cioè s s s + 40K = K K K K > 0 (riga 1) K > 0 (riga 0)

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1 Soluzione a) Si applica il criterio di Routh all equazione caratteristica: + K s(s + )(s + ) cioè s + 2s 2 + s + K La tabella è Per la stabilità deve essere 2 2 K 4 K K 4 K > (riga ) K > (riga ) da cui si ha la relazione < K < Kmax 2 2. Il margine di ampiezza rappresenta il fattore di cui si può aumentare il guadagno prima di incorrere in instabilità e vale M A Kmax. () b) L errore a regime in risposta alla rampa r(t) t risulta dato da e r K v, dove K v : lim s sk G(s). In questo caso si ha K K v lim s (s + )(s + ) 2K, per cui e r /K v /(2K). Imponendo e r.2, si ottiene c) L equazione del luogo delle radici è + K K 26 (2) s(s + )(s + ). Si consideri dapprima il caso K >. Gli intervalli dell asse reale appartenenti al luogo sono (, ) e (, ). Il luogo è rappresentato in Fig.??. I poli ad anello aperto sono, e ; essendo il grado relativo n m pari a, il numero degli asintoti risulta pari a ; il punto di incontro degli asintoti è σ a ( )/ 7. Gli angoli che tali asintoti formano con l asse reale positivo si calcolano con la relazione essendo n m 2. Pertanto θ ν (2ν + )π, per ν,,2, n m θ π, θ π, θ 2 π. Il calcolo dei punti di emergenza prescinde dal segno di K. Si ha che i valori di s corrispondenti ai punti di emergenza si calcolano con la relazione d ds G(s) d ds s(s + )(s + ),

2 ovvero per le soluzioni dell equazione s s +, che sono date da s 2 ± ± 9.2 {.49. Solo il valore -.49 risulta compreso negli intervalli ammissibili dell asse reale, e risulta quindi il punto di emergenza per K >. Per K <, gli intervalli dell asse reale appartenenti al luogo sono (, ) e (, + ). il punto di incontro degli asintoti è σ a ( )/ 7. Gli angoli che tali asintoti formano con l asse reale positivo si calcolano come θ ν 2ν π, per ν,,2, n m essendo n m 2. Pertanto θ, θ 2 π, θ 2 4 π. Il punto di emergenza. determinato sopra risulta valido nel caso K < Fig. : Luoghi delle radici per K > e per K <. d) La forma con costanti di tempo della funzione di anello risulta 2 G(s) ( s( + s) + ). s Il guadagno letto dalla forma con costanti di tempo è K B 2. Essendo il tipo h della funzione di anello pari a uno, per il posizionamento verticale si ha dunque, scegliendo ω., sg(s) ᾱ lim K B 26.2 db s ω. Il diagramma asintotico delle ampiezze passa pertanto per il punto di coordinate ( ω, ᾱ), con pendenza pari a db/dec. In corrispondenza della pulsazione ω, relativa ad un polo semplice, si ha un calo di pendenza che porta il diagramma ad una pendenza complessiva di db/dec. In corrispondenza della pulsazione ω, relativa ad un polo semplice, si ha infine un calo di pendenza che porta il diagramma ad una pendenza complessiva di 6 db/dec. Per la presenza di un polo semplice nell origine, l argomento iniziale (per valori piccoli delle ω) risulta pari a π/2. Dal momento che la funzione d anello è caratterizzata da tre poli semplici stabili, l argomento vale π/2 per valori grandi delle pulsazioni. I diagrammi di Bode sono rappresentati in Fig.2 2

3 rad/sec rad/sec Fig. 2: Diagrammi di Bode. e) Attraverso semplici passaggi, la funzione di risposta armonica può scriversi come G(j ω) j ω (j ω + )(j ω + ) 8ω + (8 ω2 )j ω (ω 2 + )(ω 2 + ). La parte reale ed immaginaria di G(j ω) sono pertanto rispettivamente 8 R(ω) (ω 2 + )(ω 2 + ) Si notino pertanto o seguenti fatti: e I(ω) ω 2 8 ω (ω 2 + )(ω 2 + ). La parte reale R(ω) risulta non positiva per ogni ω. Il diagramma polare sarà presente solo nei quadranti 2 e del piano di Gauss. La parte immaginaria I(ω) si annulla per ω 2 8, ovvero per ω.

4 In corrispondenza di tale pulsazione si ha dunque l attraversamento del semiasse reale negativo. Il corrispondente valore della parte reale è pertanto R( 8 ) ( + )( + ) Fig. : Diagramma polare. Allo stesso risultato poteva giungersi notando che l ascissa in corrispondenza della quale I(ω) è proprio il margine di ampiezza calcolato al punto a). Inoltre, I(ω) risulta non negativa per ω. Comportamento per ω + : lim ω + G(j ω), lim ω + argg(j ω) π 2, lim ω + R(ω) 8 2., lim ω + I(ω) π 2. Il terzo limite evidenzia la presenza di un asintoto verticale, di ascissa 2.. Allo stesso risultato poteva giungersi scrivendo G(j ω) j ω( ω 2 + 2j ω + ) j ω ( + 2j ω). Si può pertanto applicare la formula (.) del libro, con b,k,b,a e a 2 2: Comportamento per ω + : σ a lim ω + G(j ω), lim ω + argg(j ω) 2 π, lim ω + R(ω), lim ω + I(ω) +. 4

5 f) In corrispondenza della pulsazione ω 2 rad/sec si ha Inoltre G(2j) argg(2j) π 2 arctan 4 arctan rad 9 φmax arccos M arccos G(2j).9 rad 6.4, pertanto il massimo margine di fase ottenibile risulta pari a M max F π + argg(2j) + φmax.47 rad In corrispondenza della pulsazione ω 2 rad/sec, il massimo margine di fase ottenibile con una rete anticipatrice risulta pari a Pertanto la correzione è possibile. La rete viene progettata con M / , ϕ 6 (8 9) rad e risulta definita dai parametri α.229, τ.679 sec () g) La condizione di realizzabilità fisica impone di scegliere una funzione di trasferimento campione con grado relativo non inferiore a quello del sistema controllato, perciò almeno uguale a tre. Tenendo conto del suggerimento di utilizzare un filtro di Butterworth e del fatto che conviene usare un filtro del minimo ordine possibile, si sceglie come funzione di trasferimento campione quella di un filtro di Butterworth di ordine tre, cioè G (s) ( s ) ( ) 2 ( s s ) + La banda del filtro si sceglie in base alla specifiche assegnate. Sui grafici si verifica che il filtro di Butterworth di ordine soddisfa la specifica sulla massima sovraelongazione, e si legge il tempo di ritardo normalizzato t 2., da cui 2./.. rad/sec. In definitiva si deduce 8 G (s) s + 2s s + 8 e il regolatore G c (s) G (s) G (s) 28.94(s + )(s + ) G(s) s 2 + 2s + 2. (4)