Lezione 8: Diagramma di Nyquist

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1 Fondamenti di Automatica 1 Lezione 8: Diagramma di Nyquist Regole per il tracciamento qualitativo Esercizi

2 Fondamenti di Automatica 2 Diagrammi polari o di Nyquist Diagramma polare fornisce, al variare di ω da a, il valore di G(jω) nel piano complesso. - Asse x: Re[G(jω)] - Asse y: Im[G(jω)] I diagrammi polari si possono facilmente dedurre dai diagrammi di Bode.

3 Fondamenti di Automatica 3 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist (DN) 1. L andamento del DN per ω (, ] può essere ottenuto da quello per ω [, ) per simmetria rispetto all asse reale: Re[G(jω)]=Re[G( jω)] Im[G(jω)]= Im[G( jω)] 2. Comportamento per ω + : G(jω) = k b G(jω)= (jω) h k b ( k b < ), h =, h > DN parte dall asse reale per sistemi senza poli nell origine con fase: k b > 18 k b <

4 Fondamenti di Automatica 4 Parte dal punto all per sistemi con h>poli nell origine; la fase di partenza èdatada lim G(jω)= k b h9 h9 k b > = ω + (h +2)9 k b < Caso h = 1: il DN parte all parallelamente all asse immaginario e Re[G(jω)] tende ad un valore costante per ω + G(jω)= per ω + b (jω) n + + b n 1 (jω)+b n (jω) n + a 1 (jω) n a n 2 (jω) 2 + a n 1 (jω) G(jω) = (b n 1jω + b n )(a n 2 jω + a n 1 ) jω(a 2 n 1 + a2 n 2 ω2 ) = jω(b n 1a n 1 b n a n 2 ) jωa 2 n 1 = Re[G(jω)] = b n 1a n 1 b n a n 2 a 2 n 1 <

5 Fondamenti di Automatica 5 3. Comportamento alle alte frequenze lim G(jω)= sistema strettamente proprio ω sistema biproprio b lim G(jω)= k b 9 (np nz np + + nz + ) ω np: n di poli con Re nz: n di zeri on Re np + : n di poli con Re > nz + : n di zeri on Re >

6 Fondamenti di Automatica 6 Esercizio 1 G(s) = k s (1 + sτ) k>, τ > Poli: s =,s= 1 τ ω sihaunasintoto G(jω)= k jω(1 + jωτ) = jk(1 jωτ) ω(1 + jωτ)(1 jωτ) Re[G(jω)] = kτ 1+ωτ ω + kτ Im[G(jω)] ω +

7 Fondamenti di Automatica 7 Esercizio 1 8 Bode Diagram 2 Nyquist Diagram 6 15 Magnitude (db) db/dec 4 db/dec Imaginary Axis deg/dec Phase (deg) /τ Frequency (rad/sec) Real Axis

8 Fondamenti di Automatica 8 Esercizio 2 G(s) = k s 2 (1 + sτ) k>, τ > Poli: s = doppi, s = 1 τ ω si ha G(jω) and G(jω) 27 ω + si ha Re[G(jω)] Im[G(jω)]

9 Fondamenti di Automatica 9 Esercizio 2 15 Bode Diagram 2 Nyquist Diagram db/dec 15 Magnitude (db) db/dec Imaginary Axis Phase (deg) deg/dec /τ 2 x Frequency (rad/sec) Real Axis

10 Fondamenti di Automatica 1 Esercizio 3 G(s) = k(1 + τ zs) s (1 + sτ p ) k>, τ z >τ p > Poli: s =,s = 1 τ p Zeri: s = 1 τ z ω si ha G(jω) and G(jω) 9 ω + si ha Re[G(jω)] k(τ z τ p ) Im[G(jω)]

11 Fondamenti di Automatica 11 Esercizio 3 1 Bode Diagram 3 Nyquist Diagram 8 Magnitude (db) Phase (deg) /τ z 1/τ p 9 x Frequency (rad/sec) k =2,τ z = 1, τ p =1 Imaginary Axis Real Axis

12 Fondamenti di Automatica 12 Esercizio 4 G(s) = s +1 (s +2)(s 2 +4s +5) Forma di bode = k b =.1 Zero reale: s = 1 perτ z =1 Polo reale: s = 2 perτ p =.5 Poli complessi: ω n = 5, δ =.4 5.1(1 + s) (1 +.5s)(1 +.8s +.25s 2 ) ω si ha G(jω) and G(jω) 18 ω =siha G(j) db =2log 1.1 G(j) =

13 Fondamenti di Automatica 13 Esercizio 4 1 Bode Diagram db/dec +2 db/dec.2 Nyquist Diagram Magnitude (db) db/dec deg/dec o deg/dec x x Imaginary Axis.5.5 Phase (deg) deg/dec deg/dec 1 τ 9 deg/dec p 18 o x x ω τ τ n p.1 ω n 1 τ Frequency (rad/sec) 1 τ 1 τ 1 z z z p ω n Real Axis

14 Fondamenti di Automatica 14 Esercizio 5 G(s) = s 2 +1 (s 2)(s +2)(s +4) Forma di bode = k b =-.625 Zeri immaginari: s = ±j, ω nz =1eδ nz = Polo stabile τ 1 =.5 per1/τ 1 =2 Polo stabile τ 2 =.25 per 1/τ 2 =4 Polo instabile: τ 3 =.5 per1/τ 3 =2 ω si ha G(jω) and G(jω) 9.625(1 + s 2 ) (1 +.25s)(1 +.5s)(1.5s) ω =siha G(j) db =2log G(j) = 18

15 Fondamenti di Automatica 15 Esercizio 5 2 Bode Diagram +4 db/dec db/dec.2 Nyquist Diagram 4 2 db/dec Magnitude (db) Phase (deg) deg/dec Imaginary Axis deg/dec 225 x x ω nz Frequency (rad/sec) 1 τ τ Real Axis

16 Fondamenti di Automatica 16 Esercizio 6 G(s) = 8(s 2 + s + 15) s 3 +9s 2 +15s + 12 Forma di Bode = K B =1 Zeri complessi: ω nz = e δ nz =.129 Polo stabile: τ p =.113 per 1/τp = Poli complessi: ω np = e δ np = s 15 + s2 15 s s2 4 + s 8 +1 ω si ha G(jω) and G(jω) 9 ω =siha G(j) db =2log 1 1 G(j) =

17 Fondamenti di Automatica 17 Esercizio 6 2 Bode Diagram 5 Nyquist Diagram 1 4 Magnitude (db) Phase (deg) Imaginary Axis ω n 1/τ p p 135 x o x ω n Frequency (rad/sec) z Real Axis