COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria dell Energia Elettrica e Aerospaziale 1 Febbraio 2016

Transcript

1 COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria dell Energia Elettrica e Aerospaziale 1 Febbraio 16 Esercizio 1. [11 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione di trasferimento: G(s) = 1 3 (s2 + 1)(1 +.1s) s 2 (s 2 4s + 1). i) Si determini il diagramma di Bode (modulo e fase) della risposta in frequenza del sistema; ii) si determini il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R, si studi, attraverso il criterio di Nyquist, la stabilità BIBO del sistema ottenuto per retroazione unitaria negativa da G(s) e si determini l eventuale numero di poli a parte reale positiva di W (s). Esercizio 2. [5.5 punti] Dato il sistema di funzione di trasferimento G(s) = (s + 9) (s + 16) 2 (s 24) è richiesto di tracciare il luogo delle radici positivo, determinando eventuali punti doppi e asintoti. Si determini, ricorrendo alla sola analisi del luogo delle radici (e non a Routh), per quali valori reali di K > il sistema retroazionato è BIBO stabile. Esercizio 3. [4 punti] Dato il sistema di funzione di trasferimento G(s) = 1 (s + 1) 2 progettare un controllore stabilizzante C(s) (del tipo P, PI, PD o PID), che attribuisca al risultante sistema retroazionato tipo 1 ed errore di regime permanente e (2) rp 1 (alla rampa), mentre la funzione di trasferimento in catena aperta C(s)G(s) abbia ω A 1 rad/s, m ψ 9. Esercizio 4. [5 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo e causale descritto dalla seguente equazione differenziale: d 3 y(t) dt d2 y(t) dt dy(t) dt + 2y(t) = d2 u(t) dt 2 u(t). i) Si studi la stabilità asintotica e la stabilità BIBO del sistema; ii) si determini, se esiste, l ingresso sinusoidale causale u(t) a cui corrisponde l uscita (forzata) di regime permanente ( y rp (t) = 2 sin 2t + π ). 4 1

2 Teoria. [5 punti] Si consideri un modello ingresso/uscita LTI a tempo continuo causale, descritto da un equazione differenziale lineare e a coefficienti costanti del tipo a n d n y(t) dt n + a n 1 d n 1 y(t) dt n a y(t) = b m d m u(t) dt m (a n, b m e n m) e sollecitato dal segnale di ingresso u(t) = e j ωt δ 1 (t), b u(t), con ω R fissato. Assumendo condizioni iniziali arbitrarie, si introducano i concetti di risposta di regime permanente e di risposta transitoria, e si dimostri (operando nel dominio del tempo) come sotto opportune ipotesi l evoluzione complessiva (d uscita) y(t) del sistema sia sempre esprimibile come somma delle due. Come cambia la risposta alla precedente domanda se le condizioni iniziali del sistema sono nulle? 2

3 SOLUZIONI Esercizio 1. i) [5 punti] 1 Diagramma di Bode Modulo W [db] Diagramma di Bode Fase arg(w) [ ] Si noti che il picco negativo alla pulsazione ω = 1 rad/sec è in realtà illimitato verso il basso, in quanto corrisponde ad una coppia di zeri immaginari coniugati. ii) [6 punti] 3

4 Nyquist Diagram 3 1 Imaginary Axis Real Axis Nella figura seguente il dettaglio dell arrivo del diagramma nell origine per ω = ±..2 Nyquist Diagram.15.1 Imaginary Axis Real Axis N = 1, n G+ = 2 e quindi n W + = 3. Pertanto W (s) non è BIBO stabile ed ha tre poli a parte reale positiva. Esercizio 2. L equazione dei punti doppi conduce facilmente a (s + 16)(2s 2 + 3s + 96) = che conduce solo alla soluzione banale s = 16 (K = ), in quanto il discriminante del termine di secondo grado è negativo, e non possono esserci punti doppi complessi se G(s) ha grado minore di 4. Quindi non ci sono punti doppi non banali. n m = 2 e quindi abbiamo due asintoti verticali di direzioni π/e e 3π/2. Essi sono centrati in (x B, ), dove x B = 1 2. L andamento del luogo è quindi quello illustrato nella seguente figura: 4

