Analisi di Stabilità e Criterio di Nyquist

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1 Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica Analisi di Stabilità e Criterio di Nyquist Analisi e Controllo dei Sistemi Dinamici Modulo: Controlli Automatici Dr. Ing. A. Pilloni

2 Sommario 1. Cenni sulle F.d.T. e sui Diagrammi di Bode 2.1 Controllo in retroazione. Perché? 2.2 Stabilità a ciclo chiuso 3.1 Criterio e Diagramma di Nyquist (DN) 3.2 Tecniche di Tracciamento del DN 3.3 Criterio di Nyquist 3.4 Esempi

4 F.d.T. La F.d.T. di un sistema dinamico LTI è una funzione complessa che descrive il comportamento (in frequenza) del sistema Esistono diversi procedimenti per ottenere il modello della F.d.T. Modellazione Fisica Test Sperimentali F. di Trasferimento s = jω F. di Risposta Armonica F s?? F(jω) Dalla F(jω) è possibile valutare la distribuzione di poli/zeri della F s o per via grafica o con procedure numeriche

5 Tracciamento diagrammi di Bode La F.d.t. in forma di Bode contiene 4 tipi di fattori elementari F jω = K jω ν z Guadagno costante K m 1 z m i=1 1 + jωτ i 1 + 2ξ ω jω + jω 2 2 i=1 n ω n 2 jω ν p n 1 + jωτ p i 1 + 2ξ jω + jω 2 1 n 2 i=1 i=1 ω n Fattore monomio jω : Fattore binomio 1 + jωτ : ω n 2 Legato ad uno zero /polo in s = 0 Legato ad uno zero/polo reale in s = 1/τ Fattore Trinomio 1 + 2ξ ω n jω + jω 2 ω n 2 : = M ω ejφ ω Legato ad una coppia di zeri/poli complessi coniugati in s = a ± jb, con ω n = a 2 + b 2 e ξ = a/ω n

6 Guadagno costante K K db = 20 log 10 K φ ω = atan 0 K = 0 K > K < 0 Esempio: k 1 = 10, k 2 = 0.5, k 3 = 10

7 Fattore monomio jω Al numeratore: jω db = 20 log 10 ω 2 = 20 log ω +20dB/dec φ ω = atan ω 0 = +90 Al denominatore: 1 jω db = j ω db = 20 log 10 1 ω 2 = 20 log 1 ω = 20 log 10 ω 20dB/dec φ ω = atan 1 ω 0 = 90

8 Fattore binomio 1 + jωτ Al numeratore: 1 + jωτ db = 20 log (ωτ) 2 0 ω 1/ τ 0dB/dec 20 log 10 ω + 20 log 10 τ ω 1/ τ +20dB/dec Al denominatore: φ ω = atan ωτ 1 +0 ω 1/ τ +90 ω 1/ τ 1 = 1 jωτ 1 (1 + jωτ) db (1 + ω 2 τ 2 = 20 log ) 10 db 1 + ω 2 τ ωτ 1 + ω 2 τ 2 2 = 0 ω 1/ τ 0dB/dec 1 20 log log ωτ 10 ω 20 log 10 τ ω 1/ τ 20dB/dec φ ω = atan ωτ 1 0 ω 1/ τ 90 ω 1/ τ

9 Fattore binomio 1 + jωτ Al numeratore Al denominatore: +20dB/dec 20dB/dec τ > 0, +90 τ > 0, 90 τ < 0, 90 τ < 0, +90

10 Fattore trinomio 1 + 2ξ jω + jω 2 ω n ω2 n Al numeratore: 1 + 2ξ ω n jω + jω 2 ω n 2 = 1 ω2 ω n + j 2ξω ω n 1 + 2ξ jω + jω 2 ω 2 n ω n db 0 ω ω n 0dB/dec 20 log 10 ω log 10 ω n ω ω n +40dB/dec φ ω = atan 2ξω ω n 1 ω2 ω n 2 0 ω ω n +180 ( 180 ) ω ω n AND ξ > 0 (ξ < 0)

