3-1 RISPOSTA PERMANENTE NEI SISTEMI LINEARI. y f (t) A(s) =b nsn + + b 0. Classe di funzioni di ingresso. (s z i ) P (s) = (s p i )

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1 RISPOSTA PERMANENTE NEI SISTEMI LINEARI u(t) G(s) = B(s) A(s) =b nsn + + b s n + + a y f (t) Classe di funzioni di ingresso U(s) = Q(s) P (s) = l i= r i= (s z i ) (s p i ), l r Forma di Y f (s) (caso p i distinti e dai poli di G(s)) Y f (s) = G(s)U(s) = H(s) + n i= k i s p i Scomposizione risposta forzata: y f (t) = y G f (t) + yu f (t). Parte dipendente dai poli di G(s) ( transitorio : tende a zero se G(s) è stabile) y G f (t) = L {H(s)} Parte dipendente dai poli di U(s) ( regime permanente ) y U f (t) = L { n i= k i s p i } 3-

2 RISPOSTA PERMANENTE NEI SISTEMI LINEARI È di più semplice valutazione rispetto all intera risposta forzata. Fornisce indicazioni della risposta dopo il transitorio iniziale. Sono di pratico interesse i casi in cui l ingresso è una funzione limitata del tempo (e che non tende a zero):. Risposta permanente al Gradino: u(t) = U(t) U(s) = U s y U f (t) = UG()(t) 2. Risposta Armonica (o Risposta in Frequenza): u(t) = U sin ωt U(s) = y U f (t) = U G(jω) sin(ωt + Uω s 2 + ω 2 G(jω)) U sin ωt G(s) U G(jω) sin(ωt + G(jω)) 3-2

3 RISPOSTA ARMONICA Esempio - Sistema del I ordine: u(t) = sin ωt G(s) = s + ω=.5 ω= From: U() From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) ω= 5 ω= From: U() From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) 3-3

4 RISPOSTA ARMONICA Esempio - Sistema del II ordine: u(t) = sin ωt G(s) = s 2 +.5s + ω=.5 ω=.5 From: U() 2 From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) ω= 5 ω= From: U() From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) 3-4

5 RISPOSTA ARMONICA: DIAGRAMMI DI BODE Rappresentazione grafica della risposta in frequenza: Diagramma di Bode (Modulo): Ascisse: log (ω) Ordinate: G(jω) db. = 2 log G(jω) Diagramma di Bode (Fase): Ascisse: log (ω) Ordinate: G(jω). = arctan { Im[G(jω)] Re[G(jω)] } Bode Diagrams 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 3-5

6 RISPOSTA ARMONICA: DIAGRAMMI DI BODE È utile per G(s) la forma in costanti di tempo (o di Bode) G(jω) = K B( + τ jω) ( + τ mjω) (jω) h ( + τ jω) ( + τ n jω) Principali proprietà dei diagrammi di Bode. La scala in decibel trasforma prodotti in somme: G(jω) db = K B db + + τ jω db τ mjω db h ω db + τ jω db + τ n jω db La fase di prodotti è anch essa uguale alla somma delle fasi: G(jω) = K B + ( + τ jω) + + ( + τ m jω) h(π/2) ( + τ jω) ( + τ n jω) Inoltre: G(jω) db = G(jω) db G(jω) = G(jω) 3-6

7 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI Guadagno semplice: G(s) = K = G(jω) db = 2 log K, G(jω) = K = (π) Bode Diagrams K db Phase (deg); Magnitude (db) K< 9 45 K> 45 Frequency (rad/sec) Integratore: G(s) = s = G(jω) db = 2 log (ω), G(jω) = π/2 Bode Diagrams 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 3-7

8 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI Polo semplice: G(s) = + sτ G(jω) db = 2 log + ω 2 τ 2 G(jω) = arctan(ωτ) Bode Diagrams 5 5 Phase (deg); Magnitude (db) 5 2 ωτ 45 9 Frequency (rad/sec) 3-8

9 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI Poli complessi coniugati: G(s) = + 2ζ s ω n + s2 ω 2 n G(jω) db = 2 log [ ( ) ω 2 ] 2 [ ( ) ω 2 + 4ζ 2 G(jω) = arctan ω n ω n 2ζ ( ω ω n ) ( ω ω n ) 2 ] Bode Diagrams 2 ζ Phase (deg); Magnitude (db) ω/ω n ζ Frequency (rad/sec) 3-9

10 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI Elemento di ritardo: G(s) = e st, ( T > ) G(jω) db = G(jω) = ωt Bode Diagrams 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 3-

