Sistema lineare stazionario TC:

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1 Cotrolli Automatici (AUT) - 9AKSBL Regime permaete armoico Risposta i frequeza Rappresetazioi grafiche della risposta i frequeza Risposta i frequeza () Sistema lieare stazioario TC: q q bqs + bq s + + bs+ b H() s s + a s + + a s+ a Igresso siusoidale: u(t)a u si(ωt) Uscita a regime: y perm (t) A y si(ωt+ϕ) A y A y (A u H( ϕ ϕ( H( Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - M. Caale L -

2 Risposta i frequeza () Regime permaete armoico u(t) y(t) u( t) Au si( ωt) H(s) y ( t) A ( ω )si( ωt + ϕ( ω)) perm y A( ω) A H( y ϕω ( ) Hj ( ω) u Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 3 Risposta i frequeza (3) La fuzioe di risposta armoica descrive le caratteristiche dell uscita i regime permaete di u sistema lieare stabile quado l igresso è ua siusoide di pulsazioe ω; dipede dalla fuzioe di trasferimeto H(s) del sistema; al variare della pulsazioe ω è ua fuzioe complessa di variabile reale; al variare di ω R + l adameto della fuzioe H( è detto risposta armoica del sistema; Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 4 M. Caale L -

3 Risposta i frequeza (4) Rappresetazioe della risposta armoica al variare di ω R + H( è u umero complesso; rappresetazioe cartesiaa H jω H jω + H jω ( ) Re[ ( )] Im[ ( )] rappresetazioe polare j H( H( H( e Im[H(] H( H( H( Re[H(] Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 5 Risposta i frequeza (5) Rappresetazioi grafiche della risposta armoica Diagrammi di Bode: rappresetazioe polare della risposta armoica i fuzioe della frequeza mediate due diagrammi semilogaritmici. Asse delle frequeze logaritmico Asse del modulo lieare tarato i : H( log ( H( ) Asse della fase lieare tarato i gradi ( ) -4 - Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 6 Phase (degrees) Magitude () Bode Plot - Frequecy - M. Caale L - 3

4 Risposta i frequeza (6) Rappresetazioi grafiche della risposta armoica Diagrammi polari e di Nyquist: rappresetazioe cartesiaa della risposta armoica mediate u uico diagramma parametrizzato i frequeza. Il diagramma polare è l immagie di H( per ω R + ; Il diagramma di Nyquist è l immagie di H( per ω R e si ottiee da quello polare per simmetria rispetto all asse Re. Ad ogi puto del diagramma corrispode ua frequeza ω. Im[H(] Re[H(] Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 7 Risposta i frequeza (7) Rappresetazioi grafiche della risposta armoica Diagrammi di Nichols: rappresetazioe polare della risposta armoica mediate u uico diagramma cartesiao parametrizzato i frequeza. Ad ogi puto del diagramma corrispode ua frequeza ω. H( H( Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 8 M. Caale L - 4

5 Risposta i frequeza (8) Rappresetazioi grafiche della risposta armoica: Matlab Diagrammi di Bode: istruzioe bode. Diagrammi di Nyquist: istruzioe yquist. Diagrammi di Nichols: istruzioe ichols. Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 9 Risposta i frequeza (9) Calcolo della risposta armoica: Fuzioe di trasferimeto (forma fattorizzata di Bode): ( + s) Gs () s s s ( + + ) Risposta armoica: Modulo: Fase: log log ( + ω) ( + jω ω ) ( ω) ( ω) ( ω) j G j Gj ( ω) jω G j G j G ( log log G ( log ( ) 3 G ( G ( G ( G3 ( j ω 3 ) log Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - M. Caale L - 5

6 Risposta i frequeza () Termie costate: G ( K Diagramm a di Bode - M odulo.5 G ( K gradi Diagramma di Bode - Fase, K > 8, K < Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - Risposta i frequeza () Polo ell origie: 4 - Diagramm a di Bode - Modulo jω Gj ( ω) log log jω ( ω) gradi Diagramm a di Bode - Fase 9 jω Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - M. Caale L - 6

7 Risposta i frequeza () Zero ell origie: G ( jω 4 Diagramm a di Bode - Modulo Gj ( ω) log ( log ( ω) 9 Diagramma di Bode - Fase gradi jω 9 ( ) Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 3 Risposta i frequeza (3) Polo reale egativo τ > : Diagramma di Bode - Modulo + jωτ gradi Diagramma di Bode - Fase log + log + jωτ ( ωτ ) arctg ( ωτ ) ( + jωτ ) Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 4 M. Caale L - 7