11 Fattore trinomio 1 + 2ξ jω + jω 2 ω n ω2 n Al numeratore: Modulo al variare di ξ Anti-risonanza per ξ < 0.7 Fase al variare di ξ 0 Fase al variare di ξ < 0

12 Fattore trinomio 1 + 2ξ jω + jω 2 ω n ω2 n Al denominatore: Modulo al variare di ξ Risonanza per ξ < 0.7 Fase al variare di ξ 0 Fase al variare di ξ < 0

13 Tracciare il DB della F.d.t. G s = Esempio 10 s 1 s(s + 1)(s 2 + 8s + 25) 1. Porre il sistema in forma di Bode F s = s s 1 + s s + s Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti: K = 10 25, F 1 s = 1 s, F 3 s = 1 s, F 4 s = s, F 5 s = 3. Sommare i contributi delle singole componenti s + s2 25

14 Digramma dei moduli K = 10 25, F 1(s) = 1 s, F 3 s = 1 s, F 4 s = s, F 5 s = s + s2 25 ω n = 5 ξ = 0.8 Correggere il diagramma per considerare l andamento reale mediante l utilizzo degli abachi di tracciamento

15 Digramma delle Fasi K = 10 25, F 1(s) = 1 s, F 3 s = 1 s, F 4 s = ω s = ω n = ξ s, F 5 s = s + s2 25 ω d = 10 ξ ω n = 31.1 ω n = 5 ξ = 0.8 Correggere il diagramma per considerare l andamento reale mediante l utilizzo degli abachi di tracciamento

17 Controllo in retroazione. Perché? [Def.] In fisica e automazione la retroazione è la capacità di un sistema dinamico di tenere conto dei risultati del sistema per modificare le caratteristiche del sistema stesso. Es. Progettare un amplificatore di guadagno k d = 2 con Passo 1: Analisi a ciclo aperto del processo

18 Controllo in retroazione. Perché? (2) L unico modo per progettare un amplificatore con guadagno d amplificazione controllato k d è sfruttare la retroazione!!!

19 Controllo in retroazione. Perché? (3) Qualsiasi sistema di controllo presenta la seguente struttura: L onere del progettista consiste nello scegliere la struttura del controllore e del trasduttore al fine di garantire le specifiche di progetto Tutto funzionerà IFF il sistema a ciclo chiuso sarà stabile!

20 Stabilità a ciclo chiuso. Perchè?(1) Dato sistema dinamico (circuito elettronico, motore, impianto industriale) u P(s) Il controllo automatico si prefigge di modificare il comportamento del sistema da controllare (uscite e stato) manipolando le grandezze d'ingresso (legge di controllo) y Esempi di sistemi di controllo P(s) SISTEMA DI REGOLAZIONE: uscita costante ad un valore prefissato al variare dell'ingresso (es. cruise control) SISTEMA DI ASSERVIMENTO: uscita deve seguire fedelmente la dinamica dell'ingresso stesso (es. tracking missile)

21 Stabilità a ciclo chiuso. Perchè?(2) La stabilità a c.c. può essere valutata con calcolando i poli della W(s) o studiando il segno della loro parte reale (Criterio di Routh) No percezione dell influenza delle scelte progettuali sulla stabilità No informazioni sulla robustezza del sistema del controllo Serve uno strumento in grado di: Fornire indicazioni utili per la sintesi del controllore C(s) Il Criterio di Nyquist

23 Criterio di Nyquist (1) Il Criterio di Nyquist è uno dei metodi classici per valutare la stabilità di W s a partire dalla f.d.t. dell anello F s = = N w s D W (s) N F s D F (s) Riscrivere sempre il sistema come fosse a retroazione unitaria H 1 - F(s) Sistema a ciclo chiuso F s W s = N F s D F s = N w s D W (s) = = k C s P s H s F s = N F (s) 1+F s D F s 1+ N F s D F s Relazione che lega i poli a ciclo chiuso con quelli della funzione ad anello D W s D F (s) = 1 + F s

