COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 9 Gennaio 2003

Transcript

1 COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 9 Gennaio 00 Esercizio. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo discreto e causale descritto dalla seguente equazione alle differenze: v(k v(k + v(k = u(k u(k, k Z +. i Si determini l espressione dell evoluzione libera del sistema a partire dalle condizioni iniziali v( = + v( = ; ii si determini la risposta impulsiva del sistema, h(k; iii si determini la risposta (forzata del sistema al segnale di ingresso u(k =δ(k+δ (k. Esercizio. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo e causale avente la seguente funzione di trasferimento: H(s = (s + (s + 00 (s +0 s i Si determini il diagramma di Bode (modulo e fase della risposta in frequenza del sistema. ii Si determini, se esiste, la risposta di regime permanente al segnale di ingresso u(t = [sin(0 t+]δ (t. iii Supponendo di applicare in cascata a questo sistema un secondo sistema di funzione di trasferimento H(s = s + 00 s +, si determini la risposta impulsiva del sistema serie. Esercizio. Si calcoli l uscita del demodulatore sincrono, ovvero del sistema di figura, quando la trasformata di Fourier del segnale d ingresso è data da U(f =M(f + f 0 δ (f + f 0 +M(f f 0 [ δ (f f 0 ], dove M(f denota la trasformata di Fourier del segnale m(t. A tale scopo si introducano le seguenti ipotesi: m(t è un segnale rigorosamente limitato nella banda ( B,B, B>0; f 0 >B;

2 la risposta in frequenza del filtro LPF è data da ( f H LPF (f =Π f L con B<f L < f 0 B. u(t y (t LPF v(t cos(πf 0 t Teoria. Enunciare e dimostrare il teorema del campionamento ideale.

3 SOLUZIONI Esercizio. [ punti] L equazione caratteristica del sistema è ( 0=z z += z ( j z + j = (z e jπ/( z e jπ/ ed essa ha due radici complesse coniugate semplici λ, = ± j = e±jπ/. Pertanto il sistema ha i due modi complessi distinti e ±jkπ/, k Z, che sono equivalenti alla coppia di modi reali cos, sin, k Z. L evoluzione libera del sistema ha, pertanto, la seguente espressione v l (k =c cos + c sin Imponendo il soddisfacimento delle condizioni iniziali + si trova c =ec =, ovvero v l (k = cos sin = v l ( = c c, k. = v l ( = c c, = cos + π, k. 4 ii [ punti] Poiché n = > m =, l espressione della risposta impulsiva è del seguente tipo: ( ( ( kπ kπ h(k = d cos + d sin δ (k. Dal modello ARMA si ricavano i valori della risposta impulsiva per k =0eperk =, grazie ai quali è possibile identificare il valore dei parametri d e d. Si trova infatti da cui segue h(0 = h( = =0, = h(0 = d 0 = h( = d + d,

4 ovvero d =ed =. Pertanto h(k = ( cos sin δ (k. iii [4 punti] Per valutare la risposta forzata al segnale d ingresso assegnato, possiamo, ad esempio, operare mediante le trasformate zeta. La trasformata zeta del segnale in ingresso è U(z =+z z z + = z z. La funzione di trasferimento del sistema si ricava dall equazione alle differenze descrittiva il sistema e vale H(z = z z z z +. Pertanto la trasformata zeta dell evoluzione forzata risulta V (z = z z z + z(z + z = z + z z z +. Lo sviluppo in fratti semplici di V (z/z porta alla seguente espressione: dove V (z z = A z e jπ/ + B z e jπ/, A = lim (z e jπ/ V (z = ejπ/ + z e jπ/ z e jπ/ e jπ/ B = lim (z e jπ/ V (z = e jπ/ + z e jπ/ z e jπ/ e jπ/, e ad essa corrisponde la successione ( e jπ/ + v(k = e jπ/ e jπ/ ejkπ/ e jπ/ + e jπ/ e jkπ/ e jπ/ = (4 sin ( (k +π + sin δ (k. δ (k Esercizio. i [4 punti] Riscriviamo la funzione di trasferimento in forma di Bode: H(s = (s + (s + 00 (s +0 s +0 4 = 00 ( + s ( s (+0.0s s È immediato rendersi conto del fatto che la funzione di trasferimento ha guadagno di Bode pari a 00, la cui ampiezza è pari a 40 db e la cui fase vale 0 gradi. I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi presentano inoltre tre punti di spezzamento: uno corrispondente ad uno zero reale negativo in (T =, uno corrispondente ad un polo reale negativo in 00 (T = 00 ed uno corrispondente ad un termine trinomio con pulsazione naturale ω n =0 rad/sec e coefficiente di smorzamento ζ =0.05 < /. 4

5 Pertanto il termine trinomio presenterà un picco in corrispondenza ad una pulsazione prossima a ω n. Il risultato è illustrato in figura. ii [ punti] È immediato rendersi conto del fatto che il sistema è BIBO stabile, dal momento che i poli della H(s sono tutti nel semipiano Re(s < 0. Pertanto esiste la risposta di regime permanente al segnale di ingresso u(t = [sin(0 t+]δ (t. Per valutarla è sufficiente ricorrere alla formula v rp (t =[A(0 sin(0 t + Φ(0 +H(j0]δ (t, dove A(ω = H(jω eφ(ω = arg (H(jω. Il calcolo di H(j0 è immediato e restituisce il valore esatto 00. Per valutare A(0 e Φ(0 è sufficiente osservare, nel diagramma di Bode di H(jω, che anche la pulsazione ω =0 rad/sec è abbastanza antecedente il primo punto di spezzamento del diagramma e, pertanto, Pertanto A(0 00 Φ(0 0 o. v rp (t 00u(t = 00 [sin(0 t+]δ (t. iii [ punti] La funzione di trasferimento del sistema serie H s (s risulta il prodotto delle due funzioni di trasferimento e vale, pertanto, H s (s = H(sH(s = 5 (s +0 s +0 4.

6 Essa può essere vista nella forma ω 0 H s (s = ω 0 (s σ + ω0 = [ ] L e σt sin(ω 0 tδ (t, ω 0 dove σ e ω 0 sono la parte reale e il coefficiente dell immaginario (positivo senza perdita di generalità della coppia di poli complessi coniugati della H s (s. Poiché tali poli sono collocati in λ, = 0 ± ± j0. = σ ± jω0, ne consegue che la risposta impulsiva del sistema serie (antitrasformata di H(sH(s vale h s (t = 00 e 0 t/ sin(0 tδ (t. Esercizio. [6 punti] Per la proprietà di modulazione la trasformata di Fourier Y (f del segnale y (t è data da Y (f = M(f +f 0 δ (f +f 0 +M(fδ (f+m(f[ δ (f] + M(f f 0 [ δ (f f 0 ] = M(f +f 0 δ (f +f 0 +M(f+M(f f 0 [ δ (f f 0 ]. Inoltre, stante le ipotesi, i supporti dei tre termini di cui sopra sono disgiunti e solo quello di M(f cade in ( f L,f L. Ne consegue che ovvero v(t = m(t. V (f =M(f Teoria. [4 punti] Si veda il libro di testo, capitolo 5 pagine -5. 6