Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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1 Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 18 febbraio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 10), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Dato un sistema in retroazione negativa con funzione d anello L(s) priva di poli a parte reale positiva e il cui diagramma di Bode delle ampiezze attraversa in un solo punto l asse 0dB, il criterio di Bode afferma che: condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di fase di L(s) sia negativo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di ampiezza di L(s) sia positivo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di fase di L(s) sia positivo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di ampiezza di L(s) sia negativo 2. In un sistema in retroazione unitaria negativa le variazioni parametriche dell impianto G G sistema retroazionato F F sono legate mediante: la funzione di sensitività 1 1+R(s)G(s) la funzione di sensitività complementare R(s)G(s) 1+R(s)G(s) la funzione d anello del sistema retroazionato R(s)G(s) il guadagno statico del regolatore R(0) e quelle del 3. Per limitare l azione di controllo in un sistema di controllo in retroazione si possono assumere i seguenti accorgimenti: non aumentare eccessivamente la pulsazione di incrocio della funzione d anello rispetto a quella del sistema in catena aperta aumentare il margine di fase il più possibile preferire regolatori di tipo passa-basso non introdurre poli nell origine con il regolatore 4. In un sistema in retroazione unitaria, per avere errore a regime nullo a fronte di un riferimento sinusoidale sin( ωt) è necessario che: la funzione d anello abbia un polo reale singolo in ω la funzione d anello abbia un polo reale doppio in ω la funzione di sensitività complementare abbia modulo nullo alla pulsazione ω ( F(j ω) = 0) la funzione di sensitività abbia modulo nullo alla pulsazione ω ( S(j ω) = 0) 5. La progettazione per cancellazione di reti correttrici: è particolarmente utile per cancellare poli dell impianto instabili non può essere effettuata se l impianto ha zeri a parte reale positiva permette di evitare l insorgere di code di assestamento permette di imporre esattamente sia il margine di fase che la pulsazione di incrocio desiderati della funzione di anello L(s)

2 6. Il tuning in anello chiuso di un regolatore PID per un impianto G(s) si basa: su una stima del margine di ampiezza M a e della pulsazione critica ω f (arg{g(jω f )} = π) di G(s) su una stima del margine di fase M f e della pulsazione di incrocio ω c di G(s) su una stima del tempo di ritardo T, della costante di tempo τ e del guadagno µ di G(s) è sempre realizzabile, a prescindere dalle caratteristiche dell impianto 7. La compensazione del disturbo misurabile: può essere fatta solo se l impianto controllato ha grado relativo nullo può essere fatta solo se l impianto controllato non presenta zeri a parte reale positiva nel caso in cui la funzione di trasferimento dell impianto non presenti zeri è data da una semplice combinazione lineare del disturbo e delle sue derivate può essere realizzata solo se i disturbi misurabili sono di tipo sinusoidale 8. La funzione di trasferimento tempo-discreta dell impianto G d (z): può essere ottenuta dalla corrispondente funzione tempo-continua G(s) mediante la sostituzione s = 2 1 z 1 T 1+z 1 approssima l uscita della corrispondente funzione tempo-continua con ricostruttore di ordine zero nell ingresso alle pulsazioni inferiori a quella di Nyquist fornisce esattamente i valori dell uscita (campionati) della corrispondente funzione tempo-continua con ricostruttore di ordine zero nell ingresso quando sia applicata la stessa sequenza di campioni del controllo 9. L impiego di un filtro anti-aliasing: ha l effetto benefico di ridurre la banda del sistema e quindi l azione di controllo non dovrebbe modificare la funzione di anello del sistema inizialmente progettata, soprattutto nell intorno della pulsazione di incrocio. serve per ridurre disturbi di misura ad alta frequenza sovrapposti al segnale campionato serve quando la pulsazione di Nyquist è maggiore della massima pulsazione di tutti i segnali in gioco 10. Una traiettoria spline cubica che interpola un insieme di n punti q k : garantisce la continuità di velocità e accelerazione permette di imporre il valore di velocità desiderato in ciascun dei punti q k è la traiettoria interpolante a curvatura minima