24 Criterio di Nyquist (2) Si dimostra che: Il legame tra il numero di radici a p.r.p. di D W (s) ed il numero di radici a pr.p. di D F (s) è dato dal numero di giri che il vettore 1 + F s da - a + attorno all origine (0,0) del piano complesso D W s D F (s) = 1 + F s Il numero di tali giri è pari a quello compiuto dal vettore F jω = M jω e jφ(jω) attorno al punto (-1,j0) del piano complesso I giri compiuti da tale vettore possono essere valutati agevolmente dal Diagramma di Nyquist della F jω

25 Diagramma di Nyquist (1) Sono una alternativa ai Diagrammi di Bode per la rappresentazione della risposta armonica di una f.d.t. in forma di Bode) m z i=1 1 + jωτ i F jω = jω ν (1 + jωτ p jφ ω = M ω e n ν i ) i=1 Es. per ω = ω 0 M ω 0 = Re F jω Im F jω 0 2 ω 1 < ω 2 < ω 3 φ ω 0 = atan Im F jω 0 Re F(jω 0 ) Margini di stabilità (secondo Bode): m g = 1/ F jω cr m φ = F jω c deg ω 3 ω 2 ω 1

26 Diagramma di Nyquist (2) L andamento del DN per ω (, 0] può essere ottenuto da quello per ω [0, + ) per simmetria rispetto all asse reale Partenza del diagramma di F jω per ω 0 + : Modulo: lim ω 0 + F(j(ω)) Fase: lim ω 0 + arg F jω = arg k (ν p ν z ) π 2 Arrivo del diagramma di F jω per ω + : Modulo: lim ω + Fase: lim arg F jω ω + Per sistemi a fase minima si può utilizzare la relazione semplificata: lim ω + arg F jω = arg k n m π 2

27 Criterio di Nyquist Con riferimento allo schema feedback standard a retroazione unitaria, - K F(s) Il sistema controllato è stabile se il numero di giri in senso antiorario N che la F(jω) compie intorno al punto ( 1, j0), quando ω varia da a +, è uguale al numero di poli p.r.p. (p F ) di F(jω) p W = p F N = 0

28 Criterio di Nyquist (2) Hp: Il DN non chiude al finito per via di discontinuità tra ω = 0 e ω = 0 + a causa di poli nell origine tra ω = ω n e ω = ω n + e ω = ω n e ω = ω n + a causa di una coppia di poli immaginari puri con molteplicità m Per l applicazione del criterio di Nyquist bisognerà considerare i poli a parte reale nulla come a parte reale negativa Eseguire una chiusura all infinito in verso orario di ν π [rad] nella discontinuità da ω = 0 a ω = 0 + di m π [rad] nelle discontinuità da ω = ω n a ω = ω n + e da ω = ω n e ω = ω n +

29 Criterio Ridotto di Nyquist Per tutti i sistemi stabili a ciclo aperto si ha p F = 0, per cui si può valutare la stabilità mediante il Criterio Ridotto: Criterio Ridotto di Nyquist: C.N.S. per la stabilità di un sistema di controllo a controreazione, stabile a ciclo aperto (p F = 0) è che il numero di giri in senso antiorario che la F(jω) attorno al punto 1, j0 sia nullo N = 0 p W = p F N = 0 In pratica il diagramma di Nyquist della F(jω) non deve circondare il punto ( 1, j0).

