ε = ε. Come si vede, il umero δ ε dipede solo da ε e o dalla collocazioe dei puti x e x sul semiasse reale positivo. La fuzioe i esame è uiformemete cotiua sul proprio domiio Se x >, possiamo limitarci a cosiderare gli x apparteeti ad u itoro coveietemete piccolo di x stesso, ad esempio quello di raggio r =(3/4) x, dimodoché per gli x i questioe si ha x> x 4 x> x.

8 36 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica Per gli stessi x si ha allora x x = x x x + x < 3 x x x. Affiché risulti x x <εè sufficiete che sia 3 x x <ε x x < 3 x ε. x Si ha f(x) f() = f(x), quidi f(x) f() x. Se x <εsi ha allora f(x) f() ε. I altri termii, la cotiuità ell origie è verificata poedo δ ε = ε. Sex è u umero diverso da, ad esempio x >, l immagie dell itoro di cetro x e raggio r è costituita dallo e dai umeri razioali dell itervallo stesso. Se x è razioale, duque f(x )=x, gli itori di f(x ) e raggio abbastaza piccolo (diciamo r<x ) o cotegoo lo, se ivece x è irrazioale, duque f(x )=, gli itori di f(x ) e raggio abbastaza piccolo o cotegoo i razioali precedetemete cosiderati. I etrambi i casi, fissato u itoro di f(x ) di raggio abbastaza piccolo, o è possibile trovare u itoro di x la cui immagie mediate f sia coteuta ell itoro precedetemete fissato. 3.4 Estesioe della ozioe di limite. Limite delle successioi Dividedo umeratore e deomiatore per si ottiee + =+, + =+, +3 = +3/. I limiti soo, ell ordie,,, / Per ogi fissato M> si ha ( >M) ( k >M), quidi, per ogi fissato ε>, ( > ε ) ( k <ε). Dividedo umeratore e deomiatore per si ottiee + = +/, + =+, = +/ +/ +/.

9 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità 37 I limiti soo, ell ordie,,, Dalle formule sottraedo membro a membro segue r + r + = Per 3, si ha poi r + r 9/4, da cui r + =+ r +, r + =+ r, r + r (r r + ). r + r r r +. La successioe delle differeze r r + è duque strettamete decrescete e tede a. Ne segue che gli itervalli [r,r ],, soo icapsulati Sia L R il limite della successioe (a ); duque, fissato ε>, sia a L <ε per ogi > ε. Poiché la successioe k k diverge positivamete, esiste u idice k ε tale che k>k ε k > ε. Per gli stessi k si ha allora a k L <ε Vero: le due sottosuccessioi, el loro complesso, esauriscoo tutti i termii della successioe di parteza Vero. Se la successioe a + a è decrescete e tede a, essa assume soltato valori. Ne segue che gli itervalli [a,a + ] costituiscoo ua successisoe icapsulata, co lughezze che tedoo a Scelto ε> ad arbitrio, determiiamo (dipedete da ε) tale che per > si abbia x <ε/. Per tali si ha x k = k= x k + k= k=+ dove l ultima somma, i valore assoluto, o supera ( )ε/, trattadosi della somma di termii, ciascuo i valore assoluto miore di ε/. Dividedo per otteiamo x k, x k = k= x k + k= k=+ x k,

10 38 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica da cui, prededo i valori assoluti, m k= x k + ε x k + ε. Per abbastaza grade la quatità k= x k / è miore di ε/, e duque, per gli stessi, m è miore di ε La figura 3.3 mostra il grafico della fuzioe f. Essa vale x per x<, metre vale per x =. L immagie della fuzioe è l itervallo [, [; il miimo è duque, l estremo superiore (che o è massimo) è. k= Figura Grafico della fuzioe x x [ x ]. 3.5 Alcui teoremi sui limiti Per x> si ha < x + x = x ++x < x, dove l ultima fuzioe scritta tede aperx +. Se a =, la fuzioe x x + a x è ulla per ogi x. Se a si ha a x + a x = x + a + x = a x [ +a/x +] ; poiché la quatità etro paretesi quadre tede a, il limite della fuzioe assegata è acora Per x> si ha tato x +/x > x quato x +/x > /x; la fuzioe x x tede a+ per x +, la fuzioe x /x tede a + per x.