5 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Per studiare la stabilità BIBO del sistema retroazionato al variare di K sui reali positivi, bisogna determinare le intersezioni del luogo con l asse immaginario. Imponendo che d(s) + Kn(s) si annulli sull asse immaginario si trova (jω + 16) 2 (jω 24) + K(9 + jω) = jω(k 512 ω 2 ) + (9K ω 2 ) = La parte immaginaria si annulla per ω = e per ω 2 = K 512. Sostituendo tali valori nella parte reale si trova K = 48 3 > in corrispondenza ad ω =, mentre K = 48 > e ω = ±16 6 nell altro caso. Quindi l asse immaginario è intersecato una prima volta nell origine e poi nei punti s = ±j16 6. Da ciò si deduce che W (s) è BIBO stabile per ogni K tale che 48 3 < K < 48. Esercizio 3. Al fine di attribuire al risultante sistema retroazionato il tipo 1 è necessario introdurre un polo in, quindi necessariamente dobbiamo usare un PI o PID. Per soddisfare le specifiche su tipo e relativo errore di regime permanente è immediato verificare che il precompensatore deve essere del tipo C (s) = 1/s. I diagrammi di Bode della funzione di trasferimento C (s)g(s) sono: 5

6 4 Diagramma di Bode Modulo W [db] Diagramma di Bode Fase arg(w) [ ] Vediamo allora come alla pulsazione di attraversamento desiderata il margine di fase sia circa 9 e quindi vada alzato di 18. Questo richiede l introduzione attraverso il controllore di due zeri stabili, e quindi è necessario ricorrere ad un PID del tipo: C(s) = C (s)c (s) = 1 s (1 + sτ 1)(1 + sτ 2 ). Tra le infinite soluzioni, quella più semplice posiziona uno zero in s = 1 (creando una cancellazione zero-polo), e l altro una decade prima, per ottenere la ω A desiderata. Quindi, ad esempio C (s) = (1 + 1s)(1 + s), 6

7 che corrisponde a (1 + 1s)(1 + s) C(s) = = s, s s permette il soddisfacimento dei requisiti (il Criterio di Bode garantisce la stabilità BIBO del sistema ottenuto da C(s)G(s) per retroazione unitaria negativa). 5 Diagramma di Bode Modulo 4 3 W [db] Diagramma di Bode Fase 1 3 arg(w) [ ] Esercizio 4. i) [1.5 punti] L equazione caratteristica del sistema è = s 3 + 3s 2 + 4s + 2. Per valutare se il polinomio d(s) è un polinomio di Hurwitz utilizziamo la tabella di Routh. Si trova: 7

8 /3 2 e pertanto d(s) è Hurwitz. Di conseguenza il sistema è asintoticamente stabile e BIBO stabile. ii) [3.5 punti] Il sistema è asintoticamente stabile e BIBO stabile, quindi esiste la risposta di regime permanente ad ogni segnale sinusoidale. Dalla teoria sappiamo che al segnale u(t) = A sin(ωt + φ)δ 1 (t) il sistema risponde a regime permanente con Ora, nel nostro caso, ω = 2 rad/sec, y rp (t) = W (jω) A sin(ωt + φ + arg(w (jω)). W (j2) A = 2 φ + arg(w (j2)) = π 4. Si tratta quindi di capire, una volta determinati W (j2) e arg(w (j2)), quali siano i valori di A e φ. Ora la funzione di trasferimento del sistema è W (s) = s 2 1 s 3 + 3s 2 + 4s + 2, e la corrispondente risposta in frequenza alla pulsazione ω = 2 rad/sec vale W (j2) = Pertanto devono valere le seguenti relazioni 4 1 j j = 5 1 = 1 2. A = 2 2 φ + = π 4. Ne consegue che ( u(t) = 4 sin 2t + π ) δ 1 (t). 4 Teoria. Si veda il Capitolo 4 del Libro di testo. 8