Modellazione e controllo Ca1 (a,b,c) Ca2 (d,e,f,g) Mec(a,c,d,e,g)

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1 Modellazione e controllo Ca1 (a,b,c) Ca (d,e,f,g) Mec(a,c,d,e,g) 13 Luglio 011 a) Una corpo di massa M e soggetto a una forza di richiamo elastica F el = K(x)x, una forza di attrito F att = hẋ e una forza motrice F mot = u(t). L uscita del sistema e E = 1 K(x)x + 1 Mẋ. a.1) Si ricavi una rappresentazione in forma di stato del sistema; Indicata con x(t) la posizione del corpo si ha Mẍ = ΣF applicate = K(x)x hẋ + u. Ponendo x 1 = x e x = ẋ si ottiene la forma di stato ẋ = f(x, u) e y = g(x, u) seguente: ẋ 1 = x ẋ = K(x 1) x M 1 h x M + 1 u M y = 1K(x 1)x Mx a.) Per M = 1, h = 1 e K(x) = 1, si valutino tutti gli stati di equilibrio 1+ x corrispondenti all ingresso costante ū; Ponendo ẋ = 0 si ricava x = 0 e che ha per soluzione x 1 = x x 1 + ū = 0 ū per ū [0 1] 1 ū x 1 = ū 1+ū per ū [ 1 0] nessuna soluzione per ū > 1 a.3) Posto ū = 1, si valuti la stabilita del corrispondente punto di equilibrio; Per M = 1 e h = 1 il punto di equilibrio corrispondente a tale ingresso e x 1 = 1, 1

2 x = 0. La matrice A del sistema linearizzato e A = f 1 f 1 x 1 x f f x 1 x x= x, u=ū = i cui autovalori sono entrambi a parte reale negativa e dunque il punto di equilibrio e localmente asintoticamente stabile. a.4) Si valuti la risposta di regime permanente all ingresso u(t) = sin(t) utilizzando il sistema linearizzato in un opportuno punto di equilibrio. Il sistema linearizzato permette di approssimare il comportamento del sistema nonlineare in prossimita del punto di equilibrio e, detti δx = x x, δu = u ū e δy = ȳ y (ȳ = 1 ), descrive la dinamica di δẋ, δy per l ingresso δu. 4 Il punto di equilibrio da considerare e quello calcolato al punto precedente, restano da calcolare le matrici B, C e D che risultano, rispettivamente: B = 0 1 C = [ g x 1 g x ]x= x, u=ū = [ 3 8 ] 0 D = 0 e La funzione di trasferimento (asintoticamente stabile) da δu = sin(t) a δy e dunque b) Per il sistema dinamico W (s) = 3 8 s y = ȳ + δy = W (j1) sin(t + W (j1)) ẋ = y = [ ] 1 1 x x u

3 b.1) Si calcoli la matrice esponenziale e At = e t e t e 3t 0 e 3t b.) Si calcoli la risposta impulsiva w(t) w(t) = e t b.3) Si calcoli la riposta del sistema all ingresso u(t) = δ 1 (t) Per t 0 y = 1 e t c) Di un sistema dinamico e nota la risposta y(t) quando u(t) = δ 1 (t τ). Sulla base delle suddette informazioni si risponda, giustificando, alle seguenti domande 1 c.1) E sempre possibile ricavare la risposta del sistema all ingresso u(t) = δ 1 (t τ); NO, perche se il sistema e nonlineare non posso applicare la sovrapposizione degli effetti. c.) E possibile ricavare la risposta del sistema all ingresso u(t) = δ 1 (t τ) se il sistema dinamico e tempo-invariante; SI, perche se tempo invariante, una traslazione temporale dell ingresso produce un identica traslazione temporale dell uscita. c.3) E possibile ricavare la risposta del sistema all ingresso u(t) = δ 1 (t) se il sistema e lineare e tempo invariante; SI, perche se tempo invariante e lineare posso sia traslare il segnale temporalmente che applicare la sovrapposizione degli effetti. c.4) E possibile ricavare la risposta del sistema all ingresso u(t) = δ 1 (t τ) se il sistema e lineare. NO, perche se il sistema e tempo variante una traslazione del tempo in generale 1 Risposta corretta=1, errata=-1, nessuna risposta=0 3

