Legami s-t per sistemi del secondo ordine

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1 Legami s-t per sistemi del secondo ordine Sia dato il sistema del secondo ordine di funzione di trasferimento W(s) = k 1 + 2ζs + s2 2 i cui poli sono dati da s = α ± jω con α =-ζ, ω = 1 ζ 2. La risposta allo scalino unitario è, quindi, y(t) = k(1 e αt cos(ωt)) = k((1 e ζt cos( t 1 ζ 2 )) In Fig.1 sono riportati gli andamenti della funzione y( t)/k per diversi valori di ζ y( t)/k = 1 e ζt cos ( t 1 ζ 2 ) Fig.1 Andamenti della risposta allo scalino unitario per diversi valori del coefficiente di smorzamento, ascissa e ordinata normalizzate Per la risposta allo scalino è possibile definire i seguenti parametri: Tempo di salita, t s : tempo necessario affinché la risposta transiti dal 10% al 90% di k Sovraelongazione %, S% = y M k 100 k I suddetti parametri sono legati con quelli in s nel seguente modo: S% = 100e ζπ 1 ζ ζ2 t s = (π tan 1 ) 1 ζ2 ζ

2 e i corrispondenti andamenti sono rappresentati nelle figure 2 e 3. S% = 100e ζπ 1 ζ 2 Fig.2 Andamento della sovraelongazione percentuale della risposta allo scalino in funzione del fattore di smorzamento per sistemi del secondo ordine t s = 1 1 ζ2 (π tan 1 ) 1 ζ2 ζ Fig.3 Andamento del prodotto tra il tempo di salita della risposta allo scalino e la pulsazione naturale in funzione del fattore di smorzamento per sistemi del secondo ordine

3 Legami ω-t per sistemi del secondo ordine Si consideri la risposta armonica di un sistema del secondo ordine W(jω) = k 1 + 2jζω ω2 ω2 n Il diagramma di Bode di modulo e fase della funzione W (j ω ) /k per diversi valori di ζ è dato in Fig.4 Fig.4 Diagrammi di Bode di un sistema del secondo ordine Relativamente al primo diagramma di Bode è possibile definire il modulo alla risonanza, M R, come M R (db) = 20log ( W(jω) max ) W(j0) e la banda passante a 3 db, B 3, come la soluzione della equazione W(jB 3 ) W(jω 3 ) db = W(j0) db 3dB I suddetti parametri sono legati con quelli in s nel seguente modo: i cui andamenti sono dati nelle figure 5 e 6. 1 M R (db) = 20log ( 2ζ 1 ς 2) B 3 = 1 2ς ς 2 + 4ς 4 W(j0) = 2, che in db può scriversi 2

4 1 M R (db) = 20log ( 2ζ 1 ς 2) Fig.5 Andamento del modulo alla risonanza normalizzato in funzione del fattore di smorzamento per sistemi del secondo ordine B 3 = 1 2ς ς 2 + 4ς 4

5 Fig.5 Andamento del rapporto tra la banda passante a 3dB e la pulsazione naturale in funzione del fattore di smorzamento per sistemi del secondo ordine Legami tra parametri della funzione di anello e della funzione ad anello chiuso per sistemi del secondo ordine Si consideri un sistema a controreazione unitaria la cui funzione di trasferimento tra riferimento e uscita è data da W(jω) = L(jω) 1 + L(jω) Dove L(jω) è la funzione di anello. Sia ω c la pulsazione di attraversamento della funzione di anello, e m φ il corrispondente margine di fase. Il legame tra ω c e, per un sistema del secondo ordine, è dato da Mentre il legame tra m φ e ς è dato da ω c = 2ς 2 + 4ς m φ = π 2ς 2 + 4ς arctan 2ς ( ) I rispettivi andamenti sono dati rispettivamente nelle figure 6 e 7. ω c = 2ς 2 + 4ς 4 + 1

6 Fig.6 Andamento del rapporto tra la pulsazione di attraversamento della funzione di anello e la pulsazione naturale ad anello chiuso in funzione del fattore di smorzamento per sistemi del secondo ordine m φ = 90 π 2ς 2 + 4ς arctan 2ς ( ) Fig.7 Andamento del margine di fase della funzione di anello in funzione del fattore di smorzamento per sistemi del secondo ordine