11 PARAMETRI CARATTERISTICI RISPOSTA ARMONICA B 3 : Banda a 3dB Pulsazione corrispondente ad una attenuazione di 3dB rispetto al modulo per ω = = G(jB 3 ) = G() / 2 M r : Picco di risonanza Picco del modulo della risposta in frequenza = M r = max G(jω) ω ω r : Pulsazione di risonanza Pulsazione corrispondente al picco del modulo della risposta in frequenza 3-

12 PARAMETRI CARATTERISTICI SISTEMI ELEMENTARI Sistemi del I ordine: Banda a 3dB Sistemi del II ordine: Banda a 3dB B 3 = / τ Picco di risonanza B 3 = ω n 2ζ ζ 2 + 4ζ 4 M r = 2ζ ζ 2 Pulsazione di risonanza ω r = ω n 2ζ 2 3-2

13 RELAZIONI PARAMETRI SISTEMI II ORDINE B 3 in funzione di ζ: B 3 = ω n 2ζ ζ 2 + 4ζ B 3 /ω n ζ M r in funzione di ζ: M r = 2ζ ζ Mr ζ 3-3

14 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE G(s) = 8(s 2 + s + 5) s 3 + 9s 2 + 5s + 2, G(s) = e st + s s( + s)( +.s) 2 Forma di Bode G(s) = + 2ζ z s ω nz + s2 ω 2 nz ( + sτ p )( + 2ζ p s ω np + s2 ) ωnp 2 ω nz 3.873; ζ z.29; τ p.3; ω np 3.685; ζ p.22 2 Gain db Frequency (rad/sec) 3 Phase deg Frequency (rad/sec) 3-4

15 DIAGRAMMI POLARI O DI NYQUIST DI G(jω) Il diagramma polare è la curva nel piano di complesso descritta da G(jω) al variare della pulsazione ω in [, ]. Diagramma di Nyquist: Ascisse: Re[G(jω)] Ordinate: Im[G(jω)] Nyquist Diagrams.5.5 Imaginary Axis Real Axis 3-5

16 DIAGRAMMI DI NYQUIST DI SISTEMI ELEMENTARI Guadagno semplice: G(s) = K = Re[G(jω)] = K, Im[G(jω)] =.5.5 K Integratore: G(s) = s = Re[G(jω)] =, Im[G(jω)] = ω Nyquist Diagrams Imaginary Axis Real Axis 3-6

17 DIAGRAMMI DI NYQUIST DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema del I ordine: G(s) = + sτ, (τ > ) = Re[G(jω)] =, Im[G(jω)] = ωτ + ω 2 τ 2 + ω 2 τ 2 Nyquist Diagrams Imaginary Axis Real Axis 3-7

18 DIAGRAMMI DI NYQUIST DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema del II ordine: G(s) = = Re[G(jω)] = + 2ζ s ω n + s2 ω 2 n, (ω n >, ζ < ) ( ) ω 2 ω [ ( n ) ω 2 ] 2 (, Im[G(jω)] = ) ω n + 4ζ 2 ω 2 ω n 2ζ ( ω ω n ) [ ( ω ω n ) 2 ] 2 + 4ζ 2 ( ω ω n ) 2 Nyquist Diagrams.5 Imaginary Axis.5.5 ζ Real Axis 3-8

19 DIAGRAMMI DI NYQUIST DI SISTEMI ELEMENTARI Elemento di ritardo: G(s) = e st, ( T > ) = Re[G(jω)] = + cos ωt, Im[G(jω)] = sin ωt Nyquist Diagrams.5.5 Imaginary Axis Real Axis 3-9

20 SINGOLARITÀ DEI DIAGRAMMI DI NYQUIST G(s) = s hg (s) Un polo in zero (h = ) asintoto verticale. G(s) = G o s + G + G 2 s + G 3 s G o. = G (); G. = d ds G (s) s= ; G 2 d 2. = (s) 2! ds 2G s= ; Un polo doppio in zero (h = 2) genericamente asintoto parabolico. G(s) = G o s 2 + G s + G 2 + G 3 s... Esempi. G(s) = s(s + ) G(s) = s 2 (s + ) 3-2

21 SINGOLARITÀ DEI DIAGRAMMI DI NYQUIST Un polo per s = jˆω asintoto obliquo. G(s) = s 2 + ˆω 2G (s) G(s) = s 2 + ˆω 2G (s) = s jˆω G (s) G(s) = G o s jˆω + G + G 2 (s jˆω) +... Esempio. G o. = G (jˆω); G. = d ds G (s) s=jˆω ; G 2 d 2. = (s) 2! ds 2G s=jˆω G(s) = ( + s)( + s 2 ) 3-2