FONDAMENTI DI AUTOMATICA (Ingegneria Biomedica) Appello del 16 febbraio 2010: testo e soluzione. y = x 1

Transcript

1 FONDAMENTI DI AUTOMATICA (Ingegneria Biomedica) Appello del 16 febbraio 21: testo e soluzione Prof. Maria Prandini 1. Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 = x x 1 ẋ 2 = 2x 2 + 2u y = x Determinare l espressione analitica del movimento dello stato e dell uscita associati all ingresso costante u(t) = 1, t, e alla condizione iniziale x 1 () = 1+ɛ e x 2 () = 1, dove ɛ è un parametro reale. La soluzione dell equazione differenziale lineare ẋ 2 = 2x 2 + 2u associata a u(t) = 1, t, e x 2 () = 1, è x 2 (t) = 1, t. Sostituiamo questa esperessione nella prima equazione di stato e otteniamo: ẋ 1 = x la cui soluzione associata a x 1 () = 1 + ɛ è x 1 (t) = ɛe t 1, t. Il movimento dell uscita è y(t) = ɛe t 1, t. 1.2 Determinare lo stato di equilibrio ( x 1, x 2 ) associato all ingresso costante u(t) = 1, t. x 1 = 1, x 2 = Valutare le proprietà di stabilità dell equilibrio calcolato al punto 1.2. L equilibrio è instabile perche il movimento perturbato associato all ingresso costante u(t) = 1, t, e alla condizione iniziale x 1 () = 1 + ɛ e x 2 () = 1, determinato al punto 1.1 è dato da x 1 (t) = ɛe t 1 x 2 (t) = 1 e quindi la differenza tra movimento pertirbato e movimento di equilibrio: x 1 (t) = x 1 (t) x 1 = ɛe t x 2 (t) = x 2 (t) x 2 = diverge (lim t + x1 (t) 2 + x 2 (t) 2 = lim t + ɛ e t = + ).

2 2. Si consideri il sistema con ingresso u ed uscita y in figura, ottenuto mediante interconnessione di tre sistemi lineari del 1 o ordine con funzione di trasferimento G 1 (s), G 2 (s), e G 3 (s). 2.1 Determinare l espressione della funzione di trasferimento H(s) del sistema con ingresso u ed uscita y in funzione di G 1 (s), G 2 (s), e G 3 (s). 2.2 Posto G 1 (s) = s+5 s+2, G 2(s) = 1 s+1, G 3(s) = 2 3(s + 5) (a) verificare che H(s) = (s + 2)(s + 3) ; H(s) = G 1 (s) G 2(s) + G 3 (s) 1 + G 3 (s) s+1 nell espressione calcolata al punto precedente: (b) verificare che il sistema con ingresso u ed uscita y è asintoticamente stabile. H(s) = s + 5 s s s+1 = s s + 2 s + 3 = 3(s + 5) (s + 2)(s + 3) Il sistema con ingresso u ed uscita y ha 3 autovalori. Due autovalori sono dati dai poli -2 e -3 di H(s). Il terzo autovalore è dato dal polo -1 di G 2 (s) perchè il sistema con funzione di trasferimento G 2 (s) non è retroazionato ed i suoi autovalori sono quindi autovalori del sistema con ingresso u ed uscita y. Segue che il sistema con ingresso u ed uscita y è asintoticamente stabile per il criterio degli autovalori. 2.3 Il sistema asintoticamente stabile con funzione di trasferimento H(s) = 3(s+5) (s+2)(s+3) viene retroazionato come in figura, dove k è un parametro reale positivo. Dire, motivando la risposta, se esiste un valore di k > 1 tale per cui il sistema retroazionato è instabile. Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per ogni k > 1. Il sistema con funzione di trasferimento kh(s) soddisfa le ipotesi di applicabilità del criterio di Bode per k > 1 ed ilsuo guadagno e margine di fase sono positivi per ogni k > 1. Il guadagno kh() = k5/2 è positivo per k > 1. Il margine di fase φ m = 18 (kh(iω c )) = 18 (H(iω c )) con ω c pulsazione critica è sicuramente positivo perchè (H(iω)) < 18, ω >, avendo H(s) 2 poli e uno zero reali negativi.

3 3. Si consideri il sistema in figura dove G(s) = 3 2 s + 2 (s +.1)(s + 3) è la funzione di trasferimento di un sistema asintoticamente stabile. 3.1 Tracciare i diagrammi di Bode di modulo e fase asintotici ed esatti della risposta in frequenza associata a G(s). 1 Diagramma di Bode Modulo db Diagramma di Bode Fase gradi

4 3.2 Dire, giustificando la risposta, quale dei seguenti diagrammi rappresenta il diagramma polare di G(s) (a) (b) (c) Si tratta del diagramma (c) perchè è l unico in cui la fase di G(iω) rimane confinata tra e Tracciare l andamento qualitativo della risposta forzata del sistema quando u(t) = sca(t) e d(t) =, t Time (Seconds)

5 3.4 Determinare l espressione analitica della risposta di regime y (t) del sistema quando u(t) = sca(t) + sen(.1t) + 3sen(1t) e d(t) =.1sen(t). Per il calcolo della risposta di regime, consideriamo separatamente il contributo di u 1 (t) = sca(t), u 2 (t) = sen(.1t), e u 3 (t) = 3sen(1t) e d(t) =.1sen(t) alla risposta di regime y (t). Il primo contributo si calcola applicando il teorema del valore finale: y 1, = lim s sg(s) 1 s = G() = 1 Per quanto riguarda i successivi due contributi, sono dati dal teorema della risposta in frequenza 2 y 2, (t) = G(.1i) sen(t + G(.1i)) sen(.1t π/4) 2 y 3, (t) = 3 G(1i) sen(1t + G(1i)) sen(1t π/2) Il contributo di d(t) =.1sen(t) è invece y d, (t) =.1sen(t) perchè la funzione di trasferimento tra d a y è H(s) = 1. Si ha quindi che y (t) sen(.1t π/4) sen(1t π/2) +.1sen(t) 3.5 Il sistema viene retroazionato secondo lo schema in figura. Determinare i valori dei parametri k e T della funzione di trasferimento R(s) = k 1 + st s del controllore in modo tale che y(t) tenda ad A in circa.5 unità di tempo senza oscillazioni ripetute, quando y (t) = Asca(t) e d(t) =, t. Scegliendo k = 1 e T = 1 si sodddisfano i requisiti perchè si ottiene ω c = 1 e φ m > Con riferimento alla classe dei sistemi lineari a tempo discreto: 4.1 Enunciare il criterio degli autovalori. Si veda la dispensa del corso. 4.2 Scrivere le equazioni di un sistema del secondo ordine asintoticamente stabile. x 1 (t + 1) =.5x 1 (t) + u(t) x 2 (t + 1) = 2x 1 (t).1x 2 (t) y(t) = x 2 (t)

6 La matrice dinamica del sistema è A = [ ] ed ha autovalori λ 1 =.5 e λ 2 =.1, entrambi in modulo minori di 1.