3 Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 18 febbraio Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (10 su 20), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Illustrare la struttura e il funzionamento della compensazione del disturbo misurabile di tipo d negli schemi di controllo in retroazione. 2. Dato l impianto di figura con: G 1 (s) = G 2 (s) = 550 (s+50)(s+9) 2 (s+5)(s+0.6) u(t) G 1 (s) d(t) v(t) G 2 (s) y(t) n(t) a) Progettare inizialmente l anello di controllo esterno, con un regolatore R 2 (s) di complessità minima, che consenta il soddisfacimento delle seguenti specifiche e che renda minima l azione di controllo SPECIFICHE STATICHE: 1) errore a regime nullo per ingresso di riferimento a gradino. SPECIFICHE DINAMICHE: 2) massimo sorpasso percentuale S% 5%. 3) tempo di assestamento T a 2.15 s; b) Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze asintotico di L 2 (s) = R 2 (s)g 2 (s). c) Progettare il regolatore dell anello interno R 1 (s) (anch esso di minima complessità), che consenta di verificare le seguenti specifiche e che come il precedente garantisca un azione di controllo la più piccola possibile. SPECIFICHE STATICHE: 1) errore a regime per ingresso di riferimento a gradino non superiore al 5%; 2) attenuazione di 100 volte di un disturbo d(t) nel range [0.01, 0.1] rad/s. SPECIFICHE DINAMICHE: 3) margine di fase di almeno 55 o. d) Disegnare il diagramma di Bode delle ampiezze asintotico di L 1 (s) = R 1 (s)g 1 (s) e sovrapposto a questo tracciare il diagramma delle ampiezze della funzione di sensitività complementare F 1 (s). Quindi riportare il diagramma delle ampiezze di F 1 (s) nel grafico relativo a L 2 (jω) svolto al punto b) e commentare la fattibilità dello schema di regolazione in cascata. e) Dopo aver scelto il tempo di campionamento più idoneo discretizzare i regolatori R 1 (s) e R 2 (s) con il metodo delle differenze all indietro. f) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai regolatori R 1 (z) = U 1(z) E 1 (z) e R 2(z) = U 2(z) E 2 (z) discretizzati al punto precedente. g) Volendo inseguire un riferimento y sp (t) il cui spettro è confinato nella banda [0, 4] rad/s, progettare un opportuno compensatore in avanti del riferimento, giustificando le proprie scelte.

4 100 Diagrammi di Bode delle ampiezze di L 2 (s) e di F 1 (s) Modulo M [db] Diagrammi di Bode delle ampiezze di L 1 (s) e di F 1 (s) Modulo M [db]

5 Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 18 febbraio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 10), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Dato un sistema in retroazione negativa con funzione d anello L(s) priva di poli a parte reale positiva e il cui diagramma di Bode delle ampiezze attraversa in un solo punto l asse 0dB, il criterio di Bode afferma che: condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di fase di L(s) sia negativo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di ampiezza di L(s) sia positivo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di fase di L(s) sia positivo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di ampiezza di L(s) sia negativo 2. In un sistema in retroazione unitaria negativa le variazioni parametriche dell impianto G G sistema retroazionato F F sono legate mediante: la funzione di sensitività 1 1+R(s)G(s) la funzione di sensitività complementare R(s)G(s) 1+R(s)G(s) la funzione d anello del sistema retroazionato R(s)G(s) il guadagno statico del regolatore R(0) e quelle del 3. Per limitare l azione di controllo in un sistema di controllo in retroazione si possono assumere i seguenti accorgimenti: non aumentare eccessivamente la pulsazione di incrocio della funzione d anello rispetto a quella del sistema in catena aperta aumentare il margine di fase il più possibile preferire regolatori di tipo passa-basso non introdurre poli nell origine con il regolatore 4. In un sistema in retroazione unitaria, per avere errore a regime nullo a fronte di un riferimento sinusoidale sin( ωt) è necessario che: la funzione d anello abbia un polo reale singolo in ω la funzione d anello abbia un polo reale doppio in ω la funzione di sensitività complementare abbia modulo nullo alla pulsazione ω ( F(j ω) = 0) la funzione di sensitività abbia modulo nullo alla pulsazione ω ( S(j ω) = 0) 5. La progettazione per cancellazione di reti correttrici: è particolarmente utile per cancellare poli dell impianto instabili non può essere effettuata se l impianto ha zeri a parte reale positiva permette di evitare l insorgere di code di assestamento permette di imporre esattamente sia il margine di fase che la pulsazione di incrocio desiderati della funzione di anello L(s)

