Esercizi sulla stabilità dei sistemi in retroazione

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1 Esercizi sulla stabilità dei sistemi in retroazione Gli esercizi che seguono faranno riferimento allo schema a blocchi riportato di seguito. r k Gs) y Esercizio. Sia data la seguente funzione di trasferimento s+4 s+2)s+). Risulta k B = / =.2 4dB s 2 + s ) 4 + s ). Gm = Inf, Pm = Inf տ ω= k > stabile < k < stabile k < instabile con polo a destra

2 Il polinomio caratteristico risulta: s 2 +2+k)s+2+4k) = k 2+k 2+4k Il sistema sarà stabile se 2+k > e 2+4k >, cioè se k >. In tutti gli altri casi avremo una variazione di segno e quindi un polo a destra. Esercizio 2. Sia data la seguente funzione di trasferimento s 2 s+) Si provi a calcolare il valore dell asintoto orizzontale del diagramma di Nyquist. Se tale asintoto non esiste, dimostrare comunque che la fase del diagramma per ω coincide con quella del diagramma tracciato. Risulta k B =. s 2 + s ). Gm = Inf db at rad/s), Pm =.7 deg at.998 rad/s) ւ ω=+ ւ ω=+ fase=9 ) Il diagramma di Nyquist presenterà un asintoto orizzontale se lim ω Im[Gjω)] è finito. Gjω) = lim Gjω) = lim ω ω ω 2 +j ω ω 2 jω +) =... = ω 2 +ω 2 ) +j ω+ω 2 ), da cui lim Im[Gjω)] = + per cui l asintoto orizzontale non esiste. ω Sia arctan2y,x) la funzione inversa della tangente sui 4 quadranti. Si calcoli adesso la fase di Gjω) per ω : Gjω) = lim atan2 ω ω, ) ω 2 = π + lim arctan ω ) = π +arctan) = π ω per cui la fase risulta essere in accordo con il diagramma. vedi o la funzione Matlab atan2. 2

3 { k > instabile con 2 poli a destra k < instabile con polo a destra Il polinomio caratteristico risulta: s 3 +s 2 +k =. 3 2 k k k Per k < avremo un polo instabile, mentre per k > ne avremo due. Esercizio 3. Sia data la seguente funzione di trasferimento s+ s 2 + Calcolare l equazione dell asintoto obliquo del diagramma di Nyquist. Soluzione: La Gs) risulta essere già in forma di Bode k B = ). Gm = Inf, Pm = 89.4 deg at. rad/s) ւ ω= k > stabile < k < instabile con 2 poli a destra k < instabile con polo a destra Dal diagramma di Bode si può notare che la fase dell asintoto è circa 84. Tale fase è facilmente calcolabile in modo diretto valutando Gj) = arctan/) 84. Se volessimo conoscere l equazione esatta dell asintoto è necessario applicare il procedimento descritto nelle dispense: Gjω) = +jω ω 2 = ω 2 }{{} Xω) 3 +j ω ω }{{ 2 = Xω)+jYω) } Y ω)

4 Assumendo che l equazione dell asintoto sia Y = mx + n, risulterà: da cui m = lim ω dyω) dω dxω) dω = lim ω ω 2 )+2ω 2 ω 2 ) 2 2ω ω 2 ) 2 +ω 2 = lim = ω 2ω ω n = lim[yω) mxω)] = lim ω ω ω 2 ω 2 = lim ω ω) ω ω 2 = lim ω +ω) ω) =. L equazione dell asintoto obliquo sarà quindi Y = X. Il polinomio caratteristico risulta: s 2 +ks++k) =. 2 +k k +k Il sistema sarà stabile se k > e +k >, cioè se k >. Esercizio 4. Sia data la seguente funzione di trasferimento s+ ss )s+) Risulta k B =., per cui k B = 2dB. +s s s) + s ). Gm = 2 db at.2 rad/s), Pm = 79.2 deg at. rad/s). տ ω= α տ ω = + fase= 8 ) k > α stabile < k < α instabile con 2 poli a destra k < instabile con polo a destra 4

5 Il polinomio caratteristico risulta: s 3 +9s 2 +k )s+k =. 3 k 2 9 k 8k 9 k Il sistema sarà stabile se 8k 9 > e k >, cioè se k > 4 4. Possiamo quindi affermare che α = 4 4. Esercizio. Sia data la seguente funzione di trasferimento s+2 ss ) Risulta k B =, per cui k B = 2dB. 2 + s s + 2 s s) = 2 s s). Gm = 4 db at.4 rad/s), Pm = 8.4 deg at.26 rad/s) տ ω= α E possibile calcolare analiticamente il valore dell asintoto verticale [ asintoto = lim Re[Gjω)] = lim Re +jω ] ω 2 ω ω ω 2 =... = lim +jω ω ω 4 +ω 2 =. k > α stabile < k < α instabile con 2 poli a destra k < instabile con polo a destra Il polinomio caratteristico risulta: s 2 +k )s+k =. 2 k k k Il sistema sarà stabile se k > e k >, cioè se k >. Possiamo quindi affermare che α =.

6 Esercizio 6. Sia data la seguente funzione di trasferimento 3s 2 +9) +s)s 2 +4)+.2s) Risulta k B = 27 4 = 6.7 7dB s) + s2 9). + s2 +.2s) Ingrandimento del diagramma di Nyquist intorno all origine ω = + ց տ ω= ւ ω= k > instabile con 2 poli a destra k < instabile con polo a destra α α < k < stabile 6

7 Il polinomio caratteristico risulta:.2s 4 +.2s k)s s+4+27k) =. 4 9+k 2+3k ho moltiplicato la riga per ) 3 4 ho diviso la riga per.2) 2 +3k 4+27k ho diviso la riga per ) k +3k ho diviso la riga per ) 4+27k Il sistema sarà stabile se +3k) >, k < e 4+27k) >, cioè se 4 < k <. Possiamo quindi 27 affermare che α = 27/4. Esercizio 7. Sia data la seguente funzione di trasferimento 64s+2) ss+.)s s+64) s + s. + s 2 ) + 3.2s 64 + s2 64 ) = 4 Risulta k B = 4 2dB. I poli complessi hanno ω n = 8, ξ =.2. + s 2 s + s ) + 3.2s ) s2 64 Gm = 9.33 db at 7.7 rad/s), Pm =.2 deg at.9 rad/s) Ingrandimento del diagramma di Nyquist intorno all origine α ւ ω=

8 k > α instabile con 2 poli a destra < k < α stabile k < instabile con polo a destra Poiché il margine di guadagno è di circa 9.33dB, risulta che α.34. Esercizio 8. Sia data la seguente funzione di trasferimento s+4 s+)s 2 +2s+) 4 + s 4 ) = 8 Risulta k B = 8 8dB. + s ) + 2s + s2 + s + s 4 ) + 2s + s2 ) Gm = 2.7 db at.9 rad/s), Pm = 4.2 deg at 8.2 rad/s) α ւ ω=+ fase= 8 ) տ ω= k > α instabile con 2 poli a destra < k < α stabile 8 < k < stabile k < 8 instabile con polo a destra Il polinomio caratteristico risulta: s 3 +7s 2 ++k)s++4k) =. 3 +k k 9 k ho diviso la riga per 3) +8k ho diviso la riga per ) Il sistema sarà stabile se 9 k > e + 8k >, cioè se 8 < k < 9. Possiamo quindi affermare che α = /9. 8