11 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità Sappiamo che la fuzioe x a x è cotiua e strettamete crescete per a>, avedo come immagie l itervallo ], + [. Duque etrambe le fuzioi allo studio valgoo per x =, metre la prima diverge positivamete per x +, la secoda tede a Sappiamo che = ( +) = + ; duque successioe che ha come limite /. Aalogamete si ha = +, =( ) = +, metre =( +) = + +. Il rapporto scritto tede duque a La fuzioe f assume valori miori di per x<, duque g(f(x))=per gli stessi valori. Al cotrario, per x la fuzioe f vale, e duque ache g(f(x)) =. I coclusioe: {, per x< g(f(x)) =, per x. f g Figura Grafici delle fuzioi f e g dell esercizio

12 4 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica 3.6 Teoremi di cofroto Occupiamoci, ad esempio, della prima affermazioe. Fissato M> ad arbitrio, esiste r> tale che < x x <r f(x) >M. Per gli x tali che < x x < mi {r, δ} si ha f(x)+g(x) >M+ c, e questo dimostra che la fuzioe f + g diverge positivamete. Esamiiamo la quarta affermazioe. Fissato ε> ad arbitrio, esiste r> tale che < x x <r f(x) <ε. Per gli x tali che < x x < mi {r, δ} si ha f(x)g(x) <cε, dove cε è ua quatità positiva ad arbitrio al pari di ε. Questo dimostra che la fuzioe fg tede a Basta osservare che si x Si possoo scegliere le segueti fuzioi: i) f(x) :=x, g(x) :=x; ii) f(x) :=x + L, g(x) :=x; iii) f(x) :=x + si x, g(x) :=x; iv) f(x) :=x, g(x) :=x Basta osservare che x 3 + x + x + = x x ++/x x ; + la fuzioe idetità x x diverge positivamete, l ultimo fattore scritto tede a Si ha si x, metre la fuzioe x /x tede a Siao f e g due fuzioi positivamete divergeti per x x. Fissato M>ad arbitrio, esistoo r,r > tali che < x x <r f(x) >M, < x x <r g(x) >M. Per gli x tali che < x x < mi {r,r } si ha f(x) g(x) >M,

13 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità 4 e questo dimostra che la fuzioe fg diverge positivamete Si ha [ a + a x + a x a x = a x a a x + a ] ; a x la fuzioe etro paretesi quadre tede a tato per x + quato per x Si ha a + a x + a x a x b + b x + a x b m x m = a x b m x m [ a a x + a ] a x ]. b m x m + b a m xm [ b Le quatità etro paretesi quadre tedoo a tato per x + quato per x Se a = b = la fuzioe assegata è ideticamete ulla per x>. I ogi caso si ha, per x positivo abbastaza grade, x + ax + b x = ax + b x + ax + b + x = a + b/x +a/x + b/x +, dove l ultima uguagliaza è stata otteuta dividedo umeratore e deomiatore per x. L ultimo rapporto scritto tede al limite a/ Se <a<siha a = a, co < a <. Si è duque ricodotti a studiare la successioe a, vale a dire ua progressioe geometrica co ragioe compresa tra e. Se poi a, si ha a se è pari, a se è dispari; la successioe è priva di limite La successioe proposta tede a i quato miorata e maggiorata da due successioi aveti come limite Tutti i rapporti /, /,..., ( )/ soo miori di. Ne segue che la successioe! tede a, metre la successioe!, che ha come termii i reciproci dei termii della precedete, diverge positivamete Abbiamo già osservato che la radice -esima di u umero è essa stessa. Allora x := +x = ( + x ) =.