6 6. Il tuning in anello chiuso di un regolatore PID per un impianto G(s) si basa: su una stima del margine di ampiezza Ma e della pulsazione critica ω f (arg{g(jω f )} = π) di G(s) su una stima del margine di fase M f e della pulsazione di incrocio ω c di G(s) su una stima del tempo di ritardo T, della costante di tempo τ e del guadagno µ di G(s) è sempre realizzabile, a prescindere dalle caratteristiche dell impianto 7. La compensazione del disturbo misurabile: può essere fatta solo se l impianto controllato ha grado relativo nullo può essere fatta solo se l impianto controllato non presenta zeri a parte reale positiva nel caso in cui la funzione di trasferimento dell impianto non presenti zeri è data da una semplice combinazione lineare del disturbo e delle sue derivate può essere realizzata solo se i disturbi misurabili sono di tipo sinusoidale 8. La funzione di trasferimento tempo-discreta dell impianto G d (z): può essere ottenuta dalla corrispondente funzione tempo-continua G(s) mediante la sostituzione s = 2 1 z 1 T 1+z 1 approssima l uscita della corrispondente funzione tempo-continua con ricostruttore di ordine zero nell ingresso alle pulsazioni inferiori a quella di Nyquist fornisce esattamente i valori dell uscita (campionati) della corrispondente funzione tempo-continua con ricostruttore di ordine zero nell ingresso quando sia applicata la stessa sequenza di campioni del controllo 9. L impiego di un filtro anti-aliasing: ha l effetto benefico di ridurre la banda del sistema e quindi l azione di controllo non dovrebbe modificare la funzione di anello del sistema inizialmente progettata, soprattutto nell intorno della pulsazione di incrocio. serve per ridurre disturbi di misura ad alta frequenza sovrapposti al segnale campionato serve quando la pulsazione di Nyquist è maggiore della massima pulsazione di tutti i segnali in gioco 10. Una traiettoria spline cubica che interpola un insieme di n punti q k : garantisce la continuità di velocità e accelerazione permette di imporre il valore di velocità desiderato in ciascun dei punti q k è la traiettoria interpolante a curvatura minima

7 Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 18 febbraio Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (10 su 20), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Illustrare la struttura e il funzionamento della compensazione del disturbo misurabile di tipo d negli schemi di controllo in retroazione. 2. Dato l impianto di figura con: G 1 (s) = G 2 (s) = 550 (s+50)(s+9) 2 (s+5)(s+0.6) u(t) G 1 (s) d(t) v(t) G 2 (s) y(t) n(t) a) Progettare inizialmente l anello di controllo esterno, con un regolatore R 2 (s) di complessità minima, che consenta il soddisfacimento delle seguenti specifiche e che renda minima l azione di controllo SPECIFICHE STATICHE: 1) errore a regime nullo per ingresso di riferimento a gradino. SPECIFICHE DINAMICHE: 2) massimo sorpasso percentuale S% 5%. 3) tempo di assestamento T a 2.15 s; Al fine di verificare le specifiche, il regolatore R 2 (s) dovrà avere un polo nell origine; si ipotizza quindi l impiego di un regolatore PI, R 2 (s) = µ τzs+1 s, che tra quelli con un polo nell origine è il più semplice. Per progettare il regolatore, è necessario preliminarmente tradurre le specifiche in vincoli frequenziali: errore a regime nullo polo nell origine(specifica già considerata con la scelta del tipo di regolatore); S% 5% δ 0.7 M f 70 o Mf 70o. 3 T a % 2.15s ω c = ω c = 2( per minimizzare l azione di controllo si dovrebbe assumere il valore più piccolo possibile della pulsazione di incrocio ma per semplicità di calcolo si arrotonda a 2); Per soddisfare tutte le specifiche occorre imporre al sistema esteso G e (s) = G 2(s) s == 2 s(s+5)(s+0.6) il margine di fase Mf = 70o e la pulsazione di incrocio ωc = 2 rad/s scegliendo opportunamente lo zero e il guadagno del regolatore PI. Dopo aver calcolato G e (j2) = e arg{g e (j2)} = o si evince ϕ = o da cui τ z = tanϕ ω = e 1 µ = = G e (j2) 1+(τ z ωc )2 L espressione del regolatore PI in grado di soddisfare tutte le specifiche risulta pertanto R 2 (s) = s+1. s