8 gradi Risposta i frequeza (4) Zero reale egativo τ > : G ( + jωτ Diagramma di Bode - Modulo Diagramma di Bode - Fase log + ( ωτ ) ( + ) log jωτ jω arctg ) ( + jωτ ) ( ωτ ) - - Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 5 Risposta i frequeza (5) Polo reale positivo τ < : Diagramma di Bode - Modulo + jωτ gradi Diagramma di Bode - Fase log + log + jωτ ( ωτ ) arctg ( ωτ ) ( + jωτ ) - - Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 6 M. Caale L - 8

9 gradi Risposta i frequeza (6) Zero reale positivo τ < : G ( + jωτ Diagramma di Bode - Modulo - - Diagramma di Bode - Fase log + ( ωτ ) ( + ) log jωτ ) ( + jωτ ) ( ωτ ) jω arctg Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 7 Risposta i frequeza (7) Poli complessi coiugati egativi ζ > Per < ζ <.7 si ha u picco di risoaza M r ζ ζ Gai () s) ζ s + s + ω ω alla frequeza ω r ω ζ ζ...5 Phase (deg) -6 - ω / ω Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale - L - 8 ω / ω M. Caale L - 9

10 Risposta i frequeza (8) Zeri complessi coiugati egativi ζ > ζ ζ s Gs () + s+ ω ω Gai () ω / ω 5 Phase (deg) 5 - ω / ω Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 9 Risposta i frequeza (9) Poli complessi coiugati positivi ζ < s) ζ s ζ s + 4 ω ω Gai () ω / ω 5 Phase (deg) 5 - Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - ω / ω M. Caale L -

11 Risposta i frequeza () Zeri complessi coiugati positivi ζ < ζ ζ s Gs () + s+ ω ω 4 Gai () ω / ω -5 Phase (deg) Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - ω / ω Risposta i frequeza () Calcolo della risposta armoica: s)( (+s)/( )/(s(s +s+)) 6 4 Phase (deg); Magitude () Frequecy (ec) Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - M. Caale L -

12 Risposta i frequeza () Diagrammi di Bode: : proprietà geerali ogi polo a parte reale egativa o positiva o ulla itroduce u decremeto della pedeza pari a /dec ogi zero a parte reale egativa o positiva o ulla itroduce u aumeto della pedeza pari a + /dec ogi polo a parte reale egativa o ulla sfasa complessivamete di -9 ogi polo a parte reale positiva sfasa complessivamete di +9 ogi zero a parte reale egativa o ulla sfasa complessivamete di +9 ogi zero a parte reale positiva sfasa complessivamete di -9 Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 3 Risposta i frequeza (3) Diagrammi di Bode: : proprietà geerali i diagrammi degli zeri soo simmetrici (rispetto all'asse delle frequeze) di quelli dei poli della stessa atura per poli (zeri) a parte reale positiva i diagrammi dei moduli o cambiao, i diagrammi delle fasi soo simmetrici (rispetto all'asse reale) a quelli per poli/ zeri a parte reale egativa il comportameto delle sigolarità multiple si ottiee da quelle semplici moltiplicado per la molteplicità Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 4 M. Caale L -

13 Risposta i frequeza (4) Diagrammi di Bode: : proprietà geerali i diagrammi di sistemi complessi si costruiscoo a partire da quelli dei sistemi elemetari compoeti dalla coosceza del diagramma del modulo o è possibile, i geerale, risalire a quello della fase, perché la parte reale delle sigolarità modifica solo la fase Sistemi a fase miima o a miima rotazioe di fase il guadago è positivo tutte le sigolarità (poli e zeri) soo a parte reale egativa o ulla Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 5 Risposta i frequeza (5) Diagrammi di Nyquist: rappresetazioe polare della risposta armoica mediate u uico diagramma (diagramma polare) Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 6 M. Caale L - 3

14 Risposta i frequeza (6) Diagrammi di Nyquist: : costruzioe del diagramma polare Valutare sulla base del diagramma di Bode il comportameto di modulo e fase per ω e tracciare il corrispodete puto sul piao polare Re(), Im() Valutare sulla base del diagramma di Bode il comportameto di modulo e fase per ω e tracciare il corrispodete puto sul piao polare Re() Im() Valutare sulla base del diagramma di Bode il comportameto della fase tra ω e ω otado le itersezioi co gli assi coordiati e tracciado il corrispodete puto sul piao polare Re() Im() Il diagramma di Nyquist si ottiee per simmetria rispetto all asse reale. Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 7 Risposta i frequeza (7) Diagrammi di Nyquist: : esempi s) ( + τ s)( + τ s)( + τ s) 3 Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 8 M. Caale L - 4

15 Risposta i frequeza (8) Diagrammi di Nyquist: : esempi s) s ( +τ s)( +τ s) Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 9 Risposta i frequeza (9) Diagrammi di Nyquist: : esempi s) s ( +τ s) Cotrolli Automatici (AUT) -- M. Caale L - 3 M. Caale L - 5