14 4 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica Tutte le quatità i gioco soo positive. Sviluppado la poteza ( + x ) co la formula del biomio, e trascurado tutti i termii trae quello coteete x, si ottiee da cui, estraedo le radici quadrate, =(+x ) > ( ) x, x <, per. L ultima quatità scritta tede evidetemete a, da cui la tesi. Se a<si ha < a<, duque il risultato dell esercizio può essere dedotto da quello appea otteuto Il prodotto di fattori di cui uguali a ed i restati uguali a vale, metre la loro somma vale +. Scrivedo la disuguagliaza tra media geometrica e media aritmetica si ottiee esattamete quato proposto el testo dell esercizio. Ifie si osserva che le due successioi, tedoo rispettivamete aea. 3.7 Proprietà delle fuzioi mootoe Sia x g(f(x)) ua fuzioe composta mediate due fuzioi cresceti: x <x f(x ) f(x ), y <y g(y ) g(y ). Poedo y := f(x )ey := f(x ) si ottiee g(f(x )) g(f(x )) Siao f e g etrambe cresceti: x <x f(x ) f(x ), g(x ) g(x ); sommado membro a membro le due ultime disuguagliaze si ottiee f(x )+g(x ) f(x )+g(x ) Suppoiamo f crescete; i particolare, essedo crescete su [,a], si avrà x <x a f(x ) f(x ). Ma allora a x < x f( x )=f(x ) f( x )=f(x ),

15 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità 43 vale a dire f è decrescete sull itervallo [ a, ]. Ne segue che f è costate sullo stesso itervallo, i quato al tempo stesso crescete e decrescete, ed essedo pari, è costate su tutto il domiio iiziale L uguagliaza f(x) = f( x), scritta per x =, implica che f() è l opposto di se stesso, duque è ecessariamete. Se f è crescete su [,a], e segue che <x =f() f(x), vale a dire f è crescete e o egativa sullo stesso itervallo. Le restati affermazioi seguoo dalla disparità della fuzioe; ad esempio i quato f(x) = f( x ), e f( x ). x< f(x) f() =, Basta osservare che, se g(x) >, si ha g(x ) g(x ) g(x ) g(x ) Sappiamo dal precedete esercizio che la fuzioe x /g(x) è crescete. Si tratta allora di dimostrare che il prodotto di due fuzioi o egative e cresceti è ua fuzioe dello stesso tipo. Siao f e g etrambe cresceti e o egative: x <x f(x ) f(x ), g(x ) g(x ); moltiplicado membro a membro le due ultime disuguagliaze si ottiee f(x ) g(x ) f(x ) g(x ) La fuzioe x x, x è strettamete crescete, e da ciò segue l affermazioe fatta al puto i). Ioltre il quadrato di u umero maggiore di è maggiore del umero stesso, e da ciò segue l affermazioe del puto ii). D altra parte, la disuguagliaza ( ) del paragrafo.6, scritta per =, forisce < a< +a, duque, el ostro caso Ne segue, passado al limite L +L <x + < +x. (L +L L ),

16 44 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica da cui fialmete L = Se a = b> o c è iete da dimostrare. Sia duque <a<b. I base alla disuguagliaza tra media geometrica e media aritmetica si ha a + b ab <, cioè x <y.sex <y per u assegato, allora x + = x y < x + y = y +, sempre i virtù della disuguagliaza tra media geometrica e media aritmetica. parte <x <y x = x < x y = x +, D altra <x <y y = y + y > x + y = y +. Ifie y + x + = x + y x y < (y x ) x < x y, che è la disuguagliaza già dimostrata x <x Ricordiamo che abbiamo scelto x > a (ad esempio x = a, se a > ), e successivamete abbiamo posto x + := ( x + a ),. x Allora metre Duque e + = x + a = ( x + a ) a, x e = (x a) = x + a ax = x x x e + = e x < e a, ( x + a ) a. x dove l ultima disuguagliaza segue dal fatto, dimostrato el testo, che x > a, per ogi Passado al limite si ottiee la relazioe L = al L( a) =. Duque si ha a = (el qual caso la successioe vale costatemete ), oppure L = Per a si ha, per, a!!,