8 b) Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze asintotico di L 2 (s) = R 2 (s)g 2 (s). Vedere diagramma in fondo. c) Progettare il regolatore dell anello interno R 1 (s) (anch esso di minima complessità), che consenta di verificare le seguenti specifiche e che come il precedente garantisca un azione di controllo la più piccola possibile. SPECIFICHE STATICHE: 1) errore a regime per ingresso di riferimento a gradino non superiore al 5%; 2) attenuazione di 100 volte di un disturbo d(t) nel range [0.01, 0.1] rad/s. SPECIFICHE DINAMICHE: 3) margine di fase di almeno 55 o. Per verificare le specifiche specifiche, in particolare quella relativa all ingresso di riferimento per il quale è richiesto errore a regime finito, è sufficiente un semplice regolatore statico proporzionale R s,1 (s) = µ, dove il guadagno µ è determinato imponendo la condizione statica sull ingresso a gradino e la condizione sul disturbo e 0.05 (1) S(jω) alla pulsazione ω dmax = 0.1. (2) Dalla (1) si ottiene e = lim se(s) = lim s 0 s 0 s R s,1 (s)g 1 (s) s = 1 1+µ 1 G 1 (0) 0.05 da cui, essendo G 1 (0) = , µ Dalla (2), considerando l espressione approssimata di S(jω) per basse frequenze risulta S 1 (jω d ) con L 1 (s) = µg 1 (s). Svolgendo i calcoli risulta 1 L 1 (jω d ) L 1(jω d ) 100 µ 2 G 1 (j0.1) 100 µ = Per soddisfare entrambe le specifiche si assume un valore µ max{µ 1,µ 2 } pari a 82. Le specifiche dinamiche consistono nell imporre una pulsazione di incrocio ω c = 20 rad/s (si tratta della minima pulsazione di incrocio, che quindi garantisce una azione di controllo la più limitata possibile, compatibile con la necessità di garantire il disaccoppiamento frequenziale tra anello interno e quello esterno e pertanto una decade al di sopra della pulsazione di incrocio imposta dal regolatore R 2 (s)). Per il soddisfacimento delle specifiche dinamiche occorre preliminarmente capire quale tipo di regolatore occorra, calcolando modulo e fase del sistema esteso G e (s) = µg 1 (s) = (s+50)(s+9) alla pulsazione di incrocio ω c = 20 rad/s: G e (j20) = , arg{g e (j20)} = o. Pertanto è richiesta una rete ritardatrice, che si tenta di progettare in cancellazione. Si procede alla cancellazione del polo che precede immediatamente ωc, ovvero il polo in 9, con uno zero del regolatore che pertanto avrà la forma R d,1 (s) = s 1+τ p s