30 Esempio 1 F s = 1 1+ s 10 2

31 Esempio 1 F s = 1 p F = 0 Partenza 1+ s 10 lim F(j(ω)) = 1 ω 0 + lim arg F jω = 0 ω 0 + Arrivo lim F(j(ω)) = 1 = 0 ω 0 + lim arg F jω = ω 0 + = arg 1 2 π 2 = 2π 2

32 Esempio 2 F jω = k jω 2 1+jωτ, τ > 0, k > 0

33 F jω = k jω 2 1+jωτ p F = 0 Criterio Ridotto Partenza lim ω 0 + F(j(ω)) = k 0 = lim arg F jω = ω 0 + Esempio 2, τ > 0, k > 0 arg k 2 π 2 = π Il punto -1 sta a destra del diagramma quindi il sistema sarà instabile p W = p F N = 2 Inoltre, poiché N = 2 per qualsiasi valore di k > 0, esso non potrà essere stabilizzato Arrivo ω = 0 + lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 3 = 0 lim ω 0 + arg F jω = arg k 3 π 2 = 3π 2 ω = 0-1

34 Esempio 3 F jω = k jω 2 1+jωτ, τ < 0, k > 0

35 Esempio 3 F jω = p F = 1 Partenza k jω 2 1+jωτ, τ < 0, k > 0 Il sistema sarà sempre instabile in quanto N = 0 per qualsiasi valore di k > 0 p W = p F N = 1 lim ω 0 + F(j(ω)) = k 0 = lim arg F jω = ω 0 + arg k 2 π 2 = π Arrivo lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 3 = 0 lim ω 0 + arg F jω = arg k 2 π 2 + π 2 = π 2-1

36 Esempio 4 (1) F s = 1 1+ s2 ω n 2 = 1+ s jωn 1 1 s jωn

37 Esempio 4 (1) F jω = 1+ s jωn 1 1 s jωn s=jω

38 Esempio 4 (2) F jω = 1+ s jωn 1 s 1 jωn p F = 0 Criterio Ridotto s=jω Partenza lim F(j(ω)) = 1 ω 0 + lim arg F jω = 0 ω 0 + Arrivo ω = ω n + ω = ω n ω = ω n ω = ω n lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 = 0 lim arg F jω = ω 0 + arg 1 2 π 2 = π

39 Esempio 5 Modello dinamico del Pendolo inverso Linearizzazione attorno al punto di lavoro θ, θ = (0,0) Funzione di trasferimento Posizione-Coppia Motrice

40 F jω = 0.1 k 1 s 2 1+s 5 p F = 1 Partenza lim F(j(ω)) = 0.1 k ω 0 + Esempio 5 (2) lim arg F jω = arg 0.1 k = π ω 0 + Arrivo lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 2 = 0 lim arg F jω = ω arg 0.1 k π 2 + π 2 = π Il sistema sarà stabile k > k in quanto per tale condizione N = 1 per qualsiasi valore di p W = p F N = 1 1 = 0-0.1k

41 F s = s s 1 2 Esempio 6 (1)

42 F s = s s 1 2 p F = 2 Partenza lim ω 0 + F(j(ω)) = 0 lim arg F jω = ω 0 + Arrivo lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 2 = 0 Esempio 6 (1) arg 1 + π 2 = + π 2 = 3 2 π lim ω 0 + arg F jω = arg 1 + π π 2 = π 2 Il sistema sarà stabile k > k in quanto per tale condizione N =2 per qualsiasi valore di p W = p F N = 2 2 = 0-1

43 Esempio 7 (1) F s = 1+s 2 (s+4)(s+2)(s 2)

44 Esempio 7 (2) F s = 1+s 2 = 1+s 2 (s+4)(s+2)(s 2) s 4 1+s 2 1 s 2 p F = 1 Partenza lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 16 lim ω 0 + arg F jω = arg 1 16 = π Arrivo 2 lim F(j(ω)) = = 0 ω lim ω 0 + arg F jω = arg π 2 2 π 2 + π 2 = π 2

45 Esempio 7 (3) III IV Per ω = ω z =1, il diagramma di Nyquist passerà per l origine essendo questa la frequenza naturale degli zeri /16 La presenza di tali zeri comporterà anche un cambiamento repentino di fase che porterà il diagramma dal III al I quadrante II I Il sistema sarà sempre instabile, k < 16, N = 0 p W = p F N = 1, k > 16, N = 1 p W = p F N = 2