17 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità 45 duque la successioe tede a. La disuguagliaza x x diveta a x x a a. Duque la successioe i esame è mootoa decrescete, per ogi fissato a, a partire dal miimo idice a. Dalla relazioe ricorsiva segue poi, passado al limite, L = L, da cui L = Si ha a = <. Se per u assegato si ha a <, allora Duque a < per ogi. Sihapoi a + = +a < +=. a + = +a > a + a = a > a a = a. Alterativamete, seguedo il suggerimeto del testo, si ha +a a > a a =a >a, da cui la tesi estraedo le radici quadrate di ambo i membri. Passado al limite ella formula defiitoria si ottiee poi L = +L L =+L L =, i quato L è ecessariamete positivo (si ha a = <L.) La somma dei umeri assegati vale ( + + ) =+ +, il loro prodotto vale ( + ). Per le medie geometrica e aritmetica si ha allora ( + ) < + +, + da cui la tesi, elevado etrambi i membri all espoete Basta eseguire i calcoli suggeriti el testo.

18 46 G.C. Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica 3.8 Proprietà delle fuzioi cotiue su u itervallo Si ha si x = x = π +kπ = (4k +)π x =,k Z, (4k +)π si x = x = π +kπ = (4k )π Gli isiemi { } (4k +)π ; k Z, hao etrambi come puto di accumulazioe. x = { } (4k )π ; k Z,k Z. (4k )π Per x si tratta di ua fuzioe cotiua i quato composta mediate fuzioi cotiue. Per x = si ha f(x) f() = x si x x, duque f(x) f() <εper x <ε. Ragioado come el precedete esercizio, limitatamete agli x >, si trova che f vale x ei puti x k =,k N, (4k +)π vale x ei puti y k = (4k )π,k N, ed ifie f s aulla ei puti z k = kπ,k N. Si tratta di tre successioi mootoe decresceti, covergeti a. Ioltre si ha x k <z k < y k, per ogi k, e la fuzioe è mootoa decrescete ell itervallo [x k,z k ], mootoa crescete ell itervallo [z k,y k ]. E duque impossibile scomporre l itervallo [, ] i u umero fiito di sottoitervalli su cui f è mootoa La cotiuità ell origie è ovvia: x<ε x<ε. Supposto <x <x si ha <f(x ) f(x )= x x = x x x + < x x x. x Duque <f(x ) f(x ) <ε <x x <ε/( x ). Ciò prova la cotiuità a destra della fuzioe f el puto x. Allo stesso modo si ragioa a siistra Sia, per fissare le idee, a >. Allora lim p(x) =+, lim x + p(x) =. x

19 Capitolo terzo: Limiti e cotiuità 47 Si riveda i proposito l esercizio Fissato M>ad arbitrio, si ha duque p(x) >M per tutti gli x positivi abbastaza gradi, p(x) < M per tutti gli x egativi, abbastaza gradi i valore assoluto. Esiste duque u R > tale che sia p( R) < < p(r). Nell itervallo [ R, R] la fuzioe cotiua p ammette almeo uo zero L immagie di R mediate la fuzioe cotiua p è u itervallo avete come estremo iferiore, e + come estremo superiore: tale itervallo o può essere che R stesso Sia acora a > ; allora lim p(x) = lim p(x) =+. x + x Fissato ad arbitrio u umero L>p(), si ha certamete p(x) >Lper x abbastaza grade, diciamo per tutti gli x o apparteeti all itervallo [ R, R], co R umero positivo, dipedete dalla scelta di L. Sia m il miimo di p ell itervallo [ R, R]; sarà ecessariamete m p(). Poiché fuori dell itervallo i questioe la fuzioe p assume soltato valori maggiori di p(), e viee che m è il miimo assoluto di p, vale a dire il miimo valore che p assume i R. L immagie di R mediate la fuzioe cotiua p è u itervallo avete m come miimo, e + come estremo superiore: si tratta duque dell itervallo [m, + [.