9 dove τ p rimane il solo parametro da determinare. Il valore di τ p è scelto imponendo che la pulsazione di incrocio della funzione di anello sia propio ω c, ovvero da cui si ottiene jω c 1+τ p jω c G e(jω c) = 1 τ p = 1 (Mz ωc G e (jωc ) )2 1 = essendo M z = 1+(0.1111ωc )2 = e G e (jωc ) già calcolato e pari a Il regolatore dinamico risulta pertanto R d,1 (s) = s s+1. Come già preventivato si tratta di una rete ritardatrice. Il regolatore complessivo risulta R 1 (s) = s s+1 ma occorre verificare che il margine di fase ottenuto sia compatibile con le specifiche: M f =180 o +arg{ge(j20)}+arg{r 1 (j20)} 180 o o o = o > 55 o La verifica è pertanto superata e il regolatore soddisfa tutte le specifiche richieste. Nel caso il regolatore dinamico fosse stato realizzato senza cancellazione, ma semplicemente imponendo le specifiche ω c = 20rad/s e M f = 55 o, mediante le formule di inversione si sarebbe ottenuto R d,1 (s) = s s. d) Disegnare il diagramma di Bode delle ampiezze asintotico di L 1 (s) = R 1 (s)g 1 (s) e sovrapposto a questo tracciare il diagramma delle ampiezze della funzione di sensitività complementare F 1 (s). Quindi riportare il diagramma delle ampiezze di F 1 (s) nel grafico relativo a L 2 (jω) svolto al punto b) e commentare la fattibilità dello schema di regolazione in cascata. Vedere diagramma in fondo. Dal diagramma di Bode si nota come l ipotesi sul disaccoppiamento frequenziale dei due sistemi G 1 (s) e G 2 (s) e relativi sistemi di controllo sia verificata. e) Dopo aver scelto il tempo di campionamento più idoneo discretizzare i regolatori R 1 (s) e R 2 (s) con il metodo delle differenze all indietro. Il tempo di campionamento può essere scelto considerando la più restrittiva delle condizioni derivanti dai due regolatori (a) per R 1 (s), ωc = 20 rad/s ω s = 10ωc 2π = 200 rad/s T = = s ω s (b) per R 2 (s), ωc = 2 rad/s ω s = 10ωc 2π = 20 rad/s T = = s ω s Il valore T = 0.02 soddisfa entrambe le specifiche. Assumendo s = 1 z 1 i corrispondenti sistemi discretizzati risultano T R 1 (s) = s s+1 R 1 (z) = z z = z 1 z R 2 (s) = s+1 s R 2 (z) = z 1 1 z 1 = 5.462z z 1

10 f) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai regolatori R 1 (z) = U 1(z) E 1 (z) e R 2(z) = U 2(z) E 2 (z) discretizzati al punto precedente. Interpretando z 1 come l operatore ritardo unitario segue immediatamente che le equazioni alle differenze corrispondenti a R 1 (z) e R 2 (z) sono: R 1 (z) = z z 1 = U 1(z) E 1 (z) u 1k = u 1k e 1k 1.954e 1k 1 R 2 (z) = z 1 1 z 1 = U 2(z) E 2 (z) u 2k = u 2k e 2k 5.433e 2k 1 g) Volendo inseguire un riferimento y sp (t) il cui spettro è confinato nella banda [0, 4] rad/s, progettare un opportuno compensatore in avanti del riferimento, giustificando le proprie scelte. In generale il compensatore in avanti ha la forma essendo G(s) = G 1 (s)g 2 (s) = R ff (s) = G 1 (s) 1100 (s+50)(s+9)(s+5)(s+0.6). Nel caso specifico occorre considerare che la banda di interesse è [0, 4] rad/s, per cui poli/zeri al di fuori (una decade oltre) di questa banda possono essere trascurati, ed in ogni caso è necessario garantire la fisica realizzabilità del compensatore, imponendo un grado relativo almeno nullo. Analizzando la posizione delle singolarità di G(s) si evince come solo il polo in 50 possa essere trascurato. Scrivendo G(s) sotto forma di costanti di tempo si ottiene da cui discende che G(s) = (0.02s+1)(0.1111s+1)(0.2s+1)(1.6666s+1) R ff (s) = (0.1111s+1)(0.2s+1)(1.6666s+1) (0.025s+1) 3 in cui i poli aggiuntivi in -40 sono stati aggiunti per garantire che il numero di poli sia almeno pari a quello degli zeri.

11 100 Diagrammi di Bode delle ampiezze di L 2 (s) e di F 1 (s) L 2 80 F Modulo M [db] Diagrammi di Bode delle ampiezze di L 1 (s) e di F 1 (s) L 1 80 F Modulo M [db]