4 non si traduce in una traslazione dell uscita. F el F mot K(x) M x F att d) Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento G(s) = (s + 10)(s + 0.1) d.1) Si valutino approssimativamente le principali caratteristiche della risposta del sistema a uno scalino unitario e in particolare, si determinino il valore di regime y dell uscita, il tempo di assestamento T a1 all 1% e la sovraelongazione massima. y = lim s 0 G(s) = Dal momento che il sistema e privo di zeri e ha poli reali stabili la risposta e monoticamente crescente e T a1 si determina risolvendo l equazione y(t a1 ) = 0.99y. Dal momento che i due poli sono abbastanza distanti tra loro, per valutare T a1 e possibile considerare il sistema come un sistema del primo ordine con un polo nel polo piu lento del sistema e la cui risposta al gradino e ( ) t y(t) = y 1 e T Risolvendo in T a1 deve essere T a1 T = log 0.01 T a1 = T log 0, 01 = 4, 6T 4

5 d.) Si dia l espressione della risposta di regime permanente y rp (t) del sistema all ingresso u(t) = δ 1 (t 5) + sin(100t + π 4 ). L ingresso e somma di una componente continua (seppur ritardata) e di una sinusoide. Il sistema e lineare e tempo invariante, dunque vale la sovrapposizione degli effetti e la risposta di regime permanente si ricava dalla risposta in frequenza, ovvero y rp (t) = G(j0) + G(j100) sin(100t + π 4 + G(j100)) e) Per la funzione di trasferimento G(s) = s+1 0.1s +s, e.1) Si tracci il diagramma di Bode. e.) Si tracci, qualitativamente, il diagramma di Nyquist. e.3) Si tracci il luogo descritto dalle radici dell equazione 1+KG(s) = 0 al variare di K > 0. f) Sia dato il sistema dinamico serie G(s) = G 1 (s)g (s), dove G 1 (s) = s 1 s + 1 e G (s) = s + 3 s 1. Si calcoli una rappresentazione di stato per ciascuno di essi e, a partire da queste, una rappresentazione di stato del sistema serie. Si determini una condizione iniziale del sistema serie G(s) a partire dalla quale l uscita del sistema diverge quando u(t) = δ 1 (t). A 1 = 1 B 1 = 1 C 1 = D 1 = 1 A = 1 B = 1 C = 4 D = 1 5

6 Bode Diagram 50 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figure 1: e.1) Diagramma di Bode Una possibile realizzazione del sistema serie è la seguente A s = 1 0 1, B s = 1, C s = [ 4 1 ], Ds = 1 Il sistema risultante ha un polo in 1 ed e sufficiente prendere una condizione iniziale x(0) = [ x 1 (0) x (0) ] T con seconda componente non nulla per avere un uscita divergente. g) Il candidato progetti un circuito RLC e individui ingresso e uscita in tensione dello stesso di modo che quando l ingresso è la tensione u(t) = V + V a sin(π50 t) l uscita di regime permanente sia pari a y rp (t) = V a sin((π50 t + φ), con angolo φ 6

7 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Figure : e.) Diagramma di Nyquist arbitrario. Basta considerare un sistema in cui l ingresso alimenta una serie RLC e l uscita viene prelevata sulla resistenza La corrente che scorre nella serie RLC è pari a I(s) = e la tensione di uscita 1 R + sl + 1 V (s) = sc V out (s) = RI(s) = sc s LC + src + 1 V (s) src s LC + src + 1 V (s) La funzione di trasferimento presenta uno zero nell origine che blocca la componente continua. Per quanto riguarda la componente sinusoidale, per ω = 1 LC il modulo 7

8 Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figure 3: e.3) Radici di 1 + KG(s) della risposta in frequenza è unitario, dunque è sufficiente scegliere L e C di modo che ω coincida con la pulsazione di ingresso π50. 8