Corso di Fondamenti di Automatica. Università di Roma La Sapienza. Diagrammi di Bode. L. Lanari. Dipartimento di Informatica e Sistemistica

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1 Corso di Fondamenti di Automatica Università di Roma La Sapienza Diagrammi di Bode L. Lanari Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Roma La Sapienza Roma, Italy Ultima modifica May 8, 8

2 Argomenti Forma canonica di Bode Modulo e fase nel piano complesso I decibel (db) Scala logaritmica per le ascisse Diagrammi di Bode dei vari fattori Sistema come filtro

3 a = Mod[a] = modulo di a Notazioni a = Fase[a] = fase di a j = s variabile complessa Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

4 La Forma Canonica di Bode Rappresentazione poli/zeri di una funzione di trasferimento con m tale che F (s) = K s m k(s z k ) l(s + ζ l ω nl s + ω nl ) i(s p i ) z(s + ζ z ω nz s + ω nz) m = se nessun polo e zero in s = m < se m zeri in s = m > se m poli in s = Inoltre espandendo il denominatore si ottiene un polinomio monico (coefficiente del fattore di ordine più elevato in s pari a ). Ciò è sempre possibile ponendo un eventuale coefficiente diverso da in K K non è il guadagno del sistema Si noti che non possono essere contemporaneamente presenti poli e zeri in s = in quanto si suppone che la F (s) abbia numeratore e denominatore coprimi, cioè senza radici in comune. Per la stessa ipotesi non si possono avere cancellazioni poli/zeri in generale in F (s). Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

5 La Forma Canonica di Bode i termini (s z k ) e (s p i ) derivano dalla presenza di zeri reali (in s = z k ) poli reali (in s = p i ) i termini (s + ζ l ω nl s + ω nl ) e (s + ζ z ω nz s + ω nz) derivano dalla presenza di zeri complessi e coniugati (in s = α l ± jβ l ) poli complessi e coniugati (in s = α z ± jβ z ) con, in generale, pulsazione naturale ω n = α + β coefficiente di smorzamento ζ = α /ω n = α / α + β Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 3

6 La Forma Canonica di Bode fattorizzando s z k = z k ( /z k s) = z k ( + τ k s) con τ k = /z k s p i = z k ( /p i s) = p i ( + τ i s) con τ i = /p i con τ i e τ k costanti di tempo F (s) = K s m = K s m k( z k ) l(ωnl ) k( + τ k s) l( + ζ l /ω nl s + s /ωnl ) i( p i ) z(ωnz) i( + τ i s) z( + ζ z /ω nz s + s /ωnz) k( + τ k s) l( + ζ l /ω nl s + s /ω nl ) i( + τ i s) z( + ζ z /ω nz s + s /ω nz) con K guadagno generalizzato del sistema K = K k( z k ) l(ωnl ) i( p i ) z(ωnz) ottenibile come (per qualsiasi valore di m) K = [s m F (s)] s= Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 4

7 La Forma Canonica di Bode Si noti che se il sistema ha zeri in s = (e quindi è privo di poli in s = ), K non coincide con il guadagno statico del sistema definito come F (s) = F () s= La presenza degli zeri in s = implica F () =. se il sistema è privo di poli e zeri in s =, K coincide con il guadagno statico (o in continua) F () K = F () se il sistema è privo di poli e zeri in s = ed è stabile asintoticamente, la risposta indiciale tende asintoticamente al guadagno statico K = F () se il sistema ha zeri in s = ed è stabile asintoticamente, la risposta indiciale tende asintoticamente al guadagno statico F () = K Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 5

8 La Forma Canonica di Bode della Risposta Armonica F (jω) = K (jω) m k( + jωτ k ) l( + ζ l jω/ω nl + (jω) /ω nl ) i( + jωτ i ) z( + ζ z jω/ω nz + (jω) /ω nz ) con 4 fattori fondamentali della forma. Fattore costante K (guadagno generalizzato). Fattore monomio jω (zero/polo in s = ) 3. Fattore binomio + jωτ (zero/polo reale non nullo) 4. Fattore trinomio + ζjω/ω n + (jω) /ω n (coppia zeri/poli complessi e coniugati) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 6

9 Modulo e Fase Diagrammi di Bode: rappresentazione grafica del modulo (in db) e della fase di F (jω) al variare di ω IR + = [, + ) per ogni fissato ω, F (j ω) IC può essere rappresentato Parte reale e parte immaginaria Modulo e Fase F (j ω) = Re[F (j ω)] + jim[f (j ω)] F (j ω) = Mod[F (j ω)]e jfase[f (j ω)] Re Im modulom fase ' P Proprietà della fase: [ ] Fase[F.G] = Fase[F ] + Fase[G], Fase = Fase[F ] F non vale per il modulo si passa al logaritmo del modulo Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 7

10 Decibel Il modulo è espresso in decibel (db) F (jω) db = log F (jω) Dalle proprietà del logaritmo F.G db = F db + G db = F F db db Esempi F db + se F F db se F 4 3 Log lxl. db = db db = db db = db db = 4 db 3 db db x db x Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 8

11 Scala logaritmica Per le ascisse (pulsazioni) si usa una scala logaritmica in base (distanza di una decade corrisponde a una moltiplicazione per ) Vantaggi della scala logaritmica per le ascisse e dei decibel rappresentare grandezze (ω e modulo) che variano in campi estesi facilità nella costruzione del diagramma del modulo in db di una risposta armonica data in forma fattorizzata (forma canonica di Bode) a partire dagli andamenti del modulo in db dei singoli fattori facilità di rappresentare i diagrammi di sistemi in serie (somma dei singoli diagrammi) 4 3 La funzione log (x), in scala logaritmica per le ascisse, diventa lineare! x db - - Log lxl x (scala logaritmica) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 9

12 Fattore Costante K Im Nel piano complesso (es: K = e K =.36) K< K> Re 5 Modulo Fase K db Fase (deg) K > K < Pulsazione (rad/s) K > -5-8 K < - - Pulsazione (rad/s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

13 Fattore Monomio jω jω db = log ω nel piano complesso jω db = x con le ascisse x in scala logaritmica Im j! 9 o Re 4 Modulo Modulo (db) - db/dec Pulsazione (rad/s) Fase Fase (deg) Pulsazione (rad/s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

14 Fattore Monomio a Denominatore /jω Dalle proprietà del modulo in db e della fase 4 Modulo Modulo (db) - - db/dec Pulsazione (rad/s) Fase Fase (deg) Pulsazione (rad/s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

15 Fattore Binomio a numeratore ( + jωτ) + jωτ db = log + ω τ Approssimazione rispetto alla pulsazione di rottura / τ + ω τ se ω / τ ω τ se ω / τ e quindi + jωτ db db se ω / τ log ω + log τ se ω / τ mentre alla pulsazione di rottura ω = / τ + jτ/ τ db = log 3 db Si approssima il modulo con due semi-rette. Andamento del modulo indipendente dal segno di τ L andamento della fase dipende invece dal segno di τ Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 3

16 Fattore Binomio a numeratore ( + jωτ), τ > Nel piano complesso! j > Im Re Modulo Fase Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 4

17 Fattore Binomio a denominatore /( + jωτ), τ > Dalle proprietà del modulo in db e della fase Modulo Fase Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 5

18 Fattore Binomio a numeratore/denominatore τ < Modulo non cambia, fase si Im < Re! j Numeratore Denominatore Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 6

19 Fattore Trinomio a numeratore Modulo + ζ (jω) + (jω) ω n ω n = = ω ωn + jζ ω ω n ( ω ω n ) + ( 4ζ ω ω n ) Approssimazione rispetto alla pulsazione naturale ω n TRINOMIO TRINOMIO db in ω = ω n si ha TRINOMIO = ζ se ω ω n ( ) ω = ω ω n ω n se ω ω n db se ω ω n 4 log ω log ω n se ω ω n se ζ = si ha db, se ζ =.5 si ha db, se ζ = si ha 6 db Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 7

20 Fattore Trinomio ζ = Si noti che, nel caso ζ = ±, le radici del fattore trinomio sono reali coincidenti in radici = ± ζ ω n s + s ω n ω n se ζ = ω n se ζ = = ( ± s ) ω n e quindi gli andamenti del modulo e della fase per ζ = ± coincidono con quelli del doppio fattore binomio con pulsazione di rottura τ = ω n Pertanto in ω = ω n il modulo del fattore trinomio, nel caso ζ =, vale (3 db) = 6 db Trinomio a numeratore ( 3 db) = 6 db Trinomio a denominatore Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 8

21 Fattore Trinomio Inoltre se ζ < /.77, il modulo di un fattore trinomio a denominatore F (jω) = TRINOMIO ha un massimo chiamato picco di risonanza F (jω r ) = ζ ζ in corrispondenza della pulsazione di risonanza ω r (coincidente con la pulsazione naturale solo per ζ = ) ω r = ω n ζ Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 9

22 Fattore Trinomio a numeratore ζ ³ 3 Im Nel piano complesso ³ ³ ³ ³ > ³ ³ ³ > > 3 Re - Modulo (al variare di ζ ) Fase (al variare di ζ ) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

23 Fattore Trinomio a denominatore ζ Dalle proprietà del modulo in db e della fase Modulo (al variare di ζ ) Fase (al variare di ζ ) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

24 Fattore Trinomio a numeratore/denominatore ζ < Modulo non cambia, fase cambia di segno 6 6 Modulo (db) ! n! n.! n Pulsazione (rad/sec) - Modulo (db) ! n -. -! n! n Pulsazione (rad/sec) Fase (deg) ! n - -.! n! n Pulsazione (rad/sec) Fase (deg) ! n! n Pulsazione (rad/sec)! n Trinomio a Numeratore ζ < Trinomio a Denominatore ζ < Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

25 Sistema come filtro Siano 4 sistemi con stesso guadagno e pulsazione di rottura diversa F (s) = + s, F (s) = + s, F 3(s) = 5 +.s, F 4(s) = +.s Modulo (db) 5 F 5 F F 3 F 4 Pulsazione (rad/s) 3 e l ingresso combinazione lineare di segnali sinusoidali a diverse pulsazioni u(t) =.6 sin(f t).4 sin(f t)+.5 sin(f 3 t)+.5 sin(f 4 t).3 sin(f 5 t). sin(f 6 t)+. sin(f 7 t). sin(f 8 t) f = π.75, f = π.5, f 3 = π.5, f 4 = π3, f 5 = π5, f 6 = π6, f 7 = π8, f 8 = π Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 3

26 Sistema come filtro Ingresso ha l andamento nel tempo periodico con periodo T = 4 s mentre la sua rappresentazione spettrale (nel dominio della frequenza) mette in evidenza i contributi dei singoli segnali sinusoidali. 3 T Ingresso Spettro segnale ingresso Pulsazione (rad/s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 4

27 Sistema come filtro Sistema Diagramma del modulo (non in db) e risposta in uscita nel tempo.8 Sistema.5.5 Sistema Modulo Pulsazione (rad/s) Ingresso Uscita Tempo (s) Sono evidenziati i valori del modulo alle diverse pulsazioni del segnale in ingresso. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 5

28 Sistema come filtro Sistema Diagramma del modulo (non in db) e risposta in uscita nel tempo.8 Sistema.5.5 Sistema Modulo Pulsazione (rad/s) Ingresso Uscita Tempo (s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 6

29 Sistema come filtro Sistema 3 Diagramma del modulo (non in db) e risposta in uscita nel tempo.8 Sistema Sistema 3 Modulo Pulsazione (rad/s) Ingresso Uscita Tempo (s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 7

30 Sistema come filtro Sistema 4 Diagramma del modulo (non in db) e risposta in uscita nel tempo.8 Sistema Sistema 4 Modulo Pulsazione (rad/s) Ingresso Uscita Tempo (s) All aumentare della pulsazione di rottura il sistema filtra sempre di meno il segnale in ingresso e l uscita, a regime permanente, diventa sempre più simile all ingresso. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 8

31 Sistema come filtro Attenzione La capacità di un sistema di riprodurre fedelmente un dato segnale in uscita dipende anche dalla fase. Ad esempio, si considerino due sistemi F e F con diagrammi del modulo (non in db) uguali ma fase notevolmente diversa Modulo Fase (deg) Pulsazione (rad/s) 5 6 F F 7 3 Pulsazione (rad/s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 9

32 Sistema come filtro Le corrispondenti uscite relative allo stesso ingresso, causa lo sfasamento introdotto dal sistema F, differiscono notevolmente!.5 Sistema.5 Sistema Ingresso Uscita Tempo (s) Ingresso Uscita Tempo (s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 3

33 Sistema come filtro Siano 4 sistemi con stesso guadagno e pulsazione naturale diversa F (s) = ( + ζs/ω n + s /ωn) con ζ =. e ω n = {, 8,, } 5 Modulo (db) 5 F 5 F F 3 F 4 Pulsazione (rad/s) 3 e lo stesso ingresso dell esempio precedente. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 3

34 Sistema come filtro Sistema Diagramma del modulo (non in db) e risposta in uscita nel tempo.5 Sistema 3 Sistema Modulo.5.5 Ingresso Uscita Tempo (s).5 3 Pulsazione (rad/s) Sono evidenziati i valori del modulo alle diverse pulsazioni del segnale in ingresso. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 3

35 Sistema come filtro Sistema Diagramma del modulo (non in db) e risposta in uscita nel tempo.5 Sistema 3 Sistema Modulo.5.5 Ingresso Uscita Tempo (s).5 3 Pulsazione (rad/s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 33

36 Sistema come filtro Sistema 3 Diagramma del modulo (non in db) e risposta in uscita nel tempo.5 Sistema 3 3 Sistema Modulo.5.5 Ingresso Uscita Tempo (s).5 3 Pulsazione (rad/s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 34

37 Sistema come filtro Sistema 4 Diagramma del modulo (non in db) e risposta in uscita nel tempo.5 Sistema 4 3 Sistema Modulo.5.5 Ingresso Uscita Tempo (s).5 3 Pulsazione (rad/s) All aumentare della pulsazione naturale e quindi della pulsazione di risonanza, variano le capacità filtranti del sistema. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 35

38 Sistema come filtro Sistema 3 Confronto tra il segnale ricostruito dalla risposta armonica (a regime permanente) e il segnale in uscita. La differenza è il transitorio. 3 Sistema 3 y RP Tempo (